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河北省承德市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案(含解析)新人教A版选修2_1

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2.3.1 双曲线及其标准方程

1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的几何性质.

2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题

重点:双曲线的定义及其标准方程.难点:双曲线标准方程的推导.

方 法:合作探究

一新知导学 双曲线的几何性质 1.在双曲线方程中,以-x、-y 代替 x、y 方程不变,因此双曲线是以 x 轴、

课堂随 笔:

y 轴为对称轴的__________图形;也是以原点为对称中心的__________图形,

这个对称中心叫做__________________.

2.在双曲线的定义

强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”0<2a<|F1F2|不应忽视,若 2a=|F1F2|, 则动点的轨迹是__________;若 2a>|F1F2|,则动点的轨迹是__________.注

意关键词“________”,若去掉定义中“__________”三个字,动点轨迹只能

是____________.

3.双曲线的标准方程

焦点在 x 轴上的标准方程为__________ ,焦点在 y 轴上的标准方程为_______.

4.在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为___________.

椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.

椭圆

双曲线

定义

标准方程

abc 的关系

5.在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴上是看 x2、y2 项__________的大小,

而在双曲线标准方程中,判断焦点在哪个轴上,是看 x2、y2__________的符号.

牛刀小试 1

1.已知两定点 F1(-3,0)、F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹

中,是双曲线的是( )

1

A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|-|PF2||=6 C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||=0 2.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )

A.( 22,0)

B.( 25,0)

C.( 26,0)

x2 y2 3.双曲线10- 2 =1 的焦距为( )

D.( 3,0)

A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3 4.(2015·福建理)若双曲线 E:x92-1y62 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3

椭圆标准方程 若椭圆的焦点在 x 轴上,可设它的标准方程为 若椭圆的焦点在 y 轴上,椭圆的标准方程为

(a>b>0) (a>b>0)

若不能确定焦点的位置,就需分类讨论;或避免讨论

利用椭圆方程的一般形式(通常设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)); 牛刀小试 2
x2 y2 1.椭圆25+169=1 的焦点坐标是( )

A(±5,0)

B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)

x2 y2 2.椭圆16+ 7 =1

的左、右焦点分别为

F1、F2,一直线过

F1 交椭圆于

A、B



点,则△ABF2 的周长为( ) A.32 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

B.16

C.8

D.4

1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆上一点 P 与两焦点的距离的

和等于 8;

2)两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且椭圆经过点( 3,- 5).

(一)双曲线定义的应用 【例一】椭圆xm2+yn2=1(m>n>0)与双曲线xa2-yb2=1(a>0,b>0)有相同的焦
2

点 F1,F2,且 P 是这两条曲线的一个交点,求|PF1|·|PF2|的值.

跟踪训练 1 .

P

x2 y2 是双曲线64-36=1

上一点,F1、F2

是双曲线的两个焦点,且

|PF1|=17,则|PF2|的值为______________.

(二)待定系数法求双曲线的标准方程 【例二】 1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线经过点(3,-4 2) 和(94,5),求双曲线的标准方程;
x2 y2 2)求与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线方程.

跟踪训练 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),经过点 A(-5,6); x2 y2 (2)与椭圆16+25=1 共焦点,且过点(-2, 10).

(三)双曲线的焦点三角形问题 【例三】设双曲线x42-y92=1,F1、F2 是其两个焦点,点 P 在双曲线右支上.
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2 的面积; (2)若∠F1PF2=60°时,△F1PF2 的面积是多少?若∠F1PF2=120°时,△ F1PF2 的面积又是多少?
3

跟踪训练

3



F1、F2

x2 y2 是双曲线 9 -16=1

的两个焦点,P

在双曲线上,且

后记与感

|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

悟:

(四)分类讨论思想的应用 【例四】已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数,对于不同范围的 k 值分别指 出方程所表示的曲线类型.

x2

y2

跟踪训练 4.讨论方程5-m+2-m=1(m<3)所表示的曲线类型.

课后作业 1.(2015·江西南昌四校联考)已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则 动点 P 的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 2.双曲线 3x2-4y2=-12 的焦点坐标为( )
A.(±5,0) B.(0,± 5) C.(± 7,0) D.(0,± 7)
4

x2

y2

3.已知方程1+k-1-k=1

表示双曲线,则

k

的取值范围是(

)

A.-1<k<1 B.k>0 C.k≥0 D.k>1 或 k<-1

x2 y2 4.椭圆 4 +m2=1

x2 y2 与双曲线m2- 2 =1

有相同的焦点,则

m

的值是(

)

A.±1 B.1 C.-1 D.不存在

5.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,线段 AB 的长为 5,若 2a=8,那么△ABF2 的周长是( )
A.16 B.18 C.21 D.26

思考:已知定点 A(-3,0)和定圆 C:(x-3)2+y2=16,动圆和圆 C 相外切,并

且过定点 A,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

答案

牛刀小试 1 A C D B

例一 解析:由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2 m,



由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2 a,



由①2 减去②2 的差再除以 4 得|PF1|·|PF2|=m-a.

跟踪训练 1. 33

y2 x2 例二 1)双曲线的标准方程为16- 9 =1.

2)解法一:设双曲线方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0),由题意易求得 c=2 5.

(3 2)2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ a2 -b2=1.

又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8.

x2 y2 故所求双曲线的方程为12- 8 =1.

x2

y2

解法二:设双曲线方程为16-k-4+k=1,

将点(3 2,2)代入得 k=4, x2 y2
∴所求双曲线方程为12- 8 =1.

5

y2 x2

y2 x2

跟踪训练 2. 1)双曲线方程为16-20=1. 2) 5 - 4 =1

例三[解析] (1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2), 如图所示.由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4, 两边平方得 r21+r22-2r1r2=16. ∵∠F1PF2=90°, ∴r21+r22=4c2=4×( 13)2=52. ∴2r1r2=52-16=36,∴S△F1PF2=12r1r2=9.

(2)若∠F1PF2=60°,在△F1PF2 中,由余弦定理得 |F1F2|2=r21+r22-2r1r2cos60°=(r1-r2)2+r1r2, 而 r1-r2=4,|F1F2|=2 13,∴r1r2=36.

于是 S△F1PF2=12r1r2sin60°=12×36× 23=9 3.

同理可求得若∠F1PF2=120°时,S△F PF =3 3. 12
跟踪训练 3 ∠F1PF2=90° 例 4(1)当 k=0 时,y=±2,表示两条与 x 轴平行的直线;

(2)当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为 2 的圆;

(3)当

k<0

y2 时,方程为 4 -

x2 4=1,表示焦点在

y

轴上的双曲线;

-k

(4)当

0<k<1

x2 y2 时,方程为 4 + 4 =1,表示焦点在

x

轴上的椭圆;

k

(5)当

k>1

x2 y2 时,方程为 4 + 4 =1,表示焦点在

y

轴上的椭圆.

k

跟踪训练 4:当 2<m<3 时,5-m>0,2-m<0,此时方程5-x2 m+2-y2 m=1 表示焦点 在 x 轴上的双曲线;当 m<2 时,5-m>2-m>0,此时方程5-x2 m+2-y2 m=1 表示

焦点在 x 轴上的椭圆.

跟踪训练 5

课时作业 C D A A D (思考):设 M(x,y),设动圆与圆 C 的切点为 B,|BC|=4,则|MC|=|MB|+|BC|,

6

|MA|=|MB|,所以|MC|=|MA|+|BC|,即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|. 所以由双曲线的定义知,M 点轨迹是以 A,C 为焦点的双曲线的左支,且 a=2, c=3,所以 b2=5. 所以所求圆心 M 的轨迹方程是x42-y52=1(x≤-2).
7


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