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高考数学总复习经典测试题解析版13.5 复数


13.5 复 数
一、选择题 2+i 1.复数 的共轭复数是( 1-2i 3 A.- i 5 解析 2+i = 1-2i 3 B. i 5 -2i+ 1-2i =i,∴ ). C.-i 2+i 的共轭复数为-i. 1-2i D.i

答案 C i-2 2.复数 =( 1+2i A.i 4 3 C.- - i 5 5 解析 因为 答案 A 2 3. 在 复平面内,设 z = 1 + i(i 是虚数单位 ) ,则复数 + z2 对应的点位于 i-2 = 1+2i - + - - = ). B.-i 4 3 D.- + i 5 5 5i =i,故选择 A. 5

z

(

) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

2 2 解析 由题知, +z2= +(1+i)2=1-i+2i=1+i, z 1+i 2 所以复数 +z2 对应的点为(1,1),其位于第一象限.

z

答案 A 4. i 是虚数单位,若 A.0 解析 1. ∵ 2+i = 1+i 2+i =a+bi(a,b∈R),则 a+b 的 值是( ) 1+i 1 B. C.1 D.2 2 + - 3 1 3 1 3 1 = - i,∴a= ,b=- ,∴a+b= - = + - 2 2 2 2 2 2

答案 C 5.把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位.若 z=1+i,则(1+z)· z = ( ). B.3+I C.1+3i D.3

A.3-i

解析 (1+z)· z =(2+i)(1-i)=3-i. 答案 A 6.复数
?1 ? 3i ?( 1? i

) B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

A. 2 ? i 解析

? 1 ? 3i (?1 ? 3i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,选 C. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2

答案 C 7.设 z 是复数,f(z)=zn(n∈N*),对于虚数单位 i,则 f(1+i)取得最小正整数 时,对应 n 的值是( A.2 ). B.4 C.6 D.8

解析 f(1+i)=(1+i)n,则当 f(1+i)取得最小正整数时,n 为 8. 答案 D 二、填空题 8.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i,则 z 的实部是________. 解析 由 i(z+1)=-3+2i,得 z+1= 答案 1 9.若复数(1+ai)2(i 为虚数单位,a∈R)是纯虚数, ________. 解析 因为(1+ai)2=1-a2+2ai 是纯虚数,所以 1-a2=0,a2=1,复数 1+ai 的模为 1+a2= 2. 答案 则复数 1+ai 的模是 -3+2i =2+3i,即 z=1+3i. i

2

10. 如果复数(m2+i)(1+mi)(其中 i 是虚数单位)是实数, 则 实数 m=________. 解析 (m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(1+m3)i.于是有 1+m3=0? m=-1. 答案 -1

11 .若 复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i(i 为虚数单位),则 z 为_ _____. 解析 z ?
11? 7i (11? 7i)(2 ? i) 15 ? 25i ? ? ? 3 ? 5i .故选 A. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

答案 3+5i

a 12. 定义运算? ?c

1-i b? 4i xi ? y=? 则 y=________. d?=ad-bc.若复数 x=1+i, ? 2 x+i?, - 2
2

1-i 解析 因为 x= = 1+i ?4i 所以 y=? 2 答案 -2 三、解答题

=-i.

xi ? ?4i 1? x+i?=? 2 0?=-2.

13.已知复数 z=m(m-1)+(m2+ 2m-3)i;当实数 m 取什么值时,复数 z 是: (1)零;(2)纯虚数. =0, ?m m- 解析 (1)由? 2 ?m +2m-3=0, =0, ?m m- (2)由? 2 ?m +2m-3≠0, 得 m=1,即当 m=1 时,z=0.

得 m=0.即当 m=0 时,z 是纯虚数.

14.如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示:0,3+2i,-2+4i, 试求:

(1)→ AO、→ BC所表示的复数;(2)对角线→ CA所表示的复数;(3)求 B 点对应的复数. 解析 ( 1)→ AO=-→ OA,∴→ AO所表示的复数为-3-2i. ∵→ BC=→ AO,∴→ BC所表示的复数为-3-2i. (2)→ CA=→ OA-→ OC,∴→ CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)→ OB=→ OA+→ AB=→ OA+→ OC,∴→ OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,

即 B 点对应的复数为 1+6i. 15.已知复数 z 满足条件|z|=2,求复数 1+ 3i+z 的模的最大值、最小值. 解析 由已知,复数 z 对应的点 Z 在复平面上的轨迹是以原点 O 为圆心、2 为半 径的圆. 设 ω =1+ 3i+z=z-(-1- 3i),则|ω |表示动点 Z 到点 C(-1,- 3)的 →|=2,根据圆的几何性质知, 距离,∵|OC 动点 Z 到点 C(-1,- 3)的距离最大值为 2+r=2+2=4,最小值为 2-r=0, ∴复数 1+ 3i+z 的模的最大值为 4,最小值为 0. 16.已知 z 是复 数,z+2i、

z
2-i

均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在

复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解析 设 z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.

z
2-i



x-2i 1

1 1 = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i. 2-i 5 5 5

由题意得 x=4,∴z =4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
2 ?12+4a-a >0, 根据条件,可知? >0, ? a-

解得 2<a<6,

∴实数 a 的取值范围是(2,6).


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