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2012届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】立体几何


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立体几何 知识点总结精华 考试内容 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离. 直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平 面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理. 平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定与性 质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球. 考试要求 (1)掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空 间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想像它们的位置关系. (2) 掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理, 掌握两条直线所成的角和距离的概念, 对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离. (3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定 理;掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线 定理及其逆定理. (4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平 面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理. (5)会用反证法证明简单的问题. (6)了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念. (7)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图. (8)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图. (9)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式. 9(B) .直线、平面、简单几何体 考试内容: 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线. 直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理. 两个平面的位置关系. 空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积. 直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离. 直线和平面垂直的性质.平面的法向量.点到平面的距离.直线和平面所成的角.向量在平 面内的射影. 平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定和性 质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球. 考试要求: (1)掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图:能够画出空 间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系. (2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和 平面垂直的判定定理;掌握三垂线定理及其逆定理.
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(3)理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. (4)了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算. (5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质:掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式; 掌握空间两点间距离公式. (6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念. (7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距 离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握 两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理. (8)了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念. (9)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图. (10)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图. (11)了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式. 立体几何 知识要点 一、 平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.(①两个平面平行,②两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.(①三条直线在一个平面内平行,②三条 直线不在一个平面内平行) [注]:三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有 0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X、Y、Z 三个方向) 二、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直 线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×) (可能两条直线平行, 也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交 ③若直线 a、b 异面,a 平行于平面 ? ,b 与 ? 的关系是相交、平行、在平面 ? 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×) (射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×) (并非是从平面外一点向这个平面所引 .. 的垂线段和斜线段) ⑦ a, b 是夹在两平行平面间的线段,若 a ? b ,则 a, b 的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面 直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相 等(如下图).

1 2

1

2

二面角的取值范围? ? ?0? ,180 ? ? )
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方向相同

方向不相同

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(直线与直线所成角 ? ? ?0? ,90 ? ?) (斜线与平面成角 ? ? ?0 ? ,90 ? ? ) (直线与平面所成角 ? ? ?0 ? ,90 ? ?) (向量与向量所成角 ? ? [0 ? ,180? ]) 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角) 相等. 5. 两异面直线的距离:公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. l1 ,l 2 是异面直线,则过 l1 ,l 2 外一点 P,过点 P 且与 l1 ,l 2 都平行平面有一个或没有,但与 l1 ,l 2 距 离相等的点在同一平面内. ( L 1 或 L 2 在这个做出的平面内不能叫 L 1 与 L 2 平行的平面) 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直 线和这个平面平行.( “线线平行,线面平行” ) [注]:①直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则 a ∥ ? . (×) (平面外一条直线) ②直线 a 与平面 ? 内一条直线相交,则 a 与平面 ? 相交. (×) (平面外一条直线) ③若直线 a 与平面 ? 平行,则 ? 内必存在无数条直线与 a 平行. (√) (不是任意一条直线, 可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×) (可能在此平面 内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×) (两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×) (两直线可能相交或者异面) ⑦直线 l 与平面 ? 、 ? 所成角相等,则 ? ∥ ? .(×) ? 、 ? 可能相交) ( 3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线和交线平行.( “线面平行,线线平行” ) 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面 P 垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ? 若 PA ⊥ ? , a ⊥ AO ,得 a ⊥ PO (三垂线定理) , a O A 得不出 ? ⊥ PO . 因为 a ⊥ PO ,但 PO 不垂直 OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这 两条直线垂直于这个平面.( “线线垂直,线面垂直” ) 直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直 于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. [注]:①垂直于同一平面的两个平面平行.(×) (可能相交,垂直于同一条直线的两个平面 .... ..... 平行) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√) (一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一 个平面) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 5. ⑴垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相 .. 等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段 射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.
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[注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)] ⑵射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的 射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平 面平行.( “线面平行,面面平行” ) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. [注]:一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理: 如果两个平面平行同时和第三个平面相交, 那么它们交线平行. ( “面面平行,线线平行” ) 4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于 这个平面.( “线面垂直,面面垂直” ) 注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也 P 垂直于另一个平面. ? 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面. ? B M A 证明:如图,找 O 作 OA、OB 分别垂直于 l 1,l 2 , O 因为 PM ? ? , OA ? ? , PM ? ? , OB ? ? 则 PM ? OA, PM ? OB . θ 6. 两异面直线任意两点间的距离公式: l ? m 2 ? n 2 ? d 2 ? 2m ncos? ( ? 为锐角取加, ? 为钝
? ?? 取减,综上,都取加则必有 ? ? ? 0, ? ) 2 ? ?

7. ⑴最小角定理: cos? ? cos?1 cos? 2 ( ? 1 为最小角,如图)

图2 ⑵最小角定理的应用(∠PBN 为最小角) 图1 简记为:成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,一定有 4 条. 成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有 2 条. 成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有 3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,一定有 1 条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱. ⑴①直棱柱侧面积: S ? Ch ( C 为底面周长, h 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩 形得出的. ②斜棱住侧面积: S ? C1l ( C1 是斜棱柱直截面周长, l 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜

θ

θ1 θ2

棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. ⑵{四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}. {直四棱柱} ? {平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱 底面是 侧棱垂直 底面是 平行六面体 直平行六面体 底面 矩形 平行四边形 长方体 底面是 正方形 正四棱柱 侧面与 正方体 底面边长相等

⑶棱柱具有的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱 ........ 柱的各个侧面都是全等的矩形. .....
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②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. .. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注:①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分. ............. [注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推 论 一 : 长 方 体 一 条 对 角 线 与 同 一 个 顶 点 的 三 条 棱 所 成 的 角 为 ?, ? ,? , 则
c o 2s? ? c o 2s ? ? c o 2s? ? 1 .

推 论 二 : 长 方 体 一 条 对 角 线 与 同 一 个 顶 点 的 三 各 侧 面 所 成 的 角 为 ?, ? ,? , 则
c o2 ? ?c o2 ? ?c o2 ? ? 2 . s s s

[注]:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×) (斜四面体的两个平行的平面可以为矩形) ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×) (应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) . ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×) (只能推出对角线相等,推不出底 面为矩形) ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边 可能相交,可能不相交,若两条边相交,则应是充要条件) 2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 V 棱柱 ? Sh

? 3V棱柱 .

⑴①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心. [注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等) ;底 面为正多边形. ②正棱锥的侧面积: S ?

1 Ch ' (底面周长为 C ,斜高为 h ' ) 2
S底 cos?
(侧面与底面成的二面角为 ? )

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式: S 侧 ? 附:
a l b

c

以知 c ⊥ l , cos? ? a ? b , ? 为二面角 a ? l ? b . 则 S1 ?

1 1 a ? l ①,S 2 ? l ? b ②,cos? ? a ? b ③ ? ①②③得 2 2

S侧 ?

S底 cos?

.

注:S 为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).
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⑵棱锥具有的性质: ①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫 做正棱锥的斜高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱 在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球,球心 0 是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半 径; ⑧每个四面体都有内切球,球心 I 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半 径. [注]:i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×) (各个侧面的 A 等腰三角形不知是否全等) b a ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直.
c

简证:AB⊥CD,AC⊥BD ? BC⊥AD. 令 AB ? a, AD ? c, AC ? b

B

C

D F

得 BC ? AC ? AB ? b ? a, AD ? c ? BC ? AD ? bc ? ac ,已知 a ? c ? b ? 0, b ? a ? c ? 0
A

? ?

? ?

D

E

O' H B G

C

? ac ? bc ? 0 则 BC ? AD ? 0 .

iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证:取 AC 中点 O' ,则 oo? ? AC, BO? ? AC ? AC ? 平面 OO?B ? AC ? BO ? ?FGH ? 90°易 知 EFGH 为平行四边形 ? EFGH 为长方形.若对角线等,则 EF ? FG ? EFGH 为正方形. 3. 球:⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式: S ? 4?R 2 . ②球的体积公式: V ? ?R 3 .
4 3
O r

⑵纬度、经度: ①纬度:地球上一点 P 的纬度是指经过 P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度:地球上 A, B 两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面 的二面角的度数,特别地,当经过点 A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是 B 点 的经度. 附:①圆柱体积: V ? ?r 2 h ( r 为半径, h 为高) ②圆锥体积: V ? ?r 2 h ( r 为半径, h 为高) ③锥形体积: V ?
1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3
O

1 3

R

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4. ①内切球:当四面体为正四面体时,设边长为 a, h ? 得

3 2 3 2 6 a , S 侧? a a , S 底? 4 4 3

3 2 6 3 2 1 3 2 2 4 2 6 a ? a? a ?R ? ? a ?R ? R ? a/ 3? a? 3 ? a. 4 3 4 3 4 4 3 4 4

注:球内切于四面体: V B? ACD ?

1 1 ?S侧 ?R ? 3 ? S 底 ?R ?S 底 ?h 3 3

②外接球:球外接于正四面体,可如图建立关系式. 六. 空间向量. 1. (1)共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重 合. 注:①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线.(×) [当 b ? 0 时,不成立] ②向量 a, b, c 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 a ∥ b ,则存在小任一实数 ? ,使 a ? ? b .(×)[与 b ? 0 不成立] ④若 a 为非零向量,则 0 ? a ? 0 .(√)[这里用到 ? b(b ? 0) 之积仍为向量] (2)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b ? 0) , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? (具有 唯一性) ,使 a ? ? b . (3)共面向量:若向量 a 使之平行于平面 ? 或 a 在 ? 内,则 a 与 ? 的关系是平行,记作 a ∥ ? . (4)①共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是存在 实数对 x、y 使 P ? xa ? yb . ②空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,则 OP ? xOA ? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1) 是 PABC 四点共 ... . ...... . . . . . 面的充要条件.(简证: OP ? (1 ? y ? z )OA ? yOB ? zOC ? AP ? y AB ? z AC ? P、A、B、C 四点共 面) 注:①②是证明四点共面的常用方法. 2. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯一 .... ... 的有序实数组 x、y、z,使 p ? x a ? yb ? z c . 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、y、

z 使 OP ? xOA ? yOB ? zOC (这里隐含 x+y+z≠1).
注:设四面体 ABCD 的三条棱, AB ? b, AC ? c, AD ? d , 其
B

A

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中 Q 是△BCD 的重心,则向量 AQ ? (a ? b ? c) 用 AQ ? AM ? MQ 即证. 3. (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) y 轴是纵轴(对 , 应为纵轴) z 轴是竖轴(对应为竖坐标). , ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 ) ? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ? a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0

1 3

a ∥

a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3
? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b |

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )
a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3

2 a1

2 2 2 2 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b3

②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . (2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? ,如 果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射线, 其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理:设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n 1 , n 2 方向相同,则为补角,n 1 , n 2 反方,则为其夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ?? ,且 CDE 三点不共线,则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ? CD ? ? CE . (常设 AB ? ? CD ? ? CE 求解 ?, ? 若 ?, ? 存在即证毕,若 ?, ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
?
C A



n1

C

D E

n2

?

?

立体几何知识要点 一、知识提纲 (一)空间的直线与平面 ⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途. ⑵斜二测画法.
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⒉空间两条直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线. ⑴公理四(平行线的传递性) .等角定理. ⑵异面直线的判定:判定定理、反证法. ⑶异面直线所成的角:定义(求法) 、范围. ⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质. ⒋直线和平面垂直 ⑴直线和平面垂直:定义、判定定理. ⑵三垂线定理及逆定理. 5.平面和平面平行 两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质. 6.平面和平面垂直 互相垂直的平面及其判定定理、性质定理. (二)直线与平面的平行和垂直的证明思路(见附图) (三)夹角与距离 7.直线和平面所成的角与二面角 ⑴平面的斜线和平面所成的角:三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角. ⑵二面角:①定义、范围、二面角的平面角、直二面角. ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理. 8.距离 ⑴点到平面的距离. ⑵直线到与它平行平面的距离. ⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线、公垂线段. ⑷异面直线的距离:异面直线的公垂线及其性质、公垂线段. (四)简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 ⑴多面体. ⑵棱柱与它的性质:棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质. ⑶平行六面体与长方体:平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体;平行六面体的性质、长方体的性质. ⑷棱锥与它的性质:棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质. ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法. 10.多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式. ⑵正多面体. 11.球 ⑴球和它的性质:球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离. ⑵球的体积公式和表面积公式. 二、常用结论、方法和公式 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上的射影 在∠BOC 的平分线上; 2. 已知:直二面角 M-AB-N 中,AE ? M,BF ? N,∠EAB= ? 1 ,∠ABF= ? 2 ,异面直线 AE 与 BF 所成的角为 ? ,则 cos? ? cos?1 cos? 2;
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3.立平斜公式:如图,AB 和平面所成的角是 ? 1 ,AC 在平面内,BC 和 AB 的射影 BA1 成 ? 2 ,设∠ABC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; 4.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体 等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线 段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜 足的连线,是产生线面角的关键; 6.二面角的求法 (1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内作棱的垂线, 得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; (2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理 作出二面角的平面角; (3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交 线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直; (4)射影法:利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小,此法不必在图 形中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再 选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 7.空间距离的求法 (1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线, 然后再进行计算; (2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解; (3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面 的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解; 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; 9. 已 知 : 长 方 体 的 体 对 角 线 与 过 同 一 顶 点 的 三 条 棱 所 成 的 角 分 别 为 ? , ? , ? , 因 此 有 cos
2

A

B ? D C

A1

? +cos2 ? +cos2 ? =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
2

? , ? , ? , 则有 cos

? +cos2 ? +cos2 ? =2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F-E=2;并且棱 数 E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半; 12.柱体的体积公式:柱体(棱柱、圆柱)的体积公式是 V 柱体=Sh.其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 13.直棱柱的侧面积和全面积 S 直棱柱侧= c ? (c 表示底面周长, ? 表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧 14.棱锥的体积:V 棱锥=

1 Sh ,其中 S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高。 3
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15.球的体积公式 V= ?R 3 , 表面积公式 S ? 4?R 2 ; 掌握球面上两点 A、 间的距离求法: B (1)计算线段 AB 的长, (2)计算球心角∠AOB 的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧 AB 的长;

4 3

试题精粹 江苏省 2011 年高考数学联考试题 6. (淮阴中学.姜堰中学.前黄中学 2011 届第一次联考)设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、

? 、 ? 是三个不同的平面,有下面四个命题:①
?m ? ? ?? ? ? ? ? m ?? ? m ?n ? m ?? ? ?n ? ?

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??

;②

?? ? ? ?m?? ? ? m ??





;④

.其中真命题的序号是

. ①③

13. (淮阴中学、 姜堰中学、 前黄中学 2011 届第一次联考) 已知四棱锥 P ? ABCD 的顶点 P 在 底面的射影恰好是底面菱形 ABCD 的两对角线的交点,若 AB ? 3 , PB ? 4 ,则 PA 长度的 取值范围为 . ( 7,5)

8. (江苏省 2010 届苏北四市第一次联考) 如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部 可以看成是由半径为 1cm 和半径为 3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为 20cm ,当这个 几何体如图(3)水平放置时,液面高度为 28cm ,则这个简单几何体的总高度为 ▲ .29cm

图 (1) 图(2) 图(3)

2. (常州市 2011 届高三数学调研) 已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命 题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ; ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ;

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③ m // n, m // ? ? n // ? ;

④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? .

其中正确命题的序号是 . ①④ 5. (常州市 2011 届高三数学调研)一个几何体的俯视图是一个圆,用斜二侧画法画出正视 图和俯视图都是边长为 6 和 4 的平行四边形,则该几何体的体积为___________. 72? 或 48? 1 9. (姜堰二中学情调查(三) )若 ABC 的三边长分别为 a, b, c,其内切圆半径为 r,则 S△ABC= 2 (a+b+c) ·r,类比这一结论到空间,写出三棱锥中的一个正确结论为若四棱锥 A-BCD 的 四个面的面积分别为 s1 , s 2 , s 3 , s 4 ,其内切球半径为 R, 则 V A? BCD ?

1 R( s1 ? s 2 ? s 3 ? s 4 ) 3

11. (姜堰二中学情调查(三) )设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,给出下 列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , 则m ? n ; ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ; ④若 m ? ? , ? ? ? , m // n, 则n // ? . 其中正确命题的序号为 ①③

9. (泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则下列 4 组条件中 所有能推得 a ? b 的条件是 。②③④(填序号)

① a ? ? , b ∥ ? , ? ? ? ;② a ? ? ,b ? ? , ? ? ? ; ③ a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? ;④ a ? ? , b ∥ ? , ? ∥ ? 。 7. (江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试)设 a,b 为空间的两条直线,α,β为空间 的两个平面,给出下列命题: (1)若 a∥α,a∥β,则α∥β; (2)若 a⊥α,a⊥β,则α∥β; (3)若 a∥α,b∥α,则 a∥b; (4)若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b. 上述命题中,所有真命题的序号是 ▲ . , (2)(4)

5、 (南通市六所省重点高中联考试卷)设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,

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给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , 则m ? n ; ∥? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;④若 m ? ? , ? ? ? , m // n, 则n // ? . 其中所有正确命题的序号是 ▲ ①③ ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? , ? 则

12. (苏北四市 2011 届高三第一次调研考试)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三 个不同的平面,给出下列命题: ①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ②若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , m//n ,则 ? // ? . 上面命题中,真命题的序号是 ▲ ②(写出所有真命题的序号) ..w.w.k.s ... 1. (无锡市 1 月期末调研)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 BB1 的中点,AC、BD 交于 点 O,则 D1O 与平面 AMC 成的角为 ▲ 度. 90 11. (盐城市第一次调研) 已知平面 ? , ? , ? ,直线 l , m 满足: ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , l ? m , ? 那么 ①m ? ? ; ②l ?? ; ③? ?? ; ▲ ④? ? ? . ②④ (请将你认为正确的结论的序号都填

可由上述条件可推出的结论有 上).

11. (苏北四市 2011 届高三第二次调研)如图,三棱柱 ABC ? A1 B11 1 的所有棱长均等于 1, AC C1 B1 且

?A1 AB ? ?A1 AC ? 60? ,则该三棱柱的体积是 ▲ .

2 4A
B

C

(第 11 题) 7. (苏州市 2011 届高三调研测试) ? , ? 为两个不重合的平面,m, n 为两条不重合的直线, 设 给出下列四个命题: ①若 m ? n, m ? ? , n ? ? 则 n ∥ ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? ; ③若 m ? n, m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ? ? ; ④若 n ? ? , m ? ? , ? 与 ? 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直.

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其中,所有真命题的序号是



.①②

【解析】③错误,? , ? 相交或平行;④错误,n 与 m 可以垂直,不妨令 n ? ? ? ? ,则在 ? 内 存在 m ? n.

16. (江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试) (本小题满分 14 分) CD 1 如图, 在四棱锥 A—BCDE 中, 底面 BCDE 是直角梯形, BE AB BC ?BED ? 90? , ∥CD, =6, =5, ? , BE 3 侧面 ABE⊥底面 BCDE, ?BAE ? 90? . ⑴求证:平面 ADE⊥平面 ABE; ⑵过点 D 作面 ? ∥平面 ABC,分别于 BE,AE 交于点 F,G,求 ?DFG 的面积.

A

A

A

G

E

B C
第 16 题图

E

F B C E B C
第 16 题图

D

D

D

16 答案: (1)证明:因为侧面 ABE⊥底面 BCDE, 侧面 ABE∩底面 BCDE=BE, DE ? 底面 BCDE, DE⊥BE, 所以 DE⊥平面 ABE, 所以 AB⊥DE, 又因为 AB ? AE , 所以 AB⊥平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 ABE;??????????????????????7

(2)因为平面 ? ∥平面 ABC, 所以 DF ∥ BC ,同理 FG ∥ AB ??????????????????9 所以四边形 BCDF 为平行四边形. 所以 DF ? BC ? 5, CD ? BF , 因为

CD 1 EF 2 ? ,所以 ? BE 3 EB 3
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2 ???????????????????11 AB ? 4 3 由⑴易证: FG ? 平面 ADE,所以 FG ? DG ,所以 DG ? 3 所以 ?DFG 的面积 S ? 6 . ????????????????????14 23. (江苏天一中学、 海门中学、 盐城中学 2011 届高三调研考试) 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且垂直于底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,?BAD ? 60? , M 为 PC 上一点,且 PA∥平面 BDM. ⑴求证:M 为 PC 中点; ⑵求平面 ABCD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小. P
所以 FG ? M D C

A
第 23 题图

B

证明 ⑴连接 AC 与 BD 交于 G,则平面 PAC∩平面 BDM=MG, 由 PA∥平面 BDM,可得 PA∥MG, ∵底面 ABCD 是菱形,∴G 为 AC 中点, ∴MG 为△PAC 中位线, ∴M 为 PC 中点. ????????????????4 ⑵取 AD 中点 O,连接 PO,BO, ∵△PAD 是正三角形,∴PO⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD, ∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,△ABD 是正三角形, ∴AD⊥OB, ∴OA,OP,OB 两两垂直,以 O 为原点 OA , OB , OP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间 直角坐标系,如右图所示,则 A?1,0,0? , B 1, 3 ,0 , D?? 1,0,0? , P 0,0, 3 , ∴ DP ? 1,0, 3 , AB ? ? 1, 3 ,0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

? 1 1 3 3? ? , ∴ DM ? DP ? DC ? DP ? AB ? ? 0, ? 2 2 ?, 2 2 ? ?

?

? ?

?

z P M D O A
G

BP ? 0,? 3 ,? 3 , CB ? DA ? ?2,0,0? ,

?

?

C

3 3 ∴ DM ? BP ? 0 ? ? ? 0 , DM ? CB ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 , 2 2 ∴DM⊥BP,DM⊥CB,∴DM⊥平面 PBC, x
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B

y

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∴ cos ? OP, DM ??

2 2

平面 ABCD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为

? ?????????????10 4

16. (江苏省 2010 届苏北四市第一次联考)(本小题满分 14 分) 如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,AC=BC,M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、 AB、B1C1 的中点. (1)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; C1 C (2)求证:PC1∥面 MNQ; Q B (3)若 AA1 ? AB ? N M A1 B1

2 AC ? 2a , 求三棱锥 P ? MNQ

P A

的体积. 16、证明: (1)∵AC=BC, P 是 AB 的中点,∴AB⊥PC, ∵AA1⊥面 ABC,CC1∥AA1, CC1⊥面 ABC 而 AB 在平面 ABC 内 ,∴ ∴CC1⊥AB, ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面 PCC1; 又∵M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,四边形 AA1B1B 是平行四边形,MN∥AB, ∴MN⊥面 PCC1 ∵MN 在平面 MNQ 内,∴面 PCC1⊥面 MNQ;??? 5 分 (2)连 PB1 与 MN 相交于 K,连 KQ,∵MN∥PB,N 为 BB1 的中点,∴K 为 PB1 的中点. 又∵Q 是 C1B1 的中点∴PC1∥KQ ,而 KQ ? 平面 MNQ,PC1 ? 平面 MNQ ∴PC1∥面 MNQ. ??????????10 分 (3)? Q 为 B1C1 的中点,? Q 到平面 AA1 B1 B 的距离 h 等于 CP 的一半,故 h ?

2 a, 4

所以 VP ? MNQ ? VQ ? PMN ?

1 1 1 2 2 2 3 S?PMN ? h ? ? ? 2a ? a? a? a .?????14 分 3 3 2 2 4 24

17. (常州市 2011 届高三数学调研) (15) 如图所示的几何体由斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 和

A2 B2C2 ? A1B1C1 组成,其斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 和 A2 B2C2 ? A1B1C1 满足

ABB1 A1 ?

A2 B2 B1 A1 、

BCC1 B1 ?

B2C2C1B1 、

CAA1C1 ?

C2 A2 A1C1 。
C2 A2 B2 C1

(1)证明: AA2 ? A1C1 ; (2)证明: AA2 ? 面ABC ; (3)若 AB ? AC ? AA1 , ?CAB ? 90 ,
?

A1 C A B

B1

面AA1B ? 面ABC . 问:侧棱 AA1 和底面 ABC
所成的角是多少度时, A1C 2 ∥ 面BCC1B1 .

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17、 (1)取 AA2 的中点 T ,连接 A1T 、 C1T ,∵ ∴ A1 A ? A1 A2 ,

CAA1C1 ?

C2 A2 A1C1

C1 A ? C1 A2

∴ AA2 ? A1T , AA2 ? C1T .

若 A1 、 C1 、T 共线,易知 AA2 ? A1C1 ; 若 A1 、 C1 、T 不共线, AA2 ? 面A1C1T ∴ AA2 ? A1C1 (2)同(1)可证明 AA2 ? 面B1C1T , ∵ 面C1TA1 与 面B1C1T 过公共点 T , 所以 面C1TA1 与 面B1C1T 重合. 即 面A1 B1C1 ∥ 面ABC (3) ∴ AA2 ? 面ABC

? 3

16. (姜堰二中学情调查(三)(本小题满分 14 分) ) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,且 AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE , 求 VF ? ABCD : VF ?CBE

16. (本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,且 AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . C (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的 D M B 体积分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE E (1)证明: ?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , O 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB , F ?CB ? 平面 ABEF , A

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,??? 2 分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF 。??? 5 分 1 (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN // CD , 2 1 又 AO // CD ,则 MN // AO , MNAO 为平行四边形, ??? 7 分 2 ?OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ?OM // 平面 DAF 。??? 9 分 (3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,?平面 ABCD ? 平面 ABEF ,
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1 2 ?FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG ,??? 11 分 3 3 ? CB ? 平面 ABEF , 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ?BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG ,??? 13 分 3 3 2 6
?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .
??? 14 分 E D C B

15. (泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)(本小题满分 14 分)

F G

A H

已知四面体 ABCD 中, AB ? AC, BD ? CD ,平面 ABC ? 平面 BCD , E, F 分别为棱 BC 和

AD 的中点。
(1)求证: AE ? 平面 BCD ; (2)求证: AD ? BC ; (3)若 ?ABC 内的点 G 满足 FG ∥平面 BCD ,

A

F
B E
C

设点 G 构成集合 T ,试描述点集 T 的位置(不必说明理由) 15. ⑴∵在 ?ABC 中, AB ? AC , E 为 BC 的中点,∴ AE ? BC .?????????? D (1 分) 又∵平面 ABC ? 平面 BCD , AE ? 平面 ABC , 平面 ABC ? 平面 BCD ? BC ,∴ AE ? 平面 BCD .?????????????(5 分) ⑵∵ BD ? CD , E 为 BC 的中点, ∴ BC ? DE .??????????(6 分) 由⑴ AE ? BC ,又 AE ?DE ? , AE , DE ? 平面 AED ,∴ BC ? 平面 AED .???? E (9 分) 又 AD ? 平面 AED ,∴ BC ? AD ,即 AD ? BC . ??????????(10 分) ⑶ 取 AB 、 AC 的 中 点 M 、 N , 所 有 的 点 G 构 成 的 集 合 T 即 为 ?ABC 的 中 位 线 MN .??????????????????????????????(14 分) 16. (江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试) (本题满分 14 分) 如图,已知□ABCD,直线 BC⊥平面 ABE,F 为 CE 的中点. (第 16 题) (1)求证:直线 AE∥平面 BDF; (2)若 ?AEB ? 90? ,求证:平面 BDF⊥平面 BCE.
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证明: (1)设 AC∩BD=G,连接 FG. 由四边形 ABCD 为平行四边形,得 G 是 AC 的中点. 又∵F 是 EC 中点,∴在△ACE 中,FG∥AE.?????????????????3 分 ∵AE ? 平面 BFD,FG? 平面 BFD,∴AE∥平面 BFD; ? 分 (2)∵ ?AEB ?
π ,∴ AE ? BE . 2

???????????6

又∵直线 BC⊥平面 ABE,∴ AE ? BC . 又 BC ? BE ? B , ∴直线 AE ? 平面 BCE . 8分 由(1)知,FG∥AE,∴直线 FG ? 平面 BCE . 10 分 又直线 FG ? 平面 DBF, ∴平面 DBF⊥平面 BCE. ???????????????14 分 15、 (南通市六所省重点高中联考试卷) (本题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 ,
0

????????????????

???????????????

E , F , G 分别是 AA1 , AC , BB1 的中点,且 CG ? C1G .
(Ⅰ)求证: CG // 平面BEF ; (Ⅱ)求证:平面 BEF ? 平面 A1C1G . 、证:(Ⅰ)连接 AG 交 BE 于 D ,连接 DF , EG . ∵ E , G 分别是 AA1 , BB1 的中点,∴ AE ∥ BG 且 AE = BG ,∴四边形 AEGB 是矩形. ∴ D 是 AG 的中点????????????????????????????(3 分) 又∵ F 是 AC 的中点,∴ DF ∥ CG ?????????????????????(5 分) 则由 DF ? 面BEF , CG ? 面BEF ,得 CG ∥ 面BEF ?????????????(7 分) (注:利用面面平行来证明的,类似给分) (Ⅱ) ∵在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, C1C ⊥底面 A1 B1C1 ,∴ C1C ⊥ A1C1 .
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又∵ ?A1C1 B1 ? ?ACB ? 90 ,即 C1 B1 ⊥ A1C1 ,∴ A1C1 ⊥面 B1C1CB ?????(9 分)
0

而 CG ? 面 B1C1CB ,∴ A1C1 ⊥ CG

????????????(11 分)

又 CG ? C1G ,由(Ⅰ) DF ∥ CG ,? A1C1 ? DF , DF ? C1G ∴ DF ? 平面 A1C1G ???????????????(13 分) ???????????(14 分)

? DF ? 平面 BEF ,∴平面 BEF ? 平面 A1C1G .

5. (南通市六所省重点高中联考试卷)如图,已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂 直,且 OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的中点. A (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-BE-C 的余弦值. O E C

B 解: (1)以 O 为原点,OB,OC,OA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) B(2,0,0) C(0,2,0) E(0,1,0) , , , . ??? ? ???? EB ? 2,,)(0,,)(2, 1,), ? 0,, 1 ( 0 0 ? 1 0 ? ? 0 AC ( 2 ? ),????????2 分 ??? ???? ? ?2 2 cos< EB, AC > ? ????????????4 分 ?? . 5 5? 5 2 由于异面直线 BE 与 AC 所成的角是锐角,故其余弦值是 .??????5 分 5 ??? ? ??? ? 1 0 (2) AB ? (2,,? 1) , AE ? (0,,? 1) ,设平面 ABE 的法向量为 n1 ? ( x,y,z ) , ??? ? ??? ? ? 2 x ? z ? 0, 则由 n1 ? AB , n1 ? AE ,得 ? 目 取 n=(1,2,2) , ? y ? z ? 0. 平面 BEC 的一个法向量为 n2=(0,0,1) , ????????????7 分 n1 ? n2 2 2 cos ? n1,n2 ?? ? ? .??9 分 | n1 | ? | n2 | 1? 4 ? 4 3 由于二面角 A-BE-C 的平面角是 n1 与 n2 的夹角的补角,其余弦值是- 16. (苏北四市 2011 届高三第一次调研考试) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PB ? PD ,且 E,F 分别是 BC, CD P 的中点. 求证: (1)EF∥平面 PBD ; (2)平面 PEF ⊥平面 PAC . A F B 16. (1)因为 E,F 分别是 BC,CD 的中点,
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2 .?? 10 分 3

E (第 16 题图)

C

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所以 EF∥BD,???????????2 分 因为 EF ? 平面 PBD,BD ? 平面 PBD, 所以 EF∥平面 PBD.?????????6 分 (2)设 BD 交 AC 于点 O,连结 PO, 因为 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC,O 是 BD 中点, 又 PB ? PD ,所以 BD⊥PO, 又 EF∥BD,所以 EF⊥AC,EF⊥PO. ?????????10 分 又 AC ? PO ? O , AC ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC, 所以 EF⊥平面 PAC.??????????????????????????12 分 因为 EF ? 平面 PEF,所以平面 PEF⊥平面 PAC.???????????????14 分 讲评建议:此题当初是如图情景,最后主要是考虑辅助线太多, 而且两问题之间辅助线滑有联系,同时考虑第二问题难度较大, 所以改成现在形式,希望各位教师讲评时还原本题的原来面目, 同时对第二问题要给予高度重视,主要平面几何的转化思想, 但对高一的求高复习中也要重视,高是教材中要求的。 B P D F A G E (第 16 题图) 23 、 宿 迁 市 高 三 12 月 联 考 ) 如 图 , 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PB ? 底 面 ABC 于 B , ( C D D

?BCA ? 90? , PB ? BC ? CA ? 4 2 ,点 E , F 分别是 PC , PA 的中点,求二面角 A ? BE ? F
的余弦值.

23、解:如图,以 BP 所在直线为 z 轴, BC 所在直线 y 轴, 间直角坐标系, 则 B(0, 0, 0), A(4 2, 4 2, 0), C (0, 4 2, 0), P(0, 0, 4 2) ,

建立空

E (0, 2 2, 2 2), F (2 2, 2 2, 2 2)
∵ PB ? 平面 ABC ,∴ PB ? AC , 又 AC ? CB ,∴ AC ? 平面 PBC , ∴ AC ? PC ,∴ EF ? PC , 又 BE ? PC ,∴ PC ? 平面 BEF 。 而 PC ? (0, 4 2, ?4 2), 所以平面 BEF 的一个法向量 n1 ? (0,1, ?1), ------4 分

??? ?

??

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设平面 ABE 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z ),

?? ?

?? ??? ? ? ?n2 ? BE ? 2 2 y ? 2 2 z ? 0 ? 则 ? ?? ??? ,则 x : y : z ? 1: ?1:1 ? ? ?n2 ? BA ? 4 2 x ? 4 2 y ? 0 ? ?? ? 取 x ? 1 ,则平面 AEF 的一个法向量 n2 ? (1, ?1,1)
∴ cos ? n1 , n2 ??

------8 分

?? ?? ?

? 6 , 3

∴二面角 A ? BE ? F 的平面角的余弦值为

6 3

------10 分

15. (无锡市 1 月期末调研)(本小题满分 14 分) 在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中 点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,构成一个三棱锥. (1)判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)求多面体 E-AFMN 的体积. B
A D

M
M F N B E C

N F E

A

15. (1)因翻折后 B、C、D 重合(如图) , 所以 MN 应是 ?ABF 的一条中位线,??????3 分 则 MN ? 平面AEF ? ? MN ? 平面AEF .???7 分

MN ? AF

? ?

AF ? 平面AEF ? ?

(2)因为

AB ? BE ? AB ? 平面 BEF,?????9 分 AB ? AF

?

且 AB ? 6, BE ? BF ? 3 , ∴ VA? BEF ? 9 ,???????????????11 分 又

VE ? AFMN S AFMN 3 ? ? , VE ? ABF S?ABC 4

D1 ∴ A1 C1

VE ? AFMN ?

27 .???????????????14 分 4
D A

B1

15. (徐州市 12 月高三调研)(本小题满分 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1C1 ? B1D1 , E , F 分别
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C

E B
第 15 题

F

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是 AB, BC 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 平面 A1 BC1 ; (Ⅱ)求证:平面 D1 DBB1 ? 平面 A1 BC1 .

15.解: (Ⅰ)连接 AC,则 AC∥ A1C1 ,而 E , F 分别是 AB, BC 的中点,所以 EF∥AC, 则 EF∥ A1C1 ,故 EF // 平面 A1 BC1 ?????????????????????7 分 (Ⅱ)因为 BB1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,所以 BB1 ? A1C1 ,又 A1C1 ? B1D1 , 则 A1C1 ? 平面 D1 DBB1 ????????????????????????12 分 又 A1C1 ? 平面 A1 BC1 ,所以平面 D1 DBB1 ? 平面 A1 BC1 ??????????14 分 16. (盐城市第一次调研)(本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°, E、F 分别为 A1C1、B1C1 的中点, D 为棱 CC1 上任一点. (Ⅰ)求证:直线 EF∥平面 ABD; (Ⅱ)求证:平面 ABD⊥平面 BCC1B1. A B C

D

A1

E F B1 第 16 题

C1

16. (Ⅰ)证明:因为 E 、 F 分别为 A1C1 、 B1C1 的中点,所以 EF / / A1B1 / / AB ??????4 分 而 EF ? 面ABD, AB ? 面ABD ,所以直线 EF ∥平面 ABD ?????????7 分 (Ⅱ)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 AB ? BB1 ,又 AB ? BC , 而 BB1 ? 面 BCC1 B1 , BC ? 面 BCC1 B1 ,且 BB1 ? BC ? B ,所以 AB ? 面 BCC1 B1 ? 11 分 又 AB ? 面ABD ,所以平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1 ????????????14 分 16. (苏北四市 2011 届高三第二次调研) (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 E ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , 平 面 ABCD ⊥ 平 面 ABE ,

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?AEB ? 90? , BE ? BC , F 为 CE 的中点,求证:
(1) AE ∥平面 BDF ; (2)平面 BDF ? 平面 ACE . D C

F A E (第 16 题) D G F A ∴ AE ∥平面 BFD . ????????????6 分 E (2)?平面 ABCD ? 平面 ABE , BC ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABE ? AB ?BC ? 平面 ABE ,又? AE ? 平面 ABE, ? BC ? AE , 又? AE ? BE , BC ? BE ? B ,? AE ? 平面 BCE,? AE ? BF ,???????????10 分 在 △BCE 中, BE ? CB, F 为 CE 的中点,? BF ? CE , AE ? CE ? E ?BF ? 平面 ACE , 又 BF ? 平面 BDF , 14 分 15. (苏州市 2011 届高三调研测试) (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中,已知角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 ? a ? b ? c ?? b ? c ? a ? ? 3bc . ⑴求 A ; ⑵若 B ? C ? 90?, c ? 4 ,求 b .(结果用根式表示) B B

16.(1)设 AC ?BD ? ,连接 FG ,易知 G 是 AC 的 G ∵ F 是 EC 中点.∴在△ ACE 中, FG ∥ AE , ∵ AE ? 平面 BFD , FG ? 平面 BFD ,

中点,

C

????2 分

?平面 BDF ? 平面 ACE .??????????????????

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15.【解析】 (1)由条件,得 ? b ? c ? ? a ? bc .
2 2

所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? . 2bc 2
?

因为 A 是三角形内角,所以 A ? 60 . (2)由 ?

? B ? C ? 120? ? B ? C ? 90
?

得 B ? 105 , C ? 15 .

?

?

由正弦定理得
?

b 4 4 ? ,b ? ? sin105? ? 4 tan 75?. ? ? ? sin105 sin15 sin15

因为 tan 75 ? tan 45 ? 30 所以 b ? 8 ? 4 3.

?

?

?

??

1 ? tan 30? ? 2 ? 3. 1 ? tan 30?

16. (苏州市 2011 届高三调研测试) (本小题满分 14 分) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? A1 A ,

D 为 C1C 的中点, O 为 A1 B 与 AB1 的交点.
⑴求证: AB1 ? 平面 A1 BD ; ⑵若点 E 为 AO 的中点,求证: EC ∥平面 A1 BD . 16.【解析】证明: (1)连结 DA, DB1 , DO 因为 AB ? A1 A , D 为 CC1 的中点, 而 DB1 ?

DC12 ? C1 B12 , DA ? DC 2 ? CA2 ,

所以 DB1 ? DA . 又因为 O 是正方形 A1 ABB1 对角线的交点, 所以 DO ? AB1. 又因为 A1 B ? AB1 , A1B ? DO, 所以 AB1 ? 平面 A1 BD . (2)取 AO 的中点 F , 1

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在 ?A1OA 中,因为 E 是 OA 的中点, 所以 EF ? AA1 ,且 EF ?

1 AA1. 2 1 AA1. 2

又因为 D 是 C1C 的中点,所以 CD ? AA1 ,且 CD ? 所以四边形 CDFE 是平行四边形,所以 CE ? DF . 又因为 DF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , 所以 EC ∥平面 A1 BD .

23. (苏州市 2011 届高三调研测试) (本小题满分 10 分) 如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 E ? CF ? 1 . ⑴求两条异面直线 AC1 与 D1 E 所成角的余弦值; ⑵求直线 AC1 与平面 BED1 F 所成角的正弦值.

23.【解析】 (1)以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz , 如图所示,则 A ? 3, 0, 0 ? , C1 ? 0,3,3? , AC1 ? ? ?3,3,3 ? ,

???? ?

???? ? D1 ? 0, 0,3? , E ? 3, 0, 2 ? , D1 E ? ? 3, 0, ?1? .

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? AC1 ? D1E ?9 ? 3 2 30 所以 cos ? AC1 , D1E ?? ???? ???? ? ?? , ? ? 15 AC1 D1E 3 3 ? 10
即两条异面直线 AC1 与 D1 E 所成角的余弦值为 ? (2) B ? 3,3, 0 ? , BE ? ? 0, ?3, 2 ? , D1 E ? ? 3, 0, ?1? . 设平面 BED1 F 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

2 30 . 15

??? ?

???? ?

?

? ???? ? ?n ? D1 E ? 0 ? 3 x ? z ? 0 ? 由 ? ? ??? 得? , ? n ? BE ? 0 ? ?3 y ? 2 z ? 0 ? ?
所以 ?

? ? ? y ? 2x ,则 n ? ? x, 2 x,3 x ? , 不妨取 n ? ?1, 2,3? , ? z ? 3x

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设直线 AC1 与平面 BED1 F 所成角为 ? ,则

???? ? ? ?3 ? 6 ? 9 2 42 sin ? ? cos ? AC1 , n ? ? ? . 21 3 3 ? 14
所以直线 AC1 与平面 BED1 F 所成角为

2 42 . 21

试题精粹 江苏省 2010 年高考数学联考试题 一、填空题: 7. (江苏省南通市 2010 年高三二模)设 l,m 表示两条不同的直线,α表示一个平面,从“∥、
l ____ m ? ▲ ⊥”中选择适当的符号填入下列空格,使其成为真命题,即: ??m l ____ ? ? ▲

▲ α.

解析:由线面关系知

l __/ / __ m ? ??m l __ ? _ ? ?

?

α.

11. (江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研)若一个 n 面体有 m 个面时直角三角形, 则称这个 n 面体的直度为 直度为 。

m ,如图,在长方形 ABCD — A1 B1C1 D1 中,四面体 A1 ? ABC 的 n

解析:由题意知四面体 A1 ? ABC 有4个面,其中直角三角形有4个,则四面体 A1 ? ABC 的 直度为

4 ? 1. 4

11. (江苏省泰州市 2010 届高三联考试题) 正三棱锥 S ? ABC 中,BC ? 2 ,SB ? 3 ,D、E 分别是棱 SA、SB 上的点, Q 为边 AB 的中点, SQ ? 平面CDE ,则三角形 CDE 的面积为 ______▲_______.

C D 解析: Q 为边 AB 的中点得 SQ ? AB , S ? 平面 E 由 又Q
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得 DE // AB 且 SQ 交 DE 于 M
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点 , 另 由 BC ? 2 , SB ? 3 可 求 CQ ? SC 且 SQ ? CM 得 M 为 SQ 的 中 点 , 从 而

DE ? 1, CM ?

10 10 ,则三角形 CDE 的面积为 。 2 4

11. (江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)已知三棱锥 S-ABC 中, =SB=SC=AB=AC=2, SA 则三棱锥 S-ABC 体积的最大值为 ▲ .1

4. (2010 年 3 月苏、 常、 锡、 镇四市高三教学情况调查一) a, b 为不重合的两条直线, , ? 设 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 a ∥ ? 且 b ∥ ? ,则 a ∥ b ; (2)若 a ? ? 且 b ? ? ,则 a ∥ b ; (3)若 a ∥ ? 且 a ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; (4)若 a ? ? 且 a ? ? ,则 ? ∥ ? . 上面命题中,所有真命题的序号是 ... ▲ . (4) (2)

10. (江苏省盐城市 2010 年高三第二次调研考试)已知 l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平 面. 若从“① l ? ? ;② l // ? ;③ ? ? ? ”中选取两个作为条件,另一个作为结论,试 写出一个你认为正确的命题 ▲ .(请用代号表示)①② ? ③ 4、 (江苏省连云港市 2010 届高三二模试题) 一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个 球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ .3:2

7. (江苏省苏南六校 2010 年高三年级联合调研考试) 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 2 ,

8 B1C1 的中点,则四棱锥 P ? A1BCD1 的体积为_____________. 3 P是
6. ( 2010 年 江 苏 省 苏 北 四 市 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 ) 如 下 图 , 已 知 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1D1 的棱长为 2 , O 为底面正方形 ABCD 的中心,则三棱锥 B1 ? BCO 的体 积为 ▲ .

2 3
C1 B1

D1 A1

D
O

C

A

B

13、 (江苏省南京市 2010 年 3 月高三第二次模拟)讲一个半径为 5cm 的水晶球放在 0 如图所示的工艺架上,支架是由三根金属杆 PA、PB、PC 组成,它们两两成 60 角。 则水晶球的球心到支架 P 的距离是 cm.
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5 3
5. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线,给出下列的四个命题: (1)若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; (2)若 n ? ? , m ? ? , ? 与 ? 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直 (3)若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? (4)若 m // n, n ? ? , ? // ? , 则 m ? ? 其中,所有真命题的序号是 . (4) (3) 9. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷正三棱柱的侧面展开图是边长分别 为 2 和 4 的矩形,则它的体积为 .

4 3 8 3 , 9 9
A1 B1 F C1 D1

二、解答题 15. (江苏省南通市 2010 年高三二模) (本小题满分 14 分) 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. (1)求证:A1B∥平面 AFC; (2)求证:平面 A1B1CD ? 平面 AFC. 证明: (1)连接 BD 交 AC 于点 O, 连接 FO,则点 O 是 BD 的中点. ∵点 F 为 A1D 的中点,∴A1B∥FO.??4 分 又 A1 B ? 平面 AFC, FO ? 平面 AFC,

A B C
(第 15 题)

D

∴A1B∥平面 AFC. ????????????????????7 分 (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 B1D. ∵AC⊥BD,AC⊥BB1,∴AC⊥平面 B1BD,AC⊥B1D.?????9 分 又∵CD⊥平面 A1ADD1, AF ? 平面 A1ADD1,∴CD⊥AF. 又∵AF⊥A1D,∴AF⊥平面 A1B1CD. ????????????12 分 ∵AC⊥B1D,∴B1D⊥平面 AFC. 而 B1D ? 平面 A1B1CD,∴平面 A1B1CD ? 平面 AFC.??????14 分 16.(江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)(本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABCD⊥平面 ABE,BE=BC,F 为 CE 上的一点,且 BF⊥ 平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:AE∥平面 BFD. A E
(第 16 题)

D

C

F B

16. (本小题满分 14 分)

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(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD⊥AB, ∴AD⊥平面 ABE,AD⊥AE. ∵AD∥BC,则 BC⊥AE. 又 BF⊥平面 ACE,则 BF⊥AE. D ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE,∴AE⊥BE. ?? 7 分 G (2)设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 BF⊥CE. 而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. ???????10 分 在△ACE 中,FG∥AE, ∵AE ? 平面 BFD,FG ? 平面 BFD, ∴ AE∥平面 BFD. ?????????14 分 A E F B C ?????????3 分

22.(江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)必做题(本小题满分 10 分) 如图,已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的 A 中点. (Ⅰ)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 A-BE-C 的余弦值. O E C

B

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16. (2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一)(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ∥ DC , DC ? 2 AB , AP ? AD , PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , E 为 PD 的中点. 求证: (1) AE ∥平面 PBC ; (2) PD ⊥平面 ACE .

P E D C

A

B

(第 16 题图) 目

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A1 22. (2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一) (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90o ,AB=AC=a, AA1 ? b , A
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C1 B1 F

E C

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B (第 22 题图)

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1 1 b 点 E,F 分别在棱 BB1 , CC1 上,且 BE ? BB1 , C1 F ? CC1 .设 ? ? . 3 3 a

(1)当 ? =3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 ? 的值.

∴ n1 ? (?

b 2b ? 2? , ? ,1) = (? , ? ,1) 是平面 AEF 的一个法向量. ???6 分 3a 3a 3 3

同理, n2 ? (

2b b 2? ? , ,1) = ( , ,1) 是平面 A1 EF 的一个法向量. ???8 分 3a 3a 3 3

∵平面 AEF ⊥平面 A1 EF ,

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∴ n1 ? n2 ? 0 .∴ ? 解得, ? ?
3 . 2

2? 2 2? 2 ? ?1 ? 0 . 9 9

∴当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时, ? ?

3 . 2

?????????10 分

16. (江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研) (本题满分 14 分) 已知正六棱柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 的所有棱长均为 2,G 为 AF 的中点。 (1)求证: F1G ∥平面 BB1 E1 E ; (2)求证:平面 F1 AE ⊥平面 DEE1 D1 ; (3)求四面体 EGFF1 的体积。

?

3 3

14 分

3. (江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研) (本题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 和直角梯形 BEFC 所在平面互相垂直,∠BCF-90°,BE∥CF,CE⊥EF, AD= 3 ,EF=2.

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(1)求异面直线 AD 与 EF 所成的角; (2)当 AB 的长为何值时,二面角 A—EF—C 的大小为 45°?

所以 cos ? n, BA ?

n ? BA | n | ? | BA |

?

3 3a a 4a ? 27
2

?

2 , 2

??????5 分

得到 a ?

3 3 . 2

??????11 分

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所以当 AB 为

3 3 时,二面角 A—EF—C 的大小为 45° ??????12 分 2

16、 (江苏省连云港市 2010 届高三二模试题) (14 分)如图,在三棱锥 D-ABC 中,已知△BCD 是正三角形,AB⊥平面 BCD,AB=BC=a,E 为 BC 的中点,F 在棱 AC 上,且 AF=3FC. (1)求三棱锥 D-ABC 的表面积; (2)求证 AC⊥平面 DEF; (3)若 M 为 BD 的中点,问 AC 上是否存在一点 N,使 MN∥平面 DEF?若存在,说明点 N 的位 置;若不存在,试说明理由. D

M

B A E C F N

16、解(证明) (1)因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥BC,AB⊥BD. 因为 △BCD 是正三角形,且 AB=BC=a,所以 AD=AC= 2a . 7 1 设 G 为 CD 的中点,则 CG= a ,AG= a. 2 2 3 2 7 2 1 所以 S?ABC ? S?ABD ? a 2 , S?BCD ? a , S?ACD ? a . 4 4 2 4? 3? 7 2 D 三棱锥 D-ABC 的表面积为 S?ACD ? ..4 a .. 分 4 (2)取 AC 的中点 H,因为 AB=BC,所以 BH⊥AC. 因为 AF=3FC,所以 F 为 CH 的中点. 因为 E 为 BC 的中点,所以 EF∥BH.则 EF⊥AC. 因为 △BCD 是正三角形,所以 DE⊥BC. 因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥DE. 因为 AB∩BC=B,所以 DE⊥平面 ABC.所以 DE⊥AC. 因为 DE∩EF=E,所以 AC⊥平面 DEF...9 分 .. E (3)存在这样的点 N, 3 当 CN= CA 时,MN∥平面 DEF. C 8 连 CM,设 CM∩DE=O,连 OF.
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M

B A N F

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由条件知,O 为△BCD 的重心,CO= 所以 当 CF=

2 CM. 3

2 3 1 3 CN 时,MN∥OF.所以 CN= ? CA ? CA .......14 分 ...... 3 2 4 8

25. (江苏省苏南六校 2010 年高三年级联合调研考试) (本小题为必做题,满分 10 分) 如图,直三棱柱

A1 B1C1 ? ABC

中,

C1C ? CB ? CA ? 2

, AC ? CB . D、E 分别为棱

C1C、B1C1

的中点.

(1)求点 E 到平面 ADB 的距离; (2)求二面角

E ? A1D ? B

的平面角的余弦值;

A DB (3)在线段 AC 上是否存在一点 F ,使得 EF ? 平面 1 ?若存在,确定其位置;若不存
在,说明理由.

A1 C1

E

B1

D

C

F

A

B

25. (必做题) (本小题满分 10 分) 解: (1)如图所示,以 CB 为 x 轴, CA 为 y 轴,

CC1

为 z 轴建立空间直角坐标系,由 可得 C (0,0,0) ,

z
C1

A1

C1C ? CB ? CA ? 2

E

B1

A(0, 2,0) , B(2,0,0) , D(0,0,1) , E (1, 0, 2) .
??? ? ???? AB ? (2, ?2, 0) , AD ? (0, ?2,1) , 则
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D y A
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C

F

x

B

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???? ? DE ? (1, 0,1) 设平面 ADB 的法向量为 n ? ( x, y,1) 得

1 ? x? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ? 2 ?? ? ? ? ?2 y ? 1 ? 0 ? y ? 1 n ? ( 1 , 1 ,1) ? ? ? 2即 2 2 则取法向量为 n ? (1,1, 2) ,

则点 E 到平面 ADB 的距离 (2)

???? ? DE ? n 6 d? ? ? 2 n

.

(3 分)

A1 (0, 2, 2)

???? ???? ? E (1, 0, 2) , D(0,0,1) 可得 A1 E ? (1, ?2, 0) , A1 D ? (0, ?2, ?1) , ,

? x ? ?1 ?x ? 2 y ? 0 ? ?? ?? 1 ?? ??2 y ? 1 ? 0 ? y ? ? n1 ? ( x, y,1) A1 ED ? 2, 设平面 的法向量为 ?? n1 ? (2,1, ?2) A1 (0, 2, 2) D(0,0,1) B(2,0,0) 故可令 , , , ,
可得

???? ? ???? A1 D ? (0, ?2, ?1) A1 B ? (2, ?2, ?2)
,



1 ? ?x ? 2 ?2 y ? 1 ? 0 ? ? ?? ?? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ? y ? ? 1 ?? ? n2 ? ( x, y,1) A BD ? ? 2, 设平面 1 的法向量为 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 6 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? 6 n1 n2 n ? (1, ?1, 2)
故可令
2

,∴



6 E ? A1D ? B 即求二面角 的余弦值为 6 ; (6 分) ??? ? (0, y, 0) ,则 EF ? (?1, y, ?2) , (3)假设存在点 F ,坐标为

EF ? 平面 A1 DB 得

??? ?? ? ? EF // n2

1 ?1 2 ? ? ? y ?1 ?1 y ?2 ,即 ,
(10 分) A A1

∴ F (0,1,0) F 即为 AC 中点.

16. (2010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考 试)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 D 是棱

BC 的中点.求证: (1) AD ? C1 D ;
B
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B1 D C C1

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(2) A B // 平面 ADC1 . 1

16.(1)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,所以 C1C ? 平面 ABC , 又 AD ? 平面 ABC ,所以 C1C ? AD ,??????????????? 2 分 又点 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 AD ? BC , 因为 BC ? C1C ? C ,所以 AD ? 平面 BCC1 B1 ,????????????4 分 又因为 DC1 ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AD ? C1 D .????????????6 分 A (2)连接 A1C 交 AC1 于点 E ,再连接 DE . 因为四边形 A1 ACC1 为矩形, 所以 E 为 A1C 的中点, 又因为 D 为 BC 的中点, 所以 ED / / A1B . 又 A1 B ? 平面 ADC1 , ED ? 平面 ADC1 , 所以 A B // 平面 ADC1 .??????14 分 1 E B D C C1 B1 A1

25. (江苏省泰州市 2010 届高三联考试题) (本小题为必做题,满分 10 分) ... 已知边长为 6 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E , F 为 AD、CD 上靠近 D 的三等分点,H 为 BB1 上靠近 B 的三等分点, G 是 EF 的中点. (1)求 A1 H 与平面 EFH 所成角的余弦值; (2)设点 P 在线段 GH 上,且

GP ? ? ,试确定 ? 的值,使得 C1P 的长度最短. GH

E

D
D

F

C
C

G
P B
B

A
A

E

H
D1

C1 B1
A A

A1

A

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z
解:如图建系:可得 E (2,0,6) , F (0, 2,6) , H (6,6, 4) , A1 (6, 0, 0) . (1)设 n ? (1, x, y) , EF ? (?2, 2, 0) , EH ? (4, 6, ?2) 则?

E
E

D
D

F

C
C

G
P B
B

?

??? ?

????

A
A

???? ? ? ??2 ? 2 x ? 0 ? n ? (1,1,5) ; A1 H ? (0, 6, 4) , ?4 ? 6 x ? 2 y ? 0 ? ???? ? ? ???? ? n ? A1H 26 39 cos n, A1H ? ? ???? ? ? ? 9 27 52 n A1H
42 . (5 分) 9
??? ?
2

H
D1

C1 B1
A A

y

x A1

A

设 A1 H 与平面 EFH 所成角为 ? ,则 cos ? ?

(2)由题知 G(1,1, 6) , C1 (0, 6, 0) , GH ? (5,5, ?2) ,设 GP ? ? GH ? (5? ,5? , ?2? ) ?

????

????

P(5? ? 1,5? ? 1, ?2? ? 6) , C1 P 2 ? ? 5? ? 1? ? ? 5? ? 5 ? ? (2? ? 6) 2 ? 54? 2 ? 64? ? 58 ,
2

当? ?

16 时, C1 P 的长度取得最小值. (10 分) 27

16. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD,PA=AB,底面 ABCD 为直角梯形, ∠ABC=∠BAD=90°, PA ? BC ? (1)求证:平面 PAC⊥平面 PCD; (2)在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE//平面 PAB? 若存在,请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由 16.设 PA=1 (1)由题意 PA=BC=1,AD=2

1 AD . 2

? AB ? 1, BC ?

1 AD,由?ABC ? ?BAD ? 90?,易得CD ? AC ? 2 2

由勾股定理得 AC⊥CD ,又∵PA⊥面 ABCD CD ? 面 ABCD ∴PA⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥面 PAC, 又 CD ? 面 PCD,∴面 PAC⊥面 PCD (2)证明:作 CF//AB 交 AD 于 F,作 EF//AP 交 PD 于 E,连接 CE ∵CF//AB EF//PA CF∩EF=F PA∩AB=A 平面 EFC//平面 PAB,

又 CE 在平面 EFC 内,CE//平面 PAB

? BC ?
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1 AD, AF ? BC ∴F 为 AD 的中点, 2
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∴E 为 PD 中点,故棱 PD 上存在点 E,且 E 为 PD 中点,使 CE//面 PAB

23. (江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上 的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P ? AC ? D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE : EC 的值;若不存在,试说明理由.

23 解:建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0) 、 C(0,2,0)

A1 (2,0,2) ,.

B1 (0,0,2) 、 C1 (0,2,2)
设 AC 的中点为 M,∵BM⊥AC,

BM ? CC1 ;

∴BM⊥平面 A1C1C ,即 BM =(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量。 设平面 A1 B1C1 的一个法向量是 n ? ( x, y, z )

???? ?

?

???? A1C =(-2,2,-2) ,

???? ? A1 B1 =(-2,0,0)

? ??? ? ? ???? ? n ? AB ? ?2 x ? 0, n ? A1C ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, 令z ? 1, 解得x ? 0, y ? 1 ? ? n ? (0,1,1)...................10分
设法向量 n与BM 的夹角为 ? ,二面角 B1 ? A1C ? C1 的大小为 ? ,显然 ? 为锐角

? ???? ?

? ???? ? n ? BM 1 ? ? cos ? ? cos ? ? ? ???? ? , 解得? ? ? 2 3 n BM ? 二面角B1 ? A1C ? C1的大小为

?
3

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??? ? ??? ? 2 6 2 6 DS ? ( a, 0, a), CS ? (0, ? a, a) 2 2 2 2


??? ? ??? ? CE ? tCS , w.w



??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 2 2 6 BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (? a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2



??? ??? ? ? 1 BE ? DS ? 0 ? t ? 3

即当 SE : EC ? 2 :1时, BE ? DS w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC

立体几何解题方法 一、知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量
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的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内 容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为 基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决 问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思 想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力. 2. 判定两个平面平行的方法: (1)根据定义——证明两平面没有公共点; (2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知: “两平行平面没有公共点” 。 ⑵由定义推得: “两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理: “如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行” 。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理” ,但在解题过程中均可直接 作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及与射影 有关的定理、 空间两直线所成的角、 直线和平面所成的角、 以及二面角和二面角的平面角等. 解 这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决. 空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量 分析的一个重要概念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线所成的角θ∈(0, 直线与平面所成的角θ∈ ?0,

?

0,π

?.

? ?? ,二面角的大小,可用它们的平面角来度量,其平面角θ∈ ? 2? ?

? ], 2

对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置于一个 平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直 来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计 算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力. 如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)与向量法;求直线与平面所成的 角常利用射影转化为相交直线所成的角;而求二面角?-l-?的平面角(记作?)通常有以下 几种方法: (1) 根据定义; (2) 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面?,设?∩?=OA,?∩?=OB,则∠AOB=? ; (3) 利用三垂线定理或逆定理, 过一个半平面?内一点 A, 分别作另一个平面?的垂线 AB(垂 足为 B),或棱 l 的垂线 AC(垂足为 C),连结 AC,则∠ACB=? 或∠ACB=?-?; (4) 设 A 为平面?外任一点,AB⊥?,垂足为 B,AC⊥?,垂足为 C,则∠BAC=?或∠BAC =?-?; (5) 利用面积射影定理,设平面?内的平面图形 F 的面积为 S,F 在平面?内的射影图形的 面积为 S?,则 cos?=
S' . S

5.空间的距离问题,主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间 (限于给出公垂线段的) 、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离. 求距离的一般方法和步骤是:一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就是所要 求的距离;三算——计算其值.此外,我们还常用体积法求点到平面的距离. 6.棱柱的概念和性质
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⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键,要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 ⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体,要理解并掌握“平行六面体 直平行六面 体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 ⑶须从棱柱的定义出发,根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导,以求 更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。 ⑷关于平行六面体,在掌握其所具有的棱柱的一般性质外,还须掌握由其定义导出的一 些其特有的性质,如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注 意,平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质,恰当地运用平行四边形 的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。 ⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系,因此, 很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系,与《直线、平面、简单几何体》第一部 分的问题相比,唯一的差别就是多了一些概念,比如面积与体积的度量等.从这个角度来看, 点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点. 7.经纬度及球面距离 ⑴根据经线和纬线的意义可知,某地的经度是一个二面角的度数,某地的纬度是一个线 ⌒ 面角的度数,设球 O 的地轴为 NS,圆 O 是 0°纬线,半圆 NAS 是 0°经线,若某地 P 是在东经 ⌒ 120°,北纬 40°,我们可以作出过 P 的经线 NPS 交赤道于 B,过 P 的纬线圈圆 O1 交 NAS 于 A, ⌒ 那么则应有:∠AO1P=120°(二面角的平面角) ,∠POB=40°(线面角) 。 ⌒ ⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长,因此,求两点间的球面距 离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。 例如,可以循着如下的程序求 A、P 两点的球面距离。 线段 AP 的长 ∠AOP 的弧度数 8.球的表面积及体积公式 S 球表=4πR
2

⌒ 大圆劣弧 AP 的长
4 3 πR 3

V 球=

⑴球的体积公式可以这样来考虑:我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形” ; 以球心为顶点,以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点,得到若干个小三棱锥,所 有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加,且所有这 些小三棱锥的底面积无限变小时,小三棱锥的体积和就变成球体积,同时小三棱锥底面面积 1 的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第 n 个小三棱锥的体积= Snhn(Sn 为该小 3 1 1 4 2 3 三棱锥的底面积,hn 为小三棱锥高) ,所以 V 球= S 球面·R= ·4πR ·R= πR . 3 3 3 ⑵球与其它几何体的切接问题,要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关 系,选择最佳角度作出截面,以使空间问题平面化。 二、注意事项 1.须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。 2.三种空间角,即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它 们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角,通常“线线角抓平移,线面角找射影,面面角 S射 作平面角”而达到化归目的,有时二面角大小出通过 cos ? = 来求。 S原 3.有七种距离,即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平 行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平面的 距离是基础,求其它几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用“体积法” 来求。 三、例题分析 例 1、 ⑴已知水平平面 ? 内的两条相交直线 a, b 所成的角为 ? , 如果将角 ? 的平分线 l ? 绕
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着其顶点,在竖直平面内作上下转动, 转动到离开水平位值的 l ? 处,且与两条直线 a,b 都成

? 的大小关系是 2 ? ? A. ? ? 或 ? ? 2 2 ? C. ? > 2
角 ? ,则 ? 与

( B. D.



? ? ?> 或 ?<

?<

? 2

2

2

⑵已知异面直线 a,b 所成的角为 70 0 ,则过空间一定点 O,与两条异面直线 a,b 都成 60 0 角 的直线有 A. 1 ( B. 2 C. 3 (
0

)条.
0

D. 4

则 ? 的取值可能是
0

⑶异面直线 a,b 所成的角为 ? ,空间中有一定点 O,过点 O 有 3 条直线与 a,b 所成角都是 60 , ).
0 0

A. 30 B. 50 C. 60 D. 90 分析与解答: ⑴ 如图 1 所示,易知直线 l ? 上点A在平面 ? 上的射影是ι上的点 B,过点 B 作 BC⊥b,

AC ? BC ,tg = .显然,AC>BC, OC 2 OC ? ? ? ? ∴tan ? > tan ,又 ? 、 ? (0, ) ,∴ ? > .故选 C. 2 2 2 2
则 AC⊥b. 在 Rt△OBC 和 Rt△OAC 中,tg ? = O CA B

a?
ι

b?

(2)D(3)C 图1 例 2、已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥AB; (2)设平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角为锐角θ,问能否确定θ使直线 MN 是异 面直线 AB 与 PC 的公垂线?若能,求出相应θ的值;若不能,说明理由. 解: (1)∵PA⊥矩形 ABCD,BC⊥AB,∴PB⊥BC,PA⊥AC,即△PBC 和△PAC 都是 以 PC 为斜边的直角三角形,? AN ? 1 PC ? BN ,又 M 为 AB 的中点,∴MN⊥AB. 2 (2)∵AD⊥CD,PD⊥CD.∴∠PDA 为所求二面角的平面角,即∠PDA=θ. 设 AB=a,PA=b,AD=d,则 PM ? b 2 ? 1 a 2 , CM ? d 2 ? 1 a 2
4

4

设 PM=CM 则由 N 为 PC 的中点,∴MN⊥PC 由(1)可知 MN⊥AB, ∴MN 为 PC 与 AB 的公垂线,这时 PA=AD,∴θ=45°。 0 例 3、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90 ,AC=1,C 点 到 AB1 的距离为 CE=

3 ,D 为 AB 的中点. 2
A1

C1 B1

(1)求证:AB1⊥平面 CED; (2)求异面直线 AB1 与 CD 之间的距离; (3)求二面角 B1—AC—B 的平面角. 解:(1)∵D 是 AB 中点,△ABC 为等腰直角三角形, 0 ∠ABC=90 ,∴CD⊥AB 又 AA1⊥平面 ABC,∴CD⊥AA1.
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E A D

C
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B

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∴CD⊥平面 A1B1BA ∴CD⊥AB1,又 CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面 CDE; (2)由 CD⊥平面 A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面 CDE ∴DE⊥AB1, ∴DE 是异面直线 AB1 与 CD 的公垂线段 ∵CE=

3 1 2 ,AC=1 , ∴CD= . ∴ DE ? (CE) 2 ? (CD) 2 ? ; 2 2 2

(3)连结 B1C,易证 B1C⊥AC,又 BC⊥AC , ∴∠B1CB 是二面角 B1—AC—B 的平面角. 在 Rt△CEA 中,CE= ∴ AB1 ?

3 0 ,BC=AC=1,∴∠B1AC=60 2

1 ? 2 , ∴ BB1 ? ( AB1 ) 2 ? ( AB) 2 ? 2 , cos 60 2 BB1 ∴ tg?B1CB ? ? 2 , ∴ ?B1CB ? arctg 2 . BC
说明:作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严 格的逻辑推理作为基石. 例 4、在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S D= 2 a , 在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值; (3)设 SB 的中点为 M,当

CD 的值是多少时,能使△DMC AB

S

为直角三角形?请给出证明. F E 解: (1)∵ CD∥AB,AB ? 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB M 面 EFCD∩面 SAB=EF, ∴CD∥EF ∵ ?D ? 90 0 ,? CD ? AD, D 又 SD ? 面 ABCD A B ∴ SD ? CD ?CD ? 平 面 SAD , ∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD ? EFCD 为直角梯形 (2)? CD ? 平面 SAD, EF ∥ CD, EF ? 平面 SAD ? AE ? EF , DE ? EF ,? ?AED 即为二面角 D—EF—C 的平面角 中 EC 2 ? ED 2 ? CD2 而 AC 2 ? AD 2 ? CD2 且 AC ? EC ? ED ? AD ? ? , ??ADE 为等腰三角形,??AED ? ?EAD ? tan ?AED ? 2 (3)当
EDC?tR ?,DC ? DE

C

CD ? 2 时, ?DMC 为直角三角形 . AB
? AB ? a,? CD ? 2a, BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2a, ?BDC ? 45 0 ? BC ?

2a, BC ? BD ,

?SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC,? BC ? 平面 SBD .

在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB .
?MD ? 平面 SBC, MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角形。

例 5.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AC 与 BD 交于点 E,CB 与 CB1 交于点 F. (I)求证:A1C⊥平 BDC1; (II)求二面角 B—EF—C 的大小(结果用反三角函数值表示).
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解法一: (Ⅰ)∵A1A⊥底面 ABCD,则 AC 是 A1C 在底面 ABCD 的射影. ∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD. 同理 A1C⊥DC1,又 BD∩DC1=D, ∴A1C⊥平面 BDC1. (Ⅱ)取 EF 的中点 H,连结 BH、CH,

? BE ? BF ?

2 ,? BH ? EF . 2 同理CH ? EF .

? ?BHC是二面角B ? EF ? C的平面角.
又 E、F 分别是 AC、B1C 的中点,

1 AB1 . ? 2 ? ?BEF与?CEF是两个全等的正三角形. ? EF // 3 6 BF ? . 2 4 于是在?BCH中,由余弦定理, 得 故BH ? CH ? BH 2 ? CH 2 ? BC 2 cos ?BHC ? ? 2 BH ? CH ( 6 2 6 ) ? ( )2 ?1 1 4 4 ?? 3 6 6 2? ? 4 4

1 1 ? ?BHC ? arccos(? ) ? ? ? arccos . 3 3 1 故二面角B ? EF ? C的大小为? ? arccos . 3
解法二: (Ⅰ)以点 C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)

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? CA1 ? (1,1,1, ), BD ? (1,?1,0), DC1 ? (?1,0,1). ? CA1 ? BD ? 1 ? 1 ? 0, CA1 ? DC1 ? ?1 ? 1 ? 0. 即CA1 ? BD, CA1 ? DC1 又BD ? DC1 ? D, ? A1C ? 平面BDC1 .
(Ⅱ)同(I)可证,BD1⊥平面 AB1C.

则 ? A1 D, D1 B ? 就是所求二面角 的平面角补角的大小 . ? A1C ? (?1,?1,?1), D1 B ? (?1,1,?1), ? cos ? A1C , D1 B ?? ? 1 ? . 3? 3 3 1 A1C ? D1 B | A1C | ? | D1 B |

1 故二面角B ? EF ? C的大小为? ? arccos . 3

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立体几何过关测试 1.如果直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么 l 与?的位置关系是 2、侧棱长为 2 的正三棱锥,若其底面周长为 9,则该正三棱锥的体积是 3、若 m 、 n 表示直线, ? 表示平面,则下列命题中,正确的个数为 ① 。 。 ④ 。

m // n ? ?? n ?? m ???



m ??? ? ? m // n n ?? ?



m ??? ?? m ? n n // ? ?

m // ? ? ?? n ?? m ? n?

4、已知 a、b、c 是三条不重合直线,?、?、?是三个不重合的平面,下列命题: ⑴a∥c,b∥c ? a∥b;⑵a∥?,b∥? ? a∥b;⑶c∥?,c∥? ? ?∥?;⑷?∥?,?∥? ? ? ∥?;⑸a∥c,?∥c ? a∥?;⑹a∥?,?∥? ? a∥?。其中正确的命题是 。

5、已知正方体 ABCD- A'B'C'D' ,则该正方体的体积、四棱锥 C' -ABCD 的体积以及该正方体 的外接球的体积之比为 。

6、已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 证明: (1) C1O∥面 AB1 D1 ; (2) A1C ^ 面 AB1 D1 .
A1 D C O A B D1 C1

B1

17.如图为正方体 ABCD-A1B1C1D1 切去一个三棱锥 B1—A1BC1 后得到的几何体. (1) 若点 O 为底面 ABCD 的中心,求证:直线 D1O∥平面 A1BC1; (2) 求证:平面 A1BC1⊥平面 BD1D. .

8、如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥ABC,BD∥AE,且 AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F 在 CD 上 (1)求多面体 ABCDE 的体积; (2)若 F 为 CD 中点,求证:EF⊥面 BCD; (3)当

DF 的值= FC

时,能使 AC ∥平面 EFB,并给出证明。

D

E
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F

A C

B

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9、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,E 为棱 CC1 上的的动点. (1)求证:A1E⊥BD; (2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A1BD⊥平面 EBD; (3)求 V A1

_ BDE



D1

C1 B1

A1

E D
A B
C

参考答案 1、 l 在平面?内或者 l ∥? 2、
3 3 4

3、3 个

4、⑴、⑷

5、 6 : 2 : 3 3?

6、证明: (1)连结 A1C1 ,设 A1C1 ? B1 D1 = O1 连结 AO1 ,
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? ABCD - A1B1C1D1 是正方体, \ A1 ACC1 是平行四边形.
\ AC1 ∥ AC 且 A1C1 = AC . 1
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点, \ O1C1 ∥ AO 且 O1C1 = AO .

\ AOC1O1 是平行四边形 . \ C1O ∥ AO1 , AO1
面 AB1 D1 , C1O ? 面 AB1 D1

\ C1O∥面 AB1D1
(2)? CC1 ^ 面 A1 B1C1 D1 又? A1C1 ^ B1 D1 ,

\ CC1 ^ B1 D1 .

\ B1D1 ^ 面A1C1C , 即AC ^ B1D1 . 1

同理可证 A1C ^ AB1 , 又 D1 B1 ? AB1 = B1 , \ A1C ^ 面 AB1 D1 . 7、 (1)将其补成正方体 ABCD-A1B1C1D1,设 B1D1 和 A1C1 交于点 O1,连接 O1B, 依题意可知,D1O1∥OB,且 D1O1=OB,即四边形 D1OB O1 为平行四边形, 则 D1O∥O1B,因为 BO1 ? 平面 BA1C1,D1O ? 平面 BA1C1,所以有直线 D1O∥平面 BA1C1; (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 A1B1C1D1, 则 DD1⊥A1C1, 另一方面,B1D1⊥A1C1, 又∵DD1∩B1D1= D1,∴A1C1⊥平面 BD1D, ∵A1C1 ? 平面 A1BC1,则平面 A1BC1⊥平面 BD1D.

8、解:(1)设 AB 中点为 H,则由 AC=AB=BC=2,可得 CH⊥AB 且 CH= 3. 又 BD∥AE,所以 BD 与 AE 共面. 又 AE⊥面 ABC,所以平面 ABDE⊥平面 ABC. 所以 CH⊥平面 ABDE,即 CH 为四棱锥 C-ABDE 的高. 1 1 1 故四棱锥 C-ABDE 的体积为 VC-ABDE= SABDE·CH= [ (1+2)×2× 3]= 3. 3 3 2 (2)取 BC 中点 G,连 FG,AG. 因为 AE⊥面 ABC,BD∥AE,所以 BD⊥面 ABC. 又 AG? 面 ABC,所以 BD⊥AG. 又 AC=AB,G 是 BC 的中点,所以 AG⊥BC,所以 AG ? 平面 BCD. 1 又因为 F 是 CD 的中点且 BD=2,所以 FG∥BD 且 FG= BD=1,所以 FG∥AE. 2
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又 AE=1,所以 AE=FG,所以四边形 AEFG 是平行四边形, 所以 EF∥AG,所以 EF⊥BCD. (3)

DF =2(证明过程略) 。 FC

9、证明: (1)连 AC,A1C1

?正方体 AC1 中,AA1 ? 平面 ABCD ?AA1 ? BD

?正方形 ABCD, AC ? BD 且 AC ? AA1=A

?BD ? 平面 ACC A

1 1

且 E ? CC1

?A E ? 平面 ACC A ?BD ? A E
1 1 1 1

(2)设 AC ? BD=O,则 O 为 BD 的中点,连 A1O,EO 由(1)得 BD ? 平面 A1ACC1

?BD ? A O,BD ? EO
1

? ?A1 EO 即为二面角 A1-BD-E 的平面角。

?AB=a,E 为 CC1 中点

?A O=
1 1

6 a 2

A1E=

3 a 2

EO=

3 a 2

?A O +OE =A E
2 2 1 1 1

2

?A O ? OE

? ?A1OE ? 90 0

?平面 A BD ? 平面 BDE
(3)由(2)得 A1O ? 平面 BDE 且?A1O=

6 a 2

S ?BDE ?

6 2 1 1 a ?V= Sh ? a 3 4 3 4

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