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人教版数学选修2-1第二章第三节抛物线及其标准方程


抛物线及其标准方程 青 春 抛 物 线 y o x 探 究 ? 画图观察 再次观察 问题探究: M · C · F 观察发现 l 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等 .点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线. 一、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点, d M · 焦 点 C · F 准线 l 直线l 叫抛物线的准线 MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d d 为 M 到 l 的距离 二、标准方程的推导 yy M 如何建立坐标系呢? · xx 思考:抛物线是 轴对称图形吗?怎 样建立坐标系,才能 x 使焦点坐标和准线 方程更简捷? y00 l · F 0 y M(x,y) K o F 解:以过F且垂直于 l 的直 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得 p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2 2 l 1.建立坐标系 2.设动点坐标, 相关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理 5.证明(略) 两边平方,整理得 y ? 2 px( p ? 0) 这就是所求的轨迹方程. 三、标准方程 把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为 x ? ? 2 2 : 一条抛物线,由于它在坐标平面内 的位置不同,方程也不同,所以抛物线 的标准方程有四种形式. 抛物线的标准方程 抛物线的标 准方程的还 有那些形式 呢? 想 一 想 ? 其它形式的 抛物线的焦 点与准线怎 样表示呢? 四种抛物线的标准方程对比 图形 标准方程 y 2 ? 2 px 焦点坐标 ?p ? ? ,0 ? ?2 ? ? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ? 准线方程 x?? p 2 ? p ? 0? y 2 ? ?2 px ? p ? 0? p x? 2 x 2 ? 2 py ? p ? 0? ? p? ? 0, ? ? 2? p y?? 2 x 2 ? ?2 py ? p ? 0? p? ? 0 , ? ? ? 2 ? ? y? p 2 观察上表:抛物线的标准方程的四种不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系 是有规律的,这个规律是什么? 第一:一次项的变量如为 x(或y),则x轴(或y轴) 为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上. 第二:一次项的系数的正负决定了开口方向. 右”+”,左“-”,上“+”,下“-” 根据标准方程的知识,我们可以确定抛物 线的焦点位置及准线方程. 例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,求它的 焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 方程. p (2)因为焦点在y轴的负半轴上,且 ? ? ?2, 2 2 , 所以所求抛物线的标准方程是 x ? ?8 y ?p?4 3 解:(1)因为p=3,所以焦点坐标是 ( , 0) 2

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