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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十一) 8.3圆的方程


课时提升作业(五十一)
圆 的 方 程 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.(2015·汉中模拟)设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若 0<a<1, 则原点与圆的位置关系是 ( A.原点在圆上 C.原点在圆内 ) B.原点在圆外 D.不确定 50 分)

【解析】选 B.将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a, 因为 0<a<1, 所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0, 即 > ,所以原点在圆外.

2.(2015·南昌模拟)若圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心位于第三象限,那么 直线 x+ay+b=0 一定不经过 ( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 ,则 a<0,b>0.

【解析】选 D.圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心为 直线 y=- x- ,k=- >0,- >0,直线不经过第四象限.

3.已知平面上点 P∈{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16},其中 +

=4,当 x0,y0 )

变化时,则满足条件的点 P 在平面上所组成图形的面积是 ( A.4π B.16π C.32π D.36π

【解析】选 C.由题意可得,点 P 在圆(x-x0)2+(y-y0)2=16 上,

-1-

而且圆心(x0,y0)在以原点为圆心,以 2 为半径的圆上. 满足条件的点 P 在平面内所组成的图形的面积是以 6 为半径的圆的面 积减去以 2 为半径的圆的面积,即 36π-4π=32π,故选 C. 4.若圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取 值范围是 ( A.(-∞,4) C.(-4,+∞) B.(-∞,0) D.(4,+∞) )

【解析】选 A. 将圆的方程变形为 (x-1)2+(y+3)2=10-5a, 可知 , 圆心为 (1,-3),且 10-5a>0,即 a<2. 因为圆关于直线 y=x+2b 对称,所以圆心在直线 y=x+2b 上,即-3=1+2b, 解得 b=-2,所以 a-b<4. 【方法技巧】两种对称问题的解决方法 (1)点(a,b)关于直线 y=x+m 的对称点坐标为(b-m,a+m). (2)点(a,b)关于直线 y=-x+m 的对称点坐标为(-b+m,-a+m). 5.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的 轨迹所包围的图形的面积等于 ( A.π B.4π ) C.8π D.9π

【解析】选 B. 设 P(x,y), 由题意有 ,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2], 整理得 x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为 4π. 【加固训练】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A,B 是圆 上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.

-2-

【解析】设 AB 的中点为 R,坐标为(x1,y1),连接 OR,PR,则在 Rt△ABP 中 ,|AR|=|PR|. 又 R 是 弦 AB 的 中 点 , 所 以 在 Rt △ OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-( + 又|AR|=|PR|= 所以有(x1-4)2+ 即 + =36-( + , ), ),

-4x1-10=0.

因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,点 Q 即在所求的轨迹上 运动. 设 Q(x,y),因为 R 是 PQ 的中点, 所以 x1= 得 + ,y1= ,代入方程 + -10=0, -4x1-10=0,

-4〓

整理得:x2+y2=56, 即所求 Q 点的轨迹方程为 x2+y2=56. 6.(2015·漳州模拟)能够把圆 O:x2+y2=25 的周长和面积同时分为相等 的两部分的函数称为圆 O 的“太极函数”,下列函数不是圆 O 的“太极 函数”的是 ( )

-3-

A.f(x)=4x3+x C.f(x)=tan

B.f(x)=ln D.f(x)=ex+e-x

【解析】选 D.圆 O:x2+y2=25 的圆心在原点,半径等于 5, 由题意可得,圆 O 的“太极函数”应该为奇函数, 结合所给的选项,A,B,C 中的函数都是奇函数,而 D 中的函数为偶函数. 7.(2015 · 长 春 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x)=1+x+ +?+ ,设

F(x)=f(x+4),且函数 F(x)的零点均在区间 [a,b],(a<b,a,b∈Z)内,圆 x2+y2=b-a 的面积的最小值是 ( A.π B.2π C.3π D.4π ,所以当 x<-1 或 x>-1 时, )

【解析】 选 A.因为 f(x)=1+x- + - +…+ f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2012= 而当 x=-1 时,f′(x)=2013>0, >0.

所以 f′(x)>0 对任意 x∈R 恒成立,得函数 f(x)是(-≦,+≦)上的增函 数, 因为 f(-1)=(1-1)+ +…+ <0,f(0)=1>0,

所以函数 f(x)在 R 上有唯一零点 x0∈(-1,0), 因为 F(x)=f(x+4),得函数 F(x)的零点是 x0-4∈(-5,-4), 所以 a≤-5 且 b≥-4,得 b-a 的最小值为-4-(-5)=1, 因为圆 x2+y2=b-a 的圆心为原点,半径 r= ,

所以圆 x2+y2=b-a 的面积为πr2=π(b-a)≥π,可得面积的最小值为π, 故选 A.

-4-

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.若过点 P(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的 取值范围是 .

【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点 P(a,a)能作圆的两 条切线,所以点 P 在圆的外部, 即 解之得 a<-3 或 1<a< . 故 a 的取值范围为(-≦,-3)∪ 答案:(-≦,-3)∪ 9.(2015·长沙模拟)已知圆 M 的圆心在直线 x-y-4=0 上并且经过圆 x2+y2+6x-4=0 与 圆 x2+y2+6y-28=0 的 交 点 , 则 圆 M 的 标 准 方 程 为 . .

【解析】设两圆交点为 A,B,由方程组 求得 或

故点 A(-1,3),B(-6,-2),因此 AB 的垂直平分线的方程为 x+y+3=0. 再由 求得

故圆心为

,r=

, + = = .

所以所求的圆的方程为 答案: +

【加固训练】若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0
-5-

和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是

.

【解析】设圆心 C(a,b)(a>0,b>0),由题意可得 b=1. 又圆心 C 到直线 4x-3y=0 的距离 d= 解得 a=2 或 a=- (舍去). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:(x-2)2+(y-1)2=1 10.(2015· 聊城模拟)已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 【解析】 的最小值为 . 的最 =1,

表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,所以

小值是直线 PQ 与圆相切时的斜率.设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1)即 kx-y+2-k=0.由 答案: (20 分钟 40 分) =1 得 k= ,结合图形可知, ≥ ,故最小值为 .

1.(5 分)(2015·九江模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 ( A.B.C.) D.-

【解析】 选 A.圆 C 的方程可化为(x-4)2+y2=1,易知圆 C 的圆心为(4,0), 半径为 1. 由题意知,直线 y=kx+2 上存在一点 A,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 AC≤1+1 成立,即 AC≤2. 因为 AC= ,所以 ≤2,解得- ≤k≤0.

所以 k 的最小值是- ,选 A.

-6-

2.(5 分)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比 为 1∶2,则圆 C 的方程为 ( A. C.x2+ +y2= = ) B. D.x2+ +y2= =

【解析】 选 C.由已知圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 π, 设 圆 心 (0,a), 半 径 为 r, 则 rsin =1,rcos =|a|, 解 得 r= = . ,即

r2= ,|a|= ,即 a=〒 ,故圆 C 的方程为 x2+ 3.(5 分 )(2014 ·温州模拟 ) 已知直线

ax+by=1(a,b 是实数 ) 与圆

O:x2+y2=1(O 是坐标原点)相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一点,则圆 M 的面积的最小 值为 .

【解析】因为直线与圆 O 相交所得△ AOB 是直角三角形 , 可知∠ AOB=90°, 所以圆心 O 到直线的距离为 所以 a2=1- b2≥0,即≤b≤ . = ,

设圆 M 的半径为 r,则 r=|PM|= = 又≤b≤ = (2-b), ,所以 +1≥|PM|≥ -1, )π.

所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 答案:(3-2 )π

【加固训练】 已知点 P(2,2),点 M 是圆 O1:x2+(y-1)2= 上的动点,点 N 是

-7-

圆 O2:(x-2)2+y2= 上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( A. -1 B. -2 C.2D.3-

)

【解析】选 D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+ =|PO2|-|PO1|+1=24.(12 足: +1=3. A(0,1),B(0,-1),C(1,0), 动 点 P 满

分 ) 已 知 定 点 · =k| |2.

(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型. (2)当 k=2 时,求|2 【 解 析 】 + (1) |的最大、最小值. 设 动 点 坐 标 为 P(x,y), 则

=(x,y-1), 因为 ·

=(x,y+1), ,

=(1-x,-y).

=k|

所以 x2+y2-1=k[(x-1)2+y2], 整理得(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0. 若 k=1,则方程为 x=1,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线. 若 k≠1,则方程为 为半径的圆. (2)当 k=2 时,方程化为(x-2)2+y2=1, 因为 2 所以|2 + + =(3x,3y-1), |= + | . . +y2= .表示以 为圆心,以

又 x2+y2=4x-3,所以|2 = =

问题归结为求 6x-y 的最值,令 t=6x-y,由于点 P 在圆(x-2)2+y2=1 上,故

-8-

圆心到直线 t=6x-y 的距离不大于圆的半径,即 t≤12+ 结 合 |2 , + =3+ 最小值为 |= , = -3. , 得 |2 +

≤1,解得 12-



|的最大值为

【一题多解】本题还可以用以下方法求解 方法一:问题归结为求 6x-y 的最值,令 t=6x-y,则 y=6x-t,代入圆的方 程,得到一个关于 x 的一元二次方程,根据这个方程的判别式不小于零 得到与原解析完全相同的结果. 方法二:因为(x-2)2+y2=1,所以令 x=2+cosθ,y=sinθ, 则 36x-6y-26=6 ∈[46-6 所 以 |2 ,46+6 + = cos(θ+φ)+46 ], =3+ ,最小值为

|的最大值为 -3.

【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据 圆的知识探求最值时的位置关系 .解析几何中数形结合思想主要表现 在以下两方面: (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (2)研究图形的形状、位置关系、性质等. 5.(13 分)(能力挑战题)如图,已知圆 O 的直径|AB|=4,定直线 l 到圆心 的距离为 4,且直线 l 垂直于直线 AB.点 P 是圆 O 上异于 A,B 的任意一点, 直线 PA,PB 分别交 l 于 M,N 两点.

-9-

(1)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆的方程. (2)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点. 【解析】如图,建立直角坐标系,得☉O 的方程为 x2+y2=4,直线 l 的方程 为 x=4.

(1)当点 P 在 x 轴上方时, 因为∠PAB=30°, 所以点 P 的坐标为(1, ), (x-2). ),N(4,-2 ), .

所以 lAP:y= (x+2),lBP:y=将 x=4 分别代入,得 M(4,2

所以线段 MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4

所以以 MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12. 同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是

- 10 -

(x-4)2+y2=12. 综上,以 MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),则 y0≠0, 所以 + 所以 =4(y0≠0),

=4- . (x+2),

因为 lPA:y= lPB:y=

(x-2), ,

将 x=4 分别代入,得 yM= yN= 所以 M 所以|MN|= 线段 MN 的中点坐标为 , ,N = ,

, ,

以 MN 为直径的圆 O′截 x 轴所得的线段长度为 2 = = =4 . ,0),(4+2 ,0).

则圆 O′与 x 轴的两交点坐标分别为(4-2 又(4-2 (4+2 )2+02=28-16 )2+02=28+16 <4, >4, ,0).

所以☉O′必过☉O 内定点(4-2

- 11 -


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