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专题六 第3讲 圆锥曲线中的热点问题


第3讲
考情解读

圆锥曲线中的热点问题

1.本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物

线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.2.求轨迹 方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一般用直 接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中.

1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ>0,则直线与 椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by +c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线相切;当 Δ<0 时,直 线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by +c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2.有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以 简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 1+k2|x2 -x1|或|P1P2|= 1 1+ 2|y2-y1|. k

(2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3.弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. 4.轨迹方程问题

(1)求轨迹方程的基本步骤: ①建立适当的平面直角坐标系,设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法). ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系. ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化. ④化简整理方程——简化. ⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性. (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:将几何关系直接翻译成代数方程; ②定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程; ③代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系; ④交轨法:写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹; (3)注意①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形, 而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后,验证时常用途径:化简是否同解变形,是否 满足题意,验证特殊点是否成立等.

热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题 例 1 x2 y2 (2013· 浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) a b

的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且 互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另 一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点,圆 C2 的直径等于椭圆长轴长;(2)设直线 l1 的斜率为 k,将 △ABD 的面积表示为关于 k 的函数.
? ?b=1, 解 (1)由题意得? ?a=2. ?

x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4,

故点 O 到直线 l1 的距离 d= 1 , k +1
2

所以|AB|=2 4-d2=2

4k2+3 . k2+1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
?x+ky+k=0, ? 由? 2 2 ?x +4y =4. ?

消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8k 故 x0=- . 4+k2 8 k2+1 所以|PD|= . 4+k2 设△ABD 的面积为 S, 8 4k2+3 1 则 S= |AB|· |PD|= , 2 4+k2 所以 S= ≤ 13 4k2+3+ 2 4k2+3 10 时取等号. 2 10 x-1. 2 32 16 13 = , 13 13 4k2+3· 2 4k +3 32

当且仅当 k=±

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

思维升华 求最值及参数范围的方法有两种:①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一 个关于参数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;② 由题目条件和结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域. 1 已知椭圆 C 的左,右焦点分别为 F1,F2,椭圆的离心率为 ,且椭圆经过点 P(1, 2 3 ). 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; → → (2)线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦,且PF2=λF2Q,求△PF1Q 内切圆面积最大时实数 λ 的值. 3 ? ?2 c 1 3 1 2 解 (1)e= = ,P(1, )满足 2+ 2 =1, a 2 2 a b 又 a2=b2+c2,∵a2=4,b2=3, x2 y2 ∴椭圆标准方程为 + =1. 4 3

(2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合, 当直线 PQ 与 x 轴垂直时,|PQ|=3,|F1F2|=2, S ?PF1Q =3; 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线 PQ:y=k(x-1),k≠0 代入椭圆 C 的标准方程, 整理,得(3+4k2)y2+6ky-9k2=0, -3k+6 k2+k4 -3k-6 k2+k4 则 y1= ,y2= , 3+4k2 3+4k2 1 S ?PF1Q = ×|F1F2|×|y1-y2|=12 2 t-3 令 t=3+4k2,∴t>3,k2= , 4 ∴S ?PF1Q =3 1 1 ∵0< < , t 3 ∴S ?PF1Q ∈(0,3), ∴当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S△PF1Q 最大,且最大面积为 3. 设△PF1Q 内切圆半径为 r, 1 则 S ?PF1Q = (|PF1|+|QF1|+|PQ|)· r=4r≤3. 2 3 即 rmax= ,此时直线 PQ 与 x 轴垂直,△PF1Q 内切圆面积最大, 4 → → ∴PF2=F2Q,∴λ=1. 热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例2 (2013· 陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. 1 1 4 -3? + ?2+ , t 3 3 k2+k4 , ?3+4k2?2

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点. 思维启迪 (1)设动圆圆心坐标,利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解;(2) 设直线方程 y=kx+b,将其和轨迹 C 的方程联立,再设两个交点坐标,由题意知直线 BP 和 BQ 的斜率互为相反数,推出 k 和 b 的关系,最后证明直线过定点. (1)解 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, ∴|O1M|= x2+42, 又|O1A|= ?x-4?2+y2, ∴ ?x-4?2+y2= x2+42,

化简得 y2=8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 如图由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中 Δ=-32kb+64>0. ?8-2bk?± -32kb+64 得 x1,2= , 2k2 8-2bk 则 x1+x2= ,① k2 b2 x1x2= 2,② k ∵x 轴是∠PBQ 的角平分线, ∴ y1 y2 =- , x1+1 x2+1

即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③ 将①②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). 思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解 决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0, y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). 1 已知椭圆 C 的中点在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是 2 抛物线 x2=8 3y 的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点 A、B 是椭圆上不同的两个动点,且满足∠APQ= ∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

x2 y2 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b c 1 则 b=2 3.由 = ,a2=c2+b2,得 a=4, a 2 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 (2)当∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0, 设直线 PA 的斜率为 k, 则 PB 的斜率为-k,PA 的直线方程为 y-3=k(x-2), y-3=k?x-2?, ? ? 2 2 由? x 整理得 y ?16+12=1, ? (3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0, 8?2k-3?k x1+2= , 3+4k2 同理 PB 的直线方程为 y-3=-k(x-2), -8k?-2k-3? 8k?2k+3? 可得 x2+2= = . 3+4k2 3+4k2 16k2-12 -48k ∴x1+x2= ,x1-x2= , 3+4k2 3+4k2 kAB= = y1-y2 k?x1-2?+3+k?x2-2?-3 = x1-x2 x1-x2

k?x1+x2?-4k 1 = , 2 x1-x2

1 ∴直线 AB 的斜率为定值 . 2 热点三 圆锥曲线中的探索性问题 例3 已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从每

条曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中: x y (1)求 C1,C2 的标准方程; → (2)是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F;②与 C1 交于不同的两点 M,N,且满足OM → ⊥ON?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知,C2 的方程易求,确定其上两点,剩余两点,利用 待定系数法求 C1 方程. 3 -2 3 -2 0 4 -4 2 2 2

(2) 联立方程,转化已知条件进行求解. 解 (1)设抛物线 C2:y2=2px(p≠0), y2 则有 =2p(x≠0), x 据此验证四个点知(3,-2 3),(4,-4)在 C2 上, 易求得 C2 的标准方程为 y2=4x. x2 y2 设椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0), a b

把点(-2,0),(

?a =1 2 2, )代入得? 2 2 1 ?a +2b =1
2 2 2

4



?a2=4 ? x2 解得? 2 ,所以 C1 的标准方程为 +y2=1. 4 ? ?b =1

(2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1), 与 C1 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2). x ? ? 4 +y2=1 由? ?y=k?x-1? ? 消去 y 并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0, 8k2± 64k4-16?1+4k2??k2-1? 于是 x1,2= , 2?1+4k2? 8k2 则 x1+x2= ,① 1+4k2 4?k2-1? x1x2= .② 1+4k2 所以 y1y2=k2(x1-1)(x2-1) =k2[x1x2-(x1+x2)+1] 4k2-1 8k2 3k2 =k2[ - + 1] =- .③ 1+4k2 1+4k2 1+4k2 → → → → 由OM⊥ON,即OM· ON=0,得 x1x2+y1y2=0.(*) 4?k2-1? k2-4 3k2 将②③代入(*)式,得 =0, 2 - 2= 1+4k 1+4k 1+4k2 解得 k=± 2,所以存在直线 l 满足条件, 且直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+y-2=0. 思维升华 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型.解决问题
2

的一般策略是先假设结论成立,然后进行演绎推理或导出矛盾,即可否定假设或推出合理结 论,验证后肯定结论,对于“存在”或“不存在”的问题,直接用条件证明或采用反证法证 明.解答时,不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识,还 要具备较强的审题能力、 逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力. 错误!未找到引用源。 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右 焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. x2 y2 解 方法一 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且可知其左焦点为 F′(- a b 2,0).
? ? ?c=2, ?c=2, 从而有? 解得? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?a=4. ? ?

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2

?y=2x+t, 由? x y ?16+12=1,
2 2

3

得 3x2+3tx+t2-12=0.

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点,所以 Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4,得 |t| =4,解得 t=± 2 13.由于± 2 13?[-4 3, 9 +1 4

4 3], 所以符合题意的直线 l 不存在. x2 y2 方法二 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 4 9 ? ?a2+b2=1, 且有? 解得 b2=12,b2=-3(舍去). ? ?a2-b2=4. x2 y2 从而 a2=16.所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 (2)同方法一.

1.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再 求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关 系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 2.定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先通过 特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值能达到事 半功倍的效果. 3.探索性问题的解法 探索是否存在的问题,一般是先假设存在,然后寻找理由去确定结论,如果真的存在,则可 以得出相应存在的结论;若不存在,则会由条件得出矛盾,再下结论不存在即可.

错误!未找到引用源。真题感悟 (2014· 北京)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与 圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 解 (1)由题意,得椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0.

→ → 因为 OA⊥OB,所以OA· OB=0, 2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t=± 2, 2 故直线 AB 的方程为 x=± 2, 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2. 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t). x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= |2x0-ty0| ?y0-2?2+?x0-t?2 .

2y0 2 又 x2 , 0+2y0=4,t=- x0

故 d=

?2x0+2y0? x0 ? ?
2 x0 +y2 0+

2

4y2 0 +4 x2 0



= 2. 2 x4 0+8x0+16 2 2x0

?4+x0? ? x0 ?

2

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. 押题精练 x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左、右焦点分别是 F1、F2,过点 F1 的直线 a b 2 l 交椭圆 C 于 E、G 两点,且△EGF2 的周长为 4 2. (1)求椭圆 C 的方程; → → → (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、 B, 设 P 为椭圆上一点, 且满足OA+OB=tOP → → 2 5 (O 为坐标原点),当|PA-PB|< 时,求实数 t 的取值范围. 3 c 2 解 (1)由题意知椭圆的离心率 e= = , a 2
2 2 c2 a -b 1 ∴e2= 2= 2 = ,即 a2=2b2. a a 2

又△EGF2 的周长为 4 2,即 4a=4 2, ∴a2=2,b2=1. x2 ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,即 t≠0.

设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), y=k?x-2?, ? ?2 由?x 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. 2 ? 2 +y =1, ? 1 由 Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得 k2< . 2 8k2± 64k4-4?2k2+1??8k2-2? ∴x1,2= , 2?1+2k2? ∴x1+x2= 8k2-2 8k2 , 2,x1x2= 1+2k 1+2k2

→ → → ∵OA+OB=tOP, ∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y), x1+x2 8k2 x= = , t t?1+2k2? y1+y2 1 -4k y= = [k(x1+x2)-4k]= . t t t?1+2k2? ?-4k?2 ?8k2?2 ∵点 P 在椭圆 C 上,∴ =2, 2 2+2 [t?1+2k ?] [t?1+2k2?]2 ∴16k2=t2(1+2k2). 2 5 → → 2 5 ∵|PA-PB|< ,∴ 1+k2|x1-x2|< , 3 3 20 ∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]< , 9 8k2-2 20 64k4 ∴(1+k2)[ - 4· ]< , ?1+2k2?2 1+2k2 9 1 1 1 ∴(4k2-1)(14k2+13)>0,∴k2> .∴ <k2< . 4 4 2 16k2 8 ∵16k2=t2(1+2k2),∴t2= =8- , 1+2k2 1+2k2 3 8 8 又 <1+2k2<2,∴ <t2=8- <4, 2 3 1+2k2 2 6 2 6 ∴-2<t<- 或 <t<2, 3 3 2 6 2 6 ∴实数 t 的取值范围为(-2,- )∪( ,2). 3 3

(推荐时间:50 分钟)

一、选择题 x2 y2 1. 已知点 M 与双曲线 - =1 的左、 右焦点的距离之比为 2∶3, 则点 M 的轨迹方程为( 16 9 A.x2-y2+26x+25=0 B.x2+y2+16x+81=0 C.x2+y2+26x+25=0 D.x2+y2+16x-81=0 答案 C 解析 设点 M(x,y),F1(-5,0),F2(5,0), |MF1| 2 则由题意得 = , |MF2| 3 ?x+5?2+y2 4 将坐标代入,得 = , ?x-5?2+y2 9 化简,得 x2+y2+26x+25=0. 2.已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两点, 若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为( A. C. 5 3 2 3 2 B. 3 1 D. 3 ) )

答案 A 解析 由题意可知,∠F1PF2 是直角,且 tan∠PF1F2=2, ∴ |PF2| =2,又|PF1|+|PF2|=2a, |PF1| 2a 4a ,|PF2|= . 3 3

∴|PF1|=

2a?2 ?4a?2 2 根据勾股定理得? ? 3 ? +? 3 ? =(2c) , c 5 所以离心率 e= = . a 3 y2 x2 4 5 3.已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为 ,点 P a b 5 是抛物线 y2=8x 上的一动点, P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0, c)的距离与到直线 x=-2 的距离 之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( y x A. - =1 2 3 y2 C. -x2=1 4 答案 C
2 2

)

x B.y2- =1 4 y2 x2 D. - =1 3 2

2

解析 由题意得,抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0), y2 x2 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0, a b y2 x2 4 5 ∵抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为 , a b 5 ∴ 2a 4 5 2 2= 5 , a +b

∴a=2b. ∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3, ∴|FF1|=3,∴c2+4=9,∴c= 5, ∵c2=a2+b2,a=2b,∴a=2,b=1. y2 ∴双曲线的方程为 -x2=1,故选 C. 4 x2 y2 → → 4. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则OP· FP 4 3 的最大值为( )

A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C 解析 设 P(x0,y0),则
2 x2 y0 3x2 0 0 2 + =1,即 y0 =3- , 4 3 4

又因为 F(-1,0), 1 2 → → 所以OP· FP=x0· (x0+1)+y2 0= x0+x0+3 4 1 = (x0+2)2+2, 4 → → 又 x0∈[-2,2],即OP· FP∈[2,6], → → 所以(OP· FP)max=6. 5.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,|FM|为半 径的圆和抛物线的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) 答案 C 解析 依题意得 F(0,2),准线方程为 y=-2, 又∵以 F 为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交,且|FM|=|y0+2|, ∴|FM|>4,即|y0+2|>4, B.[0,2] D.[2,+∞) )

又 y0≥0,∴y0>2. x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在 a b 点 P 满足 a c = ,则该双曲线的离心率的取值范围为( sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 B.(1, 3) D.( 2+1,+∞) )

A.(1, 2+1) C.( 3,+∞) 答案 A

|PF2| |PF1| 解析 根据正弦定理得 = , sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 a c 所以由 = sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 a c 可得 = , |PF2| |PF1| 即 |PF1| c = =e, |PF2| a

所以|PF1|=e|PF2|. 因为 e>1,所以|PF1|>|PF2|, 点 P 在双曲线的右支上. 又|PF1|-|PF2|=e|PF2|-|PF2| =|PF2|(e-1)=2a, 解得|PF2|= 2a , e-1

因为|PF2|>c-a, 2a 2 所以 >c-a,即 >e-1, e-1 e-1 即(e-1)2<2,解得 1- 2<e< 2+1. 又 e>1,所以 e∈(1, 2+1),故选 A. 二、填空题 x2 y2 7.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m 答案 m≥1 且 m≠5 x2 y2 解析 ∵方程 + =1 表示椭圆, 5 m ∴m>0 且 m≠5. ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有:

02 12 + ≤1,m≥1, 5 m ∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5. 8.在直线 y=-2 上任取一点 Q,过 Q 作抛物线 x2=4y 的切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 恒过定点________. 答案 (0,2) 1 1 解析 设 Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为 y= x2,则 y′= x,则在点 A 4 2 1 1 处的切线方程为 y-y1= x1(x-x1),化简得,y= x1x-y1,同理,在点 B 处的切线方程为 y 2 2 1 1 1 = x2x-y2.又点 Q(t,-2)的坐标满足这两个方程,代入得:-2= x1t-y1,-2= x2t-y2, 2 2 2 1 1 则说明 A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2= xt-y,即直线 AB 的方程为:y-2= tx,因此 2 2 直线 AB 恒过定点(0,2). x2 y2 9.(2014· 辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称 9 4 点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. 答案 12 x2 y2 解析 椭圆 + =1 中,a=3. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D, 则|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|, |AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 10.(2013· 安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得 ∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 答案 [1,+∞) 解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2+(y-a)2=a,
2 ? ?y=x ? 由 2 2 ?x +?y-a? =a, ?

得 y2+(1-2a)y+a2-a=0. 即(y-a)[y-(a-1)]=0,
?a>0, ? 由已知? 解得 a≥1. ?a-1≥0, ?

三、解答题 11.已知点 A、B 的坐标分别是(0,-1)、(0,1),直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率 1 之积为- . 2 (1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F,试求△OEF 面积的取值范 围.(O 为坐标原点) 解 (1)设点 M 的坐标为(x,y), 1 ∵kAM· kBM=- . 2 ∴ y+1 y-1 1 · =- . x x 2

x2 整理,得 +y2=1(x≠0), 2 x2 即 M 的轨迹方程为 +y2=1. 2 (2)由题意知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y=kx+2,① 错误!未找到引用源。 x2 将①代入 +y2=1 得: 2 (2k2+1)x2+8kx+6=0, 3 由 Δ>0,解得 k2> . 2 -4k- 4k -6 ? ?x = 2k +1 , 设 E(x ,y ),F(x ,y ),则? -4k+ 4k -6 x= , ? ? 2k +1
2 2 2 1 1 2 2 2 1 2

则|x1-x2|=

2 4k2-6 . 2k2+1

1 1 1 1 S△OEF=S△OED-S△OFD= OD· |x1|- OD· |x2|= OD· |x1-x2|= ×2· |x1-x2|=|x1-x2| 2 2 2 2 3 16?k2- ? 2 . ?2k2+1?2



3 3 令 k2- =t(t>0),所以 k2=t+ (t>0), 2 2 所以 S△OEF=|x1-x2|= 16t = ?2t+4?2 4t ?t+2?2

=2

t =2 t +4t+4
2

1 ≤2 4 t+ +4 t 2 ]. 2

1 2 = , 2 4+4

故△EOF 面积的取值范围是(0,

x2 y2 3 12.如图,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆 C a b 2 的左顶点 T 为圆心作圆 T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆 T 与椭圆 C 交 于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)求TM· TN的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐标原点,求证:|OR|· |OS|为定值. c 3 (1)解 依题意,得 a=2,e= = , a 2 所以 c= 3,b= a2-c2=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)解 点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1), N(x1,-y1),不妨设 y1>0. x2 1 2 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 =1- .(*) 4 由已知得 T(-2,0), → → 则TM=(x1+2,y1),TN=(x1+2,-y1), → → 所以TM· TN=(x1+2)2-y2 1 x2 5 1 =(x1+2)2-(1- )= x2 +4x1+3 4 4 1 5 8 1 = (x1+ )2- . 4 5 5 8 1 → → 由于-2<x1<2,故当 x1=- 时,TM· TN取得最小值为- . 5 5 8 把 x1=- 代入(*)式,得. 5 3 8 3 y1= ,故 M(- , ), 5 5 5 13 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r2= . 25 13 故圆 T 的方程为:(x+2)2+y2= . 25

(3)证明 设 P(x0,y0),则直线 MP 的方程为: y0-y1 y-y0= (x-x0), x0-x1 x1y0-x0y1 x1y0+x0y1 令 y=0,得 xR= ,同理:xS= , y0-y1 y0+y1
2 2 2 x2 1y0-x0y1 故 xR· xS= 2 2 ,(**) y0-y1

又点 M 与点 P 在椭圆上,
2 2 2 故 x2 0=4(1-y0),x1=4(1-y1), 2 2 2 2 2 4?1-y2 1?y0-4?1-y0?y1 4?y0-y1? 代入(**)式,得 xR· xS= = 2 2 =4. 2 y2 y0-y1 0-y1

所以|OR|· |OS|=|xR|· |xS|=|xR· xS|=4 为定值.


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