当前位置:首页 >> 数学 >> 函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)

函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)

§1.2.1、函数的概念

函数基础知识大全

1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B

中都有惟一确定的数 f ?x? 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:

y ? f ?x?, x ? A .
2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全 一致,则称这两个函数相等.
3.两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定 义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条 件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称 解析式. (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
(2)已知 f (x) 求 f [g(x)] 或已知 f [g(x)] 求 f (x) :换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4) f (x) 满足某个等式,这个等式除 f (x) 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等.
求函数解析式的常用方法:
1、换元法( 注意新元的取值范围)
2、待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等)
3、整体代换(配凑法)
4.赋值法:
3.映射的定义: 一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都 有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B,以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集 合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B.
由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集. 4.映射的概念中象、原象的理解:(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象,不一 定只一个原象;(3)A 中每一个元素的象唯一。 1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2 求函数定义域一般有三类问题: 新疆
源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆
源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;

1

(3)已知 f (x) 的定义域求 f [g(x)] 的定义域或已知 f [g(x)] 的定义域求 f (x) 的定义域:

掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; (1)分式的分母不为 0;(2)偶次方根的被开方数不小于 0;(3)对数函数的真数大于 0;(4)指数 函数、对数函数的底数大于 0 且不等于 1;(5)零指数、负指数幂的底数不等于 0. ②① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出
② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域. 2.函数值域的求法: ①直接法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ;

⑥利用均值不等式 ab ? a ? b ? a2 ? b2 ; ⑦几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用

2

2

函数有界性( a x 、 sin x 、 cos x 等);⑨平方法;⑩ 导数法(11)分离常数法;(12)反函数法;(13)
数形结合法。
3 求函数值域的各种方法 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域; 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
①直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R;
反比例函数 y ? k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x
二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,

当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b2 ) }; 4a



a<0

时,值域为{ y |

y?

(4ac

? b2)

} 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@126.com

4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: f (x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n)

的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”)
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ? k (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
⑨逆求法(反求法):通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;
常用来解,型如: y ? ax ? b , x ? (m, n) cx ? d
⑩判别式法
⑾.导数法:
6.复合函数:若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范

2

围是 g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定:

①首先将原函数 y ? f [g(x)]分解为基本函数:内函数 u ? g(x) 与外函数 y ? f (u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.分段函数: 在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫分段函数。 值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性 1.(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:

f (x) ? f (?x) ? 0 ,

f (x) f (?x)

?

?1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@126.com

讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;
(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数的
奇偶性 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
2.奇偶函数的性质:
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必.要.条.件.
(2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;

(3) f (x) 为偶函数 ?

f (x) ?

f

(|

x |)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@126.com
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@126.com

(4)若奇函数 f (x) 在 0 处有定义,,则 f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;

(5)设 f (x) , g(x) 的定义域分别是 D1, D2 ,那么在它们的公共定义域上:
(6)定义在 R 上的任意函数 f(x)均可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
(7)在定义域内的公共部分内,两个奇函数之积(商)为偶函数;两个偶函数之积(商)为偶函数;
一奇一偶函数之积(商)为奇函数;两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数。
即奇+奇=奇,奇? 奇=偶,偶+偶=偶,偶? 偶=偶,奇? 偶=奇新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
(8)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.
(9)f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是 f(x)=0.
3.奇、偶性的推广:
(1)函数 y ? f ?x?与函数 y ? f ?? x?的图像关于直线 x ? 0( y 轴)对称.

推广一:函数 y=f(x)对于定义域内任一 x 都有 f ?a ? x? ? f ?a ? x ? ,则 y=f(x)的图象关于 x=a 对称,即 y=f(a+x)

为偶函数;

推广二:如果函数 y ? f ?x?对于一切 x ?R ,都有 f ?a ? x? ? f ?b ? x ? 成立,那么 y ? f ?x?的图像关于直

线

x

?

a

? 2

b

(由“

x

和的一半

x

?

(a

?

x)

? 2

(b

?

x)

确定”)对称.

推广三:函数 y ? f ?a ? x?, y ? f ?b ? x? 的图像关于直线 x ? b ? a (由 a ? x ? b ? x 确定)对称.
2

推广四:函数

y

?

f ?x? 与 函 数

y ? A?

f

?x?

的图像关于直线

y?

A 2

对称(由“

y

和的一半

3

y

?

[

f

(x)] ? [A 2

?

f

(x)]

确定”).

(2) 函数 y ? f ?x?与函数 y ? ? f ?x?的图像关于直线 y ? 0 ( x 轴)对称.

推广一:函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 f ?a ? x? ? ? f ?a ? x? ,则 y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称,

即 y=f(a+x)为奇函数。
推广二:函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 f ?a ? x? ? f ?a ? x ? ? 2b ,则 y=f(x)的图象关于点 ?a,b? 成中心对

称。

推广三:函数 y

?

f ?x?与函数 y ? m ?

f

?n

?

x

?

的图像关于点

(

n 2

,

m 2

)

中心对称.

4.对于复合函数 F(x)=f[g(x)]满足同奇则奇,有偶则偶。

6.函数的单调性:

⑴单调性的定义:

① f (x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1, x2 ? M , 当 x1 ? x2 时有 f (x1) ? f (x2 ) ;

② f (x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1, x2 ? M , 当 x1 ? x2 时有 f (x1) ? f (x2 ) ;
⑵单调性的判定:
①定义法:一般要将式子 f (x1 ) ? f (x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
设 x1, x2 ? A且x1 ? x2 ;作差 f (x1) ? f (x2 ) (一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的
正或负号能清楚地判断出);判断正负号。 ②导数法(见导数部分);
若 f (x) 在 某 个 区 间 A 内 有 导 数 , 则 f ’(x) ? 0,(x ? A) ? f (x) 在 A 内 为 增 函 数 ;

f ’(x) ? 0,(x ? A) ? f (x) 在 A 内为减函数。
③复合函数法;
复合函数 y ? f ?g(x)?在公共定义域上的单调性:

①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g(x)?为增函数;“同则增”

②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g(x)?为减函数。“异则减”
注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。 ④图像法
注:证明单调性主要用定义法和导数法。 (3)性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:
增函数 f (x) ? 增函数 g(x) 是增函数;减函数 f (x) ? 减函数 g(x) 是减函数;

增函数 f (x) ? 减函数 g(x) 是增函数;减函数 f (x) ? 增函数 g(x) 是减函数。
4

④函数

y

?

ax

?

b x

(a

?

0,

b

?

0)



? ???

??,

?

b a

?
? ?



?
? ?

b a

,

??

? ???

上单调递增;在

? ?? ?

b a

,

0

? ???



? ???

0,

b a

?
? ?

上是

单调递减。

⑤复合函数 y ? f ?g(x)?在公共定义域上的单调性:

①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g(x)?为增函数;

②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g(x)?为减函数。
注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。 7.函数的周期性:
(1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f (x ? T ) ? f (x) (其中T 为非零常数),则称函数

f (x) 为周期函数,T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别
说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期:① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cosx : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ;

④ y ? Asin(?x ? ?), y ? Acos(?x ? ?) : T ? 2? ;⑤ y ? tan?x : T ? ?

|? |

|? |

(3)与周期有关的结论:

f (x ? a) ? f (x ? a) 或 f (x ? 2a) ? f (x)(a ? 0) ? f (x) 的周期为 2a

2.性质: (1).对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫
最小正周期。 (2)并不是任何周期函数都有最小正周期,如常数函数。
(3)若 T 是函数 y=f(x)的周期,则 nT ?n?Z且n ? 0? 都是这个函数的周期

(4)若 f ?a ? x? ? f ??a ? x?则T ? 2a 。

(5)若① f ? x ?T ? ? ? f ? x?

、② f ? x ? T ? ?

1
f ?x?

、③

f

?x ?T

?

?

?

f

1
?x?



④ f ?x? ? f ?x ?T ? ? a ,⑤ f ?x?? f ?x ?T ? ? a ,⑥ f ?T ? x? ? f ??T ? x? ,

⑦ f (x ? 2T ) ? f (x)(T ? 0) ,则 f ? x? 的周期为 2T。

(6)若 T 是函数 y=f(x)的周期,则 f ??x??? ? 0? 也是周期函数,且周期为 T 。
?

(7)若 f ?x ? a? ? f ?x? ? f ?x ?a ? ,则 f ? x? 的周期为 6a 。

5

(8)若 f ? x? 关于直线 x ? a 和直线 x ? b 对称,则 2?a ?b? 是它的一个周期 ?a ? b? 。

若 f ? x? 关于点 ?a,0?和点 ?b,0? 对称,则 2?a ?b? 是它的一个周期 ?a ? b? 。

若 f ? x? 关于点 ?a, 0?和直线 x ? b 对称,则 4?a ?b? 是它的一个周期 ?a ? b? 。
8.基本初等函数的图像与性质:
1.指数与对数运算
(1)根式的概念:
①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1,且n ? N ? ) ,则这个数称 a 的 n 次方根。即若 xn ? a ,则 x 称 a 的

n 次方根 n ? 1且n ? N ? ) ,

1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ;

2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ? n a (a ? 0) 。

②性质:1) (n a )n ? a ;2)当 n 为奇数时, n an ? a ;

3)当 n

为偶数时, n

a

?|

a

|?

?a(a ? ??? a(a

0) ? 0)



2.幂的有关概念

①规定:1) a n ? a ? a ??? a(n ?N*;2) a0 ? 1(a ? 0) ;

n个

3) a ? p

?

1 ap

m
( p ?Q,4) a n

?

n

am (a

? 0, m 、 n ?N*

且 n ? 1) 。

②性质:1) a r ? a s ? a r?s (a ? 0, r 、 s ?Q);

2) (a r ) s ? a r?s (a ? 0, r 、 s ? Q);

3) (a ? b)r ? a r ? br (a ? 0,b ? 0, r ? Q)。 (注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。
幂函数性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)? ? 0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??) 上是增函数.特别地,当? ? 1时,幂函数的 图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象 在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴

6

p
y ? x q (p,q 互为质数)的图像

p
y ? xq

0? p ?1 q

q 为奇数 P 为奇数

p ?1 q

p ?0 q

q 为奇数 P 偶数

q 为偶数 P 为奇数

3.对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0,且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 ab ? N ,那么数 b 称以 a 为底 N 的对数,记

作 log a N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真数。 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ; 2)以无理数 e(e ? 2.71828?) 为底的对数称自然对数, log e N ,记作 ln N ;
②基本性质:
1)真数 N 为正数(负数和零无对数);2) log a 1 ? 0 ; 3) log a a ? 1 ;4)对数恒等式: aloga N ? N 。 ③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则

1) log a (MN ) ? log a M ? log a N ;

2) log a

M N

? log a M

? log a

N



3) log a M n ? n log a M (n ?R)。

7

④换底公式: log a

N

?

log m N log m a

(a

?

0, a

?

0, m

?

0, m

? 1, N

?

0),

1) log a

b ? log b

a

? 1;2) log am

bn

?

n m log a

b。

2.指数函数与对数函数

(1)指数函数:

①定义:函数 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 称指数函数,

1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ;
3)当 0 ? a ? 1时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。
②函数图像:

1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;
2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1时,图象向左无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向右无限 接近 x 轴);

3)对于相同的 a(a ? 0,且a ? 1) ,函数 y ? a x与y ? a ?x 的图象关于 y 轴对称。

③函数值的变化特征:
0? a ?1

a ?1

① x ? 0时0 ? y ? 1, ① x ? 0时y ? 1,

② x ? 0时y ? 1,

② x ? 0时y ? 1,

(2)对数函数: ③

x

?

0时 y

?

1

③ x ? 0时0 ? y ? 1,

①定义:函数 y ? log a x(a ? 0,且a ? 1) 称对数函数,

1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y ? log a x 与指数函数 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 互为反函数。
②函数图像:

8

1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;
2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无
限接近 y 轴); 4)对于相同的 a(a ? 0,且a ? 1) ,函数 y ? log a x与y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称。
a
③函数值的变化特征:

0? a ?1 ① x ? 1时y ? 0 ,

a ?1 ① x ? 1时y ? 0 ,

② x ? 1时y ? 0 ,

② x ? 1时y ? 0 ,

③ 0 ? x ? 1时y ? 0 .

③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

9.二次函数:
⑴解析式:①一般式: f (x) ? ax2 ? bx ? c ;②顶点式: f (x) ? a(x ? h)2 ? k , (h, k) 为顶点;

③零点式: f (x) ? a(x ? x1)( x ? x2 ) (a≠0).
⑵二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

二次函数

y

?

ax 2

?

bx

?

c

的图象的对称轴方程是

x

?

?

b 2a

,顶点坐标是 ???? ?

b ,4ac ? 2a 4a

b2

????



10.函数图象: 1.作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简 函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画 出函数的图象。 2.三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3.识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面.

4.平移变换:(1)水平平移:函数 y ? f (x ? a) 的图像可以把函数 y ? f (x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0)

或向右 (a ? 0) 平移| a | 个单位即可得到;

(2)竖直平移:函数 y ? f (x) ? a 的图像可以把函数 y ? f (x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下

9

(a ? 0) 平移| a | 个单位即可得到.

左移h

右移h

① y=f(x) ? y=f(x+h); ② y=f(x) ? y=f(x?h);

上移h

下移h

③y=f(x) ? y=f(x)+h; ④y=f(x) ? y=f(x)?h.

5.对称变换:(1)函数 y ? f (?x) 的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像关于 y 轴对称即可得到;

(2)函数 y ? ? f (x) 的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像关于 x 轴对称即可得到;

(3)函数 y ? ? f (?x) 的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像关于原点对称即可得到;

(4)函数 y ? f ?1(x) 的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到.

x轴
①y=f(x) ? y= ?f(x);
直线x?a
③y=f(x) ? y=f(2a?x);
原点
⑤y=f(x) ? y= ?f(?x).

y轴
②y=f(x) ? y=f(?x);
直线y? x
④y=f(x) ? y=f?1(x);

6.翻折变换:(1)函数 y ?| f (x) |的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴

上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f (x) 的 x 轴上方部分即可得到;

(2)函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分

并保留 y ? f (x) 在 y 轴右边部分即可得到.

y
y=f(x)

y
y=|f(x)|

y
y=f(|x|)

ao b c x

ao b cx

ao b cx

7.伸缩变换:(1)函数 y ? af (x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐

标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ?1)为原来的 a 倍得到;

(2)函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f (x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ?1)为原来的 1 倍得到.
a

x??
①y=f(x) ? y=f(

x

);②

y??
y=f(x) ? y=ωf(x).

?

10

以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本节的重 点.
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连 在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要 借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函 数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点.
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ) y ? f (x) ? y ? f (x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-”;
ⅱ) y ? f (x) ? y ? f (x) ? k, (k ? 0) ———上“+”下“-”;
② 对称变换:ⅰ) y ? f (x) ?(?0?,0)? y ? ? f (?x) ;ⅱ) y ? f (x) ?? y?0? y ? ? f (x) ;
ⅲ) y ? f (x) ?x??0? y ? f (?x) ; ⅳ) y ? f (x) ?? y??x? x ? f ( y) ;
③ 翻折变换:
ⅰ) y ? f (x) ? y ? f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f (x) 在 y 左侧图象去掉);
ⅱ) y ? f (x) ? y ?| f (x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f (x) |在 x 下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明:
(1)证明函数 y ? f (x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图
像上;
(2)证明函数 y ? f (x) 与 y ? g(x) 图象的对称性,即证明 y ? f (x) 图象上任意点关于对称中心(对
称轴)的对称点在 y ? g(x) 的图象上,反之亦然。
注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点(0,0)的对称曲线 C2 方程为:f(-x,-y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为:f(-x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为:f(x, -y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为:f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x= a ? b 对称; 2
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称.
③ y ? f (x) 的图象关于点 (a,b) 对称 ? f ?a ? x? ? f ?a ? x? ? 2b . 特别地: y ? f (x) 的图象关于点 (a, 0) 对称 ? f ?a ? x? ? ? f ?a ? x? .
④函数 y ? f (x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称; 函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? 0对称。
11

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1.函数零点的概念:
对于函数 y ? f (x)(x ? D),把使 f (x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f (x)(x ? D)的零点.
2.函数零点的意义:
函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f (x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标.
即:方程 f (x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点.
3.零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
如果函数 y ? f ?x?在区间 ?a,b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f ?a?? f ?b? ? 0 ,那么,函数 y ? f ?x?在区间 ?a,b?内有零点,即存在 c ? ?a,b?,使得 f ?c? ? 0,这个 c 也就是方程 f ?x? ? 0 的根.
4.函数零点的求法:⑴直接法(求 f (x) ? 0 的根);⑵图象法;⑶二分法.
求函数 y ? f (x) 的零点:
1.(代数法)求方程 f (x) ? 0 的实数根;
2.(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质
找出零点. 二次函数的零点:
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个
零点.
2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函
数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
5.二分法及步骤:
对于在区间[a ,b] 上连续不断,且满足 f (a) · f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ,通过不断地把函数 f (x) 的零
点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下:
1.确定区间[a , b] ,验证 f (a) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ;
2.求区间 (a , b) 的中点 x1;
12

3.计算 f (x1) :○1 若 f (x1) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ○2 若 f (a) · f (x1) < 0 ,则令 b = x1(此时零点 x0 ? (a, x1 ) ); ○3 若 f (x1) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? (x1, b) );
4.判断是否达到精度 ? ; 即若| a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b );否则重复步骤 2~4.
13


更多相关文档:

函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识).doc

函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识) - 知识点非常详细,

高考函数知识点考点练习.doc

高考函数知识考点练习_高考_高中教育_教育专区。知识点: 函对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数 相等. 函数的表示法...

函数考点二基本初等函数知识点复习+高考题汇编(高三复....doc

函数考点基本初等函数知识点复习+高考题汇编(高三复习)[1]_高考_高中教育_...y=1. 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 y>1(x>0), y=1...

高中数学知识点总结大全(最新版复习资料).doc

高中数学知识点总结大全(最新版复习资料)_数学_高中...函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:...0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同...

高中函数基础知识复习-学生版.pdf

4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 ? ? (二)考点分析 考点 1:映射的概念例 1. (1) A ? R , B ? ...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题....doc

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象(含解析)...(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=ax 与 g(x)=ax 的...

函数及其表示知识点大全、经典例题及解析、今年高考题....doc

函数及其表示知识大全、经典例题及解析、今年高考题带答案_理化生_高中教育_教育专区。函数及其表示【考纲说明】 1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域...

函数考点二基本初等函数知识点复习 高考题汇编(高三复....doc

函数考点基本初等函数知识点复习 高考题汇编(高三复习)[1]_高考_高中教育_...在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值 的变化情 况 y>1(x>0), y...

高考数学考点总结函数必考性质知识点归纳.doc

中高级教师 1 对 1 中小学在线辅导 http://www.sanhao.com 2017-2018 年高考数学考点总结,高考数学函数必考性质总结。函数是高考数学中的 难点和重点, 在高考...

高中数学基础知识大全.doc

高考数学基础知识汇总第一部分 (2) (3) 第二部分 函数与导数 1.映射:注意 ...⑷奇函数 在原点有定义,则; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的...

高考数学二轮复习_知识点总结_函数、基本初等函数的图....doc

知识大全 函数、基本初等函数的图象与性质 1.高考函数的三要素,函数的表示...两个函数是同一函 数. 2. 函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域...

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题....doc

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象(含解析)_高考_高中教育_教育专区。2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题....doc

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数及其表示(含解析...分段函数函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应...

高考文科数学函数知识点考点专项练习.doc

高考文科数学函数知识考点专项练习_数学_高中教育_教育专区。知识点: 函对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数 相等. ...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题....doc

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的单调性与最值...函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子...

北京四中高考数学总复习 函数的图象(基础)知识梳理教案.doc

北京四中高考数学总复习 函数的图象(基础)知识梳理教案_数学_高中教育_教育专区...0 考点二:零点 1. 函数的零点 (1) 一般地,如果函数 y ? f ( x) 在...

...轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的单....pdf

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的...函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子...

四中高考数学总复习 函数的基本性质基础知识梳理.doc

四中高考数学总复习 函数的基本性质基础知识梳理_其它_高等教育_教育专区。四中...【考点梳理】 1.单调性 (1)一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 I 如果...

高中数学高考36个必考考点专题分段函数.doc

高中数学高考 36 必考考点系列分段函数 一、知识储备 1、定义:分段函数是指自变量在不同范围内,有不同对应法则的函数。 2、注意: ( 1) 、分段函数是一个...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题....doc

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)三角函数图象与性质(...(3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在给定区间上...

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com