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高等数学A1综合测试2

高等数学 A(1)综合测试 2
一、填空、选择题(18%) 1. lim ?1 ? 2 x ? x ? __________
x ?0 1

2. 设 f ( x) 在闭区间 [0, 1] 上连续,则 ? f ( x2 )sin xdx ? __________
?1

1

1 4. 设 y ? sin x 2 ,则 dy ? _______________ dx ? _____________ 1 x2 5. 设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则下列结论中不正确的是( )

3.

?

??

(A) F ?( x) ? f ( x) ; (C)

(B) (D)

? F ?( x)dx ? f ( x) ? C ;
d [ f ( x)dx] ? f ( x). dx ?

? f ?( x)dx ? f ( x) ? C ;

6.微分方程 y?? ? y ? 0 的通解为( ) (A) C cos x; (B) C sin x; (C) sin x ? cos x; 二、解答下列各题(36%)

(D) C1 cos x ? C2 sin x.
x

2 ex ?1 x ? sin x ?0 sin t dt 1. lim 2. lim 3. lim x?0 x ?0 sin x x ?0 ln(1 ? x 3 ) x3 4. 设 f (u ) 为可导函数,且 y ? f (sin x) ? sin f ( x), 求 y?. dy 5. 设 y ? xsin x ( x ? 0), 求 . dx 3 6. 求函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 6 x ? 2 的极值. 2 三、解答下列各题(36%) 3 x?2 1 1. ? 2 2. ? dx dx 0 x ? 2x ? 5 x ?1 1 ?1 ? x 2 , x ? 0 3. 设 f ( x) ? ? x ,求 ? f ( x)dx . ?1 x?0 ? e ,

4. 求由抛物线 y ? x 2 ,直线 x ? 2 以及 x 轴所围成的平面图形面积,并求该图形绕 x 轴旋转一周所 成旋转体的体积. 5.求微分方程 xy? ? y ? cos x 的通解. 6.求微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? xe x 的特解. 四、解答下列各题(10%) 1.设函数 f ( x) 的一个原函数是 ln( x ? 1 ? x 2 ) ,求 ? xf ?( x ) dx.
f ( x) ? x f ( x) ? 2. 设函数 f ( x) 有二阶导数,且 lim ? 0, f ??(0) ? 4, 求 f (0), f ?(0), lim ?1 ? ? . x ?0 x ?0 x ? x ?
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