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福建省龙岩一中2012届高三5月模拟考试数学(理)试题


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(考试时间:120 分钟

满分:150 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. 1.若 sin ? cos ? < 0 ,则角 ? 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 2.下列命题中的假命题是( )
x?1 A. ? x ? R , 2 ? 0

C. ? x ? R , lg x ? 1

B. ? x ? N , ( x ? 1)2 ? 0 D. ? x ? R , tan x ? 2
*

3.已知集合 P ? {0, m}, Q ? {x | 2x2 ? 5x ? 0, x ? Z} ,若 P ? Q ? ? ,则 m 等于( A. 1 B. 2 C. 1 或

)

5 2

D. 1 或 2 )

4. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 / /l3 C. l1 / /l2 / /l3 ? l1 , l2 , l3 共面

B. l1 ? l2 , l2 / /l3 ? l1 ? l3 D. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面
2

y2 ? 1的离心率为( 5.若 (4 ? m) ? 2i(m ? R) 是纯虚数,则圆锥曲线 x ? ) m 3 3 5 3 A. B. 5 C. 或 D. 或 5 2 2 2 2 10 6.已知 ( x ? 1)10 ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ?? ? a x . 若数列 a1 , a2 , a3 ,?, ak (1 ? k ? 11 k ? Z ) 是 , 11 一个单调递增数列,则 k 的最大值是( )
A.6 B.5 C.7 D.5 或 6 7.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数

y ? loga ( x ? b) 的图象可能是(



(A) (B) A. B. 8.下列命题中正确命题的个数是( (1 ) cos ? ? 0 是 ? ? 2k? ? (2)若 a ? 0, b ? 0, 且

(C) C. )

(D) D.

?
2

(k ? Z ) 的充分必要条件;

2 1 ? ? 1 ,则 ab ? 4 ; a b

(3)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变; 1 (4)设随 机变量 ? 服从正态分布 N(0,1),若 P (? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? ? p. 2 A.4 B.3 C.2 D.1 9.平面向量的集合 A 到 A 的映射 f 由 f ( x) ? x ? 2( x ? a)a 确定,其中 a 为常向量.若映

?

?

? ? ?

?

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射 f 满足 f ( x) ? f ( y) ? x ? y 对 x, y ? A 恒成立,则 a 的坐标不可能是( ... A. (0, 0) B. (

?

? ?

? ? ?

? ? ?

?



2 2 , ) 4 4

C. (

2 2 , ) 2 2

D. (? ,

1 3 ) 2 2

10. 设函数 y ? f ( x) 在( ?? ,+ ? )内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K f k ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K
取函数 f ( x ) = 2 ? x ? e 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1
?x

, 若对任意的 x ? (??, ??) , 恒有 fk ( x) = f ( x ) , ( 则 B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1

) A. K
w.w.w.zxxk.c. o.m

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.根据如图所 示的伪代码, 当输入 a, b 分别为 2, 时, 3 最后输出的 m 的值是________. 12.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统 计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 0 17 1 8 2 月平均气温 x C ) ( 3 月销售量 y(件) 24 3 4 55 3 0 ? 由表中数据算出线性回归方程 y ? bx ? a 中的 b≈-2.气象部门预测下个月的平均气温 约为 6℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为_ 件. (参考公式: b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , a ? y ? bx ) ? nx
2

INPUT a,b IF a>b THEN m=a ELSE m=b END IF PRINT m END

?x
i ?1

2 i

2 2 13.某同学为研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x ) (0 ? x ? 1) 的性质, 构造了如

D

C P

F

上图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是边 BC 上的一个动点, 点 设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些信息,推知函数 f ( x ) 的图象的 对称轴是 . 14.不论 a 为何值时 ,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P, 则过 P 点的抛物线 的标准方程为 .
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

A

B

E

2 2 15.若点集 A ? ( x, y ) x ? y ? 4 , B ? ( x, y) ? 2 ? x ? 2,?2 ? y ? 2 ,则点集

?

?

?

?

第 13 题图

Q ? ?( x, y) | x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B? 所表示 的区域的面积为________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. P 16.(本小题满分 13 分) 已 知 三 棱 锥 P ? ABC , PA ? 平 面 ABC , AB ? AC , AB ? AC ? 4 , AP ? 5 . (Ⅰ)把△ PAB (及其内部)绕 PA 所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何 体的体积 V ; (Ⅱ)求二面角 P ? BC ? A 的余弦值.
A

17.(本小题满分 13 分)
B

C

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由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某中学随机抽取 16 名学 生,经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图 (以小数点前的一位数字为 茎,小数点后的一位数字为叶)如右: (Ⅰ)若视力测试结果不低于 5.0,则称为 “好视力”,求校医从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“好视力”的概率; (Ⅱ)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的 总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 表示抽到“好视力”学生的人数,求 18.(本小题满分 13 分) 的分布列及数学期望.

已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均不 为 0 的 等 差 数 列, 公 差为 d , Sn 为 其 前 n 项 和 . 向 量

p ? (an , S 2n?1 ) 、 q ? (1, an ) 满足 p // q , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?
列 ?bn ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求 a1 、 d 和 Tn ;

1 1 , Tn 为数 ? an an?1

(Ⅱ)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 19.(本小题满分 13 分)

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的中心 O 为圆心, a 2 ? b 2 为半径的圆称为该 a 2 b2 椭圆的“准圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P ,左焦点为 F ,上顶点为 Q ,且满足 PQ ? 2 ,
以椭圆 C :

6 S ?OFQ . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 及其“准圆”的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 的“准圆”的一条弦 ED (不与坐标轴垂直) S ?OPQ ?
与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,试证明:当 OM ?ON ? 0 时, 试问弦 ED 的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

20.已知函数 f ( x) ? x ? sin x (Ⅰ )当 x ? [0, ? ] 时,求 f (x) 的值域 (Ⅱ)设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 ,若 g ( x) ? 1 ? ax2 在 [0,??) 恒成立,求实数 a 的取值范围 (III)设 h( x) ? x( f ( x) ? x) ,若 h(x) 在 (0,??) 上的所有极值点按从小到大排成一列

a1 , a2 , a3 ,?, ? 求证: ? a n ?1 ? a n ? ? 2

21.本题设有(1)( 2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分 、 、

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(1)选修 4-2:矩阵与变换

已知矩阵? A ? ?

? 6? ? 3 3? ? ,向量 ? ? ? ? , ?8 ? ? 2 4? ? ?

(Ⅰ)求矩阵 A 的特征值和对应的特征向量; (Ⅱ)求向量 ? ,使得 A2? ? ? . (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 ?x ? 1 ? t (Ⅰ)求直线 ? ( t 为参数)的倾斜角的大小. ?y ?1? t 4? (Ⅱ)在极坐标系中,已知点 A(2, ? ), B(2, ) , C 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点,求 ?ABC 3 的面积的最小值. (3)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ?
2 2

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ)若 2 | x ? 1 | ? | x |? a ? b 对任意的 a, b 恒成立,求实数

x 的取值范围.

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龙岩一中 2012 届高考模拟考试数学(理科)参考答案
题号 答案 1 D 2 B
[ 来 源 : 学 * 科 * 网

3 D

Z*X*X*K]

4 B

5 B

6 A

7 C
[来源:Zxxk.Com]

8 C

9 B

10 D

4 9 1 2 2 ;14. x ? y 或 y ? ? x ;15. 48 ? 4? ; 3 2 2 16.解: (Ⅰ)由题设,所得几何体为圆锥,其底面半径为 4 ,高为 5 . 1 80? 该圆锥的体积 V ? ? 5 ? ?? 42 ? . ??????5分 3 3
11.3;12.46;13. x =

[来源:学科网ZXXK]

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,可得各点的坐标 A(0,0,0) , B(4,0,0) , C (0, 4,0) ,

??? ? ??? ? P(0,0,5) .于是 PB ? (4,0, ?5) , BC ? (?4,4,0) .??????7分 ?? ? 由 PA ? 平面 ABC ,得平面 ABC 的一个法向量 n1 ? (0,0,1) .??8分 ?? ? 设 n2 ? (u, v, w) 是平面 PBC 的一个法向量. ?? ??? ?? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ??? ? ? 因为 n2 ? PB , n2 ? BC ,所以 n2 ? PB ? 0 , n2 ? BC ? 0 , ?? ? 4 即 4u ? 5 w ? 0 , ?4u ? 4v ? 0 ,解得 w ? u , v ? u ,取 u ? 5 ,得 n2 ? (5, ?5,4) .?10分 5 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 2 66 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? ? . ???12分 ? ? 33 n1 n2
科+网]

[来源:学+

结合图可判别二面角 P ? BC ? A 是个锐角,它的余弦值为

2 66 . 33

??????13 分

18. 解: (Ⅰ)由 p // q 得 an ? S2n?1 ,则 a1 ? S1 ? a1 ,? a1 ? 0,? a1 ? 1.
2
2

2 a2 ? S3 ? a1 ? a2 ? a3 ,? (1 ? d ) 2 ? 3 ? 3d ,? d ? ?1,2 , 当 d ? ?1 时, a 2 ? 0 不满足条件,舍去.因此 d ? 2 .???????????. 4 分 1 1 1 2n ? ? ,? Tn ? 1 ? . ??? 7 分 an ? 2n ? 1 ,? bn ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n (2n ? 1)( n ? 8) 1 8 ? n ? 8,? ? ? ? (2n ? ? 17 ) , (Ⅱ) ? ? 2n ? 1 2n 2 n

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? 2n ?

8 1 8 25 ? 8 , 当 n ? 2 时 等 号 成 立 , ? (2n ? ? 17 ) 最 小 值 为 ,所以 n 2 n 2

?<

25 ????13 分 2

19.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的左焦点 F ( ? c ,0), c ? 0 ,由 S ?OPQ ?

6 6 c ,又 S ?OFQ 得 a ? 2 2 PQ ? 2 ,即 a 2 ? b 2 ? 4 且 b 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 a 2 ? 3, b 2 ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1 ;椭圆 C 的“准圆”方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .???6 分 3 ( Ⅱ ) 设 直 线 ED 的 方 程 为 y ? kx ? b (k , b ? R) , 且 与 椭 圆 C 的 交 点
则椭圆 C 的方程为

M ( x1 , y1 )、N ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? kx ? b ? 联列方程组 ? x 2 2 ? 3 ? y ?1 ?
代入消元得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kbx ? 3b 2 ? 3 ? 0

20.解: (Ⅰ) ? f ' ( x) ? 1 ? cos x ? 0,? f ( x)在[0, ? ] 上单调递增.

? f ( x)min ? f (0) ? 0, f ( x)max ? f (? ) ? ?
所以函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ]
2

……………………. 4 分

(Ⅱ) g ( x) ? cos x ,记 ? ( x) ? cos x ? ax ? 1 ,则 ? '( x) ? ? sin x ? 2ax . 当a ? ?

1 时, ? "( x) ? ? cos x ? 2a ? 0 ,所以 ? '( x) 在 [0, ??) 上单调递增. 2

又 ? '(0) ? 0 ,故 u '( x) ? 0 .从而 ? ( x) 在 [0, ??) 上单调递增. 所以 ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,即 cos x ? 1 ? ax 在 [0, ??) 上恒成立………….7 分
2

当a ? ?

1 时, ?" (0) ? ?1 ? 2a ? 0,? ?x0 ? 0, 使x ? (0, x0 )时,?" ( x) ? 0 . 2

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所以 ? ' ( x)在 (0,x0 ] 上单调递减,从而 ? ' ( x) ? ? ' (0) ? 0 , 故 ? ( x) 在 (0, x0 ] 上单调递减, ? ( x) ? ? (0) ? 0 这与已知矛盾. …………….9 分 综上,故 a 的取值范围为 a ? ?

1 . 2

(Ⅲ) h( x) ? x sin x, h '( x) ? sin x ? x cos x 令 h '( x) ? 0 ,则 ? x ? tan x( x ? 0) .

x ? 0 ? tan x ? 0 ? x ? (k? ?
依题意可知 an ? ? (n ? 1)? ? 从而 an ?1 ? an ?

?
2

, k? ? ? )

? ?

?

? ? ? ? , (n ? 1)? ? ? ? , an?1 ? ? n? ? , n? ? ? ? 2 2 ? ? ?

?
2

. …………………….12 分

又 tan(an?1 ? an ) ?

an ? a n?1 ? 0 ,所以 an?1 ? an ? ? . 1 ? an an?1

…………….14 分

21.(1)解: (Ⅰ)由 f (? ) ?

? ?3 -3 ? (? ? 3)(? ? 4) ? 6 ? 0 得 ?1 ? 6, ?2 ? 1 , -2 ? ?4

当 ?1 ? 6 时,求得对应的特征向量为 ? ? , ? ?

?1? ?1? ?3 ? ?2 ? 1 时,求得对应的特征向量为 ? ? ;?????????4 分 ? ? 2? ? ?
3? ? 4? ?
2

?3 ?x? (Ⅱ)设向量 ? ? ? ? ,由 ? ?2 ? y? ? ? ?

? x ? ?6? ? ? 1? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? .??????7 分 ? y ? ?8 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?

(2)解: (Ⅰ)因为直线的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,所以倾斜角的大小为

3? .??3 分 4 ( Ⅱ ) 依 题 意 得 点 A, B 的 直 角 坐 标 分 别 为 A(?2,0), B(?1,? 3) , 直 线 AB 方 程 为

3x ? y ? 2 3 ? 0 ,曲线 ? ? 2sin ? 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,
1 , 2 1? 3 1 1 所以 ?ABC 的面积的最小值为 AB ? h ? 3 ? .??????7 分 2 2
点 C 到圆的最短距离为 h ?

1? 2 3

?r ? 3?

(3)解: (Ⅰ)

? (a 2 ? b 2 )(12 ? 12 ) ? (a ? b) 2 ?a ? b ? 3

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