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内蒙古临河区巴彦淖尔市第一中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 文(普通班)

巴市一中 2015-2016 学年第二学期月考试题 高二数学(文科)
说明: 1.本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 1 50 分。 2.将第 I 卷选择题答案代号用 2B 铅笔填在答题卡上,第 II 卷的答案或解答过程写在答题卡指定位 置 3.考试结束,只交答 题卡。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(5 分×12=60 分)在每小题给出的四个选项只有一项正确. 1.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是( A. ? 2,

?

?



? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 2,?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

x ? 5 cos? ? 2.曲线 ? ( 为参数)的焦距是 ( ) ? ? y ? 4 sin ? A.3 B.6 C. 8

D. 10 )

3.在方程 ?

? x ? sin ? (? 为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( ? y ? cos 2?
B、 (1,0) C、 ( , ) )

A、 (2,-7)

1 1 2 2

D、 ( , )

1 2 3 3

4.以下的极坐标方程表示直线的是( A. ? ? 2a cos? (a ? 0) C. ? ? 3

B. ? ? 9(cos? ? sin ? ) D. 2? cos? ? 3? sin ? ? 1 ( )

? x ? 2 ? sin 2 ? 5.参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程是 ? y ? ?1 ? cos 2?
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3] B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3] )

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 B. ? sin ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

7.若 A. B.

,则下列不等式恒成立的是( ) .

C.

D.
1

2 8.不等式 x ? 2 ? 2 的解集是(

). C.(-1,0)∪(0,1) D.(-2,0)∪(0,2) )

A.(-1,1)

B.(-2,2)

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数)上,求| PQ |的最小值( 9.设点 P 在曲线 ? sin ? ? 2 上,点 Q 在曲线 ? ? y ? sin ?
A.1 10.直线 ? A. (4,3) B.2 C.3 D.4

?x ? 3 ? t , ( t 为参数)上与点 P(3, 4) 的距离等于 2 的点的坐标是 ?y ? 4 ? t
B. (?4,5) 或 (0,1) C. (2,5) D. (4,3) 或 (2,5)

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 11.直线 ? ( t 为参数)被曲线 x 2 ? y 2 ? 1 截得的弦长是( ) ?y ? 3 t ? 2 ?
A. B.2 C. D.2 12. 已知 f ? x ? ? x ?1 ? x ? m

? m ? R?
? ?

,g ? x ? ? 2x ?1 , 若 m ?? 1 ,x ???m1 ,,

?

不等式 f ? x ? ? g ? x ?

恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A. ? ?1, ? ? 3

? ?

2? ?

B. ? ?1, ? ?

? ?

2? 3?

C. ? ??, ? ? 3

2? ?

D.

? ?1, ???

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(5 分×4=20 分) 13.在极坐标系 ? ? ,? ? ( 0 ? ? <2? )中,曲线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos? ? ? 1的交点的极坐 标为 . 14.反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于 60°,应假设 15.若关于 x 的不等式|ax﹣2|<3 的解集为{x|﹣ <x< },则 a= .

16. 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 曲线 C 的参数方程为 ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 值为 .

?

x ? cos ? y ? sin ?

?
3

) ? 6 .点 P 在 曲线 C 上,则点 P 到直线 l 的距离的最小

三、解答题 17.(本小题满分 10 分)

2

4 ? x ? 2? t ? ?x ? 2 ? 2 cos? 5 ?t为参数? 已知圆 C : ? ??为参数? ,直线 l: ? ? 3 ? y ? 2 sin ? ?y ? t ? 5 ?
(1) 求圆 C 的普通方程.若以原点为极点, 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 写出圆 C 的极坐标方程. (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由;若相交,请求出弦长 18. (本小题满分 12 分) 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ? sin
2

? ? ? cos? ? 0 ,点 M (1, ) .以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴
2

正半轴建立直角坐标系.斜率为 ?1 的直线 l 过点 M ,且与曲线 C 交于 A, B 两点. (Ⅰ)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求点 M 到两点 A, B 的距离之积.

19. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (? 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上的点按坐标变换 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 得到曲线 C ? . ? ? y? ? 1 y ? ? 2
(1)求曲线 C ? 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C ? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C ? 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程. 20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? ? 2 cos ? , ? ? [0, ]
2
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确 定 D 的坐标。 21. (本小题满分 12 分) 已知 函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 1 . (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;

3

(2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 的解集为 R ,求参数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(1)证明: f ? x ? ≥ 2; (2)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

4

巴市一中 2015-2016 学年第二学期月考试题 高二数学(文科)答案 一、选 择题 1.C 2.B 7.D 8.D 二、填空题 13. (1, 15.

3.C 9.A

4. D 10.D

5.D 6.A 11.D.12.B

? ) 2
2

14.三角形中三个内角都小于 60° 16.5

﹣3

17. (1) ?x ? 2? ? y 2 ? 4 ---------2 分 ? ? 4 cos? ---------------5 分 (2)解法一:由于直线 l 过圆心 ?2,0? ,-------6 分所以直线与圆相交-----8 分 弦长为 4---------10 分 解法二: l : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 -----------6 分 圆心到直线的距离 d ?

6?6 32 ? (?4) 2

? 0 ? r ,所以直线与圆相交-------------8 分

由于直线 l 过圆心 ?2,0? ,所以弦长为 4

? 2 t ?x ? ? ? 2 2 18. (1) y ? x , ? ; (2)2. ?y ? 1? 2 t ? 2 ?
试题解析: (Ⅰ) x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,由 ? sin 得 ? sin
2
2

2

? ? cos? ? 0

2

? ? ? cos? .

所以 y ? x 即为曲线 C 的直角坐标方程;

1), 点 M 的直角坐标为 ( 0 ,
直线 l 的倾斜角为

3? ,故直线 l 的参数方程为 4
2 t 2 ( t 为参数) 2 t 2

? 3? ? x?? ? ? x ? t cos 4 ? ( 为参数)即 t ? ? 3? ?y ? 1? ? y ? 1 ? t sin ? 4 ? ? ? x?? ? ? (Ⅱ)把直线 l 的参数方程 ? ?y ? 1? ? ?

2 t 2 ( t 为参数)代入曲线 C 的方程得 2 t 2
5

(1 ?

2 2 2 t) ? ? t ,即 t 2 ? 3 2t ? 2 ? 0 , 2 2

? ? (3 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? 0 ,
设 A, B 对应的参数分别为 t1、t 2 ,则 ? 1

?t ? t 2 ? ?3 2 ? t1 ? t 2 ? 2

又直线 l 经过点 M ,故由 t 的几何意义得 点 M 到 A, B 两点的距离之积 | MA | ? | MB |?| t1 || t 2 |?| t1 ? t 2 |? 2
2 2 19. (1) x 2 ? y 2 ? 1; (2) ( x ? ) ? y ?

3 2

1 . 4

? ? 1 x ? x ? ? x ? 3cos ? ? x ? cos ? ? 3 试题解析: (1)将 ? 代入 ? ,得 C ? 的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? ? y ? sin ? ? y? ? 1 y ? ? 2
∴曲线 C ? 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. (2)设 P( x, y) , A( x0 , y0 ) ,又 B(3, 0) ,且 AB 中点为 P 所以有: ?

? x0 ? 2 x ? 3 ? y0 ? 2 y
2 2

2 2 又点 A 在曲线 C ? 上,∴代入 C ? 的普通方程 x0 ? y0 ? 1得 (2x ? 3) ? (2 y) ? 1
2 2 ∴动点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) ? y ?

3 2

1 . 4

20. (Ⅰ) C 的普通方程为

( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1)
可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数, 0 ? t ? ? ) ? ? y ? sin t
(Ⅱ)设 D(1 ? cos t ,sin t ) 由(Ⅰ)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径的上半圆,因为 C 在点 D 处的切线 与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同。

tan t ? 3, t ?
故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

?
3

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 3 3 2 2
6

21. ( 1) (?? ,0] ? [ ,?? ) ; (2) a ? 试题解析: (1)当 x ? 当 ?1 ? x ?

2 3

3 . 2

1 2 时, f ( x) ? 3x ? 2 ,得到 x ? , 2 3

1 时, f ( x) ? 2 ? x ? 2 ,得到 ? 1 ? x ? 0 , 2

当 x ? ?1 时, f ( x) ? ?3x ? 2 ,得到 x ? ?1 , 综上,不等式解集为 (?? ,0] ? [ ,?? ) . (2)由题意知, f ( x) ? a 对一切实数 x 恒成立,

2 3

1 3 时, f ( x ) ? 3 x ? , 2 2 1 3 当 ? 1 ? x ? 时, f ( x) ? 2 ? x ? , 2 2
当x? 当 x ? ?1 时, f ( x) ? ?3x ? 3 . 综上, f ( x ) min ?

3 3 .故 a ? . 2 2

22. (2)

1? 5 5 ? 21 ?a? 2 2
1 ? 2 ,当且仅当 a ? 1 时,取等 a

试题解析: (1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知: f ( x)min ? a ? 号,所以 f ( x) ? 2 . (2)因为 f (3) ? 5 ,所以 |

1 1 1 ? 3 | ? | a ? 3 |? 5 ? ? 3? | a ? 3 |? 5 ? | a ? 3 |? 2 ? ? a a a

1 1 1? 5 5 ? 21 ? 2 ? a ? 3 ? 2 ? ,解得: . ?a? a a 2 2

7


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