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湖北省部分重点中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题(word版有答案)

湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期高二期中考试

数 学 试 卷(文科)
命题人: 市49中 唐和海 审题人: 武汉中学 杨银舟

一、选择题(5×12=60分) 1. 下列命题正确的是( ) B.经过一条直线和一个点确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

A.经过三点确定一个平面 C.四边形确定一个平面

2. 为了解1200名学生对学校教改试验的意见,打算从中抽取一个容量 为30的样本,考虑采用系统抽样,则分段的间隔k为( )A.40

B.30

C.20

D.12
3. 已知直线 ⊥平面 ① ④ ∥
DC ? PC 2 3 ? 3 6

,直线m ②

,给出下列命题: ∥m; ③ ∥m

? tan ? ?



其中正确的命题是( ) B.②③④ C.②④ D.①③ )

A.①②③

4. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为( A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?

5. 有5根细木棍,长度分别 为1、3、5、7、9(cm),从中任取三根, 能搭成三角形的概率为 ( )A. B. C. D.

6. 如右图是歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字

0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1, a2,则一定有( A.a1>a2 ) B.a2>a1 C.a1=a2 D.a1、a2的大小不确定

7. 某人5次上班途中所花的时间(单位:min)分别为:x,y,10, 11,9.已知这组数据的平均数是10,方差为2,则 A.1 B.2 C.3 D.4 的值为( )

8.两条异面直线a,b所成的角是60°,A为空间一定点,则过点A作一条与直线a,b均成60°的 直线,这样的直线能作几条( A.1条 B.2条 C.3条 ) D.4条

9. 如右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中

① ③ 与 成 角; ④

与 与

平行; ② 垂直. ) D.②③④ 中,点



是异面直线;

以上四个命题中,正确命题的序号是( A.①②③ B.②④ C.③④ —

10.如图,在棱长为1的正方体 在线段

上运动,给出以下四个命题:①异面直线



所成的角为定值;②二面角 ③三棱锥 D.

的大小为定值; )A. B. C .

的体积为定值;其中真命题的个数为(

11. 下列表格所示的五个散点,原本数据完整,且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回 归直线方程为 记为 ,后因某未知原因第5组数据的 值模糊不清, 此位置数据 )

(如下表所示),则利用回归方程可求得实数 196 1 197 3 (B) 200 6 203 7 (C) 204

的值为(

(A) 12.已知三棱柱

(D) 在底面 上的射影为 的

的侧棱与底面边长都相等,

中点,则异面直线



所成的角的余弦值为(

) A.

B. C.

D. 二、填空题(5×4=20分) 13. 已知A表示点,a,b,c表示直线,M,N表示平面,给出以下命题: ①a⊥M,若M⊥N,则a∥N ③a⊥M,b ④a M,若b∥M,则b⊥a =A,c为b在 内的射影,若a⊥c,则a⊥b。 ②a⊥M,若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b

b∩

其中命题成立的是___________ 14. 执行如下图所示的程序框图,若输入 的值为8,则输出 的值为 .

15. 如右上图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN 所成的角的大小是 .

16. 甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两 船停靠泊位的时间分别为4小时 与2小时,则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时 间的概率 为 . 三、解答题(10+12×5=70分)

17. (10分)某市规定,高中学生在校期间须 参加不少于80小时 的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据,按时 间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:小时)进行统计, 其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求抽取的20人中,参加社区服务时间不 少于90小时的学生人数; (Ⅱ)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人,求所选学生的参加社区服 务时间在同一时间段内的概率.

18. (12分)已知:四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥底面ABCD,E、F分别为AB、PD的 中点,PA=a,∠PDA=45?

(1)求证:AF∥平面PCE; (2)求证:平面PCE⊥平面PCD; (3)求点D到平面PCE的距离.

19. (12分)某学校100名学生期中考试语文成 绩的频率分布直方图如下图所示,其中成绩分组区间是: , 。 , , ,

(1)求图中a的值; (2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分; (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数 如下表所示,求数学成绩在 分数段 x :y 1 :1 2 :1 3 :4 4 :5 之外的人数。 与数学成绩相应分数段的人数 之比

20. 已知四棱锥 P—GBCD 中 ( 如图 ) , PG ⊥平面 GBCD , GD ∥ BC , GD= BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,PG=4。 (Ⅰ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值; (Ⅱ)若F点是棱PC上一点,且DF⊥GC,PF:FC=k ,求k的值.

21.等边三角形ABC的边长为2,沿平行于BC的线段PQ折起,使平面APQ⊥平面PBCQ,设点A 到直 线PQ的距离为x,AB的长为d. (Ⅰ)x为何值时,d 取得最小值,最小值是多少; (Ⅱ)若∠BAC=θ,求cosθ的最小值.
2

22.如图:在三棱锥D-ABC中,已知 BC的中点,F在棱AC上,且 .

是正三角形,AB

平面BCD,

,E为

(1)求三棱锥D-ABC的表面积;(2)求证AC⊥平面DEF; (3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置; 若不存在,试说明理由.

湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期高二期中考试

文 科 数 学 试 题 答 案
1~5、DADAC 13、②③④ 6~10、BDCCD 14、8 11、D 12、B 16、

15、90°

16、 解:甲比乙早到4小时内乙需等待,甲比乙晚到2小时内甲需等 待.以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的 充要条件为-2≤x-y≤4,在如图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边 长为24的正方形,而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果 由 阴 影 部 分 表示.由几何概型公式得: P(A)==. 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是. 17、解:(Ⅰ)由题意可知, 参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为20×0.04×5=4(人), 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为20×0.02×5=2(人). 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6(人).…………5分 (Ⅱ)设所选学生的服务时 间在同一时间段内为事件A. 由(Ⅰ)可知, 参加社区服务在时间段[90,95)的学生有4人,记为a,b,c,d; 参加社区服务在时间段[95,100]的学生有2人,记为A,B. 从这6人中任意选取2人有ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB 共15种情况. 事件A包括ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况. 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 18. (1)取PC的中点为G,连结FG、EG .…………10分

∵FG∥DC FG=

DC

DC∥AB

AE=

AB

∴FG∥AE 且 FG=AE ∴四边形AFGE为平行四边形 ∴AF∥EG 又∵AF 平面PCE EG 平面PCE

∴AF∥平面PCE…………4分 (2) ∵PA⊥平面ABCD AD⊥DC ∴PD⊥DC ∴∠PDA=45?,即△PAD为等腰直角三角形 ①

∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角 又∵F为PD的中点 由DC⊥AD AF⊥PD DC⊥PD

AD∩PD=D 平面PAD

得:DC⊥平面PAD 而AF ∴ AF⊥DC ②

由①②得AF⊥平面PDC 而EG∥AF ∴EG⊥平面PDC 又EG 平面PCE

∴平面PCE⊥平面PDC…………8分 (3)过点D作DH⊥PC于H ∵平面PCE⊥平面PDC ∴DH⊥平面PEC

即DH的长为点D到平面PEC的距离 在Rt△PAD中,PA=AD=a 在Rt△PDC中,PD= PD= a

a,CD=a

PC=

a

DH=

a

即:点D到平面PCE的距离为

a…………12分

19、(1) 解得

……………………2分 ………………………………3分

(2)50-60 段语文成绩的人数为:

60-70段语文成绩的人数为: 70-80段语文成绩的人数为: 80-90段语文成绩的人数为: 90-100段语文成绩的人数为:

4分

………………5分

(3)依题意: 50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人

60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=

70-80段数学成绩的的人数为=

80-90段数学成绩的的人数为= 90-100段数学成绩的的人数为= ……………………12分

20、解法一: (I)如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz, 则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4)故E(1,1,0)

故异面直线GE与PC所成角的余弦值为

.…………6分

(Ⅱ)设F(0,y , z)

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学科网ZXXK]

在平面PGC内过F点作FM⊥GC,M为垂足,则

,∴ 解法二: (Ⅰ)在平面ABCD内,过C点作CH//EG 交AD于H,连结PH,则∠PCH(或其补角)就是异 面直线GE与PC所成的角. 在△PCH中,
[来源:学*科*网Z*X*X*K]

……………………12分

由余弦定理得,cos∠PCH=

∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为

.…………6分

[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]

(Ⅱ)在平面GBCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连结MF,又因为DF⊥GC

∴GC⊥平面MFD, ∴GC⊥FM 由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG



得GM⊥MD,∴GM=GD·cos45°=

, ………………12分 21、解:(Ⅰ)如图(1)为折叠 前对照图,图(2)为折叠后的空间图形. ∵平面APQ⊥平面PBCQ,又∵AR⊥PQ, ∴AR⊥平面PBCQ,∴AR⊥RB. 在Rt△BRD中,BR =BD +RD = AR =x . 故d =BR +AR = ∴当 时,d 取得最小值 .…………6分
2 2 2 2 2 2 2 2 2







(Ⅱ)∵AB=AC=d,BC=2,

∴在等腰△ADC中,由余弦定理得 ∴当 时,c osθ取得最小值 .…………12分

,即



22、解:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD. ∵△BCD是正三角形,且AB=BC=a,∴AD=AC= .…………1分

设G为CD的中点,则CG=

,AG=









.……3分

三棱锥D-ABC的表面积为

.…………4 分

(2)取AC的中点H,∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F为CH的中点. ∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC.…………5分 ∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE. ∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC…………6分 ∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF.…………8分

(3)存在这样的点N,当CN=

时,MN∥平面DEF.

连CM,设CM∩DE=O,连OF.由条件知,O为△BCD的重心,CO=

CM.…………10分

∴当CF=

CN时,MN∥OF.∴CN=

…………12分


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