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人教版数学选修2-1第二章第三节抛物线及其标准方程_图文

抛物线及其标准方程 青 春 抛 物 线 y o x 探 究 ? 画图观察 再次观察 问题探究: M · C · F 观察发现 l 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等 .点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线. 一、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点, d M · 焦 点 C · F 准线 l 直线l 叫抛物线的准线 MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d d 为 M 到 l 的距离 二、标准方程的推导 yy M 如何建立坐标系呢? · xx 思考:抛物线是 轴对称图形吗?怎 样建立坐标系,才能 x 使焦点坐标和准线 方程更简捷? y00 l · F 0 y M(x,y) K o F 解:以过F且垂直于 l 的直 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得 p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2 2 l 1.建立坐标系 2.设动点坐标, 相关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理 5.证明(略) 两边平方,整理得 y ? 2 px( p ? 0) 这就是所求的轨迹方程. 三、标准方程 把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为 x ? ? 2 2 : 一条抛物线,由于它在坐标平面内 的位置不同,方程也不同,所以抛物线 的标准方程有四种形式. 抛物线的标准方程 抛物线的标 准方程的还 有那些形式 呢? 想 一 想 ? 其它形式的 抛物线的焦 点与准线怎 样表示呢? 四种抛物线的标准方程对比 图形 标准方程 y 2 ? 2 px 焦点坐标 ?p ? ? ,0 ? ?2 ? ? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ? 准线方程 x?? p 2 ? p ? 0? y 2 ? ?2 px ? p ? 0? p x? 2 x 2 ? 2 py ? p ? 0? ? p? ? 0, ? ? 2? p y?? 2 x 2 ? ?2 py ? p ? 0? p? ? 0 , ? ? ? 2 ? ? y? p 2 观察上表:抛物线的标准方程的四种不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系 是有规律的,这个规律是什么? 第一:一次项的变量如为 x(或y),则x轴(或y轴) 为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上. 第二:一次项的系数的正负决定了开口方向. 右”+”,左“-”,上“+”,下“-” 根据标准方程的知识,我们可以确定抛物 线的焦点位置及准线方程. 例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,求它的 焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 方程. p (2)因为焦点在y轴的负半轴上,且 ? ? ?2, 2 2 , 所以所求抛物线的标准方程是 x ? ?8 y ?p?4 3 解:(1)因为p=3,所以焦点坐标是 ( , 0) 2 3 准线方程是 x ? ? , 2 例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程. 解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p= 9 4 . A y O x (2)当焦点在 x 轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 9 2 ∴抛物线的标准方程为x = 2 得 p= 3 y 2 2 或y = 4 ? x 。 3 思考:M是抛物线y2 = 2px(p>0)上一点,若点 M 的横坐标为x0,则点M到焦点的距离是 x0 + 这就是抛 物线的焦 半径公式 ! ———————————— — 2 p y O F . . M x 四、课堂练习: 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0); (2)准线方程 是x = y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y 1 ? ; 4 (3)焦点到准线的距离是2。 y2 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0 1 2 ( 2) Y ? X 2 2 (4)x +8y =0 焦点坐标 准线方程 (1) (2) (3) ( 5 , 0) 1 (0,) 2 5 (-—,0) 8 x= -5 1 y= - — 2 5 x= — 8 (4) (0,-2) y=2 五、小结: 1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本 质,灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易, 且思路清晰,解法简捷. 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:要抓住 标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对 应关系; 3. 不同位置的抛物线 y y y y l O F 图 O F x x F O x F O l 形 l l x 焦点位置 标准方程 焦点坐标 x轴的 正方向 y2=2px p F ( ,0 ) 2 p x=2 x轴的 负方向 y2=-2px p F(- ,0 ) 2 p x= 2 y轴的 正方向 x2=2py p F ( 0, ) 2 p y=2 y轴的 负方向 x2=-2py p F ( 0, - ) 2 p y= 2 准线方程 例4、斜率为1

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