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全国通用2018高考数学大一轮复习平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题习题理

第二课时

最值、范围、证明专题

【选题明细表】 知识点、方法 最值问题 范围问题 证明问题 题号 4,7 1,2,6,8 3,5 , )

1.(2017·重庆一中月考)已知椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,椭圆上一点 M(

满足

·

=0.

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 与椭圆有不同交点 A,B,且 · >1(O 为坐标原点),求实数 k 的取值

范围. 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0), =(-c,- ), =(c,- ),

因为

·

=0,

所以-c +
2

2

+

=0,

所以 c =3. 2 2 所以 a -b =3,① 又点 M 在椭圆上, 所以 + =1.②

将①代入②得
4 2

+

=1,

整理为 a -6a +8=0, 2 2 所以 a =2 或 a =4, 2 因为 a >3, 2 2 所以 a =4,b =1.

1

所以椭圆方程为 +y =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由

2

消去 y 解得( +k )x +2

2

2

kx+1=0.

x1+x2=-

,x1x2=

,Δ >0.



·

=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+ =(1+k )x1x2+
2

)(kx2+

)

k(x1+x2)+2

=

>1.

所以 k < ,

2

又由Δ =4k -1>0 得 k > ,

2

2

所以 <k < ,k∈(-

2

,- )∪( ,

).

2. 导学号 18702505 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)与双曲线 -y =1 的离心率互为倒数,且直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,且直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列, 求△OMN 面积的取值范围. 解:(1)因为双曲线的离心率为 ,

2

所以椭圆的离心率 e= = ,

2

又因为直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点,右顶点为(2,0), 即 a=2, 所以 c= ,b=1,

所以椭圆 C 的方程为 +y =1. (2)由题意可设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0), M(x1,y1),N(x2,y2), 联立 消去 y 并整理得(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0, 则 x1+x2=,x1x2= ,
2 2 2

2

于是 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) 2 2 =k x1x2+km(x1+x2)+m . 又直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列 所以 · =

=k ? =0.

2

+m

2

由 m≠0 得 k = ,k=± . 又由Δ =64k m -16(1+4k )(m -1) 2 2 =16(4k -m +1)>0, 2 得 0<m <2, 2 显然 m ≠1(否则:x1x2=0,则 x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM,ON 中至少有一个斜率不存在,与 已知矛盾) 设原点 O 到直线 l 的距离为 d,则 S△OMN= |MN|d= |x1-x2|
2 2 2 2

2

= |m|

=

,

3

故由 m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1). 3. 导学号 18702507 如图,椭圆 C: + =1(a>b>0)的短轴长为 2 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A,B. ,点 M(2,1)在 C 上,平行于

(1)求椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 MA,MB 与 x 轴总围成等腰三角形. (1)解:依题意 2b=2 ,所以 b= ,

所以椭圆 C 的方程为 + =1,

将 M(2,1)代入,得 + =1, 解得 a =8, 所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2)证明:设直线 MA,MB 的斜率分别为 k1,k2, A(x1,y1),B(x2,y2),l:y= x+m,
2

则 k1=

,k2=

,

所以 k1+k2=

+

=

=

=

,(*)

4

由 得 x +2mx+2m -4=0, 2 所以 x1+x2=-2m,x1x2=2m -4, 代入(*)式,得 k1+k2=
2 2

= =0. 所以直线 MA,MB 与 x 轴总围成等腰三角形. 4.(2015·浙江卷)已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称.
2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解:(1)由题意知 m≠0, 可设直线 AB 的方程为 y=- x+b.



消去 y,得( + )x - x+b -1=0.

2

2

因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点,

2

所以Δ =-2b +2+ >0,

2



将线段 AB 中点 M(

,

)代入直线方程 y=mx+ ,解得 b=-

.②

5

由①②得 m<- 或 m> .

(2)令 t= ∈(- ,0)∪(0, ),

则|AB|=

·

,

且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t), 所以 S(t)= |AB|·d=

.

≤ .

当且仅当 t = 时,等号成立.

2

故△AOB 面积的最大值为 .

5. 导学号 18702508 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于

,它的一个顶点

恰好是抛物线 y= x 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,若 =λ , =λ

2

1

2

,求证:λ 1+λ 2 为定值.

(1)解:设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0),

因为抛物线 y= x 的焦点坐标是(0,1), 所以 b=1. 又有 = ,

2

6


2

=

,

所以 a =5. 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. (2)证明:设 A,B,M 点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0). 易知右焦点 F 的坐标为(2,0). 因为 =λ ,
2

1

所以(x1,y1-y0)=λ 1(2-x1,-y1). 即 x1= ,y1= .

将 A 点坐标代入到椭圆方程中, 得 ( ) +(
2

) =1.

2

去分母整理得 +10λ 1+5-5 =0.

同理,由



2

可得

+10λ 2+5-5 =0. 所以λ 1,λ 2 是方程 x +10x+5-5 =0 的两个根, 所以λ 1+λ 2=-10 为定值. 6.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的焦距为 4,且与椭圆 x + =1 有相同的离心率,斜率为 k 的直 线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同的两点 A,B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. 解:(1)因为椭圆 C 的焦距为 4,所以 c=2. 又因为椭圆 x + =1 的离心率为 ,
2 2 2

所以椭圆 C 的离心率 e= = = ,

所以 a=2

,b=2,

7

所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去 y 得(1+2k )x +4kx-6=0,
2 2

所以 x1+x2=

,x1x2=

.

由(1)知椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0),因为右焦点 F 在圆的内部, 所以 · <0,

所以(x1-2)(x2-2)+y1y2<0, 2 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k x1x2+k(x1+x2)+1<0, 所以(1+k )x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k )·
2 2

+(k-2)·

+5=

<0,

所以 k< .

经检验,当 k< 时,直线 l 与椭圆 C 相交,

所以直线 l 的斜率 k 的取值范围为(-∞, ).

7. 导学号 18702509 已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形 的三个顶点,且长轴长为 4. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 A 是椭圆 E 的左顶点,经过左焦点 F 的直线 l 与椭圆 E 交于 C, D 两点,求△OAD 与△OAC 的面积之差的绝对值的最大值.(O 为坐标 原点) 解:(1)由题意得 = , 又 2a=4,则 a=2,所以 c=1. 2 2 2 又 b =a -c =4-1=3, 故椭圆 E 的方程为 + =1.

8

(2)设△OAD 的面积为 S1,△OAC 的面积为 S2. 当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=-1,此时不妨设 D(-1, ),C(-1,- ),且△OAD,△OAC 面 积相等,|S1-S2|=0. 当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y=k(x+1)(k≠0), 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 和椭圆方程联立得

消掉 y 得(3+4k )x +8k x+4k -12=0. 显然Δ >0,方程有根,且 x1+x2=.

2

2

2

2

此时|S1-S2|= ×2×||y2|-|y1|| =|y2+y1| =|k(x2+1)+k(x1+1)| =|k(x2+x1)+2k| = .

因为 k≠0,所以上式=



=

= (k=± 时等号成立).

所以|S1-S2|的最大值为 .

8. 导学号 18702510 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的焦距为 2,且过点(1, ),右焦点为 F.设

A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为- ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P,Q 两 点.

(1)求椭圆 C 的方程;

9

(2)求

·

的取值范围.
2 2

解:(1)因为焦距为 2,所以 a -b =1. 因为椭圆 C 过点(1, ),所以 + 故 a =2,b =1, 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. (2)由题意知,当直线 AB 垂直于 x 轴时, 直线 AB 方程为 x=- ,
2 2 2

=1.

此时 P(-

,0),Q(

,0),又 F(1,0),



·

=-1.

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0), M(- ,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-1,y1+y2=2m. 由 得(x1+x2)+2(y1+y2)· =0,

则-1+4mk=0,故 k=

.

此时,直线 PQ 斜率为 k1=-4m, 直线 PQ 的方程为 y-m=-4m(x+ ). 即 y=-4mx-m. 联立 整理得(32m +1)x +16m x+2m -2=0. 设 P(x3,y3),Q(x4,y4), 所以 x3+x4=,x3x4= .
2 2 2 2

10

于是

·

=(x3-1)(x4-1)+y3y4

=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m) 2 2 2 =(4m -1)(x3+x4)+(16m +1)x3x4+m +1 = + +m +1
2

=

.

由于 M(- ,m)在椭圆的内部,故 0<m < .

2

令 t=32m +1,1<t<29,则

2

·

= -

.

又 1<t<29,所以-1<

·

<

.

综上,

·

的取值范围为[-1,

).

11


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