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2007—2008 学年第一学期期末高三五校联考

数学试题(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

第一部分
一个是符合题目要求的.

选择题(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1.若集合 M ? {x | x 2 ? 1} , N ? {x | y ? B. N C. ? 2009 1+i 2.在复平面内,复数 对应的点位于 (1-i)2 A. M A.第一象限 3.已知 f ( x) ? ? A. ? 2 B.第二象限

x } ,则 M ? N = 1? x D. {x | ?1 ? x ? 0} ? {x | 0 ? x ? 1}

C.第三象限

D.第四象限

x?0 ? ?? cos ? x ,则 f ( 4 ) ? f (? 4 ) 的值等于 3 3 f ( x ? 1) ? 1 x ? 0 ? ?
B.1 C.2 D.3

4.已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ①若 m // n, n ? ? , 则m // ? ; 其中正确的命题个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ②若 l ? ? , m ? ?且l // m, 则? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? ; ④若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;

5. 已知数列 {an } 、 其首项分别为 a1 、 且 a1 +b1 =5 , {bn } 都是公差为 1 的等差数列, b1 , a1 >b1 ,

a1、b1 ? N+ (n ? N+ ) ,则数列{a b
A.55 B.70

n

} 前 10 项的和等于
C.85 D.100

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6.定义行列式运算

a1 a2 a3 a4

= a1a4 - a2 a3 . 将函数 f ( x) =

3 sin x 的图象向左平移 n( n > 0 ) 1 cos x

个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为 A.

p 6

B.

p 3

C.

5 p 6

D.

2 p 3

3 7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 点 (? , 0)成 中 心 对 称 , 对 任 意 的 实 数 x 都 有 4

f ( x) = - f ( x +

3 ? f (2008) 的值为 ) ,且 f (- 1) = 1, f (0) = - 2 ,则 f (1) + f (2) + f (3) + 鬃 2

A. - 2 B. - 1 C .0 8.对任意正整数 n ,定义 n 的双阶乘 n !! 如下: 当 n 为偶数时, n!! ? n(n ? 2)(n ? 4) 当 n 为奇数时, n!! ? n(n ? 2)(n ? 4)

D.1

642

5 3 1`
② 2006!! ? 2 1003! , ④ 2007!! 个位数为 5 C.3 D.4

现有四个命题:① (2007!!)(2006!!) ? 2007! , ③ 2006!!个位数为 0, 其中正确的个数为 A.1 B.2

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~12 题是必做题,13~15 题是选做题. 每小题 5 分, 满分 30 分. 9. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 则 p 的值为 6 3
1 x )6 展开式中含 x 2 项的系数是



10.设 a =

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?

11.在 Rt△ABC 中,CA⊥CB,斜边 AB 上的高为 h1, 则

1 1 1 ? ? ;类比此性质,如图,在四 2 2 h1 CA CB 2


面体 P—ABC 中,若 PA,PB,PC 两两垂直,底 面 ABC 上的高为 h,则得到的正确结论为

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12.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名 未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H 0 :“这种血清不能起到预防感冒的作 用”,利用 2 ? 2 列联表计算得 K 2 ? 3.918 ,经查对临界值表知 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 . 对此,四名同学做出了以下的判断: p:有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” q:若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95% 的可能性得感冒 r:这种血清预防感冒的有效率为 95% s:这种血清预防感冒的有效率为 5% 则下列结论中,正确结论的序号是 (1) p∧﹁q ; (3)(﹁p∧﹁q)∧(r∨s);

.(把你认为正确的命题序号都填上)
(2)﹁p∧q ; (4)(p∨﹁r)∧(﹁q∨s)

▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13. (坐标系与参数方程选做题) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则该圆的圆心到直线

? sin ? ? 2? cos ? ? 1 的距离是

. ;

14. (不等式选讲选做题) 已知 g(x)=|x-1|-|x-2|,则 g(x)的值域为

若 关 于 x 的 不 等 式 g ( x) ? a2 ? a ? 1( x ? R) 的 解 集 为 空 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 15. (几何证明选讲选做题) 如图:PA 与圆 O 相切于 A, B 0 O PCB 为圆 O 的割线,并且不过圆心 O,已知 ∠BPA= 30 , C PA= 2 3 ,PC=1,则圆 O 的半径等于 A 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.已知 a+b=5, c= 7, 且 4 sin 2 . P

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2
(2)求△ABC 的面积.

(1) 求角 C 的大小;

17. (本小题满分 12 分)一个盒子装有六张卡片, 上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:
2 3 f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. 1 2 3 4 5 6

(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数 的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡

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片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 已知梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC =∠BAD =

? , 2
A D

AB=BC=2AD=4,E、F 分别是 AB、CD 上的点,EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点。沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图) . (1) 当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2) 若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f(x),求 f(x)的 最大值; (3) 当 f(x)取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的余弦值. 19.(本小题满分 14 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴 2 上,离心率 e = ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1-e, 直线 l 2 与 y 轴交于点 P ( 0 , m ) ,与椭圆 C 交于相异两点 A 、 B ,且
B

E

F

B
A D

C

E F

G

C

AP =? PB .
(1)求椭圆方程; (2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围. 20.(本小题满分 14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? 且 a ? 0, a ? 1 ) . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

a (an ? 1) (a 为常数, a ?1

2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; an
1 1 ? ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . 1 ? an 1 ? an ?1

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设 cn ?

1 求证: Tn ? 2n ? . 3
21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx,g(x)=

1 2 ax +bx (a ? 0). 2

(I)若 a= -2 时,函 数 h(x)=f(x)-g(x) 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围; (II)在(I)的结论下,设函数 ?(x)=e2x +bex ,x∈[0,ln2],求函数?(x)的最小值;

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(III)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的 切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

2007—2008 学年第一学期期末高三五校联考

数学科(理科)试题答案
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。 ) 题 1 2 号 答 B B 案 3 D 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C

1、解析: B.本题考查了定义域及交集运算 M ={ x | -1<x<1}, N={ x | 0≤x<1} 2. 解析:B.本题考查了复数的概念及运算 原式= ?

1 1 ? i 2 2

3.解析:D.本题考查了函数概念及分段函数
4 1 4 1 2 5 f ( ) ? ;f (? ) ? f (? ) ? 1 ? f ( ) ? 2 ? 3 2 3 3 3 2

4.解析:B.本题考查了直线和平面的基本位置关系. ②,④正确;①,③错误 5.解析:C.本题考查了等差数列的通项及前 n 项和计算.

an ? a1 ? n ? 1, bn ? b1 ? n ? 1 abn ? a1 ? bn ? 1 ? a1 ? (b1 ? n ? 1) ? 1 ? a1 ? b1 ? n ? 2 ? 5 ? n ? 2 ? n ? 3
因此,数列{ab
n

} 也是等差数列,并且前 10 项和等于:

10(4 ? 13) ? 85 2

6. 解析:C.本题考查了信息的处理、迁移和应用能力以及三角函数的基础知识.
f ( x) =2cos(x+

? ) 6

左移 n

2cos(x+n+

5 ? ) , 因此,n= p 6 6

7. 解析:D.本题考查了函数的对称性和周期性.

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由 f ( x) = - f ( x +

3 ) ,得 f ( x + 3) = f ( x) ,因此, f ( x) 是周期函数,并且周期是3 2

3 3 函数 f ( x) 的图象关于点 (? , 0) 成中心对称, 因此, f ( x) =- f (- - x) ,所以, f (1) = 1 4 2

? f (2008) = f (1) f (1) + f (2) + f (3) = 0 , f (1) + f (2) + f (3) + 鬃

8.解析:C.本题考查了信息处理和应用能力. 因为

2007!! ? 2007 ? 2005 ? 2003 ? ? ? 5 ? 3 ? 1

2006!! ? 2006 ? 2004 ? 2002 ? ? ? 10 ? 8 ? 6 ? 4 ? 2
所以,有

2007!! ? (2007 ? 2005 ? 2003 ? ? ? 5 ? 3 ? 1) ? (2006 ? 2004 ? 2002 ? ? ? 6 ? 4 ? 2) ? 2007!
因此,①,③,④正确;②错误

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~12 题是必做题,13~15 题是选做题. 每小题 5 分, 满分 30 分. 9. 解析:6.本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识.

P x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F(3,0)是抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点,所以, ? 3 ,p=6 双曲线 2 6 3
10.解析:-192.本题考查了简单定积分的计算以及求二项式展开式的指定项的基本方法.

a = ? (sin x ? cos x)dx =2 , T r ?1 =(-1) r C6r ( 2 x ) 6? r (
0
2

?

1 x

r ) =(-1) C6 2

r

6?r

x

3? r

令3-r=2,得 r=1 , 因此,展开式中含 x 项的系数是-192. 11.解析: 12 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 .本题考查了合情推理的能力.
h PA PB PC

连接 CO 且延长交 AB 于点 D,连 PD, 由已知 PC⊥PD,在直角三角形 PDC 中,DC·h=PD·PC,
2 +PC2 1 1 即 PD2+PC2 h ? PD PC , 所以 12 ? PD 2 = + h PD PC 2 PC 2 PD2 容易知道 AB⊥平面 PDC,所以 AB⊥PD,

D

O

在直角三角形 APB 中,AB·PD=PA·PB,所以 PA2+PB2 PD ? PA PB ,

1 PA 2+PB2 1 1 ? = 2 + 2 ,故 12 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 。 2 2 2 PD PA PB PA PB h PA PB PC

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(也可以由等体积法得到)

12.解析:(1)(4).本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语.由 题意,得 K 2 ? 3.918 , P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 ,所以,只有第一位同学的判断正确, (4) 即: 有 95% 的把握认为 “这种血清能起到预防感冒的作用”.由真值表知(1) 为真命题.
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. (其中 14 题第一空 3 分,第二空 2 分) 13.解析:

5 .本题考查了简单的直线和圆的极坐标方程以及它们的基本知识. 5

直线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 化为直角坐标方程是 2x+y-1=0; 圆 ? ? 2cos ? 的圆心 (1, 0) 到直线 2x+y-1=0 的距离是 5 5 14. 解析: [-1,1] ; (??,?1) ? (0,??) .本题考查绝对值的意义,含参绝对值不 等式的解法. 当 x≤1 时,g(x)=|x-1|-|x-2|=-1 当1<x≤2时,g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-1< g ( x) ≤1 当 x>2时,g(x)=|x-1|-|x-2|=1 综合以上,知-1≤g(x) ≤1。 (此结果也可以由绝对值的几何意义直接得出)

g ( x) ? a2 ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,就是 1= [ g ( x) ]max< a 2 ? a ? 1 所以 a ? (??, ?1) ? (0, ??) .
15.解析:7.本题考查了圆和切线的基本知识. 由圆的性质 PA =PC·PB,得,PB=12,连接 OA 并反向延长 交圆于点 E,在直角三角形 APD 中可以求得 PD=4,DA=2,故 CD=3, DB=8,J 记圆的半径为 R,由于 ED·DA=CD·DB 因此,(2R-2) ·2=3·8,解得 R=7 C P
2

E

O
D A

B

三、解答题:
16. (本小题满分 12 分) (1) 解:∵A+B+C=180°

A? B 7 C 7 ????1 分 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? 2 2 2 2 1 ? cos C 7 ∴4? ??????3 分 ? (2 cos 2 C ? 1) ? 2 2
由 4 sin 2 整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0
2

????4 分

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解 得: cos C ?

1 ??5 分 2 ∵ 0? ? C ? 180 ? ∴C=60° ??????6 分
??????8 分

(2)解:由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab ????7 分 ∴ 7 ? (a ? b) 2 ? 3ab

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab ?? 9 分 ab=6 ??10 分 ∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ,由题意 知 P( A) ?

C32 1 ? . ????????????????????????4 分 2 5 C6
1 1 1 C3 C3 C3 1 3 ? , P ( ? ? 2 ) ? ? ? , 1 1 1 C6 2 C6 C5 10

(2)ξ 可取 1,2,3,4.

P(? ? 1) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ; ????8 分 P(? ? 3) ? 1 ? 1 ? 1 ? , P(? ? 4) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

故ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

1 2

3 10

3 20

1 20

???????????????????????10 分 1 3 3 1 7 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? . 2 10 20 20 4 答:ξ 的数学期望为 . ????????????????????????12 分

7 4

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) (法一) ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,AE⊥EF,∴AE⊥面平面 EBCF ,AE⊥EF,AE⊥BE, 又 BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz。????????????????? 1 分 则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,G(2,2,0) ,D(0,2,2) ,E(0,0,0)????2 分

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A D
A

z
D

E

F

E F

y

B

C
x

B

G

C

BD ? (-2,2,2) , EG ? (2,2,0)???????????????????3 分

BD ? EG ? (-2,2,2) (2,2,0)=0,∴ BD ? EG ???????????4 分
(法二)作 DH⊥EF 于 H,连 BH,GH,?????1 分 由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知:DH⊥平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥DH。 又四边形 BGHE 为正方形,∴ EG⊥BH, BH ? DH=H,故 EG⊥平面 DBH,??????? 3 分 而 BD ? 平面 DBH,∴EG⊥BD。??????? 4 分 (或者直接利用三垂线定理得出结果) (2)∵AD∥面 BFC, 1 1 1 所以 f ( x) ? VA-BFC= s BFC AE = 4 (4-x) x 3 2 3
A D

E

H
F

B

G

C

2 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? ???????????????????????????7 分 3 3 3 8 即 x ? 2 时 f ( x ) 有最大值为 。??????????????????????8 分 3
( 3) (法一)设平面 DBF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,∵AE=2, B(2,0,0) ,D(0,2,2) , F ( 0 , 3 , 0 ) ,∴ BF ? (?2,3,0), BD ? ( - 2 , 2 , 2), ????????????9 分 则 ? A H M B C D F

? ?n1 BD ? 0 ? ? n1 BF ? 0



E _

即?

?( x, y, z ) (?2, 2, 2) ? 0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ,? ? ( x, y, z ) (?2,3,0) ? 0 ? ?2 x ? 3 y ? 0

G

取 x=3,则 y=2,z=1,∴ n1 ? (3,2,1)

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面 BCF 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) 则 cos< n1 , n2 >= ???????????12 分

n1 n2 14 ? | n1 || n2 | 14

????????????????13 分

由 于 所 求 二 面 角 D-BF-C 的 平 面 角 为 钝 角 , 所 以 此 二 面 角 的 余 弦 值 为 -

14 ??????????????????????????????14 分 14
(法二)作 DH⊥EF 于 H,作 HM⊥BF,连 DM。 由 三 垂 线 定 理 知 BF ⊥ DM , ∴ ∠ DMH 是 二 面 角 D-BF-C 的 平 面 角 的 补 角。 ????????????????????????9 分 由△HMF∽△EBF, 知 又 DH=2, ∴ 在 Rt△HMD 中,tan∠DMH=-

H M H F = B E B F

, 而 HF=1, BE=2,BF= BE2+EF2= 13 , ∴ HM=

2 13



DH = 13 , HM
14 , ????????????13 分 14

因∠DMH 为锐角,∴ cos∠DMH=

而∠DMH 是二面角 D-BF-C 的平面角的补角, 故二面角 D-BF-C 的余弦值为-

14 。 14

????????????14 分

19. (本小题满分 14 分) y2 x2 2 c 2 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2 ∴ a=1,b=c= 2 , 2 ???????????????4 分

x2 故 C 的方程为:y2+ =1 1 2

(2)由 AP =λ PB 得 OP - OA =λ( OB - OP ) , (1+λ) OP = OA +λ OB , ∴ λ+1=4,λ=3 ??????????????????6 分

设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

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? ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 ?

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ=(2km)2-4(k2+2) (m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2 ??????????????????9 分

?x1+x2=-2x2 ? ? ∵ AP =3 PB ∴ -x1=3x2 ∴ 2 ?x1x2=-3x2 ?

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴ 3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2
2

整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0
2

??????????????????11 分

2 1 2 1 2 2-2m m = 时,上式不成立;m ≠ 时,k = 2 , 4 4 4m -1

因 λ=3 ∴ k≠0 ∴ k2=

2-2m2 1 1 >0,∴ -1<m<- 或 <m<1 2 2 2 4m -1

容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪ ( ,1) 2 2 20. (本小题满分 14 分) ?????????14 分

a (a1 ? 1), ∴ a1 ? a, a- 1 a a 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? an ? an?1 , a ?1 a ?1
解: (Ⅰ)

S1 ?

an ? a ,即 {an } 是等比数列. ∴ an ? a ? an?1 ? an ; an ?1

????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

2?

a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 ,若 {bn } 为等比数列, ? 1 ? an a n (a ? 1)
3a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 , b3 ? , a a2

则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 3, b2 ? 故(

3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 1 ) ? 3? ,解得 a ? , ????????????7 分 2 a a 3 1 再将 a ? 代入得 bn ? 3n 成立, 3 1 所以 a ? . ????????????????????????8 分 3

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(III)证明:由(Ⅱ)知 an ? ( )n ,所以 cn ?

1 1 3n 3n?1 ? ? n ? n ?1 1 1 1 ? ( )n 1 ? ( )n ?1 3 ? 1 3 ? 1 3 3 n n ?1 3 ?1 ?1 3 ?1 ?1 1 1 ? n ? n ?1 ?1? n ? 1 ? n ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 ??????????????????? 9 分 ? 2?( n ? n?1 ) , 3 ? 1 3 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 n ? n , n?1 ? n?1 得 n ? n?1 ? n ? n?1 , 3 ? 1 3 3 ?1 3 3 ? 1 3 ?1 3 3 1 3 1 1 所以 cn ? 2 ? ( n ???????? 12 分 ? n?1 ) ? 2 ? ( n ? n?1 ) , 3+ 1 3 ?1 3 3 1 1 1 1 1 1 从而 Tn ? c1 ? c2 ? ? cn ? [2 ? ( ? 2 )] ? [2 ? ( 2 ? 3 )] ? [2 ? ( n ? n?1 )] 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? [( ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( n ? n?1 )] 3 3 3 3 3 3 1 1 1 ? 2n ? ( ? n?1 ) ? 2n ? . 3 3 3 1 即 Tn ? 2n ? . ??????????14 分 3

1 3

21.解: (I)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx.
2

h(x )在(0,+ ? )上是增函数,
? h? (x ) ? 1 ? 2x ? b ? 0 对 x∈(0,+ ? )恒成立,
????2 分

x

?b ?

1

x

? 2x . 1

x ? 0,则

x

? 2x ? 2 2.

?b的取值范围为? ?,2 2 .
(II)设 t ? e , 则函数化为 y ? t ? bt, t ? [1,2].
x 2

?

?

????4 分

b b2 ? y ? (t ? ) 2 ? . 2 4 b ?当 ? ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2]上为增函数, 2

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当 t=1 时,ym I n=b+1; ????6 分
min

当1 ? ? 当?

b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时,y 2 2

??

b2 ; 4

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1,2]上是减函数, 2
????8 分

当 t=2 时,ym I n=4+2b

综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为b ? 1. b2 当 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为? . 4
当 b ? ?4时, ? ( x) 的最小值为 4 ? 2b. (III)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ? ????9 分

x1 ? x 2 . 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

????10 分

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 .



a ( x1 ? x 2 ) 2 ? ? b. x1 ? x 2 2

2 2( x 2 ? x1 ) a ( x 2 ? x12 ) 则 ? ? b( x 2 ? x1 ) x1 ? x 2 2

a 2 a ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) 2 2 ? y 2 ? y1 ? ln x 2 ? ln x1 ? ln x2 , x1
?????11 分

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x2 ? 1) x 2 2( x 2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? . x2 x1 x1 ? x 2 1? x1 2(
设u ?

x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? , u ? 1, ?????? ① x1 1? u

????12 分

2(u ? 1) , u ? 1. 1? u 1 4 (u ? 1) 2 则r ?(u ) ? ? ? . u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 ? u ? 1,? r ?(u ) ? 0. 令r (u ) ? ln u ? 所以r (u )在?1,???上单调递增 , 2(u ? 1) . u ?1
????14 分

故r (u ) ? r (1) ? 0, 则 ln u ?

这与①矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

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