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2014北京高考理科数学总复习 专题14《排列组合、二项式定理》


2014 高考理科数学总复习

专题十四

排列组合、二项式定理

第一部分

排列组合

北京市 2011 各区 1、某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展台,并且 3 件 展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有__ __种、 2、一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课,体育不在第一节上,数学不 在第六、七节上,这天课表的不同排法种数为
7 5 (A) A7 ? A5 2 5 (B) A4 A5 1 1 5 (C) A5 A6 A5
6 1 1 5 (D) A6 ? A4 A5 A5

3、某单位有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的 4 个车 位连在一起,则不同的停放方法的种数为 (A)16 (B)18 (C)24 (D)32 4、若一个三位数的十位数字比 个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”。现从 1,2, 3,4, 5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 (A)120 个 (B)80 个 (C)40 个 (D)20 个 5、由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 2 与 5 不相邻的四位数的个数是 (A)120 (B)84 (C)60 (D)48 6、在两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,今从每个袋中任取一张卡 片,则两数之和等于 5 的概率为__________. 7、已知集合 M ? {1, 2,3} , N ? {1, 2,3, 4} ,定义函数 f : M ? N . 若点 A(1, f (1)) ,

??? ???? ? ??? ? B(2, f (2)) , C (3, f (3)) , ?ABC 的外接圆圆心为 D,且 DA ? DC ? ? DB(? ? R) ,
则满足条件的函数 f ( x) 有 (A)6 个 (B)10 个 (C)12 个 (D)16 个

8、由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 (A)72 (B)60 (C)48 (D)12 9、有 5 名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能值周一或周二,那么 5 名同学值 日顺序的编排方案共有 (A)24 种 (B)48 种 (C)96 种 (D)120 种 北京市 2012 各区 1、如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所 学校, 要求甲学校连续参观两天, 其余学校均只参观一天, 那么不同的安排方法有 种。 2、某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女 生,那么不同的选派方案种数为 (A)14 (B)24 (C)28 (D)48 3、从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列,则甲不在排头的排法种数是 (A)12 (B)24 (C)36 (D)48 4、某小区有排成一排的 7 个车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的 4 个 车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为

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(A)16 (B)18 (C)24 (D)32 5、学校组织高一年级 4 个班外出春游,每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一 个游览,则恰有两个班选择了甲景区的选法共有_____种 (A) A4 ? 3
2 2
2 2 (B) A4 ? A3

(C) C4 ? 3
2

2

2 2 (D) C 4 ? A3

6、有 10 件不同的电子产品,其中有 2 件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试, 直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好 3 次就结束测试的方法种数是 (A)16 (B)24 (C)32 (D)48 北京市 2013 各区 1、一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球,每次取出一个,记下它的标号后再 放回盒子中,共取 3 次,则取得小球标号最大值是 3 的取法有 (A)12 种 (B)15 种 (C)17 种 (D)19 种 2、现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现要从下层 8 件中取 2 件调整到 上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 (A)420 (B)560 (C)840 (D)20160 3、从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作,每人承 担一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 (A) 60 种 (B) 72 种 (C) 84 种 (D) 96 种 4、有 4 名优秀学生 A. B. C.D 全部被保送到甲、乙、丙 3 所学校,每所学校至少去一 名,且 A 生不去甲校,则不同的保送方案有 (A)24 种 (B)30 种 (C)36 种 (D)48 种 5、从 0,1 中选一个数字,从 2,4,6 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 (A)36 (B)30 (C)24 (D)12 6、在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 (A)24 (B)36 (C)48 (D)60 7、某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生 又有女生,则不同的选法共有 (A)140 种 (B)120 种 (C)35 种 (D)34 种 8、用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的 个数为 (A)144 (B)120 (C)108 (D)72 9、若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有 (A)60 种 (B)63 种 (C)65 种 (D)66 种 10、有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相,其中甲和乙必须相邻,丙不排在两头,则这 样的排法共有 种。 11、在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能在第一或最后 一步实施,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 种。 12、有 6 名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项 活动最多安排 4 人,则不同的安排方法有________种。 13、由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有 个。

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第二部分

二项式定理

北京市 2011 各区 1 1、 ( x ? 3 )12 的展开式中常数项为 x (A) ?220
6

(B) 220

(C) ?1320 。

(D) 1320

2、在二项式 ( x ? 2) 的展开式中,第四项的系数是 3、 ( x ? (A)-160

2 6 ) 的展开式中常数项是 x
(B)-20 (C)20 (D)160

4、 已知 f n ( x) ? (1 ? x) n , (Ⅰ)若 f 2011 ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? a2011 x 2011 ,求 a1 ? a3 ? ? ? a 2009 ? a2011 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,求 g (x) 中含 x 6 项的系数; (Ⅲ)证明:

C

m m

m m m ? (m ? 1)n ? 1 ? m?1 ? 2C m?1 ? 3C m? 2 ? ? ? nC m? n ?1 ? ? C m?n ? m?2 ? ?

北京市 2012 各区 1、 (

x 2 6 ? ) 的二项展开式中,常数项是 2 x
(B)15
6

(A)10

(C)20

(D)30

2、 ( x ? 2) 的展开式中, x 3 的系数是_____. (用数字作答) 3、若 ( x 2 ? ) n 展开式中的所有二项式系数和为 512,则该展开式中的常数项为 (A)-84 4、二项式 (ax +
2

1 x

(B)84

(C)-36

(D)36

1 x

)5 展开式中的常数项为 5 ,则实数 a =_______.

5、 (2 x ? ) 4 的展开式中的常数项为 (A)-24 (B)-6 (C)6 (D)24

1 x

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北京市 2013 各区

1 ( ? 3x 2 ) 6 1、在 x 的展开式中,常数项为______.(用数字作答)
2、二项式 (2 x ? )5 的展开式中 x 3 的系数为___________.

1 x

? 3、设 (1- x)(1 + 2 x)5 = a0 + a1 x + a2 x 2 + 鬃 a6 x 6 ,则 a2 =
4、 ( x 2 ? )6 的展开式中 x 3 的系数是



2 x

. ,该展开式中的常数项为 .

5、若 ( x 2 ? ) n 展开式中的二项式系数和为 64 ,则 n 等于 6、 ( x ? (A)6

1 x

1 4 ) 展开式中的常数项是 x
(B)4 (C)-4 (D)-6

7、在 (2 x 2 ? )5 的二项展开式中, x 的系数为 (A) ?10 8、 ? x ? (B) 10
9

1 x

(C) ? 40

(D) 40

? ?

1? 5 ? 的展开式中含 x 的项的系数为 x?
5

(用数字作答) 。

9、 (2 x ? 1) 的展开式中 x 3 项的系数是______. (用数字作答)

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专题十四

排列组合、二项式定理

答案

第一部分

排列组合
1 6

北京市 2011 各区 1、60,48 2、D 3、C 4、C 5、B 6、 7、C 8、B 9、B

北京市 2012 各区 1、120 2、A 3、D 北京市 2013 各区 1、D 2、C 3、B 5、C

4、C

5、C

6、C

4、A

2 1 2 2 3 2 解析:若选 1,则有 C3 C 2 A2 ? 12 种.若选 0,则有 C3 ( A3 ? A2 ) ? 12 种,所以共有

12 ? 12 ? 24 。
6、D 解析:先排 3 个女生,三个女生之间有 4 个空,从四个空中选两个排男生,共有
2 3 A4 A3 =72 种,若女生甲排在第一个,则三个女生之间有 3 个空,从 3 个空中选两个排男生,
2 2 有 A3 A2 =12 ,所以满足条件的出错顺序有 72 ? 12=60 种排法。 1 3 2 2 解析:若选 1 男 3 女有 C4C3 ? 4 种;若选 2 男 2 女有 C4 C3 ? 18 种;若选 3 男 1

7、D

3 1 女有 C4 C3 ? 12 种;所以共有 4 ? 18 ? 12 ? 34 种不同的选法。 1 2 2 解析:若四位数中不含 0,则有 C3C4 A2 ? 36 种;若四位数中含有一个 0,则有

8、C

1 1 1 2 2 种若四位数中含有两个 0, 则有 C3 A3 ? 18 种, 所以共有 36 ? 54 ? 18 ? 108 C3C3C32 A2 ? 54 ;

种。 9、A

解析:若四个数之和为奇数,则有 1 奇数 3 个偶数或者 3 个奇数 1 个偶数。若 1 奇

1 3 3 1 数 3 个偶数,则有 C5C4 =20 种,若 3 个奇数 1 个偶数,则有 C5 C4 =40 ,共有 20 ? 40=60

种。 10、 144

11、 96

12、 50

13、72

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第二部分

二项式定理

北京市 2011 各区 1、A 2、160 3、A 4、解: (Ⅰ)因为 f n ( x) ? (1 ? x) n , 所以 f 2011 ( x) ? (1 ? x) 2011 , 又 f 2011 ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? a2011 x 2011 , 所以 f 2011 (1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2011 ? 22011 (1) (2)

f 2011 (?1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2010 ? a2011 ? 0

(1)-(2)得: 2(a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 ) ? 22011 所以: a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 ? f 2011 (1) ? 22010 (Ⅱ)因为 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) , 所以 g ( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 3(1 ? x)
6 7 8

6 g (x) 中含 x 6 项的系数为 1 ? 2 ? C7 ? 3C86 ? 99

(Ⅲ)设 h( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x)
m

m ?1

? ? ? n(1 ? x)m? n ?1

(1)

m m m 则函数 h( x ) 中含 x m 项的系数为 Cm ? 2 ? Cm?1 ? ? ? nCm? n ?1

(1 ? x)h( x) ? (1 ? x) m?1 ? 2(1 ? x) m? 2 ? ? ? n(1 ? x) m? n
(1)-(2)得 ? xh( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x)
m m ?1

(2)

? (1 ? x)m?2 ? ? ? (1 ? x)m? n?1 ? n(1 ? x)m? n

(1 ? x) m [1 ? (1 ? x) n ] ? xh( x) ? ? n(1 ? x) m ? n 1 ? (1 ? x)
x 2 h( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)m? n ? nx(1 ? x) m? n
h( x) 中含 x m 项的系数,
即是等式左边含 x m ? 2 项的系数,等式右边含 x m ? 2 项的系数为

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m? 2 m ?1 ?Cm? n ? nCm ? n

(m ? n)! n(m ? n)! ? (m ? 2)!(n ? 2)! (m ? 1)!(n ? 1)! ?(n ? 1) ? n(m ? 2) ( m ? n)! ? ? m?2 (m ? 1)!(n ? 1)1 ??
? (m ? 1)n ? 1 m?1 Cm? n m?2

m m m 所以 Cm ? 2 ? Cm?1 ? ? ? nCm? n ?1 ?

(m ? 1)n ? 1 m?1 Cm? n m?2

北京市 2012 各区 1、C 2、-160
k 解析:二项式展开式 Tk ?1 ? C6 x 6?k (?2) k ,令 6 ? k ? 3 ,所以 k ? 3 ,所以

3 T4 ? C 6 x 3 (?2) 3 ? ?160x 3 ,所以 x 3 的系数为 ? 160 。

3、B

解 析 : 二 项 展 开 式 的 系 数 和 为 2 n ? 512 , 所 以 n ? 9 , 二 项 展 开 式 为

k k Tk ?1 ? C9 ( x 2 ) 9?k (? x ?1 ) k ? C9 x18?2 k (?1) k x ? k ? C9k x18?3k (?1) k , 18 ? 3k ? 0 , k ? 6 , 令 得 6 所以常数项为 T7 ? C9 (?1) 6 ? 84 ,选 B。

4、1

5、D

北京市 2013 各区 1、135 9、80 2、 80 3、30 4、160 5、6,15 6、A 7、C 8、36


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