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1、导数及其应用单元测试

导数及其应用
一、选择题 1、函数 f ? x ? ? a ln x ? x 在 x ? 1 处取到极值,则 a 的值为 A. ( D. ? )

1 2
2

B. ? 1

C. 0

1 2
)

2、若函数 f ( x ) ? x ? b x ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x ) 的图象是(

3、已知函数 f ( x ) ? ? x A. ( ?? , ?

3

? ax

2

? x ? 1 在 ( ?? , ?? ) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是(
3, 3]
C. ( ?? , ?

)

3 ] ? [ 3 , ?? )

B. [ ?

3 ) ? ( 3 , ?? )
)

D. ( ?

3,

3)

4、对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x ) ? 0 ,则必有( A. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) C. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) B. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) D. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1)

y

5、函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) ,导函数 f ? ( x ) 在

y ? f ?(x)

b

( a , b ) 内的图象如图所示,则函数 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内有极小值点(
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 )

)

a

O

x

6、函数 y ? x ? 2 c os x 在 [0 , A. 0 7、 f ( x ) ? x A.( ? ? ,?
3

? 2

] 上取最大值时, x 的值为(
π 3

B.

π 6

C.
2

D.

π 2

? x

? x 的单调减区间是(

)

1 3

)

B. (1, ? )

C.( ? ? ,?

1 3

) , (1, ? )

D. ( ?

1 3

,1 )

8、函数 f ( x ) ? ? A. f ( a ) ? f ( b )

x e
x

( a ? b ? 1) ,则(

) D. f ( a ), f ( b ) 大小关系不能确定

B. f ( a ) ? f ( b )

C . f ( a ) ? f (b )

9、 f ( x ), g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ? ( x ) ? 0 ,且

第 1 页 共 6 页

f ( ? 2 ) ? 0 , 则不等式
A. ( ? 2, 0 ) ? ( 2, ? ? )

f ( x ) g ( x ) ? 0 的解集为 (
B. ( ? 2 , 0 ) ? ( 0, 2 )

)

C. ( ? ? , ? 2 ) ? ( 2 , ? ? ) CY D. ( ? ? , ? 2 ) ? ( 0, 2 ) 二、填空题 10、 若函数 f

( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________
3

2

11、设 f ( x ) ? x ? 为 .

1 2

x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [ ? 1, 2 ] 时, f ( x ) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围
2

12、对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x ) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则
n

? an ? 数列 ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?
三、解答题 13、已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c 在 x ? ?
3 2

2 3

与 x ? 1 时都取得极值

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [ ? 1, 2 ] ,不等式 f ( x ) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
2

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14、(12 分)已知 f ( x ) ? lo g 3

x ? ax ? b
2

, x ? (0, ? ? ) ,是否存在实数 a、 b ,使 f ( x ) 同时满足下

x

列两个条件:(1) f ( x ) 在 (0 ,1) 上是减函数,在 ?1, ? ? ? 上是增函数;(2) f ( x ) 的最小值是 1 .若存在,求出

a、 b ,若不存在,说明理由.

第 2 页 共 6 页

15、(12 分) 某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已 知 A B ? B C , O A // B C , A B ? B C ? 2 O A = 4 km ,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛物 线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB , BC 上,且一个顶点落在曲线段

OC 上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面
积(精确到 0 . 1 km ).
2

16、(14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ? (1)判断 f ( x ) 在定义域上的单调性;

a x

(a ? R ) .

(2)若 f ( x ) 在 [1, e ] 上的最小值为 2,求 a 的值.

第 3 页 共 6 页

导数及其应用参考答案
1.B f '( x ) ?

a x

? 1 , f '(1) ? 0 ? a ? 1 ? 0 ,∴ a ? ? 1 .
b 2 ? 0 , b ? 0 , f ( x ) ? 2 x ? b ,直线过第一、三、四象限
'
2 2

2.A

对称轴 ?
'

3.B

f ( x ) ? ? 3 x ? 2 a x ? 1 ? 0 在 ( ?? , ?? ) 恒成立, ? ? 4 a ? 1 2 ? 0 ? ? 3 ? a ?
' '

3

4.D

当 x ? 1 时 , f ( x ) ? 0 , 函 数 f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上 是 增 函 数 ; 当 x ? 1 时 , f ( x ) ? 0 , f ( x ) 在

( ? ? ,1) 上 是 减 函 数 , 故 f ( x ) 当 x ? 1 时 取 得 最 小 值 , 即 有 f ( 0 ) f ( 1 )f , ? f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1)

? 2 )f (

得( 1 ) ,

5.D 极小值点应有先减后增的特点,即 f ?( x ) ? 0 ? f ?( x ) ? 0 ? f ?( x ) ? 0 ,合条件的只有 1 点. 6.B y ? ? 1 ? 2 sin x ,解 y ? ? 0 得 0 ? x ?

?
6 ,

解 y? ? 0 得

?
6

? x ?

?
2

7.D

1 1 2 2 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 x ? 1 解 3 x ? 2 x ? 1 ? 0 得 ? ? x ? 1 所以单调区间是 ( ? ,1 ) , , 3 3

8.C

f ?( x ) ? ?

e ? xe
x

x

(e )

x

2

? ?

x ?1 e
x

,

当 x ? 1 时 f ? ( x ) ? 0 即 f ( x ) 在区间 ( ?? , 0 ) 上单调递减, 又 , ,

? a ? b ? 1,? f ( a ) ? f ( b )
9.A 记 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ), ? f ? ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? g ? ( x ) ? F ? ( x ) 易知 F ( x ) 在 R 上为奇函数, , 且 x ? 0 时 , F ( x) 单 调 递 减 , 结 合 图 像 , 易 得 F ( x) ? 0 , 即 f ( x) ? g ( x) ? 0 的 解 集 为

(? 2 , 0 ) ?
'

(?2? ,
2

)
2 ' 2

10. 6

f ( x ) ? 3 x ? 4 cx ? c , f ( 2 ) ? c ? 8 c ? 1 2 ? 0, c ? 2, 或 6 , c ? 2 时取极小值

11. ( 7 , ? ? ) 当 x ? [ ? 1, 2 ] 时,用导数法可得 f ( x ) m a x ? 7 ,∴ m ? 7 . 12. 2
n ?1

?2

y?

x?2

? ?2

n ?1

(n ? 2 ,切线方程为 y ? 2 ? ? 2 )
n

n ?1

( n ? 2 )( x ? 2 ) ,

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y 0 ? ? n ? 1 ? 2 ,所以
n

? a ? n ? 2 ,则数列 ? n ? 的前 n 项 n ?1 ? n ? 1?

an

和Sn ?

2 ?1 ? 2 1? 2

n

?
3

? 2

n ?1

?2

13.解:(1) f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c , f ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? b
2 ' 2

第 4 页 共 6 页

由 f (?
'
'

2 3

)?
2

12 9

?

4 3

a ? b ? 0 , f (1) ? 3 ? 2 a ? b ? 0 得 a ? ?
'

1 2

, b ? ?2

f ( x ) ? 3 x ? x ? 2 ? (3 x ? 2 )( x ? 1) ,函数 f ( x ) 的单调区间如下表:

x

(?? , ?
'

2 3

)

?
0

2 3

(?

2 3

,1)

1
0
极小值

(1, ? ? )

f (x)
f (x)

?

?
?
2 3

?

?

极大值

?
2 3 22 27
2

所以函数 f ( x ) 的递增区间是 ( ? ? , ? (2) f ( x ) ? x ?
3

) 与 (1, ? ? ) ,递减区间是 ( ? 2 3
时, f ( ?

,1) ; ?c

1 2

x ? 2 x ? c , x ? [ ? 1, 2 ] ,当 x ? ?
2

2 3

)?

为极大值,而 f ( 2 ) ? 2 ? c ,则 f ( 2 ) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x ) ? c , x ? [ ? 1, 2 ] 恒成立, 则只需要 c ? f ( 2 ) ? 2 ? c ,得 c ? ? 1, 或 c ? 2
2

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∴ c 的取值范围是 ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? ) .

14.解:设 g ( x ) ?

x ? ax ? b
2

,∵ f ( x ) 在 (0 ,1) 上是减函数,在 [1, ? ? ) 上是增函数,

x
∴ g ( x ) 在 (0 ,1) 上是减函数,在 [1, ? ? ) 上是增函数,

∴?

? g ' (1) ? 0

?b ? 1 ? 0 ?a ? 1 ,∴ ? ,解得 ? 经检验, a ? 1, b ? 1 时, f ( x ) 满足题设的两个条件. ?a ? b ? 1 ? 3 ? g (1) ? 3 ?b ? 1

15.解:以 O 为原点, OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 则抛物线方程令为 y
2 2

? 2 px ( p ? 0 ) .而 C ( 4 , 2 ) ,代入则有 y
3

2

? x (0 ? x ? 4, y ? 0 ) .
2 3
.

令 P ( t , t )( 0 ? t ? 2 ) ,易求工业区面积 S ? ? t 当 t ? (0,

? 2t

2

? 4 t ? 8 .求导解 S ? ? 0 得 t ?

2 3

) 时, S ? ? 0 , S 是 t 的增函数;当 t ? (

2 3

, 2 ) 时, S ? ? 0 , S 是 t 的减函数.
32
8

所以当 t ?

2 3

时, S 取得最大值,且 S max ? 9 . 5 ( km ) .所以,把工业园区规划成长为
2

km

9

km

,宽为 3

的矩

形时,工业园区的用地面积最大,最大的用地面积约为 9 .5k m . 16.解:(1)由题意得 f ( x ) 的定义域为 (0 , ? ? ) , f ? ( x ) ?

2

1 x

?

a x
2

?

x?a x
2

.

①当 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上为增函数; 第 5 页 共 6 页

②当 a ? 0 时,由 f '( x ) ? 0 得 x ? ? a ;由 f '( x ) ? 0 得 x ? ? a ;由 f '( x ) ? 0 得 x ? ? a ; ∴ f ( x ) 在 (0, ? a ] 上为减函数;在 ( ? a , ? ? ) 上为增函数. 所 以 , 当 a ? 0 时 , f ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上 是 增 函 数 ; 当 a ? 0 时 , f ( x ) 在 (0, ? a ] 上 是 减 函 数 , 在

( ? a , ? ? ) 上是增函数.
(2)∵ f ? ( x ) ?

x?a x
2

, x ? 0 .由(1)可知:

①当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上为增函数, f ( x ) m in ? f (1) ? ? a ? 2 ,得 a ? ? 2 ,矛盾! ②当 0 ? ? a ? 1 时,即 a ? ? 1 时, f ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上也是增函数,

f ( x ) m in ? f ? 1 ? ? ? a ? 2 ,∴ a ? ? 2 (舍去).
③当 1 ? ? a ? e 时,即 ? e ? a ? ? 1 时, f ( x ) 在 [1, ? a ] 上是减函数,在 ( ? a , e ] 上是增函数, ∴ f ( x ) m in ? f

??a ? ?

ln ( ? a ) ? 1 ? 2 ,得 a ? ? e (舍去).

④当 ? a ? e 时,即 a ? ? e 时, f ( x ) 在 [1, e ] 上是减函数,有 f ( x ) m in ? f ∴ a ? ?e . 综上可知: a ? ? e .

?e?

?1?

a e

? 2 ,

第 6 页 共 6 页


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