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人教a版数学【选修1-1】作业:第二章《圆锥曲线与方程》章末总结(含答案)

第二章 章末总结 知识点一 圆锥曲线的定义和性质 对于圆锥曲线的有关问题, 要有运用圆锥曲线定义解题的意识, “回归定义”是一种重 要的解题策略; 应用圆锥曲线的性质时, 要注意与数形结合思想、 方程思想结合起来. 总之, 圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要注意灵活运用. 例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2,F1,F2 为左、右焦点,P 为双曲线上 一点,且∠F1PF2=60° ,S△PF1F2=12 3,求双曲线的标准方程. 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线一般有三种位置关系:相交、相切、相离. 在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况,即直线与其交于一点和切于一点, 二者在几何意义上是截然不同的, 反映在代数方程上也是完全不同的, 这在解题中既是一个 难点也是一个十分容易被忽视的地方. 圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个 交点无限靠近时的极限情况, 反映在消元后的方程上, 就是一元二次方程有两个相等的实数 根,即判别式等于零;而与圆锥曲线有一个交点的直线,是一种特殊的情况(抛物线中与对 称轴平行,双曲线中与渐近线平行),反映在消元后的方程上,该方程是一次的. 例2 如图所示,O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M(x1, y1),N(x2,y2)两点. (1)求 x1x2 与 y1y2 的值; (2)求证:OM⊥ON. 知识点三 轨迹问题 轨迹是解析几何的基本问题,求解的方法有以下几种: (1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求 x、y 之间的 关系式. (2)代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换 为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式. (3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则 可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. (4)参数法:当很难找到形成曲线的动点 P(x,y)的坐标 x,y 所满足的关系式时,借助第 三个变量 t,建立 t 和 x,t 和 y 的关系式 x=φ(t),y=Φ(t),再通过一些条件消掉 t 就间接地 找到了 x 和 y 所满足的方程,从而求出动点 P(x,y)所形成的曲线的普通方程. 例 3 设点 A、B 是抛物线 y2=4px (p>0)上除原点 O 以外的两个动点,已知 OA⊥OB, OM⊥AB,垂足为 M,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线? 知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热点, 也是圆锥曲线问题中的一个难点, 解决这个难点没有常规的方法,但解决这个难点的基本思想是明确的,定点、定值问题必然 是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、 比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值,就是要 求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比 例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. x2 y2 例 4 若直线 l:y=kx+m 与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点(A、B 不是左、右顶点), 4 3 A2 为椭圆的右顶点且 AA2⊥BA2,求证:直线 l 过定点. 知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值、范围问题,是高考热点,主要有以下两种求解策略: (1)平面几何法 平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解. (2)目标函数法 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题, 是常规方法, 其关键是选取适当的变量建 立目标函数,然后运用求函数最值的方法确定最值. x2 y2 已知 A(4,0), B(2,2)是椭圆 + =1 内的两定点, 点 M 是椭圆上的动点, 求|MA| 25 9 +|MB|的最值. 例5 y2 已知 F1、F2 为椭圆 x2+ =1 的上、下两个焦点,AB 是过焦点 F1 的一条动弦, 2 求△ABF2 面积的最大值. 例6 章末总结 重点解读 例1 解 答案 x2 y2 如图所示,设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0). a b c ∵e= =2,∴c=2a. a 由双曲线的定义, 得||PF1|-|PF2||=2a=c, 在△PF1F2 中,由余弦定理,得: |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60° ), 2 2 即 4c =c +|PF1||PF2|. ① 又 S△PF1F2=12 3, 1 ∴ |PF1||PF2|sin 60° =12 3, 2 即|PF1||PF2|=48. ② 2 由①②,得 c =16,c=4, 则 a=2,b2=c2-a2=12, x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 - =1. 4 12 例 2 (1)解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为:y=k(x-2). 把 y=k(x-2)代入 y2=2x, 消去 y 得 k2x2-(4k2+2)x+4k2=0, 由于直线与抛物线交于不同两点, 故 k2≠0 且 Δ=(4k2+2)2-16k4=16k2+4>0, 2 x1x2=4,x1+x2=4+ 2, k ∵M、N 两点在抛物线上, 2 2 ∴y1 · y2=4x1· x2=16, 而 y1· y2<0,∴y1y2=-4. → → (2)证明 ∵ OM=(x1,y1),ON=(x2,y2), → → OM· ON=x1· x2+y1· y2=4-4=0. → → OM⊥ON,即 OM⊥ON. 例 3 解 设直线 OA 的

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