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第4章导数的应用


「 第 章 导 数 的 应 用
?

4

目录
4.1 中值定理与洛必达法则 4.2 函数的单调性与函数的极值 4.3 曲线的凸性、拐点和渐近线

中值定理与洛必达法则
01
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 洛必达法则



02
03 04

§4.1.1 罗尔定理 如果函数 y=f(x) 满足条件: (1) 在闭区间 [ a, b] 上 连续,(2)在开区间(a, b)内可导,(3) f(a)=f(b),则至少 存在一点x?(a, b),使得f ?(x) = 0。 几何解释:
如果连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的 纵坐标相等。那么,在 曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)),曲线在 C点 的切线平行于 x 轴。 y C

A

y=f(x)

B

O a

x

b

x
4

§4.1.1 罗尔定理

注意: 如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结 论就可能不成立。
y y y A B

A
A B O

B

a

b x

a

O

c

b x

a

O

b x

f(x)不满足条件(1)

f(x)不满足条件(2)

f(x)不满足条件(3)
5

说明: 1. 罗尔定理的条件是充分的,但非必要的。 例: ? sin x , 0 ? x ? ? f ( x) = ? , x=0 ? 1 ,
y
1

虽不满足条件 (1)、(3)
但仍存在 x =
ξ

?

.


O

=

?

π

x

2 但若条件都不满足,则 一定找不到定理中的ξ 。
6

, 使 f ?(x ) = 0 .

2

2. 特别,当

f (a) = f (b) = 0 时,

Rolle 定理 可简述为:
若 f (x) 在 [ a, b ] 连续,在 ( a, b ) 可导, 则在函数的两个零点之间,它的一阶导数

至少有一个零点(或一个根)。

7

例1: 验证罗尔定理对函数 f (x) = sin x 在 [ 0,π ] 上的正确性,并求出 ξ 。

? f ( x ) = sin x 在 [ 0, ? ] 连续, 在 (0,? ) 可导, 证: f (0) = f (? ) = 0 满足罗尔定理条件,
f ?( x ) = cos x , ? f ?(x ) = cos x ,

要使 f ?(x ) = cos x = 0 , 有 x =

?
2

? (0, ? ),

∴ 罗尔定理成立。
8

例 2 不求导数,判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导 数有几个零点,以及其所在范围。 解 f(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在[1, 2],[2, 3]上满足罗尔 定理的三个条件。 在 (1, 2) 内至少存在一点 x1,使 f ?(x1)=0,x1是 f ?(x) 的一个零点。 在(2, 3)内至少存在一点 x2,使f ?(x2)=0,x2也是f ?(x) 的一个零点。 f ?(x) 是二次多项式,只能有两个零点,分别在区间 (1, 2)及(2, 3)内。

可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。
9

? 2 x ? x, 例 3 : 设 f ( x) = x 证明 f ?( x ) = 0 在 [-1, 0 ] 中至少有一个根。

2 n?1

2

0 ] 连续, 在 ( -1, 0) 可导, 证: ? f ( x ) 在[ - 1, f ( -1) = f (0) = 0, 由Rolle定理,至少存在 x ? ( -1, 0) 使 f ?(x ) = 0 ,即得证。
2n

若设 f ( x ) = ( 2n ? 1) x ? 4 x ? 1, 证明方程 f ( x ) = 0 在 [-1, 0 ] 中至少有一个根。
10

例4: 设 f ( x ) = ( 2n ? 1) x

2n

? 4 x ? 1,

证明方程 f ( x ) = 0 在 [-1, 0 ] 中至少有一个根。

证: 作 ? ( x ) = x 2 n?1 ? 2 x 2 ? x , 则 ? ( x ) 在 [ - 1, 0 ] 连续, 在 ( -1, 0, ) 可导, ? (-1) = ? (0) = 0,
由Rolle定理,至少存在 x ? ( -1, 0) 使 ? ?(x ) = 0 , 2n 即 ? ?( x ) = ( 2n ? 1) x ? 4 x ? 1 = f ( x ) = 0
在 [-1, 0 ] 中至少有一个根 x , ? 得证。
11

§4.1.2 拉格朗日中值定理

(Lagrange 1736 - 1813 法国)

罗尔定理中:

f (a) = f (b)

这条件很特殊,若取消这条件, AB 弦就不 一定平行于 x 轴,此时结论又如何?

12

将罗尔定理条件中去掉 f (a) = f (b),得到

如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a, b]上连续,(2)在 开区间(a, b)内可导,则至少存在一点x?(a, b)内,使得 f ?b ? - f ?a ? f ??x ? = b-a
几何意义:
在曲线弧 AB 上 至少有一点 C , 在 该点处的切线平 行于弦 AB .
O A a x C2 y C1 y=f(x) B

h

b

x

13

证明

作辅助函数

f (b) - f (a ) F ( x) = f ( x) ( x - a) , b-a
容易验证 , F ( x ) 满足罗尔定理的条件 , 于是 ? x ? ?a , b ? , 使

f (b) - f (a ) F ?(x ) = f ?(x ) = 0, b-a


f (b) - f (a ) f ?(x ) = . b-a
14

例3

f ( x) = ln x ,在[1, e] 上满足拉格朗日定理的条件,

1 f ?( x ) = , x
f (e) - f (1) 1 = , e-1 e-1

?x = e - 1 ? (1, e ),
使 f (e) - f (1) f ?(x ) = . e-1
15

拉格朗日中值公式另外的表达方式:

f (b) = f (a ) ? f ?(x )(b - a ) ,x介于a和b之间


f (b) = f (a ) ? f ?[a ? ? (b - a )](b - a ) ,0 ? ? ? 1 ,

特别地,

f ( x0 ? ?x ) - f ( x0 ) = f ?( x0 ? ??x ) ? ?x (0 ? ? ? 1).


?y = f ?( x0 ? ??x) ? ?x (0 ? ? ? 1).
增量?y的精确表达式 .

拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
16

f ( x) 在 推论1 如果在( a , b ) 内恒有 f ?( x ) = 0 , 则 ( a , b ) 内为一常数 .

x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 证明 在(a, b)内任取两点
在 [ x1 , x2 ] 上对 f ( x ) 使用拉格朗日定理,

则 f ( x2 ) - f ( x1 ) = f ?(x )( x2 - x1 ) ( x1 ? x ? x2 )
? f ?(x ) = 0, ? f ( x2 ) - f ( x1 ) = 0 ,

即 f ( x2 ) = f ( x1 ) .
由 x1 , x 2 的任意性可知 , f ( x ) = 常数 ,x ? ( a , b ) .

17

推论2 如 果 f ( x ) 和g ( x ) 在( a , b ) 内 可导 , 且在 ( a , b ) 内 恒 有 f ?( x ) = g ?( x ) , 则 在 ( a , b ) 内f ( x ) 和 g ( x ) 最多相差一个常数 .
证明
作辅助函数 F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ,

则 F ?( x ) = f ?( x ) - g ?( x ) = 0 ,

由推论 1 即得结论.

18

? 例4 证明恒等式 arcsinx ? arccosx ? ,x ? ?- 1,1? 2 证 设 f ( x ) = arcsinx ? arccosx , x ? ?- 1,1?
f ?( x ) = 1 1- x
2

-

1 1- x
2

= 0 , x ? ?- 1,1?

由推论1知, f ( x ) ? C , x ? ?- 1,1? ? ? 而 f (0) = , 且 f ( -1) = f (1) = , 2 2


f ( x) ?

?

? 类似可得: arctanx ? arccot x ? , x ? R . 2
19

2

, x ? ?- 1,1? .

利用拉格朗日定理可证明不等式.

1 lnb - lna 1 ? ,?0 ? a ? b? 例5 证明: ? b b-a a
证 令 f ( x ) = ln x , 在( a , b ) 上利用拉格朗日定理,

lnb - lna f ?(x ) = = , x b-a 1
1 1 1 ? ? , a?x ?b, ? b x a
1 lnb - lna 1 即得 ? ? . b b-a a
20

x ? ln(1 ? x ) ? x . 例6 证明当x ? 0时, 1? x



设 f (t ) = ln( 1 ? t ),

f (t )在[0, x]上满足拉格朗日定理的 条件 ,
? f ( x ) - f (0) = f ?(x )( x - 0), (0 ? x ? x )

1 ? f (0) = 0, f ?( x ) = , 由上式得 ln(1 ? x ) = x , 1? x 1? x 1 1 1? 1? x ? 1? x 又?0 ? x ? x ? ? 1, 1? x 1? x

x x x ? ? x , 即得 ? ln( 1 ? x ) ? x. 1? x 1?x 1? x
21

例7 特别,
证 不妨设 x ? y ,令 f (t ) = sint ,
在 [ x , y ] 上利用拉格朗日定理:

? x ? ( x , y ) , 使 sin x - sin y = cos x ? ( x - y ) ,
而 cos x ? 1 ,

故 sin x - sin y ? x - y .

特别 , 令 y = 0 ,得 sin x ? x .

类似可证:

22

§4.1.3 柯西中值定理 设函数f(x)及g(x)满足条件: (1)在闭区间[a, b]上连续, (2)在开区间(a, b)内可导, (3)在(a, b)内任何一点处g?(x)均不为零, 则至少存在一点x?(a,b)内,使得

f (b) - f (a ) f ?(x ) = g(b) - g(a ) g?(x )
说明: 如果取g(x)=x,那么柯西中值定理就变成了拉 格朗日中值定理.
23

柯西中值定理的几何意义:

? x = g( t ) ( a ? t ? b ) 所确定的 . 设曲线 AB 是由参数方程 ? ? y = f (t )
由参数方程确定的函数的导数为

dy dy dx f ?( t ) = = . dx dt dt g?( t )
直线AB的斜率为

f (b) - f (a ) k= , g(b) - g(a )
曲线在点C1和C2的 斜率为

y f(b) C1 C2 f(a) A O g(a) g(x?

B

f ?(x ) =k. g?(x )

g(h? g(b) x
24

说明: (1) 当 b < a 时定理同样成立,并仍有 x=x ? ? ?x , (0 ? ? ? 1). g(b ) - g (a ) = b - a , g?( x ) = 1, (2) 当 g( x ) = x 时, 此时即为 Lagrange 中值定理。

注意:柯西中值定理并不是分子分母分别 利用拉格朗日中值定理而得,如这样,则ξ不 会是一个ξ,但柯西中值定理中的ξ是同一个ξ。 柯西中值定理主要用于证明计算极限的 一个非常重要的法则――洛必达法则。
25

§4.1.4 洛必达法则
把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 0 ? 0 ? 称为 型或 型不定式( 也称为 型或 型未定型) 0 ? 0 ? 的极限, 洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法.

定理
x? x0

(洛必达法则 1)
x? x0



(1) lim f ( x) = 0 ,lim g ( x) = 0 ;
(2) f ( x) 与g ( x ) 在 x0 的某邻域内(点 x0 可除外) 可导,且 g ' ( x ) ? 0 ;
26

f ?( x) ? ? 或 - ? ),则 = A ( A 为有限数,也可为 (3) lim x? x0 g ?( x )

f ( x) f ?( x) lim = lim =A . x ? x0 g ( x) x ? x0 g ?( x)

证 由于我们要讨论的是函数在点 x0 的极限, 而极限与函数在点 x0 的值无关, 所以我们可补充 f ( x ) 与 g ( x ) 在x 0 的定义,而对问题的讨论不会发生任何影 响.令 f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 ,则 f ( x ) 与g ( x ) 在点 x0 就连 续了.在 x0 附近任取一点 x,并应用柯西中值定理, 得 f ( x) f ( x) - f ( x0 ) f ?(x ) = = (ξ 在 x 与 x0 之间) . g ( x) g ( x) - g ( x0 ) g ?(x )
27

由于 x ? x0 时,ξ ? x0 ,所以,对上式取极限便得要证 的结果,证毕.
0 注:上述定理对 x ? ? 时的 未定型同样适用,对于 0 ? x ? x0 或 x ? ? 时的未定型 ,也有相应的法则. ?

定理

(洛必达法则 2)



(1) x ? x0 , ; x ? x0 (2) f ( x) 与g ( x ) 在 x0 的某邻域内(点 x0 可除外) 可导,且 g ' ( x ) ? 0 ; f ?( x) ? ? 或 - ? ),则 = A ( A 为有限数,也可为 (3) lim x? x g ?( x ) f ( x) f ?( x) lim = lim =A . x ? x0 g ( x) x ? x0 g ?( x)
0

lim f ( x) = ? lim g ( x) = ?

28

x 3 - 3x ? 2 例 1 求 lim 3 . x?1 x - x 2 - x ? 1

x 3 - 3x ? 2 lim 3 = x ?1 x - x 2 - x ? 1 3x 2 - 3 lim 2 x ?1 3 x - 2 x - 1 6x 6 3 = lim = = . x?1 6 x - 2 4 2

例2

1 ? cos x 求 lim . x?π tan x



1 ? cos x - sin x lim = lim = 0. x?π x?π 1 tan x cos 2 x

29

π - arctan x 例 3 求 lim 2 . x??? 1 x π 1 - arctan x 2 2 1 ? x lim 解 = lim x??? x??? 1 1 - 2 x x x2 = xlim = 1 ??? 1 ? x 2 ln x 例 4 求 lim n (n ? 0) . x??? x




1 ln x 1 lim n = lim x = lim = 0. n 1 n x ? ?? x x ? ?? nx x ? ?? nx
30

0 ? 除未定型 与 之外, 还有0 ? ?, ? - ?,0 0 ,1? , ? 0 等未 0 ? 定型, 这里不一一介绍, 有兴趣的同学可参阅相应 的书籍,下面就? - ? 未定型再举一例.
例5


? x - 1 ? 求 lim? . ? x?1 ? x - 1 ln x ?
这是? - ? 未定型,通过“通分”将其化为

0 未定型. 0

1 x ? ln x - 1 x 1 x ln x ( x 1 ) ? ? lim? = lim = lim x ? x?1 ? x - 1 x?1 x -1 ln x ? x?1 ( x - 1) ln x ln x ? x
31

= lim

ln x 1 = lim = . x?1 x?1 1 1 1 2 1 - ? ln x ? 2 x x x
0 (1) 每次使用法则前,必须检验是否属于 或 0

1 x

在使用洛必达法则时,应注意如下几点:

(2) 如果有可约因子, 或有非零极限值的乘积因子, 则可先约去或提出,以简化演算步骤; f? (x) (3) 当lim 不存在(不包括? 的情况)时,并不 g ?(x) f(x) 能断定lim 也不存在,此时应使用其他方法求极限. g(x)
32

? 未定型,若不是未定型,就不能使用该法则; ?

例6

tan x se c2 x lim = l im 2 ? 3 se c ? tan 3 x 3x x? x?
2
2

及时 2 1 cos 3 x 1 - 6 cos 3 x sin 3 x 分离 = lim = lim 2 ? ? - 2 cos x sin x 3 3 x ? cos x x ? 非零 2 2 因子 cos 3 x sin 3 x - 3 sin3 x = lim ? lim = - lim = 3. ? cos x ? sin x ? x? x? - sin x x?
2 2

2

tan x sin x cos 3 x = lim ? lim 或解: lim ? ? cos x ? x ? sin 3 x x ? x ? tan 3 x
2
2 2

- 3 sin3 x = - lim = 3. ? - sin x x?
2
33

例7

e - (1 ? x ) li m x?0 x
1 x

1 x

y = (1 ? x ) ,
ln ( 1 ? x) ln y = , x

1 x

(1 ? x ) ?(1 ? x ) ln( 1 ? x) - x? = lim x ?0 x 2 (1 ? x )
(1 ? x ) (1 ? x ) ln( 1 ? x) - x = lim ? lim x ?0 1 ? x x ?0 x2
1 x

x - ln( 1 ? x) y? 1 ? x = . 2 y x

ln( 1 ? x) e = . = e lim x ?0 2 2x

34

极限不存在 x ? cos x . 例8 求 lim x ?? x 1 - sin x = lim(1 - sin x ). 解 原式 = lim x ?? x ?? 1 洛必达法则失效。 1 原式 = lim (1 ? cos x ) = 1. x ?? x 1 2 x cos x. 例9 求 lim x ?0 ln( 1 ? x) 解 不能使用洛必达法则。 x 1 原式 = lim ? limx cos = 1 ? 0 = 0 . x ? 0 ln( 1 ? x ) x ?0 x
35

关键:将其它类型未定式化为



型未定式。

步骤: 例10

lim x ? ln x ( ? ? 0 ) x ? ?0

1 ln x x = l i m -? = lim x ? ?0 x x ? ?0 - ?x -? -1 1 = - l i m x? = 0 . ? x ? ?0
36

步骤: 例11

? 1 1? ? lim - ? ? ? x ?0 ln( 1 ? x ) x ? ?
x - ln( 1 ? x) x - ln ( 1 ? x) = lim = lim x ? 0 x ln( x ?0 1 ? x) x2

1 11 1 1 ? x = lim = . = lim x ? 0 2(1 ? x ) x ?0 2 2x
37

对数恒等式

步骤:

例12

x ?0

lim x ?
x?0?

tan x

= lim? e
x ?0

tan x ?ln x

=e
=e

lim tan x?ln x

=e
0

ln x x?0? cot x lim

sin 2 x lim x x?0?

= e = 1.
38

例13

l i mx
x ?1

1 1- x

= l i me
x ?1

1 ln x 1- x

=e

lim

ln x x ?1 1- x

=e

1 lim x x ?1 - 1

= e -1 .

或解(重要极限法):

l i mx
x ?1

1 1- x

?1 ? ( x - 1)? = lim
x ?1

1 1- x

=e .

-1

39

例14 解

x ?0

li m (cot x ) ?

1 ln x

.
1 ln x



y = (cot x )

,

ln(cotx ) 取对数得 ln y = , ln x

1 2 ? csc x ln (cotx ) cot x ? lim = lim x ?0? 1 x ?0? ln x x -x = lim = -1 , ? x ? 0 cos x ? sin x

?原式 = e-1 .
40

注意: 1. 每次使用洛必达法则前,应把函数尽 量化简或进行整理:
(1)恒等式化简 (2)约去零(无穷)因子 (3)提出非零因子(4)等价无穷小代换

2. 随时检验极限的类型,直至求出极限值。

函数的单调性与 函数的极值



01 02 03

函数的单调性 函数的极值 函数的最大、小值

42

§4.2.1 函数的单调性
如图观察区间[a, b] 上的单调递 y 增函数 f ( x) 的图像,当 x 增大时, 曲线上任一点处的切线与 x 轴正 向夹角为锐角,即 f ?( x ) ? 0(个别点 处 f ?( x ) = 0 ) ,反过来是否也成立 0 呢?我们有如下定理:

a

b x

定理 导,则有

设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,在(a, b) 内可

( 1 )如果在(a, b) 内 f ?( x ) ? 0 ,则函数f ( x) 在 [a, b] 上单调增加; (2)如果在( a, b) 内 f ?( x ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 [a, b] 上单调减少.
43

§4.2.1 函数的单调性

观察与思考:
函数的单调性与导数的符号有什么关系?
函数单调增加 函数单调减少

44

观察结果: 函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数 小于零。
函数单调增加 函数单调减少

45

y

y

o

x

o

x

定理 设函数 y = f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导. (1) 如果在(a, b)内f ?( x ) ? 0,那末函数 y = f ( x )
在[a, b]上单调增加; (2) 如果在(a, b)内 f ?( x ) ? 0,那末函数 y = f ( x )
在[a, b]上单调减少.

46

证 设 x1 , x2 是[a, b] 上任意两点,且x1 ? x2 ,由拉格 朗日中值定理有 f ( x2 ) - f ( x1 ) = f ?(x )( x2 - x1 )( x1 ? x ? x2 ) .

如果 f ?( x) ? 0 ,必有 f ?(x ) ? 0 ,又 x2 - x1 ? 0 , 于是有 f ( x2 ) - f ( x1 ) ? 0 ,
即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 由于 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是[ a, b] 上任意 两点,所以函数 f ( x ) 在[ a, b] 上单调增加.

[a, b] 上 同理可证,如果 f ?( x) ? 0 ,则函数f ( x) 在 单调减少,证毕.

函数单调区间的确定:

(1)确定函数 f ( x) 定义域; (2) 求出使 f ?( x) = 0 的点 (称这样的点为驻点) , 及导数不存在的点; (3)用这些驻点将 f ( x) 的定义域分成若干个子 区间; (4) 确定 f ' ( x) 在每个子区间内的符合, 根据定 理得出结论。

例1. 确定函数 f ( x) = ( x - 1) 2 ( x ? 1) 3 的单调区间。
解: f ?( x) = ( x -1)(x ? 1)2 (5x -1)

1 f ?( x) = 0 得 x = -1, x = , x = 1 5 列表讨论

x
f ?( x ) f ( x)


(-?,-1) -1

?

(-1, 1 ) 5

1

0

?

0

5

( 1 ,1) 5

-

1
0

(1,??)

?

”表示单调增加,“

”表示单调减少。

一般来说,用导数为零的点来划分单调区间,有时,导数 不存在的点也可用来划分单调区间。

驻点 导数等于零的点和不可导点,可能 是单调区间的分界点. 方法: 用驻点及不可导点来划 分函 数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间 内导数的符号. 注意: 区间内个别点导数为零,不影响区 间的单调性.
3 y = x , y? = 3 x 2 ? 0 , y?(0) = 0, 例如,

y

y=x3

4 2 -2

O
-2
-4

2

x

但在(-?,??)上严格单调增加 .

50

利用函数的单调性证明不等式
例2 当x ? 0时, 试证x ? ln(1 ? x )成立.



设f ( x ) = x - ln(1 ? x ), x 则 f ?( x ) = . 1? x

? f ( x)在[0,??)上连续, 在(0,??)上可导, 且 f ?( x) ? 0,

f ( x ) ? f ( 0) , ?当x ? 0时, ? 在[0,??)上单调增加;
而 f (0) = 0, ? f ( x ) ? 0 ,

即 x ? ln( 1 ? x ).
51

例3

证明不等式 e

2x

1? x ? , 1- x

(0 ? x ? 1).



? 0 ? x ? 1, ?原不等式等价于

(1 - x)e2 x - (1 ? x) ? 0

设 f ( x) = (1 - x)e2 x - (1 ? x)

f ?( x) = (1 - 2 x)e2 x - 1
内单调减少 . f ??( x ) = -4 xe2 x ? 0 ? f ?( x)在[0,1]

? f ?( x ) ? f ?(0) = 0, x ? (0,1)

? 当x ? [0,1] 时,f ( x )单调减少.

?当x ? (0,1) 时,f ( x) ? f (0) = 0 , 即原式成立。
52

? 证 设 f ( x ) = ? x ? arctanx , 4 ? f (0) = , f ( -1) = -1 . 4 由连续函数的零点存在定理知, 函数f ( x )至少有一个零点 .
1 又 f ?( x ) = 1 ? ? 0 ? f ( x )单调增加 . 2 1? x

利用函数的单调性讨论方程的根。 ? 例4 证明方程 ? x ? arctanx = 0有且只有一个实根。 4

? f ( x )至多有一个零点.
? f ( x ) = 0有且只有一个实根。
53

§4.2.2 函数的极值

定义

设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义 , 且对

此 邻 域 内 任 一 点 x ( x ? x0 ) , 均 有 f ( x ) ? f ( x 0 ) , 则 称
f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值 ; 同样, 如果对此邻域

内任一点 x ( x ? x0 ) , 均有 f ( x ) ? f ( x0 ) , 则称f ( x0 ) 是函 数 f ( x) 的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为 函数的极值.使函数取得极值的点 x0 ,称为极值点.

观察可导函数在取得极值处切线特征, y 可以看出,可导函数在取得极值处的 切线是水平的, 即极值点 x0 处, 必有 f ?( x0 ) = 0 ,于是有下面的定理.

定理 1 (极值的必要条件) O 设 f ( x0 ) 在点 x0 处具有导数, 且在点 x0 取得极值 ,那么 f ?( x0 ) = 0 .
证 只证 f ( x0 ) 是极大值的情形.由假设, f ?( x0 ) 存在, 所以 f ( x) - f ( x0 ) f ( x) - f ( x0 ) f ?( x0 ) = lim = lim , ? x ? x0 x ? x x - x0 x - x0 0

x

因为 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值,所以对于 x0 的某 邻域内的一切 x ,只要 x ? x0 ,恒有 f ( x ) ? f ( x0 ) .因此, 当 x ? x0 时, 有
lim ?

f ( x) - f ( x0 ) ? 0 于是,有 x - x0
f ( x ) - f ( x0 ) ≤0, x - x0

x ? x0

当 x ? x0 时 ,
lim -

f ( x ) - f ( x0 ) ? 0 , 所以 x - x0

x ? x0

f ( x ) - f ( x0 ) ≥ 0 , 从而得到 f ?( x0 ) = 0 . x - x0

类似可证 f ( x0 ) 为极小值情形 , 证毕.

函数极值点特征:对于可导函数由定理 1 知,可导函数 f ( x) 的极值点必是 f ( x) 的驻点.反过来,驻点却不一定

是 f ( x ) 的极值点.如 x = 0 是函数 f ( x) = x 3 的驻点,但 不是其极值点.对于连续函数,它的极值点还可能是 使导数不存在的点,称这种点为尖点. 例如, f ( x) = x , 但 x = 0 处导数不存在,但是, x = 0 是它的极小值点.

定理2 (极值的第一充分条件)设 f ( x ) 在点 x0 连续,在点 x0 的某一空心邻域内可导.当 x 由小 增大经过 x0 时,如果 (1) f ?( x) 由正变负,那么 x0 是极大值点;(2) f ?( x) 由负变正,那么 x0 是极小值 点;(3) f ?( x) 不变号,那么 x0 不是极值点

证 (1)由假设知, f ( x ) 在 x0 的左侧邻近单调 增加, 即当 x ? x0 时, f ( x) ? f ( x0 ) ;在x0 的右侧邻近 单调减少,即当 x ? x0 时, f ( x) ? f ( x0 ) . 因此 x0 是 f ( x ) 的极大值点, f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极大值. 类似可以证明(2) .
(3) 由假设,当 x 在 x0 的某个邻域( x ? x0 ) 内取 值时, f ?( x ) ? 0(? 0) ,所以,在这个邻域内是单调增加 (减少)的,因此 x0 不是极值点,证毕.

定理3 (极值的第二充分条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有二阶导数,且 f ?( x0 ) = 0 , f ??( x) ? 0 .

(1) 如果 f ??( x0 ) ? 0 ,则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值; (2) 如果 f ??( x0 ) ? 0 ,则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值. 证 (1)由于 f ??( x0 ) ? 0 ,所以
f ' ( x) - f ' ( x0 ) f ??( x0 ) = lim ? 0, x ? x0 x - x0

所以,在 x0 的某邻域内必有
f ?( x) - f ?( x0 ) ? 0 , ( x ? x0 ) , x - x0

因为 f ?( x ) = 0 ,所以有

f ?( x ) ?0 , x - x0

( x ? x0 ) .

f ?( x ) ? 0 ; f ?( x ) ? 0 , 从而知道, 当x ? x0 时, 当x ? x0 时, 由定理2知 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值.类似地可证明 (2) ,证毕.

例1

求函数 f ( x) = x 3 - 6 x 2 ? 9 x 的极值.

解一 因 为 f ( x) = x 3 - 6 x 2 ? 9 的 定 义 域 为 ( - ?,?? ),且 f ?( x) = 3x 2 - 12 x ? 9 = 3( x - 1)( x - 3) ,
令 f ?( x) = 0 ,得驻点x1 = 1 , x2 = 3 .
在 ( -? ,1) 内, f ?( x ) ? 0 ,在(1,3) 内, f ?( x ) ? 0 ,故由定理 2 知, f (1) = 4 为函数 f ( x ) 的极大值.

解二 因为 f ( x ) = x 3 - 6 x 2 ? 9 x 的定义域为 ( -? ,?? ) , 且
f ?( x) = 3 x 2 - 12 x ? 9 , f ??( x ) = 6 x - 12 .
令 f ?( x ) = 0 , 得驻点x1 = 1 , x2 = 3 .又因为 f ??(1) = -6 ? 0 , 所以, f (1) = 4 为极大值.

f ??(3) = 6 ? 0 , 所以 f (3) = 0 为极小值.

例 2

求函数 f ( x) = 2 - ( x - 1) 的极值.
2 3

2 3

解 因 为 f ( x) = 2 - ( x - 1) 的 定 义 域 为 ( -? ,?? ) ,且 f ( x) 在( -? ,?? ) 上连续,所以

3( x - 1) 在 , 所 以 x = 1 为 f ( x) 的 可 能 极 值 点 . 在 ( -? ,1) 内, f ?( x ) ? 0 ;在 (1,?? ) 内, f ?( x ) ? 0 ,由定理2知f ( x) 在 x = 1处取得极大值 f (1) = 2 .

1 2 f ?( x) = - ( x - 1) 3 = 3

-2
1 3

( x ? 1) ,x = 1 时 , f ?( x ) 不存

§4.2.3 函数的最大值与最小值
对于闭区间[a, b]上的连续函数 f ( x) 由最值存在定 理知一定存在着最大值和最小值.显然,函数在闭区 间 [a, b] 上的最大值和最小值只能在区间 (a, b) 内的极 值点和区间端点处达到.因此可得求闭区间[a, b] 上的 连续函数 f ( x) 的最值步骤为: ( 1 )求出一切可能的极值点( 包括驻点和尖点 ) 和端点处的函数值; (2)比较这些函数值的大小,最大的值为函数的 最大值,最小的值为函数的最小值.

[-3,4] 上的最 例 3 求函数 f ( x) = 2 x 3 ? 3x 2 - 12x 在 大值和最小值.
解 因为 在 f ( x) = 2 x 3 ? 3x 2 - 12 x 在[-3,4] 上连续, 所以在该区间上存在着最大值和最小值.

又因为 f ?( x) = 6 x 2 ? 6 x - 12 = 6( x ? 2)( x - 1) , 令 f ?( x ) = 0 , 得驻点 x1 = -2 ,x2 = 1 , 由于 f ( -2) = 20 , f (1) = -7 , f ( -3) = 9 , f ( 4) = 128 . 比较各值可得函数 f ( x) 的最大值为 f ( 4) = 128 , 最小值 为 f (1) = -7 .
对于实际问题的最值, 往往根据问题的性质就可断 定函数 f ( x) 在定义区间的内部确有最大值或最小值.

理论上可以证明: 若实际问题断定f ( x) 在其定义区间内 部(不是端点处)存在最大值(或最小值) ,且 f ?( x ) = 0 在定义区间内只有一个根x0 ,那么,可断定f ( x) 在点 x0 取得相应的最大值(最小值) .
2a 的长方形铁皮,将宽的两 例 4 有一块宽为 个边缘向上折起,做成一个开口水槽,其横截面为矩 形,高为x ,问高 x 取何值时水槽的流量最大(下图所 示为水槽的横截面)?
2a-2x

x

x

解 设两边各折起 x ,则横截面积为 S ( x) = 2 x(a - x) (0 ? x ? a )

这样,问题归结为:当 x 为何值时,S ( x ) 取得最大值. 由于 S ?( x ) = 2a - 4 x , 所以令 S ?( x) = 0 , 得S ( x ) 的惟 a x = 一驻点 . 2 又因为铁皮两边折的过大或过小,其横截面积都 会变小,因此,该实际问题存在着最大截面积. a a S ( x ) x = x = 所以, 的最大值在 处取得,即当 2 2 时,水槽的流量最大.
A 处 C 距 例 5 铁路线上 AB 的距离为 100 km,工厂 为 20 km, AC 垂直于 AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工 厂修筑一条公路,已知铁路与公路每 km 货运费之比为 B 到C 的运费最少? 3:5,问 D 选在何处,才能使从

解 设 AD = x (km),则 DB = 100 - x , CD = 202 ? x 2 . A 由于铁路每 km 货物运费 与公路每 km 货物运费之比为 3:5,因此,不妨设铁路上每 km 运费为3k , 则公路上每 km 运费为5k ,并设从 B 到 C 点需 C 要的总运费为 y,则

B

D

y = 5k 20 2 ? x 2 ? 3k (100 - x ) (0 ≤ x ≤ 100 ) .

由此可见,x 过大或过小,总运费 y 均不会变小, 故有一个合适的 x 使总运费 y 达到最小值.

又因为

5x ? ? y? = k ? 3 ? 2 ? 400 ? x ?
5x
2

令 y? = 0 , 即

400 ? x 其定义域内的惟一驻点,故知 y 在x = 15 处取得最小 值,即 D 点应选在距 A 为 15 km 处,运费最少.

- 3 = 0 , 得x = 15 为函数

y 在

曲线的凸性、拐点 和渐近线



01 02 03

曲线的凸性与拐点 曲线的渐近线 函数作图

69

§4.3.1 曲线的凸性与拐点
y

C
B
A

问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
o
y = f ( x)

x

y

y = f ( x)

o

x1

x2 x

o

图形上任意弧段位 于所张弦的下方
70

x 图形上任意弧段位 于所张弦的上方

x1

x2

定义:设函数y=f(x)在(a,b )内可导,如果曲线y=f(x) 上任意一点的切线都在曲线的上方,则称该曲线为上 凸的(凸弧),称区间(a,b )为该曲线的上凸区间; 如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方,则 称该曲线为下凸的(凹弧) ,称区间(a,b )为该曲线 的下凸区间或凹区间。

规范的定义:如果函数y=f(x)在(a,b )内任意
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 两点x1,x2都满足: f ( )? 2 2

则称该曲线为上凸。

如果函数y=f(x)在(a,b )内任意两点x1,x2都满 足: f ( x1 ? x2 ) ?
71

2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

则称该曲线为下凸。

y

y = f ( x)
A

B

y

y = f ( x)

B

A

o

a

b

x

o

a

f ?( x ) 递增

y?? ? 0

f ?( x ) 递减

b x y?? ? 0

定理1:设函数y=f(x)在(a,b )内二阶可导,则有

(1)若在(a,b )内有 f ??( x ) ? 0 ,曲线y=f(x) 在(a,b )内下凸。
(2)若在(a,b )内有 f ??( x ) ? 0 ,曲线y=f(x) 在(a,b )内上凸。
72

例1:判断曲线 y = x 3 的凹凸性.
2 解: ? y? = 3 x ,

y?? = 6 x ,

当x ? 0时,

y?? ? 0,

?曲线 在( -?,0]为凸的;
当x ? 0时, y?? ? 0, ?曲线 在[0,??)为凹的;

点. 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界
73

定义: 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.

定理 2 如果 f ( x )在( x0 - ? , x0 ? ? ) 内存在二阶导 数,则点? x0 , f ( x0 ) ?是拐点的必要条件是 f ( x0 ) = 0 . 证: ? f ( x ) 二阶可导, ? f ?( x ) 存在且连续,
"

则 f ??( x ) = [ f ?( x )]?在x0两边变号,
? f ?( x )在x0取得极值, 由可导函数取极值的条件.
74

又 ? ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,

? f ??( x0 ) = 0.

拐点的求法
设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ??( x0 ) = 0,
(1) x0两近旁f ??( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ??( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.

75

例2:求曲线 y = 3 x 4 - 4 x 3 ? 1 的拐点及

凹、凸的区间 . 2 3 2 解: y? = 12x -12x , y?? = 36 x ( x - 3 ).
2 令y?? = 0, 得 x1 = 0, x2 = . 3

x ( -? ,0)
f ??( x )
f ( x)
76

0 0
拐点

( 0, 2 ) 3

2

?
凹的

凸的

3 0

( 2 ,??) 3

?
凹的

拐点

(0,1)

( 2 ,11 ) 3 27

曲线的上凸区间为 [0, 2 3 ] ,下凸区间为 (-?,0] 和 [ 2 3 , ??) ,拐点为(0,1)和 ( 2 3 , 11 27) 。 注意: 若 f ??( x ) 不存在, 点 ( x , f ( x )) 也可能
0 0 0
77

是连续曲线 y = f ( x ) 的拐点.

例3: 求曲线 y = 3 x 的拐点.

1 解:当x ? 0时, y? = x , 3 x = 0是不可导点 , y?, y??均不存在.
-

2 3

2 -5 y?? = - x 3 , 9

但在( -?,0)内, y?? ? 0, 曲线在( -?,0]上是凹的 ; 在(0,??)内, y?? ? 0, 曲线在[0,??)上是凸的.

?点(0,0)是曲线 y = 3 x的拐点.

78

§4.3.2 曲线的渐近线 定义: 当曲线 y = f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线

移向无穷远点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y = f ( x ) 的 一条渐近线.
1.垂直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线 )

如果

? x ? x0

lim f ( x ) = ? 或 lim f ( x ) = ?
x ? x0

那么 x = x0 就是 y = f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
79

1 , 例1: y = ( x ? 2)( x - 3)
解: ? lim f ( x )
x ?-2

1 = lim =? x ?-2 ( x ? 2)( x - 3)

1 ? lim f ( x) = lim =? x ?3 x ?3 ( x ? 2)( x - 3)
两条有垂直渐近线:
80

x = -2,

x = 3.

2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线 )

如果

x ? ??

lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b (b 为常数)
x ? -?

那么 y = b 就是 y = f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例2: 解:

f ( x) = arctan x
? lim f ( x)
x ?-?

= lim arctan x = x ?-?

?
2

? lim f ( x) = lim arctan x =
x ??? x ???

?
2

? 有两条水平渐近线: y = , 81 2

? y=- . 2

3.斜渐近线
如果
x ? ?? x ? -?

lim [ f ( x ) - (ax ? b )] = 0

或 lim [ f ( x ) - (ax ? b )] = 0 (a , b 为常数) 那么 y = ax ? b 就是 y = f ( x ) 的一条斜渐近线 .

斜渐近线求法: f ( x) lim = a, x ??? x

x ???

lim [ f ( x ) - ax] = b.

那么 y = ax ? b 就是曲线 y = f ( x ) 的一条斜渐近线 .

82

注意:

如果 f ( x) (1) lim 不存在; x ?? x f ( x) ( 2) lim = a 存在, 但 lim[ f ( x ) - ax] 不存在, x ?? x ?? x

可以断定 y = f ( x ) 不存在斜渐近线 .

83

2( x - 2)( x ? 3) 例 3: 求 f ( x ) = 的渐近线. x -1 2( x - 2)( x ? 3) 解: ? lim f ( x) = lim =? x ?1 x ?1 x -1

? x = 1 是曲线的铅直渐近线 .
f ( x) 2( x - 2)( x ? 3) 又 ? lim = lim = 2 , x ?? x ?? x x( x - 1)

2( x - 2)( x ? 3) lim[ - 2 x] x ?? x -1

4 x - 12 = lim = 4, x ?? x - 1

84

? y = 2 x ? 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x - 2)( x ? 3) f ( x) = 的两条渐近线如图 x -1

85

§4.3.3 函数作图

利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y = f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f ?( x ) 和二阶导数 f ??( x) ;
第一步

求出方程 f ?( x) = 0 和 f ??( x) = 0 在函数定义 域内的全部实根, 用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
86

确定在这些部分区间内 f ?( x) 和 f ??( x) 的 符号,并由此确定函数
第三步

确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ?( x) = 0 和 f ??( x) = 0 的根对应

第四步

的曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综合 前四步讨论的结果画出函数的图形.

87

4( x ? 1) 例1: 作函数 f ( x ) = - 2 的图形. 2 x 解: 定义域为 x ≠0。非奇非偶函数,且无对称性.
f ?( x ) = 4( x ? 2) , 3 x f ??( x ) = 8( x ? 3) . 4 x

令 f ?( x ) = 0, 令 f ??( x ) = 0,

得驻点 x = -2,

得特殊点 x = -3.

4( x ? 1) lim f ( x ) = lim[ - 2] = -2, 2 x ?? x ?? x

得水平渐近线 y = -2;
88

4( x ? 1) lim f ( x ) = lim[ - 2] = ??, 2 x ?0 x ?0 x

得铅直渐近线 x = 0.

列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:

x ( -? ,-3) - 3 ( -3,-2) - 2 ( -2,0)
f ?( x ) f ??( x )
f ( x)
89

0
不存在

( 0,?? )

-

0
拐点 26 ( -3,- ) 9

?

-

0

? ?

-

?
间 断 点

极值点

-3

补充点 : (1 - 3,0), (1 ? 3,0);
A ( -1,-2), B (1,6), y C ( 2,1).

作图

6 B

1

C
1 2

-3 - 2 -1

o

x

-2

A

-3

90

4( x ? 1) f ( x) = -2 2 x

91

1 例2:作函数 ?( x ) = e 2?

x2 2

的图形.

解: 定义域为R。 且 0 ? ? ( x) ?
偶函数, 图形关于y轴对称.

1 ? 0.4. 2?
x2 2

x ??( x ) = e 2?
令 ??( x ) = 0, 令 ???( x ) = 0,

x2 2

, ???( x ) = - ( x ? 1)( x - 1) e 2?

.

得驻点 x = 0,

得特殊点 x = -1, x = 1.
x2 2

1 ? lim ?( x ) = lim e x ?? x ? ? 2?
92

= 0, 得水平渐近线 y = 0.

列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:

x ( -? ,-1) - 1 ( -1,0) 0
??( x ) ???( x )
?( x )

( 0,1)

1

(1,?? )

? ?

0
拐点
1 ( -1, ) 2?e

? y
1 2

0
极大值

(1,

0
拐点
1 ) 2?e

?

1 2?

-1
93

o

1

x

1 ?( x ) = e 2?

x2 2

94


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