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2006届高三考前指导卷1-2


2006 届高三考前指导卷(1)
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题要求的) 1.在下列电路图中,表示开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必要但不充分条件的线路图是 ( )
A C B A C B A B C A A B C D B

[提示与解答]:A 是充分不必要条件;C 是充要条件;D 是既不充分也不必要条件。
235 2. f 是从 A ? ?1, 2 ,3 , 4 ?到集合 B ? ?1,,,? 的映射,则满足 f ?1 ? ? f ? 2 ? ? f ?3 ? ? f ? 4 ? ? 8

的 (















) A.256 B 23 C. 22 D. 6 [提示或答案]:? 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 ? 1 ? 1 ? 5
? 满足条件的映射的共有 C 4 ? C 4 C 3 ? C 4 ? C 4 ? 23 种 。
4 1 1 2 1

3.已知 f ( x ) ? 2 ? x M+m ( A.0 )

2

cos(

?
2

? x ) 在[-a,a](a>0)上的最大值与最小值分别为 M、m,则







B.2

C.4

D.与 a 的取值有关

2 2 [提示与解答]:f ( x ) ? 2 ? x sin x ,令 g ( x ) ? ? x sin x ,则 g ( x ) 是 ? ? a , a ? 上的奇函数,所以

g ( x ) m in ? g ( x ) m ax ? 0 , M ? g ( x ) m ax ? 2 , N ? g ( x ) m in ? 2 ,所以 M ? N ? 4 。
x
2

4.已知点 Q ( 4 , 0) , 点 P ( x , y ) 抛物线 y =

? 2 上一动点,则 y ? P Q 的最小值为

4

( A.11 B.6
x
2

)

C. 1 ? 2 6

D. 1 ? 2 5

[提示与解答]:如图,抛物线 y=

? 2 ? x ? 4( y ? 2) ,
2

4

焦点 F (0 , 3) ,准线方程为 y ? 1 ,则 y ? P Q ? 1 ? P F ? P Q
? 1 ? F Q ? 1 ? 5 ? 6 (当 F , P , Q 三点共线时“ ? ”号成立)

所以 y ? P Q 的最小值为 6 。 5.四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是边长为 a 的正方形,

P A ? 平面 A B C D , P A ? a , M , N 分别是 P D , P B 的中点,

那么异面直线 A M 与 C N 所成角的余弦值等于 A. C. 2
3





3 6
3

B. D.

2 2
3 3

[提示与解答]:取 P C , A B 的中点 E , F ,连 M E , E F ,易证 E F A M 为平行四边形,再取 P N 的中点 H ,连 E H , F H ,则 E H // C N , ? ? F E H 就是异面直线 A M 与 C N 所成的角,
2a 2 1 2 6a 4

EF ? AM ?

, FH ?

CN ?

, HF ?

10a 4

,由余弦定理 co s ? F E H ?
2

3 6



6. 已知 ? , ? ? [ ? .

? ?
, 2 2

]且 ? ? ? ? 0 , 若 sin ? ? 1 ? a , sin ? ? 1 ? a , 则实数 a 的取值范围

是 A. (-∞,-2)∪(1,+∞) C. (1, 2 ] YCY
? ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? ? 1 ? 1 ?a
2

( B. (-2,1) D. ( 0 , 2 ] ,得 0 ? a ?
?
2 ? ? ? ?? ?



[提示与解答]:首先由 ?

2

?1

2 。其次

?
2

,则

sin ? ? sin ( ? ? ) ,即 1 ? a ? 1 ? a ,解得 a ? ? 2 或 a ? 1 ,综上 1 ? a ?

2 。

7 . 已 知 点 M(m,n) 在 直 线 l : Ax+By+C=0 ( AB ≠ 0 的 右 下 方 , 则 Am+Bn+C 的 值 ( ) A.与 A 同号,与 B 同号 B.与 A 同号,与 B 异号 C.与 A 异号,与 B 同号 D.与 A 异号,与 B 异号 [提示与解答]:因为 B ? 0 ,将直线方程改写成
y ? ? n? ? A B A B x? m? C B C B
x?4 ? 15 ? 3 x 的值域是

,则其右下方区域为 y ? ?

A B

x?

C B

,因为 M 在该区域内,所以

, B ? 0 ,则 A m ? B n ? C ? 0 ; B ? 0 ,则 A m ? B n ? C ? 0 ; A , B 若 若 而

异号,故与 A 同号,与 B 异号。 8. 函数 y ? A.[1,2] ( C. (0, 3 ] ,得 4 ? x ? 5 ;令 D. [1 , 3 ]
x ? 4 ? t (0 ? t ? 1) , 则



B.[0,2]
? x?4? 0 ?1 5 ? 3 x ? 0

[提示或答案]:首先由 ?

y ?t?

3(1 ? t ) ,再令 t ? c o s? ( 0 ? ? ?
2

?
2

) ,那么 y ? c o s? ?

3 s i n? ? 2 s i n? ? (

?
6

) ,

?
6

?? ?

?
6

?

3? 2

,所以 y ? ?1 , 2 ? 。

9.设方程 2 =|lgx|的两根为 x1、x2,则 A. x1x2<0 B. x1x2=1

-x

( C. x1x2>1
? x2



D. 0<x1x2<1

?2 ? lg x 2 , ? ?x ? 2 1 ? ? lg x 1 , [提示或答案]:设两根为 x1<x2,结合图象知 ? 前两个式子相减整理得 0 ? x 1 ? 1, ? ? x ? 1. ? 2

lg(x1x2)= 2

? x2

?2

? x1

<0.? 0 ? x1 x 2 ? 1

10. 4.已知 O 平面上的一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个动点,点 P 满足
??? ???? ? ??? ? ???? ??? ? OB ? OC AB AC ? OP ? ? ? ( ??? ? ???? ), ? ? R , 2 | A B | co s B | A C | co s C

则动点 P 的轨迹一定通过 ? A B C 的 A.重心 B.垂心 [提示或答案]:

C.外心

( D.内心



??? ? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ??? ???? ? ? AB AC AD ? DB AD ? DC 2 O P ? O B ? O C ? 2 ? ( ???? ? ???? ) ? 2 ? ( ? ) ???? ???? BD CD BD CD
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ??? ? ? ??? ? A D A D ? 2 ? ( ? ? ?? ? ? ? ? ? k A D ? B P ? C, ? P B ? P C ? k D A ? P 的 轨 迹 一 定 通 过 )? P B D D C
? A B C 的外心

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中的横线上.) 11.
( 3 tan 12 4 cos
0 2

? 3 ) csc 12 12
0

0

?2

=
? ?



3(

sin 1 2

?

3)

1
?

[提示与解答]:原式 ?

co s 1 2 sin 1 2 ? 2 (1 ? co s 2 4 ) ? 2

?

3 (sin 1 2 ?
?

?

3 co s 1 2 )
? ?

?

?

2 co s 2 4 sin 1 2 co s 1 2

2 3 sin (1 2 ? 6 0 ) 1 2 sin 4 8
?

?

?

? ?4 3

12.若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均数的运算,即 a * b =

a?b 2

,则两边均

含有运算符号“*”和“+” ,且对于任意三个实数 a、b、c 都能成立的一个等式是
(a ? b) ? c 2 ? a 2 ? (b ? c )

___ . (答案不唯一) 13。已知 A 箱内有红球 1 个和 5 个白球,B 箱内有 3 个白球,现随意从 A 箱中取出 3 个球 放入 B 箱, 充分搅匀后再从中随意取出 3 个球放入 A 箱, 共有 400 种不同的取法, 又红球由 A 箱移入到 B 箱,再返回到 A 箱的概率等于 0 .2 5 . [提示与解答]:(1) C 6 ?C 6 ? 4 0 0
3 3

(2) P=

C5 C5
3

2

2

C6C6

3

?

1 4

14.从集合中任取三个数,使其和能被 3 整除,则共有取法的种类有 (用数字作答) 。 [ 提 示 与 解 答 ] : 将 集 合 A ? ?1, 2 , 3 ,...., 20 ? 中 的 元 素 按 3 除 所 得 的 余 数 进 行 分 类 :
A 0 ? ?3 , 6 ,9 ,12 ,15 ,18 ?, A1 ? ?1, 4 , 7 ,10 ,13 ,16 ,19 ?, A 2 ? ?2 , 5 ,8 ,11 ,14 ,17 , 20 ? ,由三个数之和能

被 3 整 除 , 故 三 个 数 均 取 自 同 一 个 集 合 或 在 A 0 , A1 , A 2 各 取 一 个 :
C 6 ? C 7 ? C 7 ? C 6 C 7 C 7 ? 375 。
3 3 3 1 1 1

15.已知曲线 S:y=3x-x 及点 P(2,2) ,则过点 P 可向 S 引切线的条数为

3

3
2

.

[提示与解答]:设切点为 Q ( m , n ) ,则在点 Q 处的切线方程是 y ? n ? (3 m ? m )( x ? m )
3 ? n ? 3m ? m 3 2 由题设 ? 消去 n 得 m ? 3 m ? 2 ? 0 , 2 ? 2 ? n ? (3 ? 3 m )( 2 ? m )

即 ( m ? 1)( m ? 2 m ? 2) ? 0 ,
2

解之得 m ? 1 或 m ? 1 ?

3 或m ? 1?

3 因此切线有 3 条。

16.某中学的一个研究性学习小组共有 10 名同学,其中男生 x 名( 3 ? x ? 9 ) ,现在从中选 出 3 人参加一次调查活动, 若至少有 1 名女生去参加的概率为 P , P 的最大值为 则
C10 ? x ? C10 ? x C x ? C10 ? x C x
3 2 1 1 2

119 120

[提示与解答]: P ?

C10

3

,

令 f ( x ) ? C10 ? x ? C10 ? x C x ? C10 ? x C x ?
3 2 1 1 2

1 6

(? x ? 3 x ? 2 x ? 720) ,
2

3

则 f (x) ?
'

1 6

( ? 3 x ? 6 x ? 2 ) ,由 f ( x ) ? 0 得 x ?
2

'

3? 3

3

, ? 3 ? x ? 9 ? f (x) 在
C 7 ? C 7 C 3 ? C 7C 3
3 2 1 1 2

? 3 , 9 ? 上是减函数,故当 x

? 3 时, f ( x ) 取最大值,此时 P ?

C10

3

?

119 120

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 f ? x ? ?
3 co s x ? co s 2 x ? 3
4

co s x ? 2 sin x
2 2

,判断 f ? x ? 的奇偶性,并求出 f ? x ? 的最小值及此时

对应的 x 的值。 [提示与解答]: f ? x ? 显然为偶函数。 f ? x ? ?
3( 2 ? t ) ? 2 ( t ? 1) ? 2
2

3(1 ? sin x ) ? 2 sin x ? 2
2 2 2

1 ? sin x
2

, 令 1 ? sin x ? t , ,
2

则 t ? [1, 2 ] ,则 y ? 当t ?
4 t

? 3( t ?

4 t

) ? 1 4 ? 6 4 ? 1 4 ? ? 2,

t
? sin x ? ? 1 . 即 x ? k ? ?

?
2

时, f ? x ? m in ? ? 2 。

18. 如图,P—ABCD 是正四棱锥, A B C D ? A1 B1C 1 D 1 是正方体,其中
A B ? 2, P A ? 6 .

(1)求证: P A ? B1 D 1 ; (2)求平面 PAD 与平面 B D D 1 B1 所成的锐二面角 ? 的大小; (3)求 B1 到平面 PAD 的距离。 [提示与解答]:以 A1 B 1 为 x 轴, A1 D 1 为 y 轴, A 1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系 (1)设 E 是 BD 的中点,? P—ABCD 是正四棱锥,∴ PE ? ABCD 又 A B ? 2, P A ?
6 , ∴ PE ? 2

∴ P (1,1, 4 )

∴ B 1 D 1 ? ( ? 2 , 2 , 0 ), AP ? (1,1, 2 ) ∴ B 1 D 1 ? AP ? 0 , 即 P A ? B1 D 1

(2)设平面 PAD 的法向量是 m ? ( x , y , z ) , ? AD ? ( 0 , 2 , 0 ), AP ? (1,1, 2 ) ∴ y ? 0, x ? 2 z ? 0 取 z ? 1 得 m ? ( ? 2 , 0 ,1) ,
m ?n m n ? ? 10 5
B1 A ? m m

又平面 B D D 1 B1 的法向量是
10 5

n ? (1,1, 0 ) , ∴ cos ? m , n ??

∴ ? ? arccos

.

(3)? B 1 A ? ( ? 2 , 0 , 2 )

∴ B 1 到平面 PAD 的距离 d ?

?

6 5

5

说明:本题如果用传统的方法该如何求解?

19. 甲、乙两人进行羽毛球比赛,每局采用 11 分制,比赛中甲每获得 1 分的概率均为

2 3



先得 11 分的选手获胜,若比分为 10:10 时,则先领先对手 2 分者获胜。 (1) 求甲以 11:2 的比分获胜的概率; (2) 当双方打成 10:10 之后,求甲以 13:11 获胜的概率。 [提示与解答]: (1)甲以 11:2 的比分获胜,则双方比赛了 13 分,其中最后 1 分由甲获 得,前 12 分中甲得 10 分,且为独立重复实验,则 P1= C 1 2 ( ) (1 ?
10 10

2 3

2 3

) ?
2

2

2 12 ? 11? ( ) 3 3

(2)双方打成 10:10 之后,甲以 13:11 获胜,则后面 4 分中,乙得的 1 分必须是前 2 分中的 1 分,则
P2 ? C 2 ?
1

1

2 3 16 ?( ) ? 3 3 81
2

20.在平面直角坐标系中,已知 A1 ( ? 3 , 0 ) 、 A 2 (3 , 0 ) 、 P ( x , y ) 、 M ( x ? 9 , 0) ,若 实数 ? 使向量 A1 P 、 ? O M 、 A 2 P 满足 ? ? ( O M ) ? A1 P ? A2 P
2 2

????

???? ?

???? ?

???? ?

???? ???? ?

(1)求 P 点的轨迹方程,并判断 P 点的轨迹是怎样的曲线; ( 2)当 ? ?
3 3

时,过点 A1 且斜率为 1 的直线与 (1) 中的曲线相交的另一点为 B ,能否在直

线 x ? ? 9 上找一点 C ,使 ? A1 B C 为正三角形。 [提示与解答]: (1)由已知可得 A1 P ? ( x ? 3, y ), A 2 p ? ( x ? 3, y ), O M ? ( x ? 9 , 0 )
2

????

???? ?

???? ?

???? ? ???? ???? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ( O M ) ? A1 P ? A2 P , ? ? ( x ? 9 ) ? x ? 9 ? y

即 P 点的轨迹方程是

(1 ? ? ) x ? y ? 9 (1 ? ? )
2 2 2 2

2 ①当 1 ? ? ? 0 且 ? ? 0 ,即 ? ? ? ? 1, 0 ? ? ? 0,1 ? 时,有

x

2

?

y

2 2

9

9 (1 ? ? )

? 1, P 点的轨迹是

椭圆。 ②当 ? ? 0 时,方程为 x ? y ? 9, P 的轨迹是圆。
2 2

③ 1 ? ? ? 0 ,即 ? ? ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? ) 时,方程为
2

x

2

?

y
2

2

9

9 ( ? ? 1)

? 1, P 点的轨迹是

双曲线。 ④ 1 ? ? ? 0 ,即 ? ? ? 1 时,方程为 y=0, P 点的轨迹是直线。
2

(2)过点 A1 且斜率为 1 的直线方程为 y=x+3 当? ?
3 3

时,曲线方程为

x

2

?

y

2

?1

9

6
x1 ? ? 3, x 2 ? ? 3 5

? y ? x?3 ? 2 由? x2 y2 得 5 x ? 1 8 x ? 9 ? 0, ? ?1 ? 6 ? 9

从而 | A1 B |?

1? k

2

| x 2 ? x1 | ?

12 5
2

2
?
2

)? ) y 设 C(-9,y) | A1 | ? ( 9? 3 ( ? 0 ? , C

3? 6 y

2

因为 ? A1 B C 是正三角形, | A1 B |? | A1C |,

y ? 36 ?
2

12 5

2 ,即 y ? ?
2

612 25

,无解,

所以在直线 x=3 上找不到点 C,使 ? A1 B C 是是正三角形 21.已知数列 ?a n ? 的前 n 项的和 S n 满足:
3 2 a n ? S n ? 2 ? ( ? 1) , ( n ? N )
n ?

(1)写出数列 ?a n ? 的前 3 项; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3) T n ? 设
1 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ?? ? 1 an

,是否存在正整数 k, 使得当 n≥3 时, T n ? ? ,

? k ? 10

,

k ?1? ? 10 ?

如果存在,求出 k;如果不存在,说明理由. [提示与解答]: (Ⅰ)由 (Ⅱ)当 n ? 2 时,由 所以
3 2 an ? 3 2 3 2 3 2 a 1 ? a1 ? 2 ? 1 得 a 1 ? 2 ,类似地, a 2 ? 1 0, a 3 ? 2 6 .
n

a n ? S n ? 2 ? ( ? 1) , 得
n n ?1

3 2

a n ? 1 ? S n ? 1 ? 2 ? ( ? 1)
n

n ?1

,

a n ? 1 ? a n ? ( ? 1) ? ( ? 1)

, a n ? 3 a n ?1 ? 4( ? 1) ( n ? 2)

所以 a n ? 3 n ? ( ? 1) n , n ? N ? (Ⅲ)由于 ?
n

1 ai

?

1 2

?

1 10

?

1 26

?? ?

1 3 ? ( ? 1)
n n

i ?1

当 k 为偶数时,

1 3 ? ( ? 1)
k k

? 3

1
k ?1

? ( ? 1)

k ?1

?

1 3 ?1
k

? 3

1
k ?1

?1

?

3 ?3
k

k ?1

3 3

k

k ?1

?

1 3
k

? 3

1
k ?1



(∵ 2 ? 3 ? 1 恒成立)
k

所以当 n 为奇数且 n ? 3 时,

?
?

n

1 ai

?

1 2

?

1 10

?

1 26

?? ?

1 3 ? ( ? 1)
n n

i ?1

?

1 a1

? 3

1
2

?

1 3
3

?? ?

1 3
n?

1

n

1 1 1 1 1 1 2 7 ? ? ( 1 ? n ?1 ) ? ? ? ? . 3 2 6 3 2 6 3 10

如果当 n 为偶数且 n ? 3 时,

?

n

1 ai

?

1 2

?

1 10

?

1 26

?? ?

1 3 ? ( ? 1)
n n

?

i ?1

?

n ?1

1 ai

?

7 10

i ?1

另一方面, ?

n

1 ai

?

1 2

?

1 10

?

1 26

?? ?

1 3 ? ( ? 1)
n n

?

1 2

?

1 10

=

6 10

i ?1

所以存在 k=6 符合题意 备用题.设点 P ( ? 3, 0) ,点 A 在 y 轴上移动,点 B 在 x 轴正半轴(包括原点)上移动,点 M 在 A B 连线上,且满足 P A ? A M ? 0 , 2 A M ? 3 M B ? 0 . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设轨迹 C 的焦点为 F ,准线为 l ,自 M 引的垂线,垂足为 N ,设点 A (0, a ) 使四 边形 P F M N 是菱形,试求实数 a ; (Ⅲ) 如果点 A 的坐标为 (0, a n ) ,n ? N * , 其中 a n ? a ( a > 0) ,
n

??? ???? ? ?

???? ?

????

?

y A x M

相应线段 A M 的垂直平分线交 x 轴于 Q n ( x n , 0 ) .设数列

?Q

n

Q n ? 1 ? 的前 n 项和为 S n 。

证明:当 n ? 2 时, x n ? S n ?1 为定值. [提示与解答]: (Ⅰ)设点 A (0, a ) , B ( b , 0 ) ( b ≥0), M ( x , y ) ,
??? ???? ? ? 依题设得 P A ? A M ? (3, a ) ?( x , y ? a ) ? 3 x ? a ( y ? a ) ? 0 , ???? ? ???? ? 2 A M ? 3 M B ? 2( x , y ? a ) ? 3( b ? x , ? y ) ? (3 b ? x , ? 2 a ? y ) ? 0 ,

P

O

B

? x ? 3b ? 2 即 ? y ? ?2a ,化简得 y ? 4 x 为点 M 的轨迹方程. ?3 x ? a ( y ? a ) ? 0 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得, F (1, 0) , l : x ? ? 1 . 设 M ( x , y ) ,则 N ( ? 1, y ) .由 PFMN 是菱形及 抛物线的定义可得 PFMN 是平行四边形, ∴ M N ? P F ,即 x ? ( ? 1) ? 1 ? ( ? 3) ? x ? 3 , 代入抛物线方程中得 y ? ? 2 3 ,即 ? 2 a ? ? 2 3 , ∴a ? ? 3 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 a n ? ( 3 ) .
n

y A P O F x

N

M

又由(Ⅰ)可知 y ? ? 2 a n ,代入抛物线方程中可得 x ? a n ,∴ M ( a n , ? 2 a n ) .
2 2

又由 Q n A ? Q n M ? x n ? a n ? ( x n ? a n ) ? 4 a n ,
2 2 2 2 2

化简得 x n ?

an ? 3
2

?

3 ?3
n

2
2 n

2

,∴ Q n Q n ? 1 ? x n ? 1 ? x n ?
(3 ? 1) ,从而 x n ? S n ? 1 ?
n

3
n

n ?1

?3

? 3 2

3 ?3
n

?3 ,
n

2 3 ?3 2 ? (3

2
n ?1

于是 S n ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ?

3 2

? 1) ? 3 为定值.

2006 届高三考前指导卷(2)
二、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题要求的)
? 1. 将函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移一个单位, 再沿 y 轴翻折 1 8 0 , 得到 y ? lg x 的

图象,则 A . f ? x ? ? lg ? x ? 1 ? C . f ? x ? ? lg ?1 ? x ? B . f ? x ? ? lg ?? ? x ? 1 ?? D .
f ? x ? ? ? lg ?1 ? x ?

( C

)

[提示或答案]:所求函数图象是将 y ? lg x 的图象沿 y 轴翻折 180 ? ,再沿 x 轴向右平移一 个单位所得。 或者利用 f ? ? x ? 1 ? ? lg ? x ? 求得 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 。 2.在数列{an}中,a1=2,an+1=1-an(n∈N ) ,设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 则 S2002-2S2005+S2008= A.-3 B. -2 ( A ) C. 3 D. 2
*

[提示或答案]: a n ? 2 ? 1 ? a n ? 1 ? 1 ? (1 ? a n ) ? a n ? 数列 ? a n ? 的周期为 2。
? S 2002 ? 1001 ? (2 ? 1) ? 1001 , S 2005 ? 2 ? 1002 ? ( ? 1 ? 2) ? 1004



S 2008 ? 1004 ? (2 ? 1) ? 1004 。? S 2002 ? 2 S 2005 ? S 2008 ? 1001 ? 2008 ? 1004 ? ? 3 。

3.已知函数 f ( x ) ? x ? sin x ,若 A 、 B 是锐角三角形两个内角,则
A. C.
f ( ? sin A ) ? f ( ? sin B ) f ( ? cos A ) ? f ( ? sin B )

( D )

B. D.

f (cos A ) ? f (cos B ) f (cos A ) ? f (sin B )

[提示或答案]: f ( x ) ? x ? sin x 在 ( 0 , ∴ cos A ? cos(
?
2

?
2

) 内为增函数,由 A ? B ?

?
2

得: A ?

?
2

? B,

? B ) ? sin B ,故 f (cos A ) ? f (sin B ) 。
2

4.已知定点 A ( 4, 7 ) .若动点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,且点 P 在 y 轴上的射影为点 M ,则
P A ? P M 的最大值是

( A ) C. 4 D. 3

A.5

B. 2 3

[提示或答案]:延长 PM 交准线于点 N ,则 PA ? PM ? PA ? ( PN ? 1)
? PA ? PF ? 1 ? AF ? 1 ,当且仅当 P 、 A 、 F 共线且 P 为 AF 延长线与抛物线的

交点时取得最大值。此时 AF ? 4 ,故所求最大值为 5 5.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1A=AB=2,若棱 AB 上存在一点 P,使得 D1P⊥PC,则棱 AD 的 长的取值范围是 ( D ) A. [1,
2]

B. ( 0 ,

2]

C. ( 0 , 2 )

D. ( 0 ,1]

[提示或答案]: P 作 P Q ? A1 B1 , C 1Q , D 1Q , C 1Q // C P, C Q ? D P,1 C Q ? P Q 过 连 则 1 1
? C 1Q ? D 1Q ,故以 C 1 D 1 为直径的圆与 A1 B1 有交点,? A1 D1 ? A D ? 1 。

6.定义在 R 上的奇函数 f (x)满足;当 x>0 时,f (x)=2006 +log2006x,则在 R 上方程 f (x)=0 的实根个数为 ( C ) A. 1 B. 2 C. 3. D. 2006 [提示或答案]:? f (0) ? 0 ? x ? 0 是 f ( x ) ? 0 的一个实根。当 x ? 0 时, 令 2006 ? log 2 0 0 6 x ? 0 ? log 2 0 0 6 x ? ? 2006 , 在 同 一 坐 标 系 下 分 别 作 出 函 数
x x

x

y1 ? l o g2

0 0 6

x

, y ?2 ? 2 0 的图象,得 x ? 0 时有一交点, f ( x ) ? 0 在 x ? 0 时有一个 0 6 ?
x

实根。 由奇函数图象的对称性知,f ( x ) ? 0 在 x ? 0 时也有一个实根。 f ( x ) ? 0 在 x ? R 故 时有三个实根。 7. a , b 是两个相互垂直的单位向量, | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 ,则对于任意实数 t 1 , t 2 ,
| c ? t 1 a ? t 2 b | 的最小值为

( C.12 D.13

C )

A.5
2

B.7
2 2 2 2

解: | c ? t 1 a ? t 2 b | ? c ? t 1 a ? t 2 b ? 2 t 1 a ? c ? 2 t 2 b ? c ? 2 t 1 t 2 a ? b
? 169 ? t 1 ? t 2 ? 6 t 1 ? 8 t 2 ? ( t 1 ? 3 ) ? ( t 2 ? 4 ) ? 144 ,
2 2 2 2

∴当 t 1 ? 3 , t 2 ? 4 时,所求最小值为 12 。 8. 在 1,2,3,4,5 的排列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ,中,满足 a 1 < a 2 , a 2 > a 3 , a 3 < a 4 ,
a 4 > a 5 的排列个数是

( D ) B.12 C.14 D.16

A.10

[提示或答案]: a 2 、 a 4 只可能为 3 、 5 或 4 、 5 。 ① 若 a 2 、 a 4 为 3 、 5 或 5 、 3 ,则 a 5 必为 4 ,此时共有 4 种; ② 若 a 2 、 a 4 为 4 、 5 或 5 、 4 ,则共 有 2 ? A 3 ? 12 种。 ∴这样的排列有16 种。
3

9.已知 a , b , c , d ? R , a ? b ? c ? d , a ? b ? c ? dx ,则 x 的取值范围是( C )
2 2 2 2

?

A. (0,3)

B.

? 0,

3? ?
2 2

C.
2

?1,

3? ?

D. ?1, 3 ?
? ?

?a ? ?b ? ? c ? [提示或答案]:变形为:已知 ? ? ? ? ? ? ? ? ?d ? ?d ? ?d ?

? 1 ,求 x ?

a d

?

b d

?

c d

的范围。其



a d

,

b d

,

c d

? R 。令

?

a d

? p,

b d

? q,

c d

? r ,则: p

2

?q

2

?r

2

? 1 ,求 x ? p ? q ? r

的范围。
2 2 2 2 2 2 2 由 x ? p ? q ? r ? 2 pq ? 2 pr ? 2 qr ? 3 ( p ? q ? r ) ? 3 知 : x ? 2

3 ;又由
2

p

?q
2

2

?r

2

? 1 知: 0 ? p , q , r
2 2 2 2

2

? 1 ,故 0 ? p , q , r ? 1 ,∴ p ? p , q ? q ,
2

r ? r ,∴ p ? q ? r ? p ? q ? r

2

? 1 ,故选(C)

注:这里也可以通过构造以 p 、 q 、 r 为边长的长方体说明 p ? q ? r ? 1 。
3 3 10.如果 sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ,且 ? ? ? 0, 2 ? ? ,那么角 ? 的取值范围是( C )

A.( 0 ,

?
4

)

B.(

? 3?
, 2 4

)
3

C.(

? 5?
, 4
3

)

D. (

5? 4

, 2? )

4

[提示或答案]:方法一 注意到不等式 sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? 等价于
sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? , 而 f ( x ) ? x ? x 是 ? ? ? , ? ? ? 上 的 增 函 数 , 于 是 由
3 3

3

f (sin ? ) ? f (cos ? ) ,得 sin ? ? cos ? ,再结合 ? ? ? 0, 2 ? ? ,便得

?
4

?? ?

5? 4



方法二

(sin ? ? cos ? )(sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ) ? sin ? ? cos ? ? 0
2 2

? (sin ? ? cos ? )(1 ? sin ? cos ? ? 1) ? 0即 (sin ? ? cos ? )(2 ? sin ? cos ? ) ? 0
? 2 ? sin ? cos ? ? 0 恒成立? sin ? ? cos ? ? 0 即 sin ? ? co s ? ,? ? ? ? 0, 2 ?

?

?? ? (

? 5?
, 4 4

)。

三、

填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中的横线上.)

11.对于实数 x ? 0 ,规定: ? x ? 表示不超过 x 的最大整数. 则方程 ?2 sin x ? = ? x ? 的解集( x 以弧度为单位)是 [ 0 ,
?
6

) ? [1,

?
2

)?(

?
2

,2 ) 。

[提示或答案]:由 ? 2 sin x ? ? 2 知 : x ? 2 时无解(1)若 0 ? x ? 1, 则 ? x ? ? ? 2 sin x ? ? 0
? 0 ? 2 sin x ? 1 ? 0 ? sin x ? 1 2 ? 0? x?

?
6

(2)若 1 ? x ? 2, 则 ? 2 sin x ? ? ? x ? ? 1,? 1 ? 2 sin x ? 2 ?
?

1 2

? sin x ? 1

?
6

? x?

5? 6

且x ?

?
2
3

,? 1 ? x ? 2 且 x ?
2

?
2
1 2 , 0 ) 内单调递增,则实数 a 的

12.如果函数 f ( x ) ? lo g a ( x + a x ) ( a ? 0 , a ? 1) 在区间 ( ? 范围是
[ 3 4 ,1 )



[提示或答案]: 令 u ( x ) ? x ? a x , u ?( x ) ? 3 x ? 2 a x ? 3 x ( x ?
3 2 2

2a 3

) 2a 3 ? x ? 0 时,u ? ( x ) ? 0 ? u ( x ) 递

当x ? ?

2a 3

或 x ? 0 时,u ? ( x ) ? 0 ? u ( x ) 递增; ? 当

? 0 ? a ?1 3 ? 减,要使 f ( x ) 在 ( ? , 0 ) 内递增,必须 ? 2 a 1 ? ? a ?1 4 2 ? ? ?? 2 ? 3

1

13.如图是一个正方形纸盒的展开图,若把 1、2、3、4、5、6 分别填人小正方形后,再折 成正方体,则所得正方体对面上两数的和不都相等的概率是
14 15



[提示或答案]:考虑对立事件:a 与 b,c 与 d,e 与 f 为正方体的对面, ab 有 C 3 ? 2 种填法,cd 有 C 2 ? 2 种填法,ef 有 2 种填法
1 1

而整体填法共有 A6 ? A2 种填法,所以符合题意的概率为:
4 2

P ? 1?

6?4?2 A6 ? A2
4 2

?

14 15

14.已知两变量 x 、 y 之间的关系为 ln( y ? x ) ? ln y ? ln x ,则以 x 为自变量函数 y 的最小 值为 4 。 [提示或答案]:方法一
y ? 2 2 x ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1) ? 1 1 ?y ? x ? ? y ? ? ? x ?1? ? 2 ? 4 (? x ? 1 ) (当 x ? x ?1 x ?1 x ?1 ?y ? x ?0 ?

且仅当 x ? 2 时取等号) 方法二
y ? x? y x ?2 y ? y
2

? 4

y ?? 0(

y ?0 ) ? y ?4

15.已知点 P 是直线 x ? y ? 6 ? 0 上的动点, PA 、 PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的
2 2

两条切线, A , B 为切点, C 为圆心,则当四边形 PACB 的面积最小时点 P 的坐标为
( ? 3, ? 3) .

[提示或答案]: S P A C B ?
S P A C B 最小,? P A ?

1 2

PA ? r ?
2

1 2

PB ? r ?

1 2

r ( P A ? P B ) ? r ? P A ,? 当 PA 最小时,

C P ? 1 ? C P 最小时, P A 也最小,此时

?x ? y ? 6 ? 0 ? P ( ? 3, ? 3) ? ? x? y ?0

16 . 已 知 n ? N

*

, 多 项 式 P ( x )?

?

n

C n

r

n ?

x

r

( 2? x

1可 展 开 成 x 的 升 幂 排 列 )

r

r?0

a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ,则 a 0 ? a1 ? ? ? a n ?
2 n

4

n

[提示或答案]: ? C n x
r r?0

n

n?r

( 2 x ? 1) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ,
r 2 n

即 (3 x ? 1) ? a 0 ? a1 x ? ? ? a n x
n

n

? a 0 , a 2 , a 4 ? 都大于 0,a1 , a 3 , a 5 ? 都小于 0? (3 x ? 1) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x
n 2

n

令 x ? 1 得 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 4

n

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.有一组数据 : x 1 , x 2 , ? , x n ( x 1 ? x 2 ? ? ? x n ) 的算术平均值为 10,若去掉其中最大的 一个,余下数据的算术平均值为 9;若去掉其中最小的一个,余下数据的算术平均值为 11。 (1) 求出第一个数 x 1 关于 n 的表达式及第 n 个数 x n 关于 n 的表达式。 (2) 若 x 1 , x 2 , ? , x n 都是正整数,试求第 n 个数 x n 的最大值,并举出满足题目要求且 x n 取到最大值的一组数据。 [提示或答案]:
(1) ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 10 n ? 依条件得: ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 ? 9 ( n ? 1) ( 2 ) ? x ? x ? ? ? x ? 11 ( n ? 1) (3) 3 n ? 2

(1)

由 (1) ? ( 2 ) 得: x n ? n ? 9 ,

又由 (1) ? ( 3 ) 得: x1 ? 11 ? n

(2) 由于 x 1 是正整数,故 x1 ? 11 ? n ? 1 , ? 1 ? n ? 10 ,故 x n ? n ? 9 ? 19 当 n =10 时, x 1 ? 1 , x10 ? 19 , x 2 ? x 3 ? ? ? x 9 ? 80 , 此时, x 2 ? 6 , x 3 ? 7 , x 4 ? 8 , x 5 ? 9 , x 6
? 11 , x 7 ? 12

, x8

? 13

, x 9 ? 14 。

18.袋中有重量相等,大小一致的红、白球共 20 个,其中红球有 x 个 (1 ? x ? 20) ,从这袋 中取出 3 个球,取到 2 个红球和 1 个白球的概率为 P ( x ) , (1) 求 P (5) ; (2)问 x 为何值时, P ( x ) 取到最大值。 [提示或答案]: (1)袋中有 5 只红球和 15 只白球,从中取出 3 个球,其中 2 个红球和 1 个白球的概率为 P ?
C 5 C15 C 20
3 2 1

?

5 57

(2) P ( x ) ?

C x ? C 20 ? x
2 1

C 20

3

?

3 x ( x ? 1)( 2 0 ? x ) 2 0 ?1 9 ?1 8

记 g ( x ) ? ? x ( x ? 1)( x ? 20) ? ? x ? 21 x ? 20 x
3 2

2 由 g ?( x ) ? ? 3 x ? 4 2 x ? 2 0 ? 0 得 x ?

21 ? 3

381

,而 x ? 1 ,则 x ? 13.5 ? x ? 13 或 x ? 14

时 g ( x ) 取最大值 g (13) ? 13 ? 12 ? 7 ? g (14) ? 14 ? 13 ? 6
? x ? 1 3或 1 4 时 P ( x ) 取最大值

19.如图,矩形 ABCD 与 ADQP 所在平面垂直,将矩形 ADQP 沿 PD 对折,使得翻折后点 Q 落在 BC 上,设 AB=1,PA=h,AD=y.

(1)试求 y 关于 h 的函数解析式; (2)当 y 取最小值时,指出点 Q 的位置,并求出此时 AD 与平面 PDQ 所成的角; (3)在条件(2)下,求三棱锥 P—ADQ 内切球的半径. [提示或答案]:(1)显然 h>1,连接 AQ,∵平面 ABCD⊥平面 ADQP,PA⊥AD, ∴PA⊥平面 ABCD,由已知 PQ⊥DQ, ∴AQ⊥DQ,AQ=y2-h2. ∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ= h ? 1 ,∴
2

DQ AQ

?

CQ AB

,即

h y ?h
2 2

?

h ?1
2

.

1

∴y=

h
2

2

h ?1
2

(h>1).

(2)y=

h
2

2

h ?1

=

( h ? 1) ? 1
2

h ?1
2

= h ?1 +
2

1 h ?1
2

≥2,

当且仅当 h ? 1 ?

1 h ?1
2

,即 h= 2 时,等号成立. 此时 CQ=1,即 Q 为 BC 的中点,

于是由 DQ⊥平面 PAQ,知平面 PDQ⊥平面 PAQ,PQ 是其交线,则过 A 作 AE⊥平面 PDQ, ∴ ∠ ADE 就 是 AD 与 平 面 PDQ 所 成 的 角 , 由 已 知 得 AQ= AE=1,sinADE=
AE AD ? 1 2
2 ,PQ=AD=2, ∴

,∠ADE=30°
1 3

(3)设三棱锥 P-ADQ 的内切球半径为 r,则
1 3

(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)·r=VP-ADQ .

∵VP-ADQ=

S△ADQ·PA=
2? 2
2

2 3

,S△PAQ=1, S△PAD= 2 ,S△QAD=1,S△PDQ= 2 ,

∴r=

2 2?2 2

?

2

.

20.已知函数 f ( x ) ? x ? 4 a x ? a ( a ? R )
2

(1)如果关于 x 的不等式 f ( x ) ? x 的解集为 R ,求实数 a 的最大值; (2)在(1)的条件下,对于任意实数 x ,试比较 f
3

? f ? f ( x ) ?? 与 x 的大小;

(3)设函数 g ( x ) ? 2 x ? 3 a f ( x ) ,如果 g ( x ) 在区间 ? 0 ,1 ? 上存在极小值,求实数 a 的取值 范围。 [提示或答案]: (1) f ( x ) ? x 的解集为 R ,? x ? (4 a ? 1) x ? a ? 0 恒成立
2 2

? ? ? (4 a ? 1) ? 4 a ? 0即12 a ? 8 a ? 1 ? 0 解得 ?
2 2 2

1 2

? a ? ?

1 6



故 a 的最大值为 ?

1 6

(1) 由(1)得 f ( x ) ? x 恒成立, f 从而 f

? f ( x)? ?
2

f ( x) , f

? f ? f ( x ) ?? ? f ? f ( x ) ?
x

? f ? f ( x ) ?? ? f ? f ( x ) ? ?
3 2 2 2

f ( x ) ? x ,即 f
2

? f ? f ( x ) ?? ?
3

(2) 由已知可得 g ( x ) ? 2 x ? 3 ax ? 12 a x ? 3 a ,则
g ? ( x ) ? 6 x ? 6 ax ? 12 a ? 6( x ? ax ? 2 a ) ? 6( x ? a )( x ? 2 a )
2

令 g ?( x ) ? 0 得 x ? a 或 x ? ? 2 a ① 若 a ? 0 ,则 g ?( x ) ? 0 ? g ( x ) 在 R 上单调递增,在 ? 0 ,1 ? 上无极值 ② 若 a ? 0 ,则当 x ? ? 2 a 或 x ? a 时, g ?( x ) ? 0 ;当 ? 2 a ? x ? a 时, g ?( x ) ? 0
? 当 x ? a 时, g ( x ) 有极小值? g ( x ) 在区间 ? 0,1 ? 上存在极小值,? 0 ? a ? 1

③ 若 a ? 0 ,则当 x ? a 或 x ? ? 2 a 时, g ?( x ) ? 0 ;当 a ? x ? ? 2 a 时, g ?( x ) ? 0

?

当 x ? ? 2 a 时, g ( x ) 有极小值 ? g ( x ) 在区间 ? 0 ,1 ? 上存在极小值
1 2 ? a? 0

? 0 ? ? 2 a ? 1? ?

综上所述:当 ?

1 2

? a ? 0 或 0 ? a ? 1 时, g ( x ) 在区间 ? 0 ,1 ? 上存在极小值

21.如图,在 y 轴的正半轴上依次有点 A1 , A2 , ? , An , ? 其中点 A1 (0,1), A2 (0,10), 且 An ?1 An ? 3 An An ? 1 ( n ? 2, 3, 4, ? ) ,在射线 y ? x ( x ? 0 ) 上 依次有点 B1 , B 2 , ? , B n , ? ,点 B1 的坐标为 (3, 3) , 且 O B n ? O B n ? 1 ? 2 2 ( n ? 2, 3, 4, ? ) (1) 用含 n 的式子表示 An An ? 1 ; (2) 用含 n 的式子表示 A n , B n 的坐标; (3)四边形 An An ? 1 B n ? 1 B n 面积的最大值 [提示或答案]: (1)?
An An ?1 An ?1 An ? 1 3 , 且 A1 A 2 ? 1 0 ? 1 ? 9

1 n ?1 1 n ?1 1 n?3 ? A n A n ? 1 ? A1 A 2 ( ) ? 9( ) ?( ) 3 3 3

(2)由(1)得 A1 A 2 ? A 2 A3 ? ? ? A n ? 1 A n ? 9 ? 3 ? 1 ? ? ? ( )
3

1

n?4

?

27 2

?

1 1 n?4 ( ) 2 3

?
?

点 A n 的坐标 (0,

29 2

?

1 1 n?4 ( ) ) ,? O B n ? O B n ? 1 ? 2 2 且 O B1 ? 3 2 2 3

? O B ? 是以 3
n

2 为首项, 2 2 为公差的等差数列

? O B n ? 3 2 ? ( n ? 1)2 2 ? (2 n ? 1) 2 ,? B n (2 n ? 1, 2 n ? 1)

(3) 连接 A n B n ? 1 ,设四边形 An An ? 1 B n ? 1 B n 的面积为 S n ,则
S n ? S ?A
29 2

n

A n ?1 B n ?1

? S ?B

n B n ?1 A n

?

1 ? 1 n?3 ? 1 ? 2 9 2 7 1 n ?1 ? 2 ( ) ? ( 2 n ? 3) ? ? 2 2 ? ? ( ) ? 3 ? ? 2 ? 2 2? 2 2 3 ? ? ?
3 ? 6n 3
n ?1

?

? 3

9 n
n ?1

? S n ?1 ? S n ? 29 2 ?9?

? 0 ,即 S n ? 1 ? S n ? ? S n ? 单调递减

? S n 的最大值为 S 1 ?

47 2


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