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四川省泸州市第一中学2018届高三第一次诊断性考试数学理试题 含解析


四川省泸州市 2018 届高三第一次诊断性考试 数学理试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 若 A. B. ,则 C. 3 的值为( D. )

【答案】B

........................ 故答案为:B。 2. 已知集合 A. 【答案】B 【解析】集合 概念得到 故答案为 B。 3. “ ”是“ ”的( ) C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 。 = , ,两个集合取交集,根据交集的 B. , C. ,则 D. ( )

A. 充分不必要条件 【答案】A

B. 必要不充分条件

【解析】根据指数函数的单调性知道 围是 故推不出来 。

”一定有“

反之

,解出自变量的范

故答案为 A。 4. 在正方体 的正切值为( A. 【答案】C B. ) C. D. 中, 为 的中点, 为 的中点,则异面直线 与 所成角

【解析】以 D 为坐标原点,DC,DA,DD1 分别为 x,y,z 轴 建立空间直角坐标系, 设正方体的边长为 2, 可得 A(0,2,0) ,B(2,2,0) ,C(2,0,0) , B1(2,2,2) ,C1(2,0,2) , 由中点坐标公式可得 E(2,1,0) ,F(2,1,2) , 则 =(2,﹣1,2) , =(0,1,﹣2) ,



可得异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值为 , 则异面直线 AF 与 C1E 所成角的正弦值为 , 可得异面直线 AF 与 C1E 所成角的正切值为 故选:C. 5. 函数 的大致图象是( ) ,

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】令 f(x)=x?ln|x|,显然 f(x)的定义域为{x|x≠0}. 则 f(﹣x)=﹣x?ln|﹣x|=﹣f(x) , ∴f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除 B; 令 f(x)=x?ln|x|=0 得 ln|x|=0,

∴x=±1. ∴f(x)只有两个零点,排除 A. 当 0<x<1 时,f(x)=x?lnx<0, 当 x>1 时,f(x)=x?lnx>0,排除 C. 故选 D. 6. 设 A. C. 【答案】D 【解析】由于可能出现 ,所以 A 错。两平面平行,要与第三平面相交,才能推出两交线 是空间中不同的直线, ,则 B. ,则 D. 是不同的平面,则下列说法正确的是( ,则 ,则 )

平行,B 选项不符,所以 B 错。线面平行,需与过直线的平面与已知平面的交线平行,所以 C 错。D 中,两平面平行,则一平面中的任一直线与另一平面平行。D 对。选 D. 7. 已知函数 A. 关于点 C. 关于直线 【答案】A 【解析】由题意可得 8. 如图, , ,所以选 A. 对称 对称 在 处取得最大值,则函数 对称 对称 的图象( )

B. 关于点

D. 关于直线

是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点 处 ,行驶 300m 后到达 处,此时测得点 在点 的正北方向上,且测得点 ( )

时测得点 的仰角为 的仰角为

,则此山的高

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】设此山高 h(m) ,由题意在点 A 处时测得点 D 的仰角为 30°,得 AC= 在△ABC 中,∠CBA=90°,测得点 D 的仰角为 45°, ∴BC=h,AB=300. 根据勾股定理得,3h =h +90000, ∴h=150 . 即 CD=150 m. 故答案为:选 C。 点睛:本题主要考查了解三角形的实际应用.实际应用题一般是关键是构造三角形,将各个 已知条件向这个主三角形集中,转化为数学模型,列出数学表达式,再通过正弦、余弦定理, 勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解. 9. 已知圆锥的高为 5,底面圆的半径为 ,它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上, 则该球的表面积为( A. B. C. ) D.
2 2

h,

【答案】B 【解析】设球的半径为 R, 则∵圆锥的高 h=5,底面圆的半径 r=
2 2 2 2 2



∴R =(R﹣h) +r ,即 R =(R﹣5) +5, 解得:R=3, 故该球的表面积 S=4π R =36π , 故选:B 10. 定义在 上的函数 在 A. 【答案】A 【解析】∵定义在 R 上的函数 f(x)的导函数 f′(x)无零点,∴函数 f(x)是单调函数, 令 f(x)+x =t,则 f(x)=t﹣x , f′(x)=﹣3x ≤0 在[﹣1,1]恒成立,故 f(x)在[﹣1,1]递减, 结合题意 g(x)=﹣x3+t﹣kx 在[﹣1,1]递减, 故 g′(x)=﹣3x2﹣k≤0 在[﹣1,1]恒成立,
2 3 3 2

的导函数

无零点,且对任意

都有

,若函数 )

上与函数 C.

具有相同的单调性,则 的取值范围是( D.

B.

故 k≥﹣3x 在[﹣1,1]恒成立,故 k≥0, 故选:A. 11. 已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的 体积为( )

2

A. 【答案】C

B.

C.

D.

【解析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体, 三棱锥的长宽高分别为:2,1,2,故体积为: , 半圆柱的底面半径为 1,高为 2,故体积为:π , 故组合体的体积 V= +π , 故选:C。 12. 函数 立,则实数 的值为( A. 【答案】D 【解析】令 f(x)=x﹣ln(x+2)+ex﹣a+4ea﹣x, 令 g(x)=x﹣ln(x+2) ,g′(x)=1﹣ , B. ) C. D. ,其中 为自然对数的底数,若存在实数 使 成

故 g(x)=x﹣ln(x+2)在(﹣2,﹣1)上是减函数, (﹣1,+∞)上是增函数, 故当 x=﹣1 时,g(x)有最小值﹣1﹣0=﹣1, 而e
x﹣a

+4e

a﹣x

≥4,

(当且仅当 ex﹣a=4ea﹣x,即 x=a+ln2 时,等号成立) ; 故 f(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立) ;

故 x=a+ln2=﹣1, 即 a=﹣1﹣ln2. 故选:D. 点睛:这个题目考查的是函数与方程的综合应用。其中函数的零点问题等价于方程的根的问 题,函数图象的交点的问题,这三个方法可以互相转化。研究这类题目,要注意观察表达式 的特点,这个题目中右侧函数是对勾形式的,求最值较为好求,先分析题目特点分析解题方 法,再动笔,不要上来就写。

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知函数 【答案】 【解析】f(x)=2cos( +x)=﹣2sinx,函数 f(x)为奇函数, 又 f(﹣a)=, ∴f(a)=﹣f(﹣a)=- . 故答案为:- . 14. 设函数 【答案】3 【解析】若 a>2,由 f(a)=9,得 2a+1=9,得 a=3, 若 0<a≤2,由 f(a)=9,得 log2a+4=9,得 a=32,舍去. 综上 a=3, 故答案为:3. 15. 已知函数 【答案】 【解析】x>0 时,f(x)在(0,+∞)递增, 而 f(﹣x)=f(x) ,f(x)是偶函数, 故 f(x)在(﹣∞,0)递减, ,若 ,则 的取值范围是__________. ,若 ,则 的值为_________. ,且 ,则 的值为________.

若 f(x﹣1)>f(x) , 则|x﹣1|>|x|,即(x﹣1)2>x2, 解得:x< , 故答案为: (﹣∞, ) .

16. 一个长、宽、高分别为 1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部分液体,如果任意转 动该长方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是__________. 【答案】 【解析】长方体 ABCD﹣EFGH,若要使液面不为三角形,

则液面必须高于平面 EHD,且低于平面 AFC; 而当平面 EHD 平行水平面放置时,若满足上述条件,则任意转动该长方体, 液面的形状都不可能是三角形; 所以液体体积必须大于三棱锥 G﹣EHD 的体积,该棱锥的体积为长方体的 故体积为 1. 并且小于长方体 ABCD﹣EFGH 体积﹣三棱柱 B﹣AFC 体积,该几何体的体积为长方体的 ,即为 5. 故答案为: 。

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知函数 的最大值为 .

(1)求 的值; (2)若方程 【答案】(1) ;(2) 在 . 内有两个零点,求 的取值范围.

【解析】 试题分析: (1) 利用降幂公式及辅助角公式化简, 结合函数 f (x) =sinxcosx﹣cos2x+a 的最大值为 即可求得 a 值; (2) 由题意可得函数 f (x) 的图象和直线 y=﹣m﹣1 在 x∈

上有两个不同交点,数形结合得答案. (1)

由 故

,得 .

的最大值为

(2)方程 所以 因为方程 所以直线 因为 与函数 ,所以





内有两个零点, 的图象在 , . . 处的切线过定点; 内有两个交点,

结合图象可得 的取值范围是 18. 设 (1)求证:曲线 (2)若函数 在 ,其中 在点

上存在唯一极值,求正数 的取值范围. .

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题分析: (Ⅰ)先求导,根据导数和几何意义即可求出切线方程,再根据方程求 出过定点,即可证明;(2)求出函数的导数,由已知条件知道导函数有唯一的零点,结合零 点存在定理,可得 f′(﹣1)?f′(1)<0,解出不等式求并集即可。

(1)因为 所以 所以曲线 ,又 在点 ,即 所以曲线 (2)因为 当 所以 因为函数 在 ,函数 与 在 在 , 处的切线方程为 , 处的切线过定点 , 在 上都是增函数, .

上是增函数,

上存在唯一极值,

所以



所以 所以正数 的取值范围是 19. 如图,在 中,角 . 所对的边分别为 , ,它的面积 .

(1)求 (2)若 是

的值; 边上的一点, ;(2) . ,求 的值.

【答案】(1)

【解析】试题分析: (1)由正弦定理得到边 ac 的关系,再根据三角形面积公式得到 ,即可求出正弦值; (2)根据正弦定理得到 ,所以 (1)因为 ,所以 或 ,结合第一问 , ,再根据余弦定理得到 ,求出最后结果。

由正弦定理得 因为 所以 (2)因为 在 所以 由余弦定理得 所以 因为 是 因为 所以 或 ,



,所以

, ,

中,由正弦定理得



边上的一点,所以 ,所以 . ,



点睛:这个题目考查的是正余弦定理在解三角形中的应用。在三角形中知道两角一边,构造 方程可以考虑正弦定理,较为简单。三角形中已知两边和夹角考虑余弦定理较为简单,两边 和其中一个对角,考虑正弦定理较为简单。选择合适的方法对于解决三角形问题是非常重要 的。 20. 如图,在四棱锥 ,侧面 中,底面 底面 . 是梯形, , , ,

(1)求证:平面 (2)若 与底面

平面

; ,求二面角 的余弦值.

所成角为

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】试题分析: (1) :取 AB 中点 M,连接 DM,可得 DB⊥AD 又侧面 SAD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥平面 SAD,即可得平面 SBD⊥平面 SAD(2)以 D 为原点,DA,DB 所在直线分别为 x,y 轴 建立空间直角坐标系, 求出设面 SCB 的法向量为: 用向量即可求解. (1)因为 所以 故 因为 所以 ∽ ,即 因为侧面 所以 平面 底面 , , , , ,交线为 , 平面 . , , , , 是等腰直角三角形, , 面 SBD 的法向量为 . 利

,所以平面 交 底面

(2)过点 作 因为侧面 所以 所以 底面 是底面

的延长线于点 , ,

, 与底面 内作 底面 , 所成的角,即 , ,

过点 在平面 因为侧面 所以 底面

, ,

如图建立空间直角坐标系

设 则 设

, , 是平面 法向量,

, ,

则 取 设 , 是平面 的法向量,







所以二面角 21. 已知函数 (1)讨论 (2)当

的余弦值为 . .

的单调性; 时,若方程 有两个相异实根 ,且 ,证明: .

【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 【解析】试题分析: (1)对原函数求导 数的单调区间。 (2)由条件知 ,根据导函数的正负得到函 的两个相异实根分别为 ,构造函数 , 故 ,

, 研究函数的单调性, 得函数递减, 由题意可知 所以 ,这样就将 化到了同一个单调区间上去,直接研究函数

和0的

关系即可,最终根据 (1)因为 函数 因为 所以 当 的定义域为 ,当 在

的单调性可以得到结果。 , , ,即 时, 对 恒成立

上是增函数, ,即 时,由 得 或 ,







上递增



上递减;

(2)设 且 令 所以 故 在 ,所以 , 的导函数

的两个相异实根分别为

,满足



, , ,

上递减,由题意可知 ,令





则 当 所以 时, ,所以

, 是减函数, ,

所以当

时,



因为





上单调递增,

所以

,故



综上所述,

.

点睛:这个题目是导数研究单调性的应用,二元问题的处理方式等,较为综合。这个题目和 2016 年的全国卷一的导数题类似,这种将两个变量化到同一个变量,通过研究函数的单调性 来得到最终结果的方法叫做极值偏移,是解决较为复杂的极值点或者零点问题的一种常见方 法。

选做题: 22. 在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系, 已知直线 的极坐标方程为 (1)设 为参数,若 (2)已知直线 与曲线 交于 ,曲线 的极坐标方程为 ,求直线 的参数方程; ,设 ,且 ,求实数 的值. .

【答案】(1)

( 为参数) ;(2)

.

【解析】试题分析: (1)利用直线极坐标方程和直角坐标方程互化的公式,先得直角坐标方 程,再根据 ,即可求直线 l 参数方程; (2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方
2

程,设 MP=t1,MQ=t2.根据|PQ| =|MP|?|MQ|, (1)直线 的极坐标方程为 所以 因为 为参数,若 ,即 ,代入上式得 ,

根据根与系数的关系即可得出.

所以直线 的参数方程为

( 为参数)

(2)由 由

,得 代入,得

将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立 得 (*)

, 设点 则 由题设得 则有 因为 ,所以 , ,得 . 或 分别对应参数 恰为上述方程的根 ,

23. 已知函数 (1)若 ,解不等式

. ; 成立,求实数 的取值范围. .

(2)若存在实数 ,使得不等式 【答案】(1) ;(2)

【解析】试题分析: (1)由绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集 (2)先化简不等式为|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a,再根据绝对值三角不等式得|3x﹣a|﹣|3x+6| 最大值为|a+6|,最后解不等式得实数 的取值范围 试题解析:解: (1)a=2 时:f(x)=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3, 或 或 ,

解得:﹣ ≤x≤ ; (2)不等式 f(x)≥1﹣a+2|2+x|成立, 即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a, 由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|(3x﹣a)﹣(3x+6)|=|a+6|, 即有 f(x)的最大值为|a+6|, ∴ 或 ,

解得:a≥﹣ . 点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值 的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用,这是命题的新动向.


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