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2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

2015 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
一 .填空题:本大题共 20 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. (5 分) (2015?盐城一模)设集合 M={2,0,x},集合 N={0,1},若 N?M,则 x= 2. (5 分) (2015?盐城一模)若复数 (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a= . .

3. (5 分) (2015?盐城一模)在一次射箭比赛中,某运动员 5 次射箭的环数依次是 9,10,9,7,10,则该组数据 的方差是 . 4. (5 分) (2015?盐城一模)甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2,甲、乙下和棋的概率为 0.5,则乙获胜 的概率为 . .
2 5. (5 分) (2015?盐城一模) 若双曲线 x2 ﹣y2 =a( a>0) 的右焦点与抛物线 y2 =4x 的焦点重合, 则 a=

6. (5 分) (2015?盐城一模)运行如图所示的程序后,输出的结果为



7. (5 分) (2015?盐城一模)已知变量 x,y 满足

,则 2x+y 的最大值为



8. (5 分) (2015?盐城一模) 若一个圆锥的底面半径为 1, 侧面积是底面积的 2 倍, 则该圆锥的体积为 9. (5 分) (2015?盐城一模)若函数 ,且该函数图象关于点(x0 ,0)成中心对称, ,则 x0 =



图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 .

10. (5 分) (2015?盐城一模) 若实数 x, y 满足 x>y>0, 且 log2 x+log2 y=1, 则

的最小值为



11. (5 分) (2015?盐城一模) 设向量 = (sin2θ, cos θ) ,= (cos θ, 1) , 则“ ∥ ”是“tanθ= ”成立的 件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .



12. (5 分) (2015?盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y=﹣x+2 与圆 x +y =r 交于 A,B 两点,O 为坐 标原点,若圆上一点 C 满足 = + 则 r= .
x

2

2

2

13. (5 分) (2015?盐城一模)已知 f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当 x∈(0,2]时,f(x)=2 ﹣1,函数 g 2 (x) =x ﹣2x+m. 如果对于?x1 ∈[﹣2, 2] , ?x2∈[﹣2, 2], 使得 g (x2) =f (x1 ) , 则实数 m 的取值范围是 . n * 14. (5 分) (2015?盐城一模)已知数列{an }满足 a1 =﹣1,a2 >a1 ,|an+1 ﹣an |=2 (n∈N ) ,若数列{a2n ﹣1 }单调递减, 数列{a2n}单调递增,则数列{an}的通项公式为 an = . 15. (5 分) (2015?盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中设锐角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交 于点 P(x1 ,y1 ) ,将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 (1)求函数 f(α)的值域;
1

后与单位圆交于点 Q(x2 ,y2 )记 f(α)=y1 +y2

(2)设△ ABC 的角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 f(C)=

,且 a=

,c=1,求 b.

16. (15 分) (2015?盐城一模)如图,在正方体 ABCD﹣ A1 B1 C1 D1 中,O,E 分别为 B1 D,AB 的中点. (1)求证:OE∥ 平面 BCC1 B1 ; (2)求证:平面 B1 DC⊥ 平面 B1 DE.

17. (12 分) (2015?盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

的右准线方程为 x=4,

右顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,斜率为 2 的直线 l 经过点 A,且点 F 到直线 l 的距离为 (1)求椭圆 C 的标准方程;



(2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P,当 B,F,P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率.

2

18. (5 分) (2015?盐城一模)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲 线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0 ,t) (0<t≤25,单位:米) ;曲线 BC 是抛物线 y=﹣ax2 +50(a>0) 的一部分;CD⊥ AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆的高 OB=50 米. (1)若要求 CD=30 米,AD= 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 ,求 AD 的最大值. ,则 )

(参考公式:若

19. (5 分) (2015?盐城一模)设数列{an }是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 a5=64,S5 ﹣S3 =48. (1)求数列{an }的通项公式; (2)对于正整数 k,m,l(k<m<l) ,求证:“m=k+1 且 l=k+3”是“5ak ,am,al 这三项经适当排序后能构成等差数 列”成立的充要条件; (3)设数列{bn }满足:对任意的正整数 n,都有 a1 bn +a2 bn ﹣1 +a3 bn ﹣2 +…+an b1 =3?2 中有且仅有 3 个元素,试求 λ 的取值范围.
n+1

﹣4n﹣6,且集合

3

20. (5 分) (2015?盐城一模)已知函数 f(x)=ex ,g(x)=mx+n. (1)设 h(x)=f(x)﹣g(x) . ① 若函数 h(x)在 x=0 处的切线过点(1,0) ,求 m+n 的值; ② 当 n=0 时,若函数 h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,求 m 的取值范围; (2)设函数 r(x)= + ,且 n=4m(m>0) ,求证:当 x≥0 时,r(x)≥1.

A、 (选修 4-1:几何证明选讲) 21. (5 分) (2015?盐城一模)如图,已知点 P 为 Rt△ ABC 的斜边 AB 的延长线上一点,且 PC 与 Rt△ ABC 的外接 圆相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,若 PA=18,PC=6,求线段 CD 的长.

B、 (选修 4-2:矩阵与变换)

22. (2015?盐城一模)求直线 x﹣y﹣1=0 在矩阵

的变换下所得曲线的方程.

三 .C、 (选修 4-4:坐标系与参数方程)
4

23. (2015?盐城一模)在极坐标系中,求圆 ρ=2cos θ 的圆心到直线 24. (8 分) (2015?盐城一模)解不等式|x+1|+|x﹣2|<4.

的距离.

25. (10 分) (2015?盐城一模) 如图, 在直三棱柱 ABC﹣ A1 B1 C1 中, AB⊥ AC, AB=3, AC=4, 动点 P 满足 (λ>0) ,当 λ= 时, AB1 ⊥ BP. (1)求棱 CC1 的长; (2)若二面角 B1 ﹣AB﹣P 的大小为 ,求 λ 的值.

26. (10 分) (2015?盐城一模)设集合 S={1,2,3,…,n}(n∈N* ,n≥2) ,A,B 是 S 的两个非空子集,且满足集 合 A 中的最大数小于集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对( A, B)的个数为 Pn . (1)求 P2 ,P3 的值; (2)求 Pn 的表达式.

5

2015 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一 .填空题:本大题共 20 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. (5 分) (2015?盐城一模)设集合 M={2,0,x},集合 N={0,1},若 N?M,则 x= 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用. 集合. 根据条件 N?M,确定元素关系,进行求解即可,从而得到 x 的值. 解:∵ 集合 M={2,0,x},N={0,1}, ∴ 若 N?M,则集合 N 中元素均在集合 M 中, ∴ x=1. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查集合的包含关系的应用,利用 N?M,确定元素关系.一般集合中问题,如果含有参数, 求解之后要注意对集合进行验证.属于基础题.

1



菁 优 网 权 版 所 有

2. (5 分) (2015?盐城一模)若复数

(其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a=

﹣1



考点: 专题: 分析: 解答:

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数.

菁 优 网 权 版 所 有

利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出. 解:复数 = =﹣ai+1,

∵ Z 的实部与虚部相等, ∴ ﹣a=1, 解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义,属于基础题.

3. (5 分) (2015?盐城一模)在一次射箭比赛中,某运动员 5 次射箭的环数依次是 9,10,9,7,10,则该组数据 的方差是 .

考点: 专题: 分析: 解答:

极差、方差与标准差. 概率与统计.

菁 优 网 权 版 所 有

根据平均数与方差的公式进行计算即可. 解:数据 9,10,9,7,10 的平均数是 = (9+10+9+7+10)=9, ∴ 它的方差是 s 2 = [(9﹣9)2 +(10﹣9)2 +(9﹣9)2 +(7﹣9)2+(10﹣9)2 ]= . 故答案为: .

点评:

本题考查了计算数据的平均数与方差的问题,是基础题目.
6

4. (5 分) (2015?盐城一模)甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2,甲、乙下和棋的概率为 0.5,则乙获胜 的概率为 0.3 考点: 专题: 分析: 解答: . 相互独立事件的概率乘法公式. 概率与统计.

菁 优 网 权 版 所 有

利用互斥事件概率加法公式及对立事件概率减法公式,结合已知计算求解. 解:∵ “乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件. 且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件. ∵ 甲获胜的概率为 0.2,甲、乙下和棋的概率为 0.5, ∴ 乙获胜的概率 P=1﹣(0.2+0.5)=0.3. 故答案为:0.3 正确理解互斥事件及其概率加法公式及对立事件概率减法公式,是解题的关键.

点评:

5. (5 分) (2015?盐城一模)若双曲线 x2 ﹣y2 =a2 (a>0)的右焦点与抛物线 y2 =4x 的焦点重合,则 a=



考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程.
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先根据抛物线 y2 =4x 的方程求出焦点坐标,得到双曲线的 c 值,进而根据双曲线的性质得到答案. 解:抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0) , 2 2 2 故双曲线 x ﹣y =a (a>0)的右焦点坐标为(1,0) , 故 c=1, 由双曲线 x2 ﹣y2 =a2 的标准方程为: 故 2a2 =1, 又由 a>0, ∴ a= . ,
2

故答案为: 点评: 本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题,同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考 查. .

6. (5 分) (2015?盐城一模)运行如图所示的程序后,输出的结果为 42

考点: 专题: 分析:

伪代码. 算法和程序框图.
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模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 i,s 的值,当 i=10 时,不满足条件 i<8,退出循环,输 出 s 的值为 42.
7

解答:

解:模拟执行程序,有 i=1,s=0, 满足条件 i<8,i=4,s=8, 满足条件 i<8,i=7,s=22, 满足条件 i<8,i=10,s=42, 不满足条件 i<8,退出循环,输出 s 的值为 42. 故答案为:42.

点评:

本题考查循环结构框图的应用,注意退出循环的条件,考查计算能力,属于基础题.

7. (5 分) (2015?盐城一模)已知变量 x,y 满足

,则 2

x+y

的最大值为 8



考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划.

菁 优 网 权 版 所 有

不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,设 z=x+y,利用 z 的几何意义,先求出 z 的最大值,即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

设 z=x+y,则 y=﹣x+z, 平移直线 y=﹣x+z,由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时 y=﹣x+z 的截距最大,此时 z 最大. 由 ,

解得

,即 A(1,2) ,

代入 z=x+y 得 z=1+2=3. 即 z=x+y 最大值为 3, ∴ 2x+y 的最大值为 23 =8. 故答案为:8. 本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算, 利用 z 的几何意义结合数形结合是解决本题的关 键.

点评:

8. (5 分) (2015?盐城一模)若一个圆锥的底面半径为 1,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体积为



考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) .

菁 优 网 权 版 所 有

空间位置关系与距离. 由已知中,圆锥的底面半径为 1,侧面积是底面积的 2 倍,分析圆锥的母线长,进而求出圆锥的高, 结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答. 解:∵ 圆锥的底面半径 r=1,侧面积是底面积的 2 倍,
8

∴ 圆锥的母线长 l=2, 故圆锥的高 h= 故圆锥的体积 V= 故答案为: 点评: . = = , = ,

本题考查的是圆锥的体积求解问题.在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想 的应用.值得同学们体会反思.

9. (5 分) (2015?盐城一模)若函数 ,且该函数图象关于点(x0 ,0)成中心对称, ,则 x0 =

图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 计算题;三角函数的图像与性质.

菁 优 网 版 权 有 所

利用两角和的正弦公式化简 f(x) ,然后由 f(x0 )=0 求得[0, 解:∵ 函数 ∴ ∴ ω=2 ∴ f(x)=sin(2x+ ) . =π ,

]内的 x0 的值. ,

图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

∵ f(x)的图象关于点(x0 ,0)成中心对称, ∴ f(x0 )=0,即 sin(2x0 + ∴ 2x0 + ∴ x0 = =kπ, ﹣ ,k∈Z, ], )=0,

∵ x0 ∈[0, ∴ x0 = .

故答案为: 点评:



本题考查两角和与差的正弦函数,考查了正弦函数的对称中心的求法,属于基本知识的考查.

10. (5 分) (2015?盐城一模)若实数 x,y 满足 x>y>0,且 log2 x+log2 y=1,则

的最小值为 4



考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质. 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
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先根据对数的运算性质求出 xy=2,再根据基本不等式求出最小值即可 解:∵ log2 x+log2 y=1,
9

∴ log2 xy=1=log2 2, ∴ xy=2, ∴ = =(x﹣y)+ ≥2 =4,但且仅当 x=1+ ,y= ﹣1

时取等号, 故 的最小值为 4,

故答案为:4. 点评: 本题考查了对数的运算性质和基本不等式,属于中档题

11. (5 分) (2015?盐城一模)设向量 =(sin2θ,cos θ) , =(cos θ,1) ,则“ ∥ ”是“tanθ= ”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据向量平行的坐标关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
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必要不充分

解:若 ∥ ,则 sin2θ﹣cos θcos θ=0, 即 2sinθcos θ﹣cos θcos θ=0, 即 cos θ(2sinθ﹣cos θ)=0, 则 cos θ=0 或 tanθ= , 故 ∥ ”是“tanθ= ”成立必要不充分条件, 故答案为:必要不充分. 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键.
2 2 2

点评:

12. (5 分) (2015?盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y=﹣x+2 与圆 x +y =r 交于 A,B 两点,O 为坐 标原点,若圆上一点 C 满足 = + 则 r= .

考点: 专题: 分析:

直线与圆的位置关系. 计算题. 设

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,由 可求

=

+

两边同时平方可求 cos θ,结合 θ 的范围及公式

, 结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心 O 到直线 x+y﹣2=0

的距离为 d,进而可求 r 解答: 解:由题意可得, 设 则 ∵ = = +
10

=r ,θ∈[0,π] =r2cos θ

两边同时平方可得, 即 ∴ cos θ= ∵ ∴ 且 cos ∴ =

= ×



设圆心 O 到直线 x+y﹣2=0 的距离为 d,则 d=rcos 即

=

点评:

∴ r= 故答案为: 本题主要考查了直线与圆心的位置关系,三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键.
x

13. (5 分) (2015?盐城一模)已知 f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当 x∈(0,2]时,f(x)=2 ﹣1,函数 g 2 (x)=x ﹣2x+m.如果对于?x1 ∈[﹣2,2],?x2 ∈[﹣2,2],使得 g(x2 )=f(x1 ) ,则实数 m 的取值范围是 [﹣5, ﹣2] . 考点: 专题: 分析: 解答: 指数函数综合题;特称命题.

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函数的性质及应用. 求出函数 f(x)的值域,根据条件,确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 解:∵ f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,∴ f(0)=0, x 当 x∈(0,2]时,f(x)=2 ﹣1∈(0,3], 则当 x∈[﹣2,2]时,f(x)∈[﹣3,3], 若对于?x1 ∈[﹣2,2],?x2 ∈[﹣2,2],使得 g(x2 )=f(x1 ) , 则等价为 g(x)max ≥3 且 g(x)min ≤﹣3, ∵ g(x)=x ﹣2x+m=(x﹣1) +m﹣1,x∈[﹣2,2], ∴ g(x)max =g(﹣2)=8+m,g(x)min =g(1)=m﹣1, 则满足 8+m≥3 且 m﹣1≤﹣3, 解得 m≥﹣5 且 m≤﹣2, 故﹣5≤m≤﹣2, 故答案为:[﹣5,﹣2] 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及函数最值之间的关系,综合性较强.
2 2

点评:

14. (5 分) (2015?盐城一模)已知数列{an }满足 a1 =﹣1,a2 >a1 ,|an+1 ﹣an |=2n (n∈N* ) ,若数列{a2n ﹣1 }单调递减, 数列{a2n}单调递增,则数列{an}的通项公式为 an = .

考点: 专题: 分析:

数列的函数特性;数列的求和. 等差数列与等比数列.

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方法一:先采用列举法得 a1 =﹣1,a2 =1,a3 =﹣3,a4 =5,a5 =﹣11,a4=21,…,然后从数字的变化上找

11

规律,得 方法二: 由 ,

,再利用“累加求和”即可得出. , 可得 ; ;又 a2 >a1 ,可得 ,即可 ,

而{a2n ﹣1 }递减,a2n+1 ﹣a2n ﹣1 <0,故 同理,由{a2n}递增,得 得出. 解答:

解:方法一:先采用列举法得 a1 =﹣1,a2 =1,a3 =﹣3,a4=5,a5 =﹣11,a6 =21,…, 然后从数字的变化上找规律,得 ∴ an =(an ﹣an ﹣1 )+(an ﹣1 ﹣an ﹣2 )+…+(a2 ﹣a1 )+a1 n n ﹣1 n ﹣1 n ﹣2 2 =(﹣1) ?2 +(﹣1) ?2 +…﹣2 +2﹣1 = 方法二:∵ ∴ = , , ; ; ,以下同上. . ,



而{a2n ﹣1 }递减,∴ a2n+1 ﹣a2n ﹣1 <0,故 同理,由{a2n}递增,得 又 a2 >a1 ,∴ 点评:

本题考查了含绝对值数列的单调性,考查了猜想归纳方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

15. (5 分) (2015?盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中设锐角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交 于点 P(x1 ,y1 ) ,将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 (1)求函数 f(α)的值域; (2)设△ ABC 的角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 f(C)= ,且 a= ,c=1,求 b. 后与单位圆交于点 Q(x2 ,y2 )记 f(α)=y1 +y2

考点: 专题: 分析: 解答:

任意角的三角函数的定义;直线与圆的位置关系. 三角函数的图像与性质.

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(1)根据三角函数的定义求出函数 f(α)的表达式,即可求出处函数的值域; (2)根据条件求出 C,根据余弦定理即可得到结论. 解: (Ⅰ )由三角函数定义知,y1 =sinα,y2 =sin(α+
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)=cos α,

f(α)=y1 +y2 =cos α+sinα= ∵ 角 α 为锐角, ∴ <α+ < , )≤1, )≤ ,

sin(α+

) ,

∴ <sin(α+ ∴ 1< sin(α+

则 f(α)的取值范围是(1, ]; (Ⅱ )若 f(C)= ,且 a= ,c=1, 则 f(C)═ sin(C+ 即 sin(C+ 则 C= , )=1, )= ,

由余弦定理得 c2 =a2+b2 ﹣2abcosC, 即 1=2+b ﹣2
2 2

×

b,

点评:

则 b ﹣2b+1=0, 即(b﹣1)2 =0, 解得 b=1. 本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用,根据条件求出函数的解析式是解决本题的关 键.

16. (15 分) (2015?盐城一模)如图,在正方体 ABCD﹣ A1 B1 C1 D1 中,O,E 分别为 B1 D,AB 的中点. (1)求证:OE∥ 平面 BCC1 B1 ; (2)求证:平面 B1 DC⊥ 平面 B1 DE.

考点: 专题: 分析:

平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 证明题;空间位置关系与距离.

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(1) :连接 BC1 ,设 BC1 ∩ B1 C=F,连接 OF,可证四边形 OEBF 是平行四边形,又 OE?面 BCC1 B1 , BF ?面 BCC1 B1 ,可证 OE∥ 面 BCC1 B1 . (2)先证明 BC1 ⊥ DC,再证 BC1 ⊥ 面 B1 DC,而 BC1 ∥ OE,OE⊥ 面 B1 DC,又 OE ?面 B1 DE,从而可 证面 B1 DC⊥ 面 B1 DE.

解答: 证明: ( 1) :连接 BC1 ,设 BC1 ∩ B1 C=F,连接 OF,…2 分 因为 O,F 分别是 B1 D 与 B1 C 的中点,所以 OF∥ DC,且 又 E 为 AB 中点,所以 EB∥ DC,且 d1 =1,
13



从而

,即四边形 OEBF 是平行四边形,

所以 OE∥ BF,…6 分 又 OE?面 BCC1 B1 , BF?面 BCC1 B1 , 所以 OE∥ 面 BCC1 B1 .…8 分 (2)因为 DC⊥ 面 BCC1 B1 , BC1 ?面 BCC1 B1 , 所以 BC1 ⊥ DC,…10 分 又 BC1 ⊥ B1 C,且 DC, B1 C?面 B1 DC,DC∩ B1 C=C, 所以 BC1 ⊥ 面 B1 DC,…12 分 而 BC1 ∥ OE,所以 OE ⊥ 面 B1 DC,又 OE ?面 B1 DE, 所以面 B1 DC⊥ 面 B1 DE.…14 分 解读:初稿是:如图,在正方体 ABCD﹣ A1 B1 C1 D1 中,E 为 AB 的中点. (1)求证:BC1 ∥ 面 B1 DE; (2)求证:面 B1 DC⊥ 面 B1 DE 讨论时,有老师提出第(1)小题偏难了,所以作了修改.

点评:

本题主要考察了平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,属于基本知识的考查.

17. (12 分) (2015?盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

的右准线方程为 x=4,

右顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,斜率为 2 的直线 l 经过点 A,且点 F 到直线 l 的距离为



(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P,当 B,F,P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率.

考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题. 圆锥曲线中的最值与范围问题.
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(1)由题意知,直线 l 的方程为 y=2(x﹣a) ,即 2x﹣y﹣2a=0,利用点到直线的距离公式可得:右

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焦点 F 到直线 l 的距离为 其 a2 =c 2+b2 ,解出即可. (2)方法一:由(1)知 方程联立可得 P,即可得出 kPA;

,化为 a﹣c=1,又椭圆 C 的右准线为 x=4,即

,及

,F(1,0) ,直线 BF 的方程为

,与椭圆

方法二:由(1)知 ,F(1,0) ,直线 BF 的方程为 ,由题 A (2,0) , 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) ,联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出. 方法三:由题 A(2,0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) ,与椭圆方程可得 解答: 根与系数的关系,利用 B,F,P 三点共线 kBP=kBF,解出即可. 解: (1)由题意知,直线 l 的方程为 y=2(x﹣a) ,即 2x﹣y﹣2a=0, ∴ 右焦点 F 到直线 l 的距离为 ∴ a﹣c=1, 又椭圆 C 的右准线为 x=4,即 ∴
2





,将此代入上式解得 a=2,c=1,

∴ b =3, ∴ 椭圆 C 的方程为 (2)方法一:由(1)知 ∴ 直线 BF 的方程为 . ,F(1,0) , ,

联立方程组

,解得



(舍) ,即



∴ 直线 l 的斜率



方法二:由(1)知 ∴ 直线 BF 的方程为

,F(1,0) , ,由题 A(2,0) ,显然直线 l 的斜率存在, ,

设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) ,联立方程组

解得



代入椭圆解得: 又由题意知, ∴ .



, 得 k>0 或 ,

方法三:由题 A(2,0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) ,
15

联立方程组

,得(4k +3)x ﹣16k x+16k ﹣12=0,

2

2

2

2









当 B,F,P 三点共线时有,kBP =kBF,



,解得





又由题意知, ∴ .

得 k>0 或



点评:

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜 率计算公式、三点共线,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

18. (5 分) (2015?盐城一模)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0,t) (0<t≤25,单位:米) ;曲线 BC 是抛物线 y=﹣ax2 +50(a>0) 的一部分;CD⊥ AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆的高 OB=50 米. (1)若要求 CD=30 米,AD= 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 ,求 AD 的最大值. ,则 )

(参考公式:若

考点: 专题: 分析:

导数在最大值、最小值问题中的应用. 导数的综合应用.

菁 优 网 权 版 所 有

2 (1) 由 CD=50﹣t=30, 解得 t=20. 可得圆 E: x2 + (y﹣20) =302 , 令 y=0, 得|AO|, 即可得出|OD|=|AD|

﹣|AO|,将点 C 代入 y=﹣ax2 +50(a>0)中,解得 a 即可.

16

(2)由于圆 E 的半径为 50﹣t,可得 CD=50﹣t,在 y=﹣ax2 +50 中,令 y=50﹣t,得 知 即 (3)当 从而 方法一:利用导数研究其单调性极值即可; 方法二: (三角换元)令 方法三:令 对 t∈(0,25]恒成立, 恒成立,利用基本不等式的性质解出即可. 时, ,又圆 E 的方程为 x2+(y﹣t)2 =(50﹣t)2 ,令 y=0,得 ,

,由题意



,利用三角函数的单调性值域,解出即可; ,则题意相当于:已知 x +y =25(x≥0,y≥0) ,求 z=AD=5×(2x+y)
2 2

的最大值.利用线性规划的有关知识解出即可. 解答: 解: (1)∵ CD=50﹣t=30,解得 t=20. 此时圆 E:x2 +(y﹣20)2 =302 , 令 y=0,得 , ∴ 将点 解得 .
2



代入 y=﹣ax +50(a>0)中,

(2)∵ 圆 E 的半径为 50﹣t, ∴ CD=50﹣t,在 y=﹣ax2 +50 中,令 y=50﹣t,得 则由题意知 ∴ 故 (3)当 恒成立,而当 ,解得 时,
2



对 t∈(0,25]恒成立, ,即 t=25 时, 取最小值 10,

. ,
2 2

又圆 E 的方程为 x +(y﹣t) =(50﹣t) , 令 y=0,得 ∴ 从而 , , ,

又∵ 令 f' (t)=0,得 t=5,



当 t∈(0,5)时,f' (t)>0,f(t)单调递增;当 t∈(5,25)时,f' (t)<0,f(t)单调递减,从 而当 t=5 时,f(t)取最大值为 25 答:当 t=5 米时,AD 的最大值为 25 . 米.

17

(3)方法二: (三角换元)令 = ,其中 ? 是锐角,且 从而当 方法三:令 的最大值. 点评: , 米.

,则

时,AD 取得最大值为 25

,则题意相当于:已知 x2 +y2 =25(x≥0,y≥0) ,求 z=AD=5×(2x+y)

根据线性规划知识,当直线 y=﹣2x+z 与圆弧 x2+y2 =25 (x≥0,y≥0)相切时,z 取得最大值为 25 米. 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、 利用导数研究函数的单调性极值与最值、 三角函数换元、 线性规划的有关知识,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

19. (5 分) (2015?盐城一模)设数列{an }是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 a5 =64,S5 ﹣S3 =48. (1)求数列{an }的通项公式; (2)对于正整数 k,m,l(k<m<l) ,求证:“m=k+1 且 l=k+3”是“5ak ,am ,al 这三项经适当排序后能构成等差数 列”成立的充要条件; (3)设数列{bn }满足:对任意的正整数 n,都有 a1 bn +a2 bn ﹣1 +a3 bn ﹣2 +…+an b1 =3?2n+1 ﹣4n﹣6,且集合 中有且仅有 3 个元素,试求 λ 的取值范围.

考点: 专题: 分析:

等差数列与等比数列的综合;数列与不等式的综合. 等差数列与等比数列.

菁 优 网 权 版 所 有

(1)由题意和等比数列的性质先求出 a3 ,由等比数列的通项公式、前 n 项和的定义求出公比 q,代入 等比数列的通项公式化简即可; (2)由充要条件的定义分别证明充分性、必要性,顺序分类讨论后分别利用等差数列的性质和 an 进 行证明; (3)由(1)化简 a1 bn +a2 bn ﹣1+a3 bn ﹣2 +…+an b1 =3?2 验证 n=1 是否成立代入 ,利用作差判断数列{
n+1

﹣4n﹣6 后,两边同乘以 2 再作差求出 bn ,注意

}的单调性,再求出符合条件的 λ 的范围.

解答:

解: (1)设等比数列{an }的公比是 q, ∵ 数列{an }是各项均为正数的等比数列,∴ 又∵ S5 ﹣S3 =48,∴ ∴ ; …4 分 ,解得 q=2, ,解得 a3 =8,

(2) (ⅰ )必要性:设 5ak ,am ,al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ① 若 2?5ak =am+al,则 10?2k =2m +2l,∴ 10=2m k +2l k ,∴ 5=2m k 1 +2l k 1 , ∴ ,∴ .…6 分
﹣k

② 若 2am =5ak+al,则 2?2m =5?2k +2l,∴ 2m+1

﹣2l k =5,左边为偶数,等式不成立,


③ 若 2al=5ak +am ,同理也不成立, 综合① ② ③ ,得 m=k+1,l=k+3,所以必要性成立.…8 分
18

(ⅱ )充分性:设 m=k+1,l=k+3, 则 5ak ,am ,al 这三项为 5ak ,ak+1 ,ak+3 ,即 5ak ,2ak ,8ak , 调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等差数列, 所以充分性也成立. 综合(ⅰ ) (ⅱ ) ,原命题成立.…10 分 (3)因为 即 ∴ 当 n≥2 时, 则② 式两边同乘以 2,得 ∴ ① ﹣③ ,得 2bn =4n﹣2,即 bn =2n﹣1(n≥2) , 又当 n=1 时, ∴ bn =2n﹣1.…14 分 ∴ ,∴ , ,即 b1 =1,适合 bn=2n﹣1(n≥2) , ,① ,② ,③ ,

∴ n=2 时,

,即



∴ n≥3 时,

,此时

单调递减,

又 点评:







,∴

.…16 分

本题考查等差数列、等比数列的性质,作差法判断数列的单调性,考查分类讨论思想的运用,计算化 简、变形能力与逻辑推理能力,属于难题.
x

20. (5 分) (2015?盐城一模)已知函数 f(x)=e ,g(x)=mx+n. (1)设 h(x)=f(x)﹣g(x) . ① 若函数 h(x)在 x=0 处的切线过点(1,0) ,求 m+n 的值; ② 当 n=0 时,若函数 h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,求 m 的取值范围; (2)设函数 r(x)= + ,且 n=4m(m>0) ,求证:当 x≥0 时,r(x)≥1.

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究曲线上某点切线方程.

菁 优 网 权 版 所 有

导数的综合应用. (1)求出函数的导数,利用导数的几何意义即可得到结论. (2)求出 r(x)的表达式,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性即可. 解: (1)① h(x)=f(x)﹣g(x)=e ﹣mx﹣n. 则 h(0)=1﹣n,函数的导数 f′ (x)=ex ﹣m, 则 f′ (0)=1﹣m,则函数在 x=0 处的切线方程为 y﹣(1﹣n)=(1﹣m)x, ∵ 切线过点(1,0) ,∴ ﹣(1﹣n)=1﹣m,即 m+n=2. ② 当 n=0 时,h(x)=f(x)﹣g(x)=ex ﹣mx. 若函数 h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,
19
x

即 ex ﹣mx=0 在(﹣1,+∞)上无解, 若 x=0,则方程无解,满足条件, 若 x≠0,则方程等价为 m= 设 g(x)= , ,

则函数的导数 g′ (x)=


﹣1

若﹣1<x<0,则 g′ (x)<0,此时函数单调递减,则 g(x)<g(﹣1)=e , 若 x>0,由 g′ (x)>0 得 x>1, 由 g′ (x)<0,得 0<x<1,即当 x=1 时,函数取得极小值,同时也是最小值,此时 g(x)≥g(1) =e, 综上 g(x)≥e 或 g(x)<e , 若方程 m= 无解,则 e 1 ≤m<e.
﹣ ﹣1

(2)∵ n=4m(m>0) , ∴ 函数 r(x)= + = + = + ,

则函数的导数 r′ (x)=﹣
x 2

+

=



设 h(x)=16e ﹣(x+4) , x x 则 h′ (x)=16e ﹣2(x+4)=16e ﹣2x﹣8, [h′ (x)]′ =16ex ﹣2, 当 x≥0 时,[h′ (x)]′ =16e ﹣2>0,则 h′ (x)为增函数,即 h′ (x)>h′ (0)=16﹣2=14>0, 即 h(x)为增函数,∴ h(x)≥h(0)=16﹣16=0, 即 r′ (x)≥0,即函数 r(x)在[0,+∞)上单调递增, 故 r(x)≥r(0)= ,
x

故当 x≥0 时,r(x)≥1 成立.

点评:

本题主要考查导数的几何意义的应用,以及利用导数研究函数单调性,在判断函数的单调性的过程中, 多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键,难度较大.

A、 (选修 4-1:几何证明选讲) 21. (5 分) (2015?盐城一模)如图,已知点 P 为 Rt△ ABC 的斜边 AB 的延长线上一点,且 PC 与 Rt△ ABC 的外接圆 相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,若 PA=18,PC=6,求线段 CD 的长.

20

考点: 专题: 分析: 解答:

与圆有关的比例线段. 计算题;几何证明.

菁 优 网 权 版 所 有

由切割线定理解得 PB=2,在 Rt△ POC 中,由面积法得 OC?PC=PO?CD,解得线段 CD 的长. 解:由切割线定理,得 PC2 =PA?PB,解得 PB=2, 所以 AB=16,即 Rt△ABC 的外接圆半径 r=8,…5 分 记 Rt△ ABC 外接圆的圆心为 O,连 OC,则 OC⊥ PC, 在 Rt△ POC 中,由面积法得 OC?PC=PO?CD,解得 .…10 分.

点评:

本题考查切割线定理,考查面积法的运用,比较基础.

B、 (选修 4-2:矩阵与变换)

22. (2015?盐城一模)求直线 x﹣y﹣1=0 在矩阵

的变换下所得曲线的方程.

考点: 专题: 分析: 解答:

矩阵变换的性质. 矩阵和变换.

菁 优 网 权 版 所 有

本题可以根据点 P(x,y)与矩阵作用前点 Q(x' ,y' )坐标之间的关系,通过代入法,求出点 Q(x' , y' )的坐标间关系式,得到所求曲线的方程. 解:设 P(x,y)是所求曲线上的任一点,它在已知直线上的对应点为 Q(x' ,y' ) ,



=







解得



代入 x' ﹣y' ﹣1=0 中,得: , 化简可得所求曲线方程为 点评: .

本题考查了矩阵与向量的积的运算、代入法求曲线的方程,本题难度不大,属于基础题.

三 .C、 (选修 4-4:坐标系与参数方程)

21

23. (2015?盐城一模)在极坐标系中,求圆 ρ=2cos θ 的圆心到直线

的距离.

考点: 专题: 分析:

圆的参数方程;直线的参数方程. 坐标系和参数方程.
2

菁 优 网 权 版 所 有

将圆 ρ=2cos θ 化为 ρ =2ρcos θ,利用

化为直角坐标方程,可得圆心(1,0) ,把

展开即可直角坐标方程,利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离. 解答: 解:将圆 ρ=2cos θ 化为 ρ =2ρcos θ,普通方程为 x +y ﹣2x=0,圆心为(1,0) , 又 ∴ 直线的普通方程为 故所求的圆心到直线的距离 点评: ,即 , . ,
2 2 2

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了计算能力,属于基础题.

24. (8 分) (2015?盐城一模)解不等式|x+1|+|x﹣2|<4. 考点: 专题: 分析: 解答: 绝对值不等式的解法.

菁 优 网 权 版 所 有

计算题;不等式的解法及应用. 去绝对值,分当 x<﹣1 时,当﹣1≤x≤2 时,当 x>2 时,三种情况,得到不等式解得它们,再求并集 即可. 解:当 x<﹣1 时,不等式化为﹣x﹣1+2﹣x<4,解得 当﹣1≤x≤2 时,不等式化为 x+1+2﹣x<4,解得﹣1≤x≤2; 当 x>2 时,不等式化为 x+1+x﹣2<4,解得 所以原不等式的解集为 . ; ;

点评:

本题考查绝对值不等式的解法,考查运算能力,属于基础题.

25. (10 分) (2015?盐城一模) 如图, 在直三棱柱 ABC﹣ A1 B1 C1 中, AB⊥ AC , AB=3, AC=4, 动点 P 满足 (λ>0) ,当 λ= 时, AB1 ⊥ BP. (1)求棱 CC1 的长; (2)若二面角 B1 ﹣AB﹣P 的大小为 ,求 λ 的值.

考点:

用空间向量求平面间的夹角;用空间向量求直线间的夹角、距离.
22

菁 优 网 版 所 权 有

专题: 分析:

空间位置关系与距离;空间角. (1)以点 A 为坐标原点,AB, AC, AA1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能 求出棱 CC1 的长. (2)求出平面 PAB 的一个法向量,和平面 ABB1 的一个法向量,由已知条件利用向量法能求出 λ 的 值.

解答:

解: (1)以点 A 为坐标原点,AB, AC, AA1 分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 CC1 =m,则 B1 (3,0,m) , B(3,0,0) ,P(0,4, λm) , 所以 当 解得 时,有 ,即棱 CC1 的长为 .…4 分 =(x,y,z) , , , ,… 2 分

(2)设平面 PAB 的一个法向量为

则由

,得

,即



令 z=1,则

, ,… 6 分 ,

所以平面 PAB 的一个法向量为 又平面 ABB1 与 y 轴垂直,所以平面 ABB1 的一个法向量为 因二面角 B1 ﹣AB﹣P 的平面角的大小为 ,

所以|cos <

>|= =|

|,

结合 λ>0,解得

.…10 分.

点评:

本题考查线段长的求法,考查实数值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用,是中档题.

23

26. (10 分) (2015?盐城一模)设集合 S={1,2,3,…,n}(n∈N* ,n≥2) ,A,B 是 S 的两个非空子集,且满足集 合 A 中的最大数小于集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对( A, B)的个数为 Pn . (1)求 P2 ,P3 的值; (2)求 Pn 的表达式. 考点: 专题: 分析: 二项式定理的应用;子集与真子集. 综合题;二项式定理. (1)当 n=2 时,即 S={1,2},由此能求出 P2 =1;当 n=3 时,即 S={1,2,3},分类讨论,可得 P3 =5. ﹣ ﹣ (2)设集合 A 中的最大元素为“k”,确定集合 A、B 的情况,可得集合对( A, B)共有 2k 1 (2n k ﹣1)=2 ﹣2 对.由此能求出 Pn . 解: (1)当 n=2 时,即 S={1,2},此时 A={1},B={2},所以 P2 =1,…2 分 当 n=3 时,即 S={1,2,3},若 A={1},则 B={2},或 B={3},或 B={2,3}; 若 A={2}或 A={1,2},则 B={3};所以 P3 =5.…4 分 (2)当集合 A 中的最大元素为“k”时,集合 A 的其余元素可在 1,2,…,k﹣1 中任取若干个(包含 不取) , 所以集合 A 共有 种情况,…6 分
n ﹣1 k ﹣1
菁 优 网 权 版 所 有

解答:

此时,集合 B 的元素只能在 k+1,k+2,…,n 中任取若干个(至少取 1 个) , 所以集合 B 共有 种情况,
k ﹣1

所以,当集合 A 中的最大元素为“k”时,集合对(A, B)共有 2 分

(2

n ﹣k

﹣1)=2

n ﹣1

﹣2

k ﹣1

对,…8

当 k 依次取 1,2,3,…,n﹣1 时,可分别得到集合对(A,B)的个数, 求和可得 点评: .…12 分

本题考查二项式定理的运用,考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类 讨论思想的合理运用.

24


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