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6二次函数与幂函数


二次函数与幂函数

2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) ;
2+n(a≠0) a ( x - m ) (2)顶点式:f(x)=



(3)零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) .

3.二次函数的图像和性质
a>0 a<0

图像

定义域

x∈R
?4ac-b2 ? ? ? ,+∞? ? 4a ? ?
2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ?

值域

a>0

a<0


单调性

? b? ?-∞,- ? 2a? ?

上递减, 在

? b? ?-∞,- ? 上递增, 2a ? ?

? ? b 在?-2a,+∞?上递增 ? ?

? ? b 在?-2a,+∞?上递减 ? ?

奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特 点
2? ? 4 ac - b b b ? ①对称轴:x=- ;②顶点:? ?-2a, 2a 4a ? ? ?

1.五种常见幂函数的图像与性质
特征 性质 函数 y= x y=x2 y=x3

y=x

1 2

y=x-1

图像

定义域 值域

__ R __ R

__ R {y|y≥0} _______

__ R __ R

{x|x≥0} { x|x≠0} ________ _______
{y|y≥0} ________ {y|y≠0} _______

特征 性质

函数 y= x 奇 ___ y=x2 偶 ____ y=x3 奇 ___ 增 ____

y=x

1 2

y=x-1 奇 ____ (-∞,0) _________

奇偶性

非奇非偶 _________

单调性

增 ___

( -∞,0]减, ____________ (0 ,+∞)增 ____________

增 ____

和(0,+ _________
∞)减 _______

公共点

(1,1) ______

1. 研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质, 易忽视 a 的取 值情况而盲目认为 f(x)为二次函数.

2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 不是幂 函数. [试一试]
1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2 B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2 )
答案:D

1 2

3 2.已知点 M( ,3)在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式为 3 ( ) 【答案】 B 1 1 -2 2 A.f(x)=x B.f(x)=x C.f(x)=x2 D.f(x)=x- 2

【解析】



f(x)=xα,则有

3α 3=( ) ,∴α=-2,∴f(x)=x-2. 3

3.函数f(x)=x2+4(a+2)x+3为偶函数,则a= 【解析】 ∵函数f(x)=2x2+ax+3为偶函数 ∴对称轴-2(a+2)=0,∴a=-2.

.

例题与练习
1.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的 取值范围是
? 1? A.?0, ? 20? ? ?1 ? C.? ,+∞? ?20 ?
? ?a>0, 解析:由题意知? ? ?Δ<0,

(
? 1? B.?-∞,- ? 20? ? ? ? 1 D.?- ,0? ? 20 ?
? ?a>0, 即? ? ?1-20a<0

)

1 得a> . 20

答案:C

2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在 区间(-5,-3)上( ) A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增 【解析】 ∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数, ∴2m=0,∴m=0. 则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数. 【答案】 D

2.(2013· 张家口模拟)已知函数 h(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是 单调函数,则 k 的取值范围是 A.(-∞,40] C.(-∞,40]∪[160,+∞) B.[160,+∞) D.? ( )

k 解析:函数h(x)的对称轴为x= ,要使h(x)在[5,20]上是单调函 8 k k 数,应有 ≤5或 ≥20,即k≤40或k≥160,故选 C . 8 8

3. 如果二次函数 f(x) (x∈[a,2a-5])的图像关于 直线 x=1 对称,则 a=________.
7 a ? (2a ? 5) ?1 a ? 解析: 由题意知 得 3 2
4、如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小值为________.

? a+2 ?- =1, 2 解析:由题意知? ? ?a+b=2,

? ?a=-4, 得? ? ?b=6.

则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.

答案:5

? 4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上 是减函数,则实数a的取值范围是________. ? 【解析】 二次函数f(x)的对称轴是x=1-a,由 题意知1-a≥3,∴a≤-2. 【答案】 (-∞,-2] ? 5.(2013· 东莞质检)设函数f(x)=mx2-mx-1,若 f(x)<0的解集为R,则实数m的取值范围是 ________.
【解析】 当m=0时,不等式为-1<0,符合题意
? ?m< 0, 当m≠0时,则有? ∴-4<m<0 2 ? ?Δ= m + 4m< 0,

综上知,-4<m≤0.

? 【答案】

(-4,0]

? 6. (2013· 广州调研)已知函数f(x)=x2+2ax+3, x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上 是单调函数; (3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. ? 【思路点拨】 解答(1)和(2)可根据对称轴与区间 的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3), 应先将函数化为分段函数,再求单调区间.

【尝试解答】 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在[-4,2)上为减函数,在(2,6]上为增函数, ∴f(x)min=f(2)=-1, f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35. 2a (2)函数 f(x)=x2+2ax+3 的对称轴为 x=- =-a, 2 ∴要使 f(x)在[-4,6]上为单调函数, 只需-a≤ -4 或-a≥ 6,解得 a≥ 4 或 a≤ -6.

(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3
?x2+ 2x+ 3=( x+ 1) 2+ 2, x≤ 0, ? =? 2 2 ? x - 2 x + 3 =( x - 1 ) +2,x>0, ?

作函数f(|x|),x∈[-4,6]的图象如图,

? ∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数, 在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.

? 7.(2013· 惠州模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+ c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立, 求实数m的取值范围.
【解】 (1)由 f(0)= 1,得 c= 1.因此 f(x)= ax2+ bx+ 1. 又 f(x+ 1)- f(x)= 2x.∴ 2ax+ a+ b= 2x.x∈ R. ?2a= 2, ?a= 1, ? ? ? 因此 ∴? ? ? ?a+ b= 0, ?b=- 1. 所以 f(x)= x2- x+ 1.

(2)由题意,x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立. 则m<x2-3x+1在[-1,1]上恒成立, 令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1],g(x)是减函数. ∴g(x)min=g(1)=-1,应有m<-1. 因此实数m的取值范围是(-∞,-1).

8. (2013· 汕头模拟 )已知函数 9 满足 f(c )= . 8 (1)求常数 c 的值; (2)解不等式: f(x)< 2.
2

?cx+ 1, 0< x< c ? f(x)=? 4c 2c ? ? 3x + x , c≤ x< 1

(1)依题设0<c<1,∴c2<c. 9 2 3 ∴f(c )=c +1= , 8 1 ∴c= . 2 【解】

1 ?1 ?2x+ 1, 0< x<2, (2)由 (1)知 f(x)=? ?3x2+ x,1≤ x< 1. 2 ? 1 1 ①当 0< x< 时, f(x)< 2? x+ 1< 2, 2 2 1 ∴ 0< x< . 2 1 ②当 ≤ x< 1时, f(x)< 2? 3x2+ x< 2, 2 1 2 得 ≤ x< . 2 3 2 综合① 、②知 f(x)< 2的解集为(0, ). 3

f(4) 1.(2013· 梅州模拟)若 f(x)是幂函数,且满足 =3, f(2) 1 则 f( )=( 2 A.3 )

? 【答案】 C
B.-3 1 C. 3 1 D.- 3

【解析】

n f ( 4 ) 4 设 f(x)=xn,则 = n=2n=3, f(2) 2

1 1n 1 1 ∴f( )=( ) = n= . 2 2 2 3

1.下面给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致 对应是 ( )

A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x
3 2
1 2

1 3

1 2

-1

B.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x
1 3 1 2 1 2
-1

解析:图像①对应的幂函数的幂指数必然大于 1,排除 A,D.图 像②中幂函数是偶函数,幂指数必为正偶数,排除 C.故选 B.

D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x

-1

5.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x-5m- 3, m 为何值时, f(x)是幂函数,且在 (0,+∞)上是增函数?

解:∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x 减函数; 当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞)上是增 函数. ∴m=-1.
-13

在(0,+∞)上是


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