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中考数学试卷分类汇编 二次函数应用题

二次函数应用题
1、 (2013?衢州)某果园有 100 棵橘子树,平均每一棵树结 600 个橘子.根据经验估计,每 多种一颗树,平均每棵树就会少结 5 个橘子.设果园增种 x 棵橘子树,果园橘子总个数为 y 个,则果园里增种 10 棵橘子树,橘子总个数最多. 考点: 二次函数的应用. 分析: 根据题意设多种 x 棵树,就可求出每棵树的产量,然后求出总产量 y 与 x 之间的关系 式,进而求出 x=﹣ 时,y 最大.

解答: 解:假设果园增种 x 棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树, ∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子, ∴这时平均每棵树就会少结 5x 个橙子, 则平均每棵树结(600﹣5x)个橙子. ∵果园橙子的总产量为 y, ∴则 y=(x+100) (600﹣5x) 2 =﹣5x +100x+60000, ∴当 x=﹣ =﹣ =10(棵)时,橘子总个数最多.

故答案为:10. 点评: 此题主要考查了二次函数的应用,准确分析题意,列出 y 与 x 之间的二次函数关系式 是解题关键. 2、(2013 山西,18,3 分)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水 平桥面相交于 A,B 两点,桥拱最高点 C 到 AB 的距离为 9m,AB=36m,D,E 为桥拱底部的两 点,且 DE∥AB,点 E 到直线 AB 的距离为 7m,则 DE 的长为_____m.

【答案】48 【解析】以 C 为原点建立平面直角坐标系,如右上图,依题意,得 B(18,-9),

1 1 y ? ? x2 , , 所以, 抛物线方程为: 36 36 1 2 x ,解得:x=24,所以,DE 的长为 E 点纵坐标为 y=-16,代入抛物线方程,-16= ? 36
设抛物线方程为: 将 B 点坐标代入, 得 a=- y ? ax ,
2

48m。 3、 (2013 鞍山)某商场购进一批单价为 4 元的日用品.若按每件 5 元的价格销售,每月能 卖出 3 万件;若按每件 6 元的价格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 y(件)与 价格 x(元/件)之间满足一次函数关系.

(1)试求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少? 考点:二次函数的应用. 分析: (1)利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式; (2)根据“利润=(售价﹣成本)×售出件数”,可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数 关系式,然后求出其最大值. 解答:解: (1)由题意,可设 y=kx+b, 把(5,30000) , (6,20000)代入得: 解得: , ,

所以 y 与 x 之间的关系式为:y=﹣10000x+80000; (2)设利润为 W,则 W=(x﹣4) (﹣10000x+80000) =﹣10000(x﹣4) (x﹣8) 2 =﹣10000(x ﹣12x+32) 2 =﹣10000[(x﹣6) ﹣4] 2 =﹣10000(x﹣6) +40000 所以当 x=6 时,W 取得最大值,最大值为 40000 元. 答:当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元. 点评:本题主要考查利用函数模型(二次函数与一次函数)解决实际问题的能力.要先根据 题意列出函数关系式,再代数求值.解题关键是要分析题意根据实际意义求解.注意:数学 应用题来源于实践用于实践, 在当今社会市场经济的环境下, 应掌握一些有关商品价格和利 润的知识. 4、 (2013?咸宁)为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本 市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承 担. 李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯. 已知这种节能灯的成本价为每 件 10 元,出厂价为每件 12 元,每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系近似满 足一次函数:y=﹣10x+500. (1) 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元, 那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元? (2)设李明获得的利润为 w(元) ,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于 25 元.如果李明想要每月获得的利润 不低于 300 元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元? 考点: 二次函数的应用. 分析: (1)把 x=20 代入 y=﹣10x+500 求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂 价之间的差价; (2)由利润=销售价﹣成本价,得 w=(x﹣10) (﹣10x+500) ,把函数转化成顶点坐标 式,根据二次函数的性质求出最大利润; 2 (3)令﹣10x +600x﹣5000=3000,求出 x 的值,结合图象求出利润的范围,然后设设 政府每个月为他承担的总差价为 p 元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值. 解答: 解: (1)当 x=20 时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300, 300×(12﹣10)=300×2=600, 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元.

(2)依题意得,w=(x﹣10) (﹣10x+500) =﹣10x2+600x﹣5000 =﹣10(x﹣30)2+4000 ∵a=﹣10<0,∴当 x=30 时,w 有最大值 4000. 即当销售单价定为 30 元时,每月可获得最大利润 4000. (3)由题意得:﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得:x1=20,x2=40. ∵a=﹣10<0,抛物线开口向下,

∴结合图象可知:当 20≤x≤40 时,w≥3000. 又∵x≤25, ∴当 20≤x≤25 时,w≥3000. 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元, ∴p=(12﹣10)×(﹣10x+500) =﹣20x+1000. ∵k=﹣20<0. ∴p 随 x 的增大而减小, ∴当 x=25 时,p 有最小值 500. 即销售单价定为 25 元时,政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元. 点评: 本题主要考查了二次函数的应用的知识点, 解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解,此题难度不大. 5、(2013 四川南充,18,8 分)某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发 现:销售单价 x(元/件)与每天销售量 y(件)之间满足如图所示的关系: (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定 为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?

y(件)
50 30

O

130 150 x(元/件)

解析:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b(k≠0).由所给函数图象得 ?????1′

?130k ? b ? 50 ? ?150k ? b ? 30
解得 ?

?????2′

? k ? ?1 ?b ? 180

?????3′ ?????4′ ?????

∴函数关系式为 y=-x+180. (2)W=(x-100) y=(x-100)( -x+180) 5′ =-x +280x-18000 =-(x-140) +1600 当售价定为 140 元, W 最大=1600.
2 2

?????6′ ?????7′

∴售价定为 140 元/件时,每天最大利润 W=1600 元 ?????8′ 6、 (2013?滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形.其中, 抽屉底面周长为 180cm,高为 20cm.请通过计算说明,当底面的宽 x 为何值时,抽屉的体积 y 最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计) . 考点: 二次函数的应用. 分析: 根据题意列出二次函数关系式,然后利用二次函数的性质求最大值. 解答: 解:已知抽屉底面宽为 x cm,则底面长为 180÷2﹣x=(90﹣x)cm. 由题意得:y=x(90﹣x)×20 2 =﹣20(x ﹣90x) 2 =﹣20(x﹣45) +40500 当 x=45 时,y 有最大值,最大值为 40500. 3 答:当抽屉底面宽为 45cm 时,抽屉的体积最大,最大体积为 40500cm . 点评: 本题考查利用二次函数解决实际问题.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一 种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当 2 2 二次系数 a 的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如 y=﹣x ﹣2x+5,y=3x ﹣6x+1 等用配方法求解比较简单.

7、(2013 年潍坊市)为了改善市民的生活环境,我是在某河滨空地处修建一个如图所示的 休闲文化广场.在 Rt△ ABC 内修建矩形水池 DEFG , 使顶点 D、E 在斜边 AB 上,F、G 分别在直角边 BC、AC 上; 又分别以 AB、BC、AC 为直径作半圆, 它们交出两弯新月 (图 中 阴 影 部 分 ) , 两 弯 新 月 部 分 栽 植 花 草 ; 其 余 空 地 铺 设 地 砖 . 其 中 AB ? 24 3米 ,

?BAC ? 60? .设 EF ? x 米, DE ? y 米.
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式; (2)当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积最大?最大面积是多少? (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的

1 ? 3

答案:(1)在 Rt△ABC 中,由题意得 AC= 12 3 米,BC=36 米,∠ABC=30°, 所以 AD ?

DG x 3 EF ? ? x, BE ? ? 3x , tan 60? 3 tan 30? 3

又 AD+DE+BE=AB, 所以 y ? 24 3 ?

3 4 x ? 3 x ? 24 3 ? 3 x, (0<x<8). 3 3
4 4 4 3 x) ? ? 3 x 2 ? 24 3 x ? ? 3 ( x ? 9) 2 ? 108 3. 3 3 3

(2)矩形 DEFG 的面积

S ? xy ? x(24 3 ?

所以当 x=9 时,矩形 DEFG 的面积最大,最大面积为 108 3 平方米. (3)记 AC 为直径的半圆\、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为 S1、S2、S3,两 弯新月面积为 S,则 S1 ?
2 2 2

1 1 1 ?AC 2 , S 2 ? ?BC 2 , S 3 ? ?AB 2 , 8 8 8

由 AC +BC =AB 可知 S1+S2=S3,∴S1+S2-S=S3-S△ABC ,故 S=S△ABC

1 ? 12 3 ? 36 ? 216 3 (平方米) 2 4 1 由? 3 ( x ? 9) ? 108 3 ? ? 216 3 , 即 ( x ? 9) 2 ? 27 ,解得 x ? 9 ? 3 3 ,符合题意, 3 3 1 所以当 x ? 9 ? 3 3 米时,矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的 . 3
所以两弯新月的面积 S= 考点:考查了解直角三角形,二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。

点评: 本题是二次函数的实际问题。 解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学 模型,并综合应用其相关性质加以解答. 8、(13 年山东青岛、22)某商场要经营一种新上市的文具,进价为 20 元,试营销阶段发 现:当销售单价是 25 元时,每天的销售量为 250 件,销售单价每上涨 1 元,每天的销售量 就减少 10 件 (1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润 w (元)与销售单价 x (元)之间的函 数关系式; (2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大; (3)商场的营销部结合上述情况,提出了 A、B 两种营销方案 方案 A:该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元; 方案 B:每天销售量不少于 10 件,且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由 2 解析:(1)w=(x-20)(250-10x+250)=-10x +700x-10000 2 2 (2)w=-10x +700x-10000=-10(x-35) +2250 所以,当 x=35 时,w 有最大值 2250, 即销售单价为 35 元时,该文具每天的销售利润最大 (3)方案 A:由题可得<x≤30, 因为 a=-10<0,对称轴为 x=35, 抛物线开口向下,在对称轴左侧,w 随 x 的增大而增大, 所以,当 x=30 时,w 取最大值为 2000 元, 方案 B:由题意得 ?

? x ? 45 ,解得: 45 ? x ? 49 , ?250 ? 10( x ? 25) ? 10

在对称轴右侧,w 随 x 的增大而减小, 所以,当 x=45 时,w 取最大值为 1250 元, 因为 2000 元>1250 元, 所以选择方案 A。 9、(13 年安徽省 12 分、22)(12 分)22、某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网 店经营,了解到一种成本为 20 元/件的新型商品在第 x 天销售的相关信息如下表所示。 销售量 p(件) 销售单价 q(元/件) P=50—x

1 x; 2 525 当 21≤x≤40 时,q=20+ x
当 1≤x≤20 时,q=30+

(1)请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件? (2)求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式。 (3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?

10、 (2013?黄冈)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外 市场上全部售完.该公司的年产量为 6 千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润 y1 (元)与国内销售量 x(千件)的关系为: y1= 若在国外销售,平均每件产品的利润 y2(元)与国外的销售数量 t(千件)的关系为 y2= (1) 用 x 的代数式表示 t 为: t= 6﹣x ; 当 0<x≤4 时, y2 与 x 的函数关系为: y2= 5x+80 ; 当 4 <x< 6 时,y2=100; (2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w(千元)与国内销售数量 x(千件)的函数 关系式,并指出 x 的取值范围; (3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大?最大值为 多少?

考点: 二次函数的应用.3481324 分析: (1)由该公司的年产量为 6 千件,每年可在国内、国外市场上全部售完,可得国内 销售量+国外销售量=6 千件,即 x+t=6,变形即为 t=6﹣x; 根据平均每件产品的利润 y2(元)与国外的销售数量 t(千件)的关系 及 t=6﹣x 即可求出 y2 与 x 的函数关系:当 0<x≤4 时,y2=5x+80;当 4≤x<6 时,y2=100; (2)根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润,结合函数解析式,分三种情况 讨论:①0<x≤2;②2<x≤4;③4<x<6; (3)先利用配方法将各解析式写成顶点式,再根据二次函数的性质,求出三种情况 下的最大值,再比较即可. 解答: 解: (1)由题意,得 x+t=6, ∴t=6﹣x; ∵ ,

∴当 0<x≤4 时,2≤6﹣x<6,即 2≤t<6, 此时 y2 与 x 的函数关系为:y2=﹣5(6﹣x)+110=5x+80; 当 4≤x<6 时,0≤6﹣x<2,即 0≤t<2, 此时 y2=100. 故答案为 6﹣x;5x+80;4,6; (2)分三种情况: 2 ①当 0<x≤2 时,w=(15x+90)x+(5x+80) (6﹣x)=10x +40x+480; 2 ②当 2<x≤4 时,w=(﹣5x+130)x+(5x+80) (6﹣x)=﹣10x +80x+480; 2 ③当 4<x<6 时,w=(﹣5x+130)x+100(6﹣x)=﹣5x +30x+600;

综上可知,w=



(3)当 0<x≤2 时,w=10x +40x+480=10(x+2) +440,此时 x=2 时,w 最大=600; 2 2 当 2<x≤4 时,w=﹣10x +80x+480=﹣10(x﹣4) +640,此时 x=4 时,w 最大=640; 2 2 当 4<x<6 时,w=﹣5x +30x+600=﹣5(x﹣3) +645,4<x<6 时,w<640; ∴x=4 时,w 最大=640. 故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件,可使公司每年的总利润最大, 最大值为 64 万元. 点评: 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,有一定难度.涉及到一次函数、二次函 数的性质,分段函数等知识,进行分类讨论是解题的关键.

2

2

11、 (2013?鄂州)某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是 30 元,根据市场调查:在 一段时间内,销售单价是 40 元时,销售量是 600 件,而销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩具. (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元(x>40) ,请你分别用 x 的代数式来表示销售 量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元,并把结果填写在表格中: 销售单价(元) x 销售量 y(件) 1000﹣10x 2 销售玩具获得利润 w(元) ﹣10x +1300x﹣30000 (2)在(1)问条件下,若商场获得了 10000 元销售利润,求该玩具销售单价 x 应定为多少 元. (3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元,且商场要完成不 少于 540 件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少? 考点: 二次函数的应用;一元二次方程的应用. 分析: (1)由销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩具得 y=600﹣(x﹣40)x=1000﹣x, 2 利润=(1000﹣x) (x﹣30)=﹣10x +1300x﹣30000; 2 (2)令﹣10x +1300x﹣30000=10000,求出 x 的值即可; 2 (3) 首先求出 x 的取值范围, 然后把 w=﹣10x +1300x﹣30000 转化成 y=﹣10 (x﹣65) 2 +12250,结合 x 的取值范围,求出最大利润. 解答: 解: (1) 销售单价(元) x 销售量 y(件) 1000﹣10x 2 销售玩具获得利润 w(元)﹣10x +1300x﹣30000 2 (2)﹣10x +1300x﹣30000=10000 解之得:x1=50,x2=80 答:玩具销售单价为 50 元或 80 元时,可获得 10000 元销售利润,

(3)根据题意得 解之得:44≤x≤46 2 2 w=﹣10x +1300x﹣30000=﹣10(x﹣65) +12250 ∵a=﹣10<0,对称轴 x=65 ∴当 44≤x≤46 时,y 随 x 增大而增大. ∴当 x=46 时,W 最大值=8640(元) 答:商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元. 点评: 本题主要考查了二次函数的应用的知识点, 解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解,此题难度不大. 12、(2013 哈尔滨)某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为 AB(单位:米)。现以 AB 所在 直线为 x 轴. 以抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 O. 已 2 知 AB=8 米。设抛物线解析式为 y=ax -4. (1)求 a 的值; (2)点 C(一 1,m)是抛物线上一点,点 C 关于原点 0 的对称点为点 D,连接 CD、BC、BD, 求 ABCD 的面积.

考点:二次函数综合题。 分析: (1)首先得出 B 点的坐标,进而利用待定系数法求出 a 继而得二次函数解析式(2) 首先得出 C 点的坐标,再由对称性得 D 点的坐标,由 S△BCD= S△BOD+ S△BOC 求出 解答:(1)解∵AB=8 由抛物线的对称性可知 0B=4 ∴B(4,0) 0=16a-4∴a=

1 4

(2)解:过点 C 作 CE⊥AB 于 E,过点 D 作 DF⊥AB 于 F

1 2 x ?4 4 1 15 2 令 x=一 1.∴m= ×(一 1) —4= ? 4 4
∵a= ∴y?

1 4

15 ) 4 15 15 ∵点 C 关于原点对称点为 D ∴D(1, ).∴CE=DF= 4 4 1 1 1 15 1 15 S△BCD= S△BOD+ S△BOC = = OB·DF+ OB·CE= ×4× + ×4× =15 2 2 2 4 2 4
∴C(-1, ? ∴△BCD 的面积为 l5 平方米

13、(2013 年河北)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业 绩.Q = W + 100,而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x(km/h)有关(不考虑其他因 素),W 由两部分的和组成:一部分与 x 的平方成正比,另一部分与 x 的 n 倍成正比.试 行中得到了表中的数据. (1)用含 x 和 n 的式子表示 Q; (2)当 x = 70,Q = 450 时,求 n 的值; (3)若 n = 3,要使 Q 最大,确定 x 的值; (4)设 n = 2,x = 40,能否在 n 增加 m%(m>0) 同时 x 减少 m%的情况下,而 Q 的值仍为 420,若能, 求出 m 的值;若不能,请说明理由. 参考公式: 抛物线y=ax +bx+c(a≠0)的顶点坐标是 (- 4ac-b ) 4a 解析: (1)设 W ? k1 x 2 ? k2 nx ,∴ Q ? k1 x 2 ? k2 nx ? 100
2 2

次数 n

2 40 420

1 60 100

速度 x b , 2a 指数 Q

1 ? 2 ? ?k1 ? ? ?420 ? 40 k1 ? 2 ? 40k2 ? 100 由表中数据,得 ? ,解得 ? 10 2 100 ? 60 k ? 1 ? 60 k ? 100 ? ? ? 1 2 ?k2 ? 6
1 2 x ? 6nx ? 100 ··················· 4 分 10 1 (2)由题意,得 450 ? ? ? 702 ? 6 ? 70n ? 100 10
∴Q ? ? ∴n=2 ····························· 6 分 (3)当 n=3 时, Q ? ? 由a ? ?

1 2 x ? 18 x ? 100 10

1 18 =90 ······· 9 分 ? 0 可知,要使 Q 最大, x ? ? 1 10 2 ? (? ) 10

(4)由题意,得

1 [40(1 ? m%)]2 ? 6 ? 2(1 ? m%) ? 40(1 ? m%) ? 100 ···· 10 分 10 1 2 即 2(m%) ? m% ? 0 ,解得 m% ? ,或 m% =0(舍去) 2 420 ? ?
∴m=50····························· 12 分 14、 (2013?孝感)在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他 们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母 亲.经试验发现,若每件按 24 元的价格销售时,每天能卖出 36 件;若每件按 29 元的价格 销售时,每天能卖出 21 件.假定每天销售件数 y(件)与销售价格 x(元/件)满足一个以 x 为自变量的一次函数. (1)求 y 与 x 满足的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围) ;

(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利 润 P 最大? 考点: 二次函数的应用;一次函数的应用. 分析: (1)设 y 与 x 满足的函数关系式为:y=kx+b. ,由题意可列出 k 和 b 的二元一次方程 组,解出 k 和 b 的值即可; (2)根据题意:每天获得的利润为:P=(﹣3x+108) (x﹣20) ,转换为 P=﹣3(x﹣28) 2 +192,于是求出每天获得的利润 P 最大时的销售价格. 解答: 解: (1)设 y 与 x 满足的函数关系式为:y=kx+b. 由题意可得: 解得 故 y 与 x 的函数关系式为:y=﹣3x+108. (2)每天获得的利润为:P=(﹣3x+108) (x﹣20)=﹣3x +168x﹣2160=﹣3(x﹣28) 2 +192. 故当销售价定为 28 元时,每天获得的利润最大. 点评: 本题主要考查二次函数的应用的知识点, 解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质 以及最值得求法,此题难度不大. 15、 (2013?铁岭压轴题)某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为 40 元.经 过市场调查,一周的销售量 y 件与销售单价 x(x≥50)元/件的关系如下表: 销售单价 x(元/件) ? 55 60 70 75 ? 一周的销售量 y(件)? 450 400 300 250 ? (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式: y=﹣10x+1000 (2)设一周的销售利润为 S 元,请求出 S 与 x 的函数关系式,并确定当销售单价在什么范 围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大? (3)雅安地震牵动亿万人民的心,商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区,在商家 购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少元? 考点: 二次函数的应用. 分析: (1)设 y=kx+b,把点的坐标代入解析式,求出 k、b 的值,即可得出函数解析式; (2)根据利润=(售价﹣进价)×销售量,列出函数关系式,继而确定销售利润随着 销售单价的增大而增大的销售单价的范围; (3)根据购进该商品的贷款不超过 10000 元,求出进货量,然后求最大销售额即可. 解答: 解: (1)设 y=kx+b, 由题意得, 解得: , ,
2

则函数关系式为:y=﹣10x+1000; (2)由题意得,S=(x﹣40)y=(x﹣40) (﹣10x+1000) 2 2 =﹣10x +1400x﹣40000=﹣10(x﹣70) +9000,

∵﹣10<0, ∴函数图象开口向下,对称轴为 x=70, ∴当 40≤x≤70 时,销售利润随着销售单价的增大而增大; (3)当购进该商品的贷款为 10000 元时, y= =250(件) ,

此时 x=75, 由(2)得当 x≥70 时,S 随 x 的增大而减小, ∴当 x=70 时,销售利润最大, 此时 S=9000, 即该商家最大捐款数额是 9000 元. 点评: 本题考查了二次函数的应用,难度一般,解答本题的关键是将实际问题转化为求函数 最值问题,从而来解决实际问题. 16、(2013 年武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的 植物分别放在不同温度的环境中, 经过一天后, 测试出这种植物高度的增长情况 (如下表) : ?? 41 49 49 41 25 19.75 ?? 由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数,且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的 理由; (2)温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm,那么 实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择?请直接写出结果. 解析: ?c ? 49 ? a ? ?1 ? ? 2 (1)选择二次函数,设 y ? ax ? bx ? c ,得 ?4a ? 2b ? c ? 49 ,解得 ?b ? ?2 ?4a ? 2b ? c ? 41 ?c ? 49 ? ? ∴ y 关于 x 的函数关系式是 y ? ? x 2 ? 2x ? 49 . 不选另外两个函数的理由: 注意到点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以 y 不是 x 的反比例函数;点(-4, 41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以 y 不是 x 的一次函数. (2)由(1),得 y ? ? x 2 ? 2x ? 49 ,∴ y ? ??x ? 1? ? 50 ,
2

温度 x /℃ 植物每天高度增长量 y /mm

??

-4

-2

0

2

4

4.5

??

∵ a ? ?1 ? 0 ,∴当 x ? ?1 时, y 有最大值为 50. 即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3) ? 6 ? x ? 4 . 17、(2013 达州)今年,6 月 12 日为端午节。在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种 进价为 2 元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题。

(1)小华的问题解答: 解析:(1)解:设实现每天 800 元利润的定价为 x 元/个,根据题意,得 (x-2)(5002

x ?3 ????????? ×10)=800 . (2 分) 0 .1

整理得:x -10x+24=0. ????????? 解之得:x1=4,x2=6. (3 分) ∵物价局规定,售价不能超过进价的 240%,即 2×240%=4.8(元). ∴x2=6 不合题意,舍去,得 x=4. ????????? 答:应定价 4 元/个,才可获得 800 元的利润. (4 分) (2)解:设每天利润为 W 元,定价为 x 元/个,得 W=(x-2)(5002

x ?3 ×10) 0 .1

=-100x +1000x-1600 2 ????????? =-100(x-5) +900. (6 分) ∵x≤5 时 W 随 x 的增大而增大,且 x≤4.8, ∴当 x=4.8 时,W 最大, ????????? W 最大=-100×(4.8-5)2+900=896>800 . (7 分) ????????? 故 800 元不是最大利润.当定价为 4.8 元/个时,每天利润最大. (8 分)

结束


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