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2013鄂州高中自主招生数学试题


鄂州高中 2013 届自主招生数学试题
班级 (2013 年元月 28 日下午,满分 100 分) 登分号 姓名 得分

一、选择题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共计 21 分)
1.如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等,则 第 2013 个格子中的数为( ) 5 a b c -2 7 ?? A.5 B.7 C.0 D.-2 2.△ABC 中 AC=5, cos B ? A.10.5 A. a ? 0 B.12 C.14

2 3 , sin C ? ,则△ABC 的面积是( 2 5
D.21



3.关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? a 有实根, 那么实数 a 的取值范围是 ( B. a ? 0 C. a ? 1 D. a ? 2



4.已知 abc ? 0 ,且

a?b b?c a?c ? ? ? k ,那么一次函数 y ? kx ? k 的图象一定通过( c a b



A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 5.如图,在等边△ABC 中,AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,P 是 AB 上一动点,连接 OP,将线段 OP 绕点 O 逆时针 旋转 60°得到线段 OD,若使点 D 恰好落在 BC 上,则线段 AP 的长是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 6.如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角的菱形 EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行 2 2 四边形面积的和为 14cm ,四边形 ABCD 面积是 11cm ,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( ) A.48cm B.36cm C.24cm D.18cm 7. 黑色正三角形与白色正六边形的边长相等,用它们镶嵌图案,方法如下:白色正六边形分上下两行,上面一 行的正六边形个数比下面一行少一个,正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满.按第 1,2,3 个图案(如 图)所示规律依次下去,则第 n 个图案中,黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是( )

A。n +n+2,2n+1 2 C。4n,n ﹣n+3 8.如图,抛物线 y1 ? a ? x ? 2 ? ? 3 与 y2 ?
2

2

B。2n+2,2n+1 D。4n,2n+1

1 ( x ? 3)2 ? 1 交于点 A(1,3),过点 A 作 x 轴的平行线,分别交两 2

条抛物线于点 B, 则以下结论: C. ①无论 x 取何值, 2 的值总是正数; y ②a=1; ③当 x=0 时, 2-y1=4; y ④2AB=3AC; 其中正确结论是( ) A.①② B.②③ C.③④ D..①④

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共计 20 分)

9.如图,在正方形 ABCD 内有一折线段,其中 AE 丄 EF,EF 丄 FC,并且 AE=6,EF=8,FC=10,则正方形与其外接 圆之间形成的阴影部分的面积为 10. 对 于 正 整 数 n 有

2

1 ? 1

? 1

2

1 ?3

? 2

n ?1 ? n 1 1 ? ? , 若 某 个 正 整 数 k n ?1 ? n n n ?1 1 1 1 ?? ? ,则? ? k 2 ?3 4 ? k 3 ? 3 k 4 k ? k 2 ?1 ? 1

满 足

11.若不等式组

x x ?1 ? ? ?0 ? ? 2 3 ? ? x ? 5a ? 4 ? 4 ? x ? 1? ? a ? 3 3 ? 恰好有两个整数解,则 a 的取值范围是
2 12.已知 x1 , x2 、是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 x1 ? 8 x2 ? 20 ? 0
3

13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,与反比例函数 y ?

k (k 为常数, x

且 k>0)在第一象限的图象交于点 E、F.过点 E 作 EM⊥y 轴于 M,过点 F 作 FN⊥x 轴于 N,直线 EM 与 FN 交于 点 C.若 BF ? m ? BE (其中 m 为大于 l 的常数) .记△CEF 的面积为 S1 ,△OEF 的面积为 S 2 ,则 S1 : S 2 ? (用含 m 的代数式表示) 三.解答题 14.(8 分)2012 年 6 月 5 日是“世界环境日”,南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛,赛后整理参赛同学 的成绩,制作成直方图(如图) . (1)分数段在 范围的人数最多; (2)全校共有多少人参加比赛? (3)学校决定选派本次比赛成绩最好的 3 人参加南宁市中学生环保演讲决赛,并为参赛选手准备了红、蓝、白 颜色的上衣各 1 件和 2 条白色、1 条蓝色的裤子.请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有 可能出现的结果,并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率.

1 ? 2 ? x ? x1 ? x ? x2 ?kx ? x ? y ? ? 0 15. (8 分)已知方程组 ? , x 、 y 为未知数) ( ,有两个不同的实数解 ? ,? 。 2 ? y ? y1 ? y ? y2 ? y ? k ? 2 x ? 1? ? 1 1 ? 3 ,求实数 k 的 (1)求实数 k 的取值范围。 (2)如果 y1 y2 ? ? 值。 x1 x2
16. (10 分)在锐角三角形 ABC 中,BC=5, sin A ?

4 , 5

(1)如图 1,求三角形 ABC 外接圆的直径; (2)如图 2,点 I 为三角形 ABC 的内心,BA=BC,求 AI 的长.

17. (10 分)如图.已知 A、B 两点的坐标分别为 A(0, 2 3 ) ,B(2,0) .直线 AB 与反比例函数 y ?

m 的图 x

象交于点 C 和点 D(-1, a ) . (1)求直线 AB 和反比例函数的解析式. (2)求∠ACO 的度数. (3)将△OBC 绕点 O 逆时针方向旋转 α 角(α 为锐角) ,得到△OB′C′,当 α 为多少时,OC′⊥AB,并求此 时线段 AB’的长.

? a a a? 18. (10 分)当 a ? 0 且 x ? 0 时,? ? x ? ? ? 0 ,? x ? 2 a ? ? 0 ,? x ? ? 2 a (当 x ? a 时 ? ? x x x? ? a 取等号) ,记函数 y ? x ? , x ? 0 , a ? 0 ) ( ,由上述结论知当 x ? a 时该函数有最小值 2 a 。 (1)已知函 x 1 数 y1 ? x ( x ? 0 )与函数 y2 ? ( x ? 0 ) ,则当 x ? 时, y1 ? y2 取最小值为 x y 2 (2)已知函数 y1 ? x ? 1? x ? ?1? 与函数 y2 ? ? x ? 1? ? 4 ? x ? ?1? ,求 2 的最小值,并指出取得该最小值时 y1 相应的 x 的值.

2

(3)已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分,一是固定费用,共 360 元;二是燃油费,每千米 1.6 元; 三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 0.001.设该汽车一次运输的路程为 x 千米,求当 x 为多少 时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?

19. (10 分)如图,平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(-2,2) ,点 B 的坐标为(6,6) ,抛物线经过 A、 O、B 三点,连接 OA、OB、AB,线段 AB 交 y 轴于点 E. (1)求点 E 的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)点 F 为线段 OB 上的一个动点(不与点 O、B 重合) ,直线 EF 与抛物线交于 M、N 两点(点 N 在 y 轴右侧) , 连接 ON、BN,当点 F 在线段 OB 上运动时,求△BON 面积的最大值,并求出此时点 N 的坐标; (4)连接 AN,当△BON 面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相似(点 B、O、P 分别与点 O、A、N 对应)的点 P 的坐标.


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