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三角函数典型高考题精选精讲


三角函数典型考题归类解析 1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R .
? π 3π ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

π? π? π? ? ? ? 【相关高考 1】(湖南文)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ?

求:(I)函数 f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间.

1 π? ? 【相关高考 2】(湖南理)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调 递增区间.

2.根据函数性质确定函数解析式
π 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该 例 2(江西)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 2 函数的最小正周期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

3 ?π ? ?π ? (2)已知点 A ? , , x0 ? ? ,π ? 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ? 2 ?2 ? ?2 ?

时,求 x0 的值.
1

y

3
O
A

P

x

π? π? ?x ? ? 【相关高考 1】(辽宁)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R (其中 ? ? 0 ), 6? 6? 2 ? ?

(I)求函数 f ( x) 的值域; (II)(文)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离 为
π ,求函数 y ? f ( x) 的单调增区间. 2

(理)若对任意的 a ? R ,函数 y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点, 试确定 ? 的值(不必证明),并求函数 y ? f ( x),x ? R 的单调增区间.

【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值.

3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα= ,cos(α-β)=
1 7 13 π ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 14 2

2

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ? 【相关高考 1】(重庆文)已知函数 f(x)= .(Ⅰ)求 f(x)的定义域;(Ⅱ)若角 a 在第一 ? sin(x ? ) 2

象限,且 cos a ? , 求f(a)。

3 5

【相关高考 2】(重庆理)设 f ( x ) = 6 cos2 x ? 3 sin 2 x (1)求 f( x )的最大值及最小正周期;(2)若锐
4 角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值. 5

4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值 范围.

3

4 【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5

?? ? (Ⅰ)求 sin B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

【相关高考 2】(福建)在 △ ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? .(Ⅰ)求角 C 的大小;文(Ⅱ)若 AB 边 4 5

的长为 17 ,求 BC 边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

5.三角与平面向量
??? ? ???? 例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ?

的取值范围;
?π ? (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

4

【相关高考 1】(陕西)设函数 f ?x? ? a ? b ,
? 其中向量 a ? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ? ,2 ? , ?4 ?

?

(Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.

【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (文)(1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c ? 5 , 求 sin∠A 的值.

6 三角函数中的实际应用 例 6(山东理)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105? 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分 钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时 航行多少海里?


120? A 2

B2 B1


105? A 1


5

【相关高考】 (宁夏)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

7.三角函数与不等式
?π ? ?π π? 例 7(湖北文)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2? ?π π? (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

8.三角函数与极值
x x 例 8(安徽文)设函数 f ?x ? ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

其中 t ≤1,将 f ?x ? 的最小值记为 g(t). (Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

6

三角函数易错题解析 2? 2? , cos 例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin ),则角 ? 的最小值为( 3 3 5? 5? 11? 2? A、 B、 C、 D、 6 3 6 3 例题 2

)。

A, B, C 是 ? ABC 的三个内角, 且 tan A, tan B 是方程 3x 2 ? 5x ? 1 ? 0 的两个实数根, 则 ? ABC 是( ) A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

例题 3

已知方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,

? ?? ? ? ?? 且 ? 、 ? ? ? ? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?
例题 4 例题 5 例题 6 例题 7 函数 f ( x ) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。
sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x 2 2 2 若 2sin2α ? sin ? ? 3sin ? , 则sin ? ? sin ? 的取值范围是

函数 f(x)=

已知 ?? ? ? ? ? ,求 y ? cos ? ? 6sin? 的最小值及最大值。
2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

例题 8

求函数 f ( x) ?

例题 9 例题 10

求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?
4

? x) ? 3 的值域

3 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数, 其图像关于点 M ( ? ,0) 对称, 4 ? 且在区间[0, ]上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 2 基础练习题

1、在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A.
? 6

)

B.

? 3

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2? 或 3 3

2、已知 tan? tan?是方程 x2+3 3 x+4=0 的两根,若?,??(- , A.
? 3

? ?
2 2

),则?+?=(
2 3



B.

? 2 或- ? 3 3

C.-

? 2 或 ? 3 3

D.- ? )

3、若 sin? ? cos? ? 1 ,则对任意实数 n, sin n ? ? cosn ? 的取值为( A. 1 B. 区间(0,1) C.
1 2 n ?1
7

D. 不能确定

4、在 ?ABC 中, 3sin A ? 4 cos B ? 6, 3cos A ? 4 sin B ? 1 ,则 ?C 的大小为( A.



?
6

B.

5、函数 y ? 2 sin( A. [0,

?
6

5 ? 6

C.

?

5 或 ? 6 6

D.

?

2 或 ? 3 3

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是……………… (

)

?
3

]

B. [

?
12

,

7? ] 12

? 5? ] C. [ , 3 6

D. [

5? , ?] 6

?? ? 6、已知 ? , ? ? ? , ? ? 且 cos? ? sin ? ? 0 ,这下列各式中成立的是( ?2 ?



A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ?

3? 2

C. ? ? ? ?

3? 2

D. ? ? ? ?

3? 2

7、△ABC 中,已知 cosA= A、
16 65

5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为( 5 13 56 16 56 B、 C、 或 65 65 65

) D、 ?
16 65

8、在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为( 5? 5? 2? ? ? ? A、 B、 C、 或 D、 或
6



6

6

6

3

3

9、设 cos1000=k,则 tan800 是( A、
1? k2 k

) C、 ?
1? k2 k

B、

? 1? k2 k

D、 ?

k 1? k2

10、在锐角⊿ABC 中,若 tan A ? t ? 1 , tan B ? t ? 1 ,则 t 的取值范围为( A、 ( 2 ,??) 11、已知 sin ? ? B、 (1,??) C、 (1, 2 ) D、 (?1,1)



m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ),则 tan ? ? (C) m?5 m?5 2 4 ? 2m m?3 5 3 5 A、 B、 ? C、 ? D、 ? 或 ? m?3 4 ? 2m 12 4 12

12、如果 log1 | x ?
2

π π |? log1 ,那么 sin x 的取值范围是( 3 2 2



1 1 1 1 1 1 1 3 3 )?( A. [ ? , ] B. [ ? , 1] C. [ ? , ) ? ( , 1] D. [ ? , , 1] 2 2 2 2 2 2 2 2 2

13、函数 y ? sin x cos x 的单调减区间是( A、 [k? ?

) B、 [k? ?

?
4

, k? ?

?
4

] (k ? z)

?

C、 [2k? ?

?
4

,2k? ?

?
2

]( k ? z )

D、 [k? ?

?
4

, k? ?

?
2

3 , k? ? ? ]( k ? z ) 4 4

]( k ? z )

8

14、在△ABC 中, 3 sin A ? 4 cos B ? 6,4 sin B ? 3 cos A ? 1, 则∠C 的大小为 ( A、30° B、150° C、30°或 150°



D、60°或 150°

15、已知 5 cos2 ? ? 4 cos2 ? ? 4 cos? ,则 cos2 ? ? cos2 ? 的取值范围是_______________.
7 5 sin A ? 4 cos A ? _______________. ,则 13 15 sin A ? 7 cos A ? ? 17、设ω >0,函数 f(x)=2sinω x 在 [? , ] 上为增函数,那么ω 的取值范围是_____

16、若 A ? ?0,? ? ,且 sin A ? cos A ?

3 4

18、已知奇函数 f ?x ?在?? 1, 0?上为单调减函数,又α ,β 为锐角三角形内角,则( A、f(cosα )> f(cosβ ) C、f(sinα )<f(cosβ ) B、f(sinα )> f(sinβ ) D、f(sinα )> f(cosβ ) .



? 19、函数 y ? sin x(sin x ? cos x) ( x ? [0, ]) 的值域是 2 5 ? 20、若 sin? ? ,α 是第二象限角,则 tan =__________
13 2

3 21、求函数 y ? sin 4 x ? cos4 x ? 的相位和初相。 4

22、已知函数 f(x)=- sin2x+sinx+a,( 1)当 f(x)=0 有实数解时,求 a 的取值范围;( 2)若 x∈R, 有 1≤f(x)≤
17 ,求 a 的取值范围。 4
2 3

23、已知定义在区间[-?, ? ]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,2 3

? 2 ? 对称,当 x?[- , ? ]时, 6 6 3

? ? <?< ),其图象如图所示。 2 2

(1)求函数 y=f(x)在 [-?, ? ] 的表达 (2)求方程 f(x)=
2 的解。 2

式;

24、将函数 y ? f ( x) sin x 的图像向右移 再作关于 x 轴的对称变换得到的函数

? 个单位后, 4
( D、 2 sin x )。

y ? 1 ? 2 sin 2 x 的图像,则 f ( x) 可以是
A、 ? 2 cos x B、 2 cos x C、 ? 2 sin x

9


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