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好用线性代数教材所有定理_图文

线性代数课本所有定理

定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。
定理1.3
(?1)N (i1i2

定理1.2 n级排列共有n!个,其中奇偶排列各占一半
n阶行列式 D ? aij 的一般项可以记为 : i )? N ( j j j ) ai j ai j ai j (◆) 其中i1i2 ?in与j1 j2 ? jn都是n级排列.
n 1 2 n 1 1 2 2 n n

定理1.4 n阶行列式D =|aij|等于它的任一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和,即

D=

+ …+

+ …+

i =1,2,3,…,n j =1,2,3,…,n

定理1.5 n阶行列式 D ? aij 某一行(列)的元素与另一行(列) 对应元素代数余子式乘积的和等于0,即:
ai1 As1 ? ai 2 As 2 ? ? ? ain Asn ? 0(i ? s) a1 j A1t ? a2 j A2t ? ? ? anj Ant ? 0( j ? t )

定理1.7、克莱姆法则
? a11x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ? ? a x ? b 21 1 22 2 2n n 2 如果线性方程组 ? ? ? ???????????? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn (1.9)

a11 a12 ? a1 n a 21 a 22 ? a 2 n ? 0 那么线性方程组(1.9)有唯一解, D ? ??????? 解可以表为 a n1 a n 2 ? a nn

的系数行列式不等于零,即

Dn D1 D2 D2 x1 ? , x2 ? , x3 ? ,? , xn ? . D D D D

a11 a1, j ?1 b1 a1, j ?1 a1n

其中Dj是把系数行列式D中第j列 D ? j 的元素用方程组右端的常数项代替 an1 an, j ?1 bn an, j ?1 ann 后所得到的n阶行列式,

定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13) 的系数行列式 xj=0 j=1,2,..,n) D≠0,则它仅有零解. (D≠0 ?

? a11x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ???? ? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? 0

(1.13)

常用此定理的逆否命题:如线性方程组(1.13)有非零解,则 D=0. (xk ≠ 0 ?D=0 如果有k, 1≤ k ≤n)

定理2.1 n阶方阵A可逆的充要条件为 ? A ? 0 A

?1

1 ? ? A A

定理2.2 矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于用一个 相应的初等方阵左(右)乘A. 定理2.3

Am?n ? (aij )m?n 经过若干次初等变换,可以化为

0? ? 0? 若干次初等变换 ? In ◇推论: An?n为可逆阵 ? A ?????
定理2.4 n阶矩阵A为可逆的充要条件是它可以表成一些 初等矩阵的乘积. 定理2.5 矩阵经初等变换后,其秩不变.

? Ir D?? ?0

定理3.1

r ( A) ? r ( A b) ? Ax ? b有解

r ( A) ? r ( A b) ? n ? Ax ? b有唯一解 r ( A) ? r ( A b) ? n ? Ax ? b有无穷多解

r ( A) ? r ( A b) ? Ax ? b无解

定理3.2

Ax=0有非零解

? r ( A) ? n

定理3.2推论:当m<n 时,齐次线性方程组(3.9)有非零解.

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ? a x ? a x ??? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ? ? ? ? ? ? ?am1x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0

? a1 j ? ? b1 ? ? ? ? ? ? a2 j ? ? b2 ? 定理3.3 设向量 ? ? ? ?,? j ? ? ? ? ? ? ? ? ?b ? ? ?a ? ? m? ? mj ?

( j ? 1,2,?, n) 则:

?可由向量组?1,? 2 ,?,? n线性表示 ? r ( A) ? r ( A? )
A ? (?1 ? 2 ? a11 ? ? a21 ? ?n) ? ? ? ? ?a ? m1 a12 a22 ? am 2 a1n ? ? a2 n ? ? ?? ? ? am n ? ? ? ?

定理3.4 如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示, 而向量组(B)可由向量组(C)线性表示,则向量 组(A)可由向量组(C)线性表示。

定理3.5 设m维列向量组 ?1,? 2 ,?,? n 其中:
? a1 j ? ? ? ? a2 j ? ?j ?? ? ? ? ? ?a ? ? mj ? ( j ? 1,2,?, n)

(?1 ?2

? a11 a12 ? ?n) ? A ? ? a21 a22 ? ? ? am1 am 2

a1n ? ? a2 n ? ? ? amn ?

则: ?1,? 2 ,?,? n线性相关 ? r ( A) ? n ? 向量组中的向量个数

定理3.5的另一个说法: 设m维列向量组 ?1,? 2 ,?,? n
? a1 j ? ? ? ? a2 j ? 其中: ? j ? ? ? ? ? ? ?a ? ? mj ? ( j ? 1,2,?, n)
(?1 ?2

则: ? , ? ,?, ? 线性无关 ? r ( A) ? n 1 2 n

? a11 a12 ? a21 a22 ? ?n) ? A ? ? ? ? am1 am 2

a1n ? ? a2 n ? ? ? amn ?

定理3.5的另一种叙述: 设m维行向量组 ?1,? 2 ,?,? n
其中: ? i ? ?ai1 , ai 2 ,?, aim ? (i ? 1,2,?, n) 则:

?1,? 2 ,?,? n线性相关 ?
T T T r (?1 ,? 2 , ?, ? n ) ? n ? 向量组中的向量个数

? a1 j ? ? ? a2 j ? ? ?j ? ? ? ? ?a ? ? ? nj ?

定理3.5推论1:设n个n维向量
( j ? 1, 2, , n)
(?1 ?2
? a11 ? a21 ? ?n) ? A ? ? ? ? an1 a12 a22 an 2 a1n ? ? a2 n ? ? ? ann ?

则:

向量组?1,? 2 ,?,? n线性相关 ? A ? 0

定理3.5推论2:当向量组中所含向量的个数大于向量的
维数时,此向量组线性相关.

? a1 j ? ? ? ? a2 j ? 小结: 对于m维向量组 ?1,? 2 ,?,? n ? j ? ? ? ? ? ? a1n ? ? a11 a12 ?a ? ? mj ? ? ? a21 a22 a2 n ? ? (?1 ?2 ?n) ? A ? ? ? ? ? amn ? ? am1 am 2

( j ? 1,2,?, n)

(1)向量个数n>向量维数m (A扁)

则向量组必线性相关.

? ? A ? 0 ? 向量组线性相关 (2)向量个数n=向量维数m (A方) ? ? ? A ? 0 ? 向量组线性无关

(3)向量个数n<向量维数m (A长) ?r ( A) ? n 向量组线性相关 ? ?r ( A) ? n 向量组线性无关 (由定理3.5来判断)

定理3.6 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性 相关,则整个向量组线性相关. 定理3.7 向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s ( s ? 2) 线性相关的充 要条件是:其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性 组合. 定理3.8 如果向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s , ? 线性相关. ?1,? 2 ,?,? s线性无关.则向量 ? 可由向量组?1,? 2 ,?,? s

线性表示且表示法唯一.

定理3.9 设有两个向量组:

?1, ? 2 ,?, ? s 为(A)
?1 , ? 2 , ? , ? t 为(B)

向量组(B)可由向量组(A)线性表示,如果 s
则向量组(B)线性相关.

?t

或说:长向量组可由短向量组线性表示,

则长的向量组必线性相关. 定理3.10 它是极大无关组 ?

如? j1 , ? j2 , ? , ? jr 是?1 , ? 2 , ? , ? s的线性无关部分组

?1,?2 , ,?s中每一个向量都可由? j ,? j , ,? j 线性表示.
1 2 r

定理3.11,对于任一矩阵A,

r ( A) ? r ? A的列(行)秩 ? r
定理3.12 等价向量组的秩相等.

定理3.13 如果齐次线性方程组(3.9)的系数矩阵A的 秩r(A)=r<n,则方程组的基础解系存在,且每个基础
解系中,恰含有n-r个解. 定理3.14 非齐通解=非齐特解+齐通解.

定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.

定理4.2(公式版) 设A=(aij)是n阶矩阵,如果
(1) ? aij ? 1 (i ? 1, 2, , n) 或 : (2) ? aij ? 1 (i ? 1, 2,
j ?1
i ?1

n

n

, n)

有一个成立 ? ?k ? 1 (k ? 1,2,?, n) 定理4.3 设?1 , ?2 , , ?m是方阵A的m个特征值, x1 , x2 , , xm依次是与之对应的特征向量.
如果?1 , ?2 , , ?m各不相等,

则 x1, x2 ,

, xm 线性无关

定理4.4

设n阶矩阵A ? (aij )n?n , A的全部特征值为 ?1,?2 ,?, ?n
(其中可能有重根、复根),则 即: (1) ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? a11 ? a22 ? ? ? ann ;

( 2) ?1?2 ??n ? A .
定理4.5 若n阶矩阵 A与B相似,则A与B的特征多项式相同
,

从而A与B的特征值相同. 定理4.5推论 若n阶方阵A与对角阵

? ?1 ? ? ? ?2 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? n?

相似, 则?1 , ?2 ,?, ?n即是A的n个特征值.

定理4.6 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充要条件是A有n个线性无关的特征向量. 定理4.6推论1: (1)如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量 x1,x2,….,xn , x1,x2,….,xn排成的矩阵就是把A变成对角 阵Λ的变换矩阵P,相应的对角阵Λ的主对角线元素 就是A的特征值. ? ?1 ? (x1,x2,….,xn ) =P,

??

? ? ? ? ?

?2

? ? ? ? ?n ?

定理4.6推论2 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等, 则A与对角阵相似. (由定理4.3及定理4.5) 定理4.7 n阶矩阵A可对角化的充要条件为 对于每个特征值a, r(A-aI)=A的阶数- a的重数.

推论: n阶矩阵A可对角化的充要条件为对于每个 特征值a, (A-aI)x=0的基础解系的解数= a的重数.

定理4.9 在R n中, 正交向量组 ? 线性无关组. 定理4.10 设Q为n阶实矩阵,则:
Q为正交阵 ? Q的列(行)向量组是单位正交向量 组.
定理4.11 对称矩阵的特征值为实数.
定理4.12 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量是正交的.

设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵Q 使QT AQ ? ?, 其中? 是以 A的 n 个特征值为对角元
定理4.13

素的对角矩阵 .

定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换 化为标准型. 定理5.2 对任意一个对称矩阵A,存在一个非奇异矩阵 C,使CTAC为对角形。 即任一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同。 定理5.3 对于二次型xTAx,必存在正交阵Q,使:
x Ax
T

x ? Qy

? ?1 ? ? ? ?2 ? 正交替换 x ?Qy T T? x Ax ?? ? ? ? ?? y ? y ? ? ? ? ? ? ? ? n?

2 2 2 ?1 y1 ? ?2 y2 ??? ?n yn

定理5.4 1.任何实二次型f=xTAx都可以经过非退化替换x=Cy 化为规范形;
2.规范形是由二次型唯一决定的(不计顺序);与所作 的非退化线性替换无关 定理5.4的另一个说法: ?I ?
? ? C AC ? ? 任一对称阵A ????? ? ?
存在可逆阵C T p

?Ir? p
? ? ? 0? ?

?Ip ? 或者说:存在 ? ? ?

? Ir ? p

? ? ? ,使 A 0? ?

?Ip ? ? ? 定理5.4推论: 任何合同的对称矩阵,具有相同的 ? ? I r ? p ? 规范形 ? ? 0 ? ?

?Ip ? ? ? ?

? ? 0? ?

?Ir? p

? Ip ? C T AC ? ? 0 ?0 ?

定理5.5

A为任意对称矩阵,如果
0 ?Ir? p 0 0? ? Iq ? 及QT AQ ? ? 0 0? ? ?0 0? ? ?

则:p=q

0 ? I r ?q 0

即:合同的对称矩阵具有相同的正惯性指标和秩.
B ,则B也是正定矩阵.
? d1 ? ? ? d ? ? 2 D?? ? 为正定矩阵 ? ? ? ? ? d ? di ? 0 n? ?

0? ? 0 ? C ? Q, C ? 0, Q ? 0, 0? ?

定理5.6 设A为正定矩阵,如果 A 定理5.7 对角阵

(i ? 1,2,?, n)

C, 使: A ? CT C 定理5.8 矩阵A为正定阵 ? 存在可逆阵
定理5.9 矩阵A为正定阵

? A的所有顺序主子式Ak ? 0 (k ? 1,2,?, n) 定理5.10 对称阵A为正定阵 ? A的特征值全大于 0

THANK S


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