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(10)2017届高中数学一轮复习基础知识手册第十编 数列


第十编数列 1. 数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式、递推公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 2. 等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念. (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. (3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用等差数列、等比数列 的有关知识解决相应的问题. (4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 知识能力解读 (一)数列 数列可以看做是以正整数集 N* (或它的有限子集 ?1,2,3, ???, n? 为定义域的函数. 可按研究函 数的一般顺序——定义、表示方法、性质对数列进行研究. 1 数列定义 数列是指按照一定顺序排列的一列数. 在函数意义下, 数列是某一定义域为正整数集 N *(或 它的有限子集 ?1,2,3, ???, n? )的函数,其图象是无限个或有限个孤立的点,数列的一般形式 为 a1 , a2 , ???, an , ??? ,简记为 ?an ? ,其中 a n 是数列 ?an ? 的第 n 项,也叫做通项. 这里应注意的是: (1)?an ? 与 a n 的意义不同. 而 a n 表示的是这个数列的第 n 项. ?an ? 表示数列 a1 , a2 , ???, an , ??? ,

(2)数列的项与它的项数是不同的概念. 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它 是一个函数值;而项数是指这个项在数列中的位置,它是自变量的值. (3)在数列的定义中,只强调有顺序,而不强调有规律. 数列中的每一项都和它的序号有 关,因此给定一个数列,只要指明序号,对应的项就是确定的. 2 数列的表示方法 (1)图象法; (2)列表法; (3)解析法. 3 数列的通项公式 如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个式子叫做这个 数列的通项公式. 通项公式常用 an ? f ? n? n ? N* 表示. 数列的通项公式具有两大功能: (1) 可以通过数列的通项公式求出数列中的任意一项; (2) 可以通过数列的通项公式判断给定的 一个数是否为数列的项以及是第几项. 判断具体数 m 是否为数列 ?an ? 中的项时,建立方程 m ? f ? n ? ,解出 n . 若 n ? N* ,则 m 即 为 ?an ? 中的第 n 项;若解出的 n ? N* ,则 m 不是 ?an ? 中的项. 学习数列的通项公式需明确: (1)并不是所有数列都有通项公式; (2)有的数列的通项公式 在形式上不唯一. 4 数列的分类 (1)有穷数列、无穷数列 按数列的项数是有限还是无限分为有穷数列和无穷数列. 切记不要按项数的多少来分,一个 数列,它的项数再多,只要是有限的,它就是有穷数列. (2)单调数列、摆动数列、常数列 按数列中前后项之间的大小关系来分, 若前面的项永远大于它后面的项, 则称之为递减数列; 若前面的项永远小于它后面的项,则称之为递增数列;若前面的项时而大于后面的项,时而 小于后面的项, 则称之为摆动数列; 若数列里面的所有项均为同一个常数, 则称之为常数列. 递增数列和递减数列,称之为单调数列. 5 数列的递推公式 (1)递推公式 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且从第 2 项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的 前一项 an ? 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的

?

?

递推公式. (2)通项公式与递推公式的异同点 不同点 可根据某项的序号 n 的值,直接代入求出项 通项公式 an 递推公式 可根据第一项(或前几项)通过一次(或多 次) 赋值求出数列的项, 直至求出所需的项 a n

相同点 都可确定一个数列,也都可 求出数列的任意一项

注意:并不是所有的数列都有通项公式,也并不是所有的数列都有递推公式. 6 a n 与 Sn 的关系
?S1 ? n ? 1? , ? 若 a n 为数列 ?an ? 的通项,Sn 为其前 n 项和, 则 a n 和 Sn 之间的关系是:an ? ? ? ?Sn ? Sn?1 ? n ? 2? . 7 等差数列 (1)等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个 数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 等差数列的定

义用字母表示为 an?1 ? an ? d ( d 为常数)或 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an n ? N* . 一个数列,不是从第 2 项起,而是从第 3 项或第 4 项起,每一项与它的前一项的差等于同一 个常数,此数列不是等差数列,但可以说从第 2 项或第 3 项起,是一个等差数列. 一个数列,从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于一个常数,这个数列并不一定是等差 数列. 因为差是常数,但却不一定是同一个常数. 公差 d 可以为正数、负数或零. 当 d ? 0 时,数列为常数列. (2)等差数列的通项公式

?

?

an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? N* ? , an ? am ? ? n ? m? d ? n, m ? N* ? . 由 上 面 的 两 个 式 子 也 可 得
d?

an ? a1 a ? am 或d ? n ? n ? m? . n ?1 n?m an ? a1 ? ? n ? 1? d 可整理为 an ? dn ? ? a1 ? d ? . 如果 d ? 0 ,那么 a n 是常数函数;如果 d ? 0 ,
那么 a n 是关于 n 的一次函数,它的图象是直线 y ? dx ? ? a1 ? d ? 上的一群孤立的点. (3)等差数列的增减性 d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; d ? 0 ? ?an ? 为常数列. (4)等差数列的求和公式(由倒序相加法推得) n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d. Sn ? , Sn ? na1 ? 2 2 n ? n ? 1? d d? d d ? d ,可得 Sn ? n 2 ? ? a1 ? ? n ,设 A ? , B ? a1 ? ,则上式可写 整理 Sn ? na1 ? 2 2 2? 2 2 ?

Sn 是关于 n 的二次函数 成 Sn ? An2 ? Bn . 当 A ? 0 (即 D ? 0 ) 时, (其中常数项为 0) , 点 ? n, Sn ?
在二次函数 y ? Ax2 ? Bx 的图象上,因此,当 d ? 0 时, Sn 的图象是抛物线 y ? Ax2 ? Bx 上的 一群孤立的点. 点评 (1)由上面得到的数列 S1 , S2 , S3 , ???, Sn , ??? 不是原等差数列 ?an ? .(2)由二次函数的性质可以 得出结论:当 d ? 0 时, Sn 有最小值;当 d ? 0 时, Sn 有最大值. (3)数列 ?an ? 为等差数列 的充要条件是其前 n 项和为 Sn ? An2 ? Bn (其中常数项为 0). (5)等差中项 a?b 任意两个数 a , b 有且只有一个等差中项. A ? 是 a , A, b 为等差数列的充要条件. 任意两 2 个数的等差中项就是这两个数的算术平均数. 在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项

的等差中项. 8 等比数列 (1)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示 ? q ? 0 ? ,等比数 列的定义用字母表示为
an ? 1 ? q ? n ? N* ? . an

等比数列的公比 q 是从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比值, 相邻两项比的顺序不能颠倒. 等比数列的公比 q 是一个与 n 无关的常数,它可以是正数,也可以是负数,但不能为零. (2)等比数列的通项公式 a an ? a1qn?1 n ? N* , an ? amqn?m m, n ? N * . 由于 an ? a1q n?1 可以整理为 an ? 1 ? q n ,因此等 q

?

?

?

?

?a ? 比数列 ?an ? , 即 ? 1 ? q n ? 中的各项所表示的点离散地分布在第一象限或第四象限. 当 q ? 0 时, ?q ? a a 这些点在曲线 y ? 1 ? q x (即 y ? cq x ,这里 c ? 1 为一个不等于 0 的常数)上. q q (3)等比数列的增减性 ? a1 ? 0, ?a1 ? 0, 或? ? ?an ? 为递增数列; ? ?q ? 1 ?0 ? q ? 1
? a1 ? 0, ?a ? 0, 或? 1 ? ?an ? 为递减数列; ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1

q ? 1 ? ?an ? 为常数列.

(4)等比数列的求和公式(可由错位相减法推得) 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? q n ? 1? q ?1

也可以写成 S n ?

a1 ? an q an q ? a1 ? 1? q q ?1

当 q ? 1 时, Sn ? na1 . 有关等比数列的求和问题,当不能确定时 q ? 1 ,应分 q ? 1 及 q ? 1 两种情况进行讨论. (5)等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. G b 如果 G 是 a 与 b 的等比中项,那么 ? ,即 G 2 ? ab ,因此 G ? ? ab . a G G 是 a , b 的等比中项的充要条件是 G 2 ? ab (或 G ? ? ab ) , 其中 ab ? 0 . 条件 ab ? 0 不能少, 如果 ab ? 0 ,即 a , b 中至少有一个为 0,那么 a, G, b 就不为等比数列. 只有同号的两个数才有 等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数,这一点与等差中项不同. 一个等比数列从第 2 项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等 比中项. (二)等差数列、等比数列的性质 1 等差数列的性质 (1)有穷等差数列 ?an ? 中,与首末两项距离相等的两项的和相等,并且等于首末两项之和. 特别地,若项数为奇数,则其还等于中间项的 2 倍,即 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? ? 2a 中. an ? ap ? ak (2) 若 m, n, p, k ? N* , 且m?n ? p?k , 则 am ? , 其中 am , an , a p , ak 是等差数列 ?an ? 中的项. 特别地,当 m ? n ? 2 p 时,有 am ? an ? 2a p . 使用该性质时, 一要注意等式两边下标和相等, 二要注意等式两边作和的项数应是一样多的. (3)在等差数列 ?an ? 中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍

然是等差数列,即 ak , ak ? m, ak ? 2m, ??? 仍为等差数列. (4) 等差数列中依次每 k 项之和构成的新数列仍然是等差数列, 即 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k , ??? 仍 为等差数列. (5)若数列 ?an ? 与 ?bn ? 均为等差数列,则 ?man ? kbn ? 仍为等差数列,其中 m, k 均为常数. (6)等差数列 ?an ? 的通项公式 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? dn ? ? a1 ? d ? ,则 a n 可表示为 an ? kn ? b , 其中 k 为等差数列的公差,它可以是任意实数. n ? n ? 1? d d? ? d ? n2 ? ? a1 ? ? n , 则 Sn 可 表 示 为 ( 7 ) 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn ? na1 ? 2 2 2? ? 2 Sn ? An ? Bn ,其中 A, B 可以是任意实数. 另外,等差数列中还有以下性质需注意: ①等差数列 ?an ? 中,若 an ? m, am ? n ? m ? n ? 则 am? n ? 0 . ②等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? m, Sm ? n ? m ? n ? ,则 Sm? n ? ? ? m ? n ? . ③等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? Sm ? m ? n ? ,则 Sm? n ? 0 . ④若 ?an ? 与 ?bn ? 均为等差数列,且前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ,则 ⑤项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ? ,有 ; S2n ? n ? a1 ? a2n ? ? ???n ? an ? an?1 ? ( a n 与 an ?1 为中间的两项)
S偶 ? S奇 ? nd ;
S奇 S偶 ? an . an ?1
am S 2 m ?1 . ? bm T2 m ?1

项数为奇数 ? 2n ? 1? 的等差数列 ?an ? ,有 ; S2n?1 ? ? 2n ? 1? an ( a n 为中间项)
S奇 ? S偶 ? an ;
S奇 S偶 ? n . n ?1

S奇 、 S偶 分别为数列所有奇数项的和与所有偶数项的和.

2 等比数列的性质 (1)若首项 a1 ? 0 ,公比 q ? 1 ,或首项 a1 ? 0 ,公比 0 ? q ? 1 ,则数列为递增数列;若首项

a1 ? 0 ,公比 0 ? q ? 1 ,或首项 a1 ? 0 ,公比 q ? 1 ,则数列为递减数列;公比 q ? 1 ,数列为 常数列;公比 q ? 0 ,数列为摆动数列. 等比数列公比不等于零是一大特点.
(2)在有穷等比数列 ?an ? 中,与首末两项等距离的两项的积相等,并且等于首末两项之积.
2 特别地,若项数为奇数,则其还等于中间项的平方,即 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? ? a中 .

(3) 若 m, n, p, k ? N* , 且m?n? p?k , 则 am ?an ?ap ?ak 中的项. 特别地,当 m ? n ? 2 p 时,有 am ? an ? a2 p.

, 其中 am , an , a p , ak 是等比数列 ?an ?

类似于等差数列,在使用该性质时,不仅应注意等式两边下标和相等,也应要求等式两边作 积的项数是一样多的. (4)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是 等比数列. 剩下的项按原顺序排列构成的数列不一定是等比数列. 一个等比数列的奇数项,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的二次幂. 一个等比数列的偶数项,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的二次幂. (5)若 ?an ? 为等比数列,则 ?? an ? ? ? ? 0? , ? an ? 皆为等比数列,公比分别为 q 和 q . 一个等比数列各项的 k 次幂, 仍组成一个等比数列, 新公比是原公比的 k 欠幂.例如:对于以 q

?1? 1 2 为公比的等比数列 ?an ? , ? ? 仍为等比数列,公比为 , an 也是等比数列,公比为 q2 . q a ? n? (6)等比数列中依次每 k 项之积构成的新数列仍然是等比数列.

? ?

? ma ? (7)若数列 ?an ? 与 ?bn ? 均为等比数列,则 ?man bn ? 与 ? n ? 仍为等比数列,其中 m 是不为 ? bn ? 零的常数. a a (8) 等比数列 ?an ? 的通项公式 an ? a1 ? q n ?1 ? 1 ? q n , 则 a n 可表示为 an ? c ? q n , 其中 c ? 1 , q q q 为公比.
( 9 ) 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn ?

a1 ?1 ? q n ?

1? q a Sn ? k ? k ? q n ,其中 q 为公比, q ? 0, k ? 1 . 1? q 3 等差数列与等比数列的相互关系 (1)设 a ? 0 且 a ? 1 ,则 a x , a y , a z 成等比数列 ? x, y , z 成等差数列;

?

a1 a ? 1 ? q n ? q ? 1? , 则 Sn 可 表 示 为 1? q 1? q

(2) ?an ? 是正项等比数列 ? ?logc an ? 是等差数列(其中 c ? 0 且 c ? 1 ). 注意 等差数列与等比数列在性质上有很多的相似之处,如:若 m, n, p, q ? N* ,且 m ? n ? p ? q , 则对等差数列有 am ? an ? a p ? aq ,对等比数列有 am ? an ? ap ? aq . (三)判定方法 1 等差数列的判定方法有以下几种 (1)定义法: an?1 ? an ? d ( d 为常数, n ? N* ) ? ?an ? 是等差数列. (2)通项公式法: an ? pn ? q ( p, q 为常数, n ? N* ) ? ?an ? 是等差数列. (3)中项公式法: 2an ?1 ? an ? an ? 2 ( n ? N* ) ? ?an ? 是等差数列. (4)前 n 项和公式法: Sn ? An2 ? Bn ( A, B 为常数, n ? N* ) ? ?an ? 是等差数列. 2 等比数列的判定方法有以下几种 a (1)定义法: n ?1 ? q ( q 是不为 0 的常数, n ? N* ) ? ?an ? 是等比数列. an (2)通项公式法: an ? cqn ( c, q 均是不为 0 的常数 n ? N* ) ? ?an ? 是等比数列.
* 2 (3)中项公式法: an ?1 ? an ? an ? 2 ( an ? an ?1 ? an ? 2 ? 0 , n ? N ) ? ?an ? 是等比数列.

(4) 前 n 项和公式法:Sn ?

a1 n a a q ? 1 ? kq n ? k( k ? 1 是常数, , q1 ? )? ?an ? 且q ? 0 q ?1 q ?1 q ?1

是等比数列. 注意 (1)只能用定义法来严格证明这两类特殊数列,其余三种方法一般在填空题、选择题中使 用. (2)证明数列不是这两类特殊数列,只要举反例即可. 解题方法荟萃 Ⅰ. 数学思想方法 (一)函数与方程思想 (二)分类讨论思想 1 对 n 的奇偶性进行讨论 2 对公比 q 的讨论 (三)构造法 Ⅱ. 解题规律技巧 (一)等差数列的性质在解题中的应用 (二)等比数列的性质在解题中的应用 高考命题研究

数列是高中数学的重要内容之一,因此,它在历年高考中都占有重要地位,一般情况下都是 一个客观性题加一个主观性题,分值占整个试卷的 10%左右.客观性题主要考查等差、等比 数列的概念、性质、通项公式及求和公式等,对基本的计算能力要求比较高.解答题是以考 查数列的通项与求和为主,涉及函数、方程、不等式知识的综合运用,在解题过程中通常用 到等价转化、分类讨论等数学思想方法,有时也与数学归纳法相结合,属于中高档难度的题 目. (一)有关等差、等比数列基本量的运算 (二)等差、等比数列的综合 熟练地应用等差、等比数列的性质,并结合数列求和的常用方法,有时也其他章节内容. a (三) 等差数列、 等比数列的证明方法: (1) 定义法, 即证 an?1 ? an ? d (常数) , n ?1 ? q(不 an 为零的常数). 2 ? an?1 ? an?1 ? n ? 2? . (2)中项法,即证 an?1 ? an?1 ? 2an ? n ? 2? , an (四)求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一, 它如同函数的解析式一样, 有解析式便可研究函数性质, 而有了数列的通项公式便可求出其任意一项以及前 n 项和等. 看来,求数列的通项公式往往 是解题的突破口、关键点. 1 求递推数列的通项公式的方法 对于由递推公式所确定的数列的求解, 通常可通过对递推公式的变换而转化成等差数列或等 比数列问题. (1)递推式为 an?1 ? an ? d 及 an ?1 ? qan ( d 、 q 为常数,其中 q ? 0 ) (2)递推式为 an?1 ? an ? f ? n ? (3)递推式为 an ?1 ? pan ? q ( p 、 q 为常数,其中 p ? 0 ) (4)递推式为 an?1 ? pan ? mqn ( n, p, q 为常数,其中 m, p ? 0 ) (5)递推式为 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 设 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 可以变形为 an? 2 ? aan?1 ? ? ? an?1 ? aan ? ,即 an? 2 ? ? a ? ? ? an?1 ? a? an ,则
? a ? ? ? p, 可得 ? 求出 a , ? ,此时 ?an ?1 ? aan ? 是公比为 ? 的等比数列. ? a ? ? ? q,

(6)递推式 an?1 ? f ? n? an n ? N* 2 已知 Sn 求 a n

?

?

己知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的公式,求 ?an ? 的通项公式,
? S , n ? 1, 即 an ? ? 1 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2. (五)数列求和 数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现. 求和题在试题中经常出 现,它常用来考查我们对基础知识的掌握程度和分析问题、解决问题的能力. 有时也可以由数列的前 n 项和来求数列中的某些元素, 如求 a1 , an , n, d , q 等. 任何一个数列的 前 n 项和都是从第 1 项一直加到第 n 项. 数列的求和主要有以下几种求解方法. 1 公式法 直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和、立方和公式等求和的方法. 2 倒序相加法 在一个数列 ?an ? 中,如果与首末两项等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这

个数列的前 n 项和可用倒序相加法. 3 错位相减法 4 裂项法

常用的裂项技巧如:

使用裂项法时要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.由于数列 ?an ? 中每一项 均裂成一正一负两项, 所以互为相反数的项合并为零后, 所剩正数项与负数项的个数必是一 样多的,切不可漏写未被消去的项. 5 分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,将这类数列适当拆开,可分为几个等差数 列、等比数列或常见数列,然后分别求和,再将其合并即可. 附录常用公式定理 常用公式及结论 (1) 等差数列 等比数列 a n ?1 ?q an?1 ? an ? d 定义 an 通项公式

1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ?, n?n ? k ? k ? n n ? k ? n?k ? n k

?

n ? k ? n 等.

?

an ? a1 ? ? n ? 1? d , an ? am ? ? n ? m ? d
an ? a1 ? n ? 1? , n ?1 a ? am d? n ?n ? m? n?m d?
Sn ? n ? a1 ? an ? 2 ? na1 ? n ? n ? 1? 2 d

an ? a1q n ?1 , an ? am q n ? m
q n ?1 ? qn?m an , a1

公差(比)

前 n 项和公式

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

an am

?

a1 ? an q ? q ? 1? , 1? q

Sn ? na1 ? q ? 1?

中项公式
m?n? p?q

a?b 2 am ? an ? ap ? aq A?

G ? ? ab ? ab ? 0?

am an ? a p a q

(2)在等差数列 ?an ? 中: ①若 an ? m, am ? n, m ? n ,则 am? n ? 0 ; ③若 Sn ? Sm , m ? n ,则 Sm? n ? 0 . (3)若 ?an ? 与 ?bn ? 均为等差数列,且前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ,则 (4)项数为偶数 2n n ? N* 的等差数列 ?an ? 有:
S2n ? n ? a1 ? a2n ? ? ??? ? n ? an ? an?1 ? ( an , an ?1 为中间的两项) ; S偶 ? S奇 ? nd ;
S奇 S偶 ? an . an ?1

②若 Sn ? m, Sm ? n, m ? n ,则 Sm? n ? ? ? m ? n ? ;
am S2 m ?1 ? . bm T2 n ?1

?

?

项数为奇数 2n ? 1 n ? N* 的等差数列 ?an ? 有:
S2n?1 ? ? 2n ? 1? an ( a n 为中间项) S ; S奇 ?


?

?

a ?

n



S奇 S偶

?

n . n ?1

S奇 , S偶 分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.

(5)常见数列的前 n 项和公式 n ? n ? 1? 1? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ; 2

1 ? 3 ? 5 ? ??? ? ? 2n ? 1? ? n2 ;
12 ? 22 ? 32 ? ? ? ? ? n 2 ?
3 3 3 3

n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6
2



? n ? n ? 1? ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? ? . ? 2 ? (6)常用结论

A 是 a , b 的等差中项的充要条件是 A ?

a?b ; 2 G 是 a , b 的等比中项的充要条件是 G 2 ? ab ,其中 ab ? 0 .


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