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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 数列试题精选05


数列 05
47. 已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an +5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an} 的通项 an . 解析:解: ∵10Sn=an +5an+6, ① 又 10Sn-1=an-1 +5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an -an-1 )+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a3 =a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 48.已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的前 n 项和为 S n , 且 a n ?1 = (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { an } 是等比数列; (2)若 a =2
2 2 k ?1
2 2 2 2 2 2

∴10a1=a1 +5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3.

2

,数列 { bn } 满足 bn =

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) ,求 n

数列 { bn } 的通项公式; (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - -

3 3 3 |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k 2 2 2

3 |≤4,求 k 的值. 2
(1) 证明] 当 n=1 时,a2=2a,则

a2 =a; a1

2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴

a n ?1 =a, ∴数列{an}是等比数列. an

-1-

49.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? Sn ? 4096 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 ?Tn ? ,从第几项起 Tn ? ?509 ? .解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 当 n≥2 时, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴

an 1 = a n ?1 2

an=2048(

1 n-1 ) . 2 1 n-1 ) ]=12-n, 2

(2) ∵log2an=log22048( ∴Tn=

1 2 (-n +23n). 2

由 Tn<-509,解得 n>

23 ? 4601 ,而 n 是正整数,于是,n≥46. 2

∴从第 46 项起 Tn<-509.

-2-

50.已知数列 {an } ,其中 a1 ? 1 , a2 ? 3 , 2an ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 ) ,记数列 {an } 的前 n 项 和为 Sn ,数列 {ln Sn } 的前 n 项和为 U n 。 (Ⅰ)求 U n ;
n eU n 2n x ? ? (Ⅱ)设 Fn ( x) ? ( ) , x T ( x ) ? F (k)? x (其中 Fk ?( x) 为 Fk ( x) 的导 ? n 2n(n !)2 k ?1

数) ,计算 lim

Tn ( x) 。 n? ? T n ?1 ( x)

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运算 的能力,同时考查分类讨论的思想方法,满分 12 分。

? ? ? 2n ? lim 1 ? x ? n ?? 1 ? x 2 n ? 2 ? 1 ? Tn ? x ? n ? lim ?? lim ?1 n ?? T n ?? n ?1 n ?1 ? x ? ? ? ? 1 ? ? 2n ? ? 1 ? ? lim ? x ? ? n ?? ? 1 ? ? x 2 ? 2n ? ? ?x ? ?

? 0 ? x ? 1? ? x ? 1? ? x ? 1?

-3-

51.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ) 等差数列 ?bn ? 的各项为正, 其前 n 项和为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b ,a ? 1 ,a 2 ?2b 3 3 b 成等比数列,求 Tn 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分 12 分。

(Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

-4-

52.已知数列 ?xn ? , ?yn ? 满足 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 2 ,并且

xn?1 x y y . ? ? n , n?1 ? ? n ( ? 为非零参数, n ? 2,3,4,?) xn xn?1 y n y n?1
(1)若 x1 , x3 , x5 成等比数列,求参数 ? 的值; (2)当 ? ? 0 时,证明

xn?1 xn ? n? N* ; y n?1 y n

?

?

当 ? ? 1 时,证明

x ? yn x1 ? y1 x2 ? y 2 ? ? ??? n ? n? N* . x 2 ? y 2 x3 ? y 3 xn?1 ? y n?1 ? ? 1

?

?

本小题以数列的递推关系为载体,主要考查等比数列的等比中项及前 n 项和公式、不等 式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力。满分 14 分。

(III)证明:当 ? ? 1 时,由(II)可知 yn ? xn ? 1(n ? N * ) 。 又由(II)

xn ?1 xn ? (n ? N * ), 则 yn ?1 yn

yn?1 ? xn?1 yn ? xn ? xn?1 xn

从而

yn ?1 ? xn ?1 xn ?1 ? ? ? n ?1 (n ? N * ). 因此 yn ? xn xn

-5-

x ?y x1 ? y1 x2 ? y2 ? ? ??? ? n n x2 ? y2 x3 ? y3 xn?1 ? yn?1

1 1 ? ( )n 1 1 n?1 ? ? ? ? 1 ? ? ??? ? ( ) ? 1 ? ? ? ?1 1? ?
xn ?1 x 3, 4, …) . ? ? n ( ? 为非零参数, n ? 2, xn xn ?1

53.已知数列 ?xn ? 满足 x1 ? x2 ? 1,并且

(Ⅰ)若 x1,x3,x5 成等比数列,求参数 ? 的值;

x1?k x2?k xn?k ?k (Ⅱ) 设 0 ? ? ? 1, 常数 k ? N 且 k ≥ 3 . 证明 ? ?…? ? (n ? N? ) . k x1 x2 xn 1 ? ?
?

本小题以数列的递推关系为载体, 主要考查等比数列的等比中项及前 n 项和公式、 等差数 列前 n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力。满分 14 分。

因此,对任意 n ? N ,
*
k? x1? k x2? k x ? ? ... ? n ? k ? ? x1 x2 xn k ( k ?3) 2

??

2k ?

k ( k ?3) 2

? ... ? ?

kn ?

k ( k ?3) 2

-6-

?? ??

k ( k ?3) 2 k ( k ?3) 2

(? k ? ? 2 k ? ... ? ? nk )

? k (1 ? ? nk ) . 1? ?k
k ( k ?3) 2

当 k ? 3 且 0 ? ? ? 1 时, 0 ? ?

? 1,0 ? 1 ? ? nk ? 1, 所以

x1?k x2?k xn?k ?k ? ? ... ? ? (n ? N * ). k x1 x2 xn 1 ? ?
54.若 Sn 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列 (Ⅰ)求数列 S1 , S2 , S4 的公比; (Ⅱ) S2 =4,求 ?an ? 的通项公式。 本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理 能力。满分 14 分。

55 . 已 知 数 列 a1 , a 2 , ? , a30 , 其 中 a1 , a 2 , ? , a10 是 首 项 为 1 , 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ;

a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列( d ? 0 ).
(1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次类推,把 已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并进行研究,你 能得到什么样的结论? 解: (1)因为 a10=10,a20=10+10d=40,所以 d=3. (2)因为 a20=10+10d,所以 a30=a20+10d =10(1+d+d )(d≠0). 注意到 d≠0 .于是 当 d∈-∞,0)∪(0,+∞) 时,a30∈15/2,+∞).
-73 2

(3)所给数列可推广为无穷数列{an},其中 a1,a2,…,a10 是首项为 1,公差为 1 的等 差数列,当 n≥1 时,数列 a10n,a10n+1,…a10(n+1)是公差为 d 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10(n+1)关于 d 的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40=a30+10d =10(1+d+d +d ), 可得 当 d>0 时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞) 等.
3 2 3 n

-8-


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