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空间立体几何测试卷


他山之石可以攻玉

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一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.不在同一直线上的五个点,最多能确定平面的个数是( A.8 C.10 [答案] C [解析] 要确定平面个数最多, 须任意四点不共面, A、 C、 E 五个点中任取三个点确定一个平面, ABC、 从 B、 D、 即 ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE 共 10 种情况,选 C. 2.给出四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱; ②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体; ③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是( A.0 C.2 [答案] A [解析] 反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正方体;②底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不 是长方体;③④显然错误,故选 A. 3. E、 G 分别为四面体 ABCD 的棱 BC、 设 F、 CD、 的中点, DA 则此四面体中与过 E、 G 的截面平行的棱有( F、 A.0 条 C.2 条 [答案] C [解析] 如图,显见 EF 是△BCD 中位线,BD∥EF, B.1 条 D.3 条 ) B.1 D.3 ) B.9 D.12 )

∴BD∥平面 EFG,同理 AC∥平面 EFG. 4.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( A.至多只有一个是直角三角形 B.至多只有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 [答案] C [解析] 用构造法画图,取底面为直角三角形 ABC,∠B 为直角,为使侧面也是直角三角形,可过一个顶点(锐角
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)

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顶点 A 或 C)作平面 ABC 的垂线,可见当 PA⊥平面 ABC 时,四个面全部是 Rt△,如图.

5.如果用□表示 1 个立方体,用

表示两个立方体叠加,用■表示三个立方体叠加,那么图中有 7 个立方体叠成 )

的几何体,从正前方观察,可画出的平面图形是(

[答案] B 6.现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”.“小球”的直径为 38mm,“大球”的直径为 40mm, 则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为( A. 19∶ 20 C.192∶202 [答案] C 38 40 [解析] ∵S 小球=4π·? 2 ?2=4π·192,S 大球=4π·? 2 ?2=4π·202,∴S 小球∶S 大球=4π·192∶4π·202=192∶202. ? ? ? ? 7.(2010· 山东聊城高一期末检测)对于平面 α 和直线 l,α 内至少有一条直线与直线 l( A.平行 C.异面 [答案] D [解析] 当 l∥α 时,在平面 α 内不存在直线与直线 l 相交,排除 B;当直线 l 与平面 α 相交时,在平面 α 内不存在 直线与直线 l 平行,排除 A;当 l?α 时,在平面 α 内不存在直线与直线 l 异面,排除 C,故选 D. 8.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的全 面积是( ) B.相交 D.垂直 ) B.19∶20 D.193∶203 )

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A.(368π+65)cm2 B.(368+56π)cm2 C.(386+56π)cm2 D.(386+65π)cm2 [答案] B

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[解析] 从该几何体的三视图可知,这个几何体是由两部分构成的,下部分是长方体,上部分是半个圆柱.且长方 体的三边长分别为 8cm,10cm,8cm,半个圆柱的底面半径为 4cm,高为 10cm.所以其全面积为(368+56π)cm2. 1 9.(2009· 宁夏海南文)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则 2 下列结论中错误的是( )

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D [解析] 由正方体 ABCD-A1B1C1D1 得 B1B⊥面 AC, ∴AC⊥B1B,又∵AC⊥BD,BD∩B1B=B, ∴AC⊥面 BDD1B1,BE?面 BDD1B1, ∴AC⊥BE,故 A 正确. 由正方体 ABCD-A1B1C1D1 得 B1D1∥BD, B1D1?面 ABCD,BD?面 ABCD, ∴B1D1∥面 ABCD,∴EF∥面 ABCD,故 B 正确. 1 1 1 1 1 1 VA-BEF= AB× BB1×EF= × × = . 3 2 3 2 2 12 ∴三棱锥 A-BEF 的体积为定值,故 C 正确. 1 因线段 B1D1 上两个动点 E、F,且 EF= , 2 当 E、F 移动时,A 到 EF 的距离与 B 到 EF 的距离不相等, ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等,故 D 不正确. 10.如果直线 l、m 与平面 α、β、γ 满足:l=β∩γ,l∥α,m?α 和 m⊥γ,那么必有(
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)
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A.α⊥γ 且 l⊥m B.α⊥γ 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m D.α∥β 且 α⊥γ [答案] A [解析] ∵m⊥γ,m?α,∴α⊥γ, 又∵β∩γ=l,∴l?γ,∴m⊥l,故选 A. 11.已知圆柱的侧面展开图矩形面积为 S,底面周长为 C,它的体积是( C3 A. 4πS 4πS B. 3 C CS SC C. D. 2π 4π

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)

[答案] D
? ?Ch=S [解析] 设圆柱底面半径为 r,高为 h, ? ,则 , ? ?C=2πr

C S ∴r= ,h= , 2π C C S SC ∴V=πr2· ?2π?2· = . h=π? ? C 4π 12.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120° ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积 是( ) 9 A. π 2 5 C. π 2 7 B. π 2 3 D. π 2

[答案] D [解析] 如图,该旋转体的体积是以 AD 为半径,CD 和 BD 为高的两圆锥体积之差,

∵∠ABC=120° ,∴∠ABD=60° , 又 AB=2,∴DB=1,AD= 3, 1 1 ∴V= π·AD2· CD- π·AD2· BD 3 3 1 3π = π·AD2· (CD-BD)= . 3 2
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二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.A∈α,B?α,A∈l,B∈l,那么直线 l 与平面 α 有________个公共点. [答案] 一 [解析] A∈l,B∈l,A∈α,B?α,则 l 与 α 相交. 14.棱锥的底面面积 150cm2,平行于底面的一个截面面积为 54cm2,底面和这个截面的距离为 12cm,则这个棱锥 的高为__________. [答案] 30 cm [解析] 设原棱锥的高为 h,则截得上面小棱锥的高为 h′=h-12,∴? h-12?2 54 ? h ? =150,h=30.

点评:棱锥被平行于底面的平面所截,则截得小棱锥底面与原棱锥底面相似,相似比的平方等于两个底面面积的 比,相似比等于底面对应边的比,等于高的比,等于对应侧棱的比,如果是正棱锥,相似比还等于底面中心到顶点的 距离的比,等于底面边心距的比. 15.(2010· 天津文)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________.

[答案] 3 [解析] 这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱,梯形两底边长为 1 和 2,高为 2,棱柱的高为 1, 1 ∴体积 V= ×(1+2)×2×1=3. 2 16.用一张 4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,接头忽略不计,则轴截面面积是__________. [答案] 32 2 cm π

8 [解析] 以 4 为高卷起,则 2πr=8,∴2r= , π 32 ∴轴截面面积为 cm2,若以 8 为高卷起,则 2πR=4, π 4 32 ∴2R= ,∴轴截面面积为 cm2. π π 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)根据三视图和直观图的原理做题: 据下列三视图想象物体形状,画出直观图草图.

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[解析] 由三视图可知,该物体是一个正四棱柱与一个圆柱组合而成,圆柱的底面圆和

正四棱柱的底面正方形内切,直观图(实物图)如图. 18.(本题满分 12 分)一个棱锥的底面是边长为 a 的正三角形,它的一个侧面也是正三角形,且这个侧面与底面垂 直,求这个棱锥的体积和全面积. [解析] 如图所示,平面 ABC⊥平面 BCD,△ABC 与△BCD 均为边长为 a 的正三角形,取 BC 中点 E,连结 AE, 则 AE⊥平面 BCD,故棱锥 A-BCD 的高为 AE,△BCD 的面积为 3 2 a, 4

AE=

3 a, 2

1 3 3 1 ∴VA-BCD= · a2· a= a3.连结 DE, 3 4 2 3 ∵AE⊥平面 BCD,DE?平面 BCD,∴AE⊥DE, 在 Rt△AED 中,AE=ED= 3 6 ∴AD= 2· a= a. 2 2 取 AD 中点 F,连结 CF,则 CF⊥AD. 1 6 6 在 Rt△CDF 中,DF= · a= a, 2 2 4 ∴CF= CD2-DF2= a2-? 10 6 ?2 = a. 4 ? 4 a? 3 a, 2

1 1 6 10 15 2 ∴S△ACD= AD· CF= × a× a= a. 2 2 2 4 8 ∵△ABD≌△ACD,S△ABD= 故 S 全面积= 15 2 a. 8

3 2 3 15 2 2 3+ 15 2 a + a2+2× a= a. 4 4 8 4

19.(本题满分 12 分)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1,点 E、F 分别是棱 ACC1、BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的
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动点,EC=2FB,当点 M 在何位置时,MB∥平面 AEF.

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[解析] 当点 M 是线段 AC 中点时,BM∥平面 AEF.

取 AE 中点 N,连结 NF、MN. 1 则 MN 綊 CE∥BF, 2 ∵EC=2FB,∴MN 綊 BF, ∴MNFB 是平行四边形, 则 BM 綊 NF, 又∵NF?AEF,BM?面 AEF, ∴BM∥平面 AEF. 20.(本题满分 12 分)如图,ABC-A′B′C′是正三棱柱,底面边长为 a,D、E 分别是 BB′、CC′上的一点, 1 BD= a,EC=a. 2

(1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积. [解析] (1)分别取 A′C′、AC 的中点 M、N,则 MN∥A′A∥B′B, ∴B′、M、N、B 共面,B′M⊥A′C′, 又 B′M⊥AA′,∴B′M⊥平面 A′ACC′. a 设 MN 交 AE 于 P,∵CE=AC,∴PN=NA= , 2 1 又 DB= a,∴PN=BD. 2
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∵PN∥BD,∴PNBD 是矩形, 于是 PD∥BN,BN∥B′M,∴PD∥B′M, ∵B′M⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥平面 ACC′A′,PD?平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 ACC′A′. (2)PD⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥AE,PD=B′M= 3 a,AE= 2a. 2

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1 1 3 6 ∴S△ADE= ×AE×PD= × 2a× a= a2. 2 2 2 4 21.(本题满分 12 分)求下图中阴影部分绕轴旋转所成旋转体的全面积和体积.

[解析] =2.

如图所示,阴影部分绕轴旋转所成旋转体的全面积是球的表面积与圆台全面积之和,BC=2+4=6,BE

∴CE= 36-4=4 2,∴r=2 2. S 球=4πr2=4π×8=32π, S 圆台=π(22+42+2×6+4×6)=56π, ∴S 全=88π. V=V 圆台-V 球 1 4 = (π·22+π·42+ π·22·π·42)×4 2- π(2 2)3=16 2π. 3 3 π 22.(本题满分 14 分)设地球的半径为 R,地球上的两点 A、B 的纬度都是北纬 45° ,A、B 两点的球面距离为 R, 3 已知 A 在东经 20° 处,试确定 B 点的位置.

[解析] 如图,因为 A、B 的球面距离是指过 A、B 的大圆的劣弧长,所以∠AOB=60° ,因此 AB=R, 又 O′A=OA· cos45° = 2 R, 2

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在△AO′B 中,AO′=BO′= 2 R,AB=R, 2

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∴AB2=AO′2+BO′2,∠AO′B=90° , 即 A、B 两点的经度差是 90° . 因为 A 在东经 20° 处,所以 B 点的位置在 20° 90° ± 处,即 B 点位于北纬 45° 东经 110° ,或北纬 45° 西经 70° 处.

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