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2017年广东省江门市高考数学一模试卷(文科)(有答案)

2017 年广东省江门市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 M={x|lnx>0},N={x|x2﹣3x﹣4>0},则 M∩N=( A. (﹣1,4) B. (1,+∞) C. (1,4) ) ) D. (4,+∞)

2.i 是虚数单位, (1﹣i)Z=2i,则复数 Z 的模|Z|=( A.1 B. C. D.2

3.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计,得到如图所示的样本茎叶图,则该样本的中 位数和众数分别是( )

A.46,45

B.45,46

C.45,45 ) B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

D.47,45

4.“cos2α=0”是“sinα=cosα”的( A.充要条件 C.必要非充分条件

5. a1+a4=9, a2a3=8, 已知数列{an}是递增的等比数列, 则数列{an}的前 2016 项之和 S2016= ( A.22016 B.22015﹣1 C.22016﹣1 D.22017﹣1



6.ABCD﹣A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,AC1、BD1 相交于 O,在正方体内(含正方体表面) 随机取一点 M,OM≤1 的概率 p=( A. B. C. ) D.

7. F1、 F2 是双曲线 C 的焦点, B, 过 F1 且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于 A、 且△F2AB 为正三角形,则双曲线的离心率 e=( A. B. C.2 ) D.

8.执行如图所示的程序框图,输出的 S=(



A.4

B.

C.

D. ,a=4,c=5,则 b=( )

9.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 A.3 B.4 C.5 D.6

10. F 是抛物线 y2=2x 的焦点, 以 F 为端点的射线与抛物线相交于 A, 与抛物线的准线相交于 B, 若 ,则 A.1 =( B. ) C.2 D. 个单位, 所得曲线在区间

11. f x) =sinωx 将函数 ( (ω 是正整数) 的图象向右平移 内单调递增,则 ω 的最大值为( A.3 12.已知函数 a 的取值范围是( A. B.4 ) C.5 D.6

,关于 x 的不等式 f2(x)﹣af(x)>0 有且只有三个整数解,则实数 ) B. C. D.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 2sinθ+cosθ=0,则 = . .

14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 S=

15. 、 为单位向量,若

,则

=



16.若 x、y 满足

,且 z=x﹣ay 的最大值为 4,则实数 a 的值为



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn, (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ,n∈N*.

18.某公司为感谢全体员工的辛勤劳动,决定在年终答谢会上,通过摸球方式对全公司 1000 位员工进行现金抽奖. 规定: 每位员工从装有 4 个相同质地球的袋子中一次性随机摸出 2 个球, 这 4 个球上分别标有数字 a、b、c、d,摸出来的两个球上的数字之和为该员工所获的奖励额 X (单位:元) .公司拟定了以下三个数字方案: 方案 一 二 三 a b c d

100 100 100 500 100 100 500 500 200 200 400 400

(Ⅰ)如果采取方案一,求 X=200 的概率; (Ⅱ)分别计算方案二、方案三的平均数 和方差 s2,如果要求员工所获的奖励额相对均衡, 方案二和方案三选择哪个更好? (Ⅲ)在投票选择方案二还是方案三时,公司按性别分层抽取 100 名员工进行统计,得到如下 不完整的 2×2 列联表.请将该表补充完整,并判断能否有 90%的把握认为“选择方案二或方案 三与性别有关”? 方案二 方案三 男性 12 合计

女性 合计 附:K2= P(K2≥k0) k0 2.072 2.706 0.15 82 0.10

40 100 0.05

3.841

19.如图,直角△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D、E 分别是 AB、BC 边的中点,沿 DE 将 △BDE 折起至△FDE,且∠CEF=60°. (Ⅰ)求四棱锥 F﹣ADEC 的体积; (Ⅱ)求证:平面 ADF⊥平面 ACF.

20.在平面直角坐标系 Oxy 中,已知点 F(1,0)和直线 l:x=4,圆 C 与直线 l 相切,并且圆 心 C 关于点 F 的对称点在圆 C 上,直线 l 与 x 轴相交于点 P. (Ⅰ)求圆心 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 F 且与直线 l 不垂直的直线 m 与圆心 C 的轨迹 E 相交于点 A、B,求△PAB 面积的 取值范围. 21.设函数 f(x)=ex﹣ax,a 是常数. (Ⅰ)若 a=1,且曲线 y=f(x)的切线 l 经过坐标原点(0,0) ,求该切线的方程; (Ⅱ)讨论 f(x)的零点的个数. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标 系与参数方程] 22.极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,两坐标系单位 长度相同. 已知曲线的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 上到直线 l 的距离为 d 的点的个数为 f(d) ,求 f(d)的解析式.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a+1|(a>0 是常数) . (Ⅰ)证明:f(x)≥1; (Ⅱ)若 f(3)< ,求 a 的取值范围.

2017 年广东省江门市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 M={x|lnx>0},N={x|x2﹣3x﹣4>0},则 M∩N=( A. (﹣1,4) B. (1,+∞) C. (1,4) D. (4,+∞) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 M 与 N 中不等式的解集分别确定出两集合,求出 M 与 N 的交集即可. 【解答】解:由 M 中不等式变形得:lnx>0=ln1, 解得:x>1,即 M=(1,+∞) , 由 N 中不等式变形得: (x﹣4) (x+1)>0, 解得:x<﹣1 或 x>4,即 N=(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞) , 则 M∩N=(4,+∞) , 故选:D. 2.i 是虚数单位, (1﹣i)Z=2i,则复数 Z 的模|Z|=( A.1 B. C. D.2 ) )

【考点】复数求模. 【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解. 【解答】解:∵(1﹣i)Z=2i, ∴ 则|Z|= . ,

故选:B. 3.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计,得到如图所示的样本茎叶图,则该样本的中 位数和众数分别是( )

A.46,45 B.45,46 C.45,45 D.47,45 【考点】茎叶图. 【分析】结合茎叶图,利用中位数、众数的定义求解即可. 【解答】解:根据茎叶图知, 样本中的 30 个数据从小到大排列,位于中间的两个数据是 45,47, ∴该样本的中位数为: 出现次数最多的数据是 45, ∴该样本的众数是 45. 故选:A. 4.“cos2α=0”是“sinα=cosα”的( A.充要条件 B.充分非必要条件 ) =46;

C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由 sinα=cosα,可得 cos2α=cos2α﹣sin2α=0;反之 cos2α=cos2α﹣sin2α=0,可得 cosα= ±sinα.即可判断出结论. 【解答】解:由 sinα=cosα? cos2α=cos2α﹣sin2α=0; 由 cos2α=cos2α﹣sin2α=0,? cosα=±sinα. ∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件. 故选:C. 5. a1+a4=9, a2a3=8, 已知数列{an}是递增的等比数列, 则数列{an}的前 2016 项之和 S2016= ( A.22016 B.22015﹣1 C.22016﹣1 D.22017﹣1 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】根据等比数列的通项公式和数列{an}的前公式进行计算即可. 【解答】解:在等比数列{an}中,若 4a1+a4=9,a2a3=8, 则 a1+a1q3=9, a2a3=8, 则 a1q2?a1q=8 解得 q=2,a1=1. 则 . )

故选:C 6.ABCD﹣A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,AC1、BD1 相交于 O,在正方体内(含正方体表面) 随机取一点 M,OM≤1 的概率 p=( A. B. C. D. )

【考点】几何概型. 【分析】由题意可得概率为体积之比,分别求正方体的体积和球的体积可得. 【解答】解:由题意可知总的基本事件为正方体内的点,可用其体积 23=8, 满足 OM≤1 的基本事件为 O 为球心 1 为半径的球内部在正方体中的部分,其体积为 V= π× 13= π, 故概率 P= 故选:A. 7. F1、 F2 是双曲线 C 的焦点, B, 过 F1 且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于 A、 且△F2AB 为正三角形,则双曲线的离心率 e=( A. B. C.2 D. ) = .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用直角三角形中含 30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到 a, c 的关系. 【解答】解:由△ABF2 是正三角形,则在 Rt△AF1F2 中,有∠AF2F1=30°, ∴|AF1|= |AF2|,又|AF2|﹣|AF1|=2a. ∴|AF2|=4a,|AF1|=2a,又|F1F2|=2c, 又在 Rt△AF1F2 中,|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2, 得到 4a2+4c2=16a2,∴ ∴e= = 故选:B. 8.执行如图所示的程序框图,输出的 S=( ) . =3,

A.4

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 i=9 时,不满足条 件 i<9,跳出循环,输出 S 的值为 . 【解答】解:模拟程序的运行,可得 S=4,i=1 满足条件 i<9,执行循环体,S=﹣ ,i=2 满足条件 i<9,执行循环体,S= ,i=3 满足条件 i<9,执行循环体,S=4,i=4 满足条件 i<9,执行循环体,S=﹣ ,i=5 … 观察规律可知,S 的取值周期为 3,由于 8=3×2+1, 可得:i=8 时,满足条件 i<9,执行循环体,S= ,i=9 不满足条件 i<9,退出循环,输出 S 的值为 . 故选:C.

9.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 A.3 B.4 C.5 D.6

,a=4,c=5,则 b=(



【考点】正弦定理.

【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,结合 sinC≠0,可求 cosC= ﹣9b﹣18=0,即可解得 b 的值. 【解答】解:∵ 又∵sinC≠0, ∴可得:cosC= , ,可得:2sinCcosC= sinC,

,利用余弦定理 2b2

∴由已知及余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC,可得:52=42+b2﹣2×4×b× ∴整理可得:2b2﹣9b﹣18=0,解得:b=6 或﹣ (舍去) , 故选:D.



10. F 是抛物线 y2=2x 的焦点, 以 F 为端点的射线与抛物线相交于 A, 与抛物线的准线相交于 B, 若 A.1 ,则 B. C.2 =( D. )

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由题意,利用抛物线的定义,结合向量条件,求出 A 的横坐标,即可得出结论. 【解答】解:由题意,设 A 的横坐标为 m,则由抛物线的定义,可得 ∴|FA|= ,|FB|=3, ∴ 故选 D. =|FA||FB|= , ,∴m= ,

11. f x) =sinωx 将函数 ( (ω 是正整数) 的图象向右平移 内单调递增,则 ω 的最大值为( A.3 B.4 C.5 D.6 )

个单位, 所得曲线在区间

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由题意可得可得 2kπ﹣ ≤ω( ﹣ )<ω( ﹣ )≤2kπ+ ,k∈Z.解得

﹣ ≤ω≤ k+ ,由此求得可得正整数 ω 的最大值.

【解答】解:将函数 f(x)=sinωx(ω 是正整数)的图象向右平移 可得 y=sinω(x﹣ ∵所得曲线在区间 ≤2kπ+ 求得 ,k∈Z. ﹣ ≤ω≤ k+ ,令 k=2,可得正整数 ω 的最大值为 3, )的图象. 内单调递增,可得 2kπ﹣ ≤ω(

个单位,



)<ω(





故选:A.

12.已知函数 a 的取值范围是( A. B.

,关于 x 的不等式 f2(x)﹣af(x)>0 有且只有三个整数解,则实数 ) C. D.

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】根据 f(x)的单调性,通过讨论 a 的符号,解关于 f(x)的不等式结合不等式解的个 数,求出 n 的范围即可. 【解答】解: (1)f′(x)= 令 f′(x)>0,解得:0<x<e, 令 f′(x)<0,解得:x>e, ∴f(x)的递增区间为(0,e) ,递减区间为(e,+∞) , 故 f(x)的最大值是 f(e)= , x→+∞时,f(x)→0,x→0 时,x→﹣∞,f(1)=0, 故在(0,1)时,f(x)<0,在(1,+∞)时,f(x)>0, ∴a<0 时,由不等式 f2(x)﹣af(x)>0 得 f(x)>0 或 f(x)<a, 而 f(x)>0 的解集为(1,+∞) ,整数解有无数多个,不合题意; a=0 时,由不等式 f2(x)﹣af(x)>0,得 f(x)≠0,解集为(0,1)∪(1,+∞) , 整数解有无数多个,不合题意; a>0 时,由不等式 f2(x)﹣af(x)>0,得 f(x)>a 或 f(x)<0, ∵f(x)<0 的解集为(0,1)无整数解, 若不等式 f2(x)﹣af(x)>0 有且只有三个整数解, ,

∵f(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减, 而 2<e<3,f(2)=f(4) , 所以,三个正整数为 3,4,5,而 f(4)= 综上,实数 a 的取值范围是[ 故选:A. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 2sinθ+cosθ=0,则 【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 tanθ, 利用两角和的正切函数公式即可计算 得解. 【解答】解:∵2sinθ+cosθ=0, ∴tanθ=﹣ , = . , ) , ,



=

=

= .

故答案为: .

14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 S=

48



【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】通过三视图判断几何体的形状,利用三视图的数据,求出几何体的表面积即可. 【解答】解:由三视图可知,几何体是底面边长为 4 和 4 高为 1 的长方体,中间挖去半径为 1 的圆柱, 几何体的表面积为:长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积.

即 S=2×(4×4+1×4+1×4)+2π×1﹣2×12π=48. 故答案为:48.

15. 、 为单位向量,若 【考点】平面向量数量积的运算.

,则

=

4



【分析】根据单位向量和平面向量的数量积,利用模长公式求出 8 ? 的值,再计算 值. 【解答】解: 、 为单位向量,且 ∴ ∴8 ∴ ∴ = =﹣1; = =4. +8 +16 =1﹣1+16=16, ﹣8 ? +16 =1﹣8 ? +16=18, ,



故答案为:4.

16.若 x、y 满足

,且 z=x﹣ay 的最大值为 4,则实数 a 的值为



【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,结合目标函数 z=x﹣ay(a>0) 的最大值为 4,然后根据条件即可求出 a 的值.

【解答】解:作出不等式组

,对应的平面区域如图: (阴影部分) .

由 z=x﹣ay 的最大值为 4,得 y= x﹣ , 当 a>0,∴目标函数的斜率 k= >0, 平移直线 y= x﹣ , 由图象可知当直线 y= x﹣ 经过点 B 时,直线的截距最大,此时 z 最大为 4,即 x﹣ay=4. 由 ,得(1,2) ,

此时 1﹣2a=4.

解得 a=﹣ .舍去 当 a<0,目标函数的斜率 k= <0, 平移直线 y= x﹣ , 由图象可知当直线 y= x﹣ 经过点 A 时,直线的截距最大为 4,即 x﹣ay=4. 由 ,得(3, ) ,

此时 3﹣ a=4. 解得 a=﹣ . 故答案为: .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn, (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ,n∈N*.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1,n≥1 时,an+1=Sn+1﹣Sn,化简整理,结合等差数列的定义和 通项公式,即可得到所求; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,可得 ,再由数列的求

和方法:裂项相消求和,化简即可得到所求和.

【解答】解: (Ⅰ) 解得 a1=1… ? n∈N*,

,a1>0,



移项整理并因式分解得: (an+1﹣an﹣1) (an+1+an)=0… 因为{an}是正项数列,所以 an+1﹣an﹣1=0,an+1﹣an=1… {an}是首项 a1=1、公差为 1 的等差数列,an=n… (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,… = .… … ,…

18.某公司为感谢全体员工的辛勤劳动,决定在年终答谢会上,通过摸球方式对全公司 1000 位员工进行现金抽奖. 规定: 每位员工从装有 4 个相同质地球的袋子中一次性随机摸出 2 个球, 这 4 个球上分别标有数字 a、b、c、d,摸出来的两个球上的数字之和为该员工所获的奖励额 X (单位:元) .公司拟定了以下三个数字方案: 方案 一 二 三 a b c d

100 100 100 500 100 100 500 500 200 200 400 400

(Ⅰ)如果采取方案一,求 X=200 的概率; (Ⅱ)分别计算方案二、方案三的平均数 和方差 s2,如果要求员工所获的奖励额相对均衡, 方案二和方案三选择哪个更好? (Ⅲ)在投票选择方案二还是方案三时,公司按性别分层抽取 100 名员工进行统计,得到如下 不完整的 2×2 列联表.请将该表补充完整,并判断能否有 90%的把握认为“选择方案二或方案 三与性别有关”? 方案二 方案三 男性 女性 合计 12 6 18 48 34 82 合计 60 40 100

附:K2= P(K2≥k0) k0

0.15

0.10

0.05

2.072

2.706

3.841

【考点】独立性检验的应用;极差、方差与标准差. 【分析】 (Ⅰ)确定基本事件的个数,即可求 X=200 的概率; (Ⅱ)求出相应的方差,即可得出结论; (Ⅲ)计算 K2,与临界值比较,即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)从 a、b、c、d 中取两个,共有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 这 6 个基本事件… 采取方案一,设 X=200 为事件 A,它包含 ab、ac、bc 这 3 个基本事件 由于每个基本事件都是等可能的,所以 … 和 方差 …

( Ⅱ ) 依 题 意 , 求 数 据 ab 、 ac 、 ad 、 bc 、 bd 、 cd 的 平 均 数 s2 . ,

,… , …

,… , (Ⅲ) 二 三 合 计 男性 女性 合计 … 直接计算得, ,K2<2.706,… 12 6 18 48 34 82 60 40 100 ,方案三的方差较小,相对均衡,选择方案三较好.…

所以不能以(1﹣P(K2≥2.706) )×100%=90%的把握认为选择方案二或三与性别有关.…

19.如图,直角△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D、E 分别是 AB、BC 边的中点,沿 DE 将 △BDE 折起至△FDE,且∠CEF=60°. (Ⅰ)求四棱锥 F﹣ADEC 的体积; (Ⅱ)求证:平面 ADF⊥平面 ACF.

【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 (Ⅰ)作 FM⊥EC 于 M,则 FM⊥平面 ACED,即可求出四棱锥 F﹣ADEC 的高 h,求出 梯形 ACED 的面积 s,四棱锥 F﹣ADEC 的体积 v= .

(Ⅱ) (法一)如图 2.取线段 AF、CF 的点 N、Q,连接 DN、NQ、EQ,只需证明 DN⊥平面 ACF 即可, (法二)连接 BF,证明 BF⊥平面 ACF 即可. D、 E 分别是 AB、 BC 边的中点, DE⊥BC, DE=1… 【解答】 解: (Ⅰ) ∴DE 平行且等于 AC 的一半, 依题意,DE⊥EF,BE=EF=2, ∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面 CEF,∵DE 平面 CEF, ∴平面 ACED⊥平面 CEF… 作 FM⊥EC 于 M,则 FM⊥平面 ACED,∵∠CEF=60°,∴ 梯形 ACED 的面积 四棱锥 F﹣ADEC 的体积 … … …

(Ⅱ) (法一)如图 2.取线段 AF、CF 的点 N、Q,连接 DN、NQ、EQ,则 NQ 平行且等于 AC 的一半, ∴NQ 平行且等于 DE,DEQN 是平行四边形,DN∥EQ… ∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF 是等边三角形,EQ⊥FC, 又∵DE⊥平面 CEF,DE⊥EQ,∴AC⊥EQ, ∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面 ACF…∴DN⊥平面 ACF, 又 DN 平面 ADF,∴平面 ADF⊥平面 ACF…

(法二)连接 BF,∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF 是边长为 2 等边三角形… ∵BE=EF,∴ ,∴∠BFC=90°,BF⊥FC…

DE⊥平面 BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面 BCF… ∵BF 平面 BCF,∴AC⊥BF,又∵FC∩AC=C, ∴BF⊥平面 ACF,又∵BF? 平面 ADF,∴平面 ADF⊥平面 ACF…

20.在平面直角坐标系 Oxy 中,已知点 F(1,0)和直线 l:x=4,圆 C 与直线 l 相切,并且圆 心 C 关于点 F 的对称点在圆 C 上,直线 l 与 x 轴相交于点 P. (Ⅰ)求圆心 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 F 且与直线 l 不垂直的直线 m 与圆心 C 的轨迹 E 相交于点 A、B,求△PAB 面积的 取值范围. 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)设圆心 C(x,y) ,由圆心 C 到点 F 的距离等于它到直线 l 距离的一半,利用两 点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程,能求出圆心 C 的轨迹方程. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 x=my+1,由 ,由此利用根的判

别式、韦达定理、弦长公式,结合已知条件能求出△PAB 面积的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)设圆心 C(x,y) , 则圆心 C 到点 F 的距离等于它到直线 l 距离的一半… ∴ … …

化简得,圆心 C 的轨迹方程为 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 x=my+1…

由 △>0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 , …





△PAB 的面积



设 t=m2+1≥1,则







f(t)单调递增,f(t)≥f(1)=16… 所以 ,△PAB 面积的取值范围为 …

21.设函数 f(x)=ex﹣ax,a 是常数. (Ⅰ)若 a=1,且曲线 y=f(x)的切线 l 经过坐标原点(0,0) ,求该切线的方程; (Ⅱ)讨论 f(x)的零点的个数. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,表示出切线方程,求出 m 的值,从而求出切线方程即可; (Ⅱ)求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的 零点个数即可. 【解答】解: (Ⅰ)a=1 时,f(x)=ex﹣x,f′(x)=ex﹣1 …, 设切点坐标是(m,em﹣m) , 则 k=f′(m)=em﹣1, 故切线方程是: y﹣(em﹣m)=(em﹣1) (x﹣m) … 由 0﹣(em﹣m)=(em﹣1) (0﹣m) ,得 m=1, 所求切线为:y=(e﹣1)x… (Ⅱ)f′(x)=ex﹣a,当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=lna…

(1)a>0 时,若 x<lna,则 f′(x)<0;若 x>lna,则 f′(x)>0. 函数 f(x)在区间(﹣∞,lna)单调递减,在区间(lna,+∞)单调递增, f(x)的最小值为 f(lna)=a(1﹣lna)… ①0<a<e 时,f(lna)=a(1﹣lna)>0,f(x)无零点… ②a=e 时,f(lna)=a(1﹣lna)=0,f(x)只有一个零点… ③a>e 时,f(lna)=a(1﹣lna)<0,根据 f(0)=1>0 与函数的单调性, f(x)在区间(﹣∞,lna)和(lna,+∞)各有一个零点,f(x)共有两个零点… (2)a=0 时,f(x)=ex,f(x)无零点… (3)a<0 时,由 f(x)=0 得,ex=ax, 故曲线 y=ex 与 y=ax 只有一个交点,所以 f(x)只有一个零点. 综上所述,0≤a<e 时,f(x)无零点; a<0 或 a=e 时,f(x)有一个零点; a>e 时,f(x)有两个零点… 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐标 系与参数方程] 22.极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,两坐标系单位 长度相同. 已知曲线的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 上到直线 l 的距离为 d 的点的个数为 f(d) ,求 f(d)的解析式. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)将直线 l 的参数方程消去参数,可得普通方程,将曲线 C 的极坐标方程,即 ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,即可化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 取值范围是 0≤d≤ = ,圆的半径为 ,圆上的点到直线 l 距离 d 的

,即可求 f(d)的解析式. (t 为参数) ,消去参数,可得普通方程 x+y﹣

【解答】解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 1=0;

曲线的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,即 ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,∴x2+y2﹣2x﹣2y=0; (Ⅱ)x2+y2﹣2x﹣2y=0,可化为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,

圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为

=

,圆的半径为



圆上的点到直线 l 距离 d 的取值范围是 0≤d≤

∴f(d)=



[选修 4-5:不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a+1|(a>0 是常数) . (Ⅰ)证明:f(x)≥1; (Ⅱ)若 f(3)< ,求 a 的取值范围.

【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (Ⅰ)利用绝对值不等式证明即可. (Ⅱ)将 x=3 带入,可得 f(3)=|3+ |+|3﹣a+1| 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a+1|≥| ∵a>0, ∴ ∴ ,当且仅当 a=1 时取等号. ≥1 |≥1,即 f(x)≥1; , ,去绝对值,即可得答案. |=| |

故得:函数 f(x)=|

(Ⅱ)当 x=3 时,可得 f(3)=|3+ |+|3﹣a+1| ∵a>0, 可得:3+ +|4﹣a| ?|4﹣a|< ∴ ,且 , ,

解得: 故得 a 的取值范围是(2, ) .

2017 年 3 月 16 日


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