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高中数学第二章数列数列求和习题课课件新人教A版必修5


习题课:数列求和 学习目标 1.巩固等差、等比数列的求和 公式. 2.掌握数列求和的几种常用 方法,并能利用它们解决一些 数列求和问题. 思维脉络 (1 + ) (-1) 设等差数列{an}的公差是d,则 Sn= =na1+ d. 2 2 2.等比数列的前n项和公式 数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1; 1.等差数列{an}的前n项和 1 (1- ) 1 - 当 q ≠1 时,Sn= = . 1- 1- 探究一 探究二 探究三 探究一分组法求和 当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆 分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组法求和,即 原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和. 探究一 探究二 探究三 典型例题 1 求数列 1 ,3 ,5 ,…, (2-1) + 1 1 1 2 4 8 1 2 的前 n 项和. 1 思路分析 :此数列的通项公式为 an=2n-1+ ,而数列 {2n-1}为等 2 差数列 , 1 2 为等比数列 ,故采用分组法求和. 探究一 探究二 探究三 1 1 1 解 :Sn=1 +3 +5 +… + 2 4 8 (2-1) 1 + 2 =(1+3+5+… +2n-1)+ 1 1 1- 2 (1+2-1)· 2 = + 2 1- 1 2 1 1 1 1 + + + … + 2 4 8 2 =n2+1- . 1 2 探究一 探究二 探究三 规律总结 求数列的前n项和时,一般先求出通项公式,再根据通项公式的特点选择合适的 方法求解. 探究一 探究二 探究三 变式训练1 已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 探究一 探究二 探究三 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意得 d= 4 -1 3 = 12-3 =3. 3 所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为q, 由题意得 q3= 4 -4 1 -1 = 20-12 =8,解得 4-3 q=2. 所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 所以bn=2n-1+3n(n=1,2,…). (2)由(1)知bn=3n+2n-1, 所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=(3+6+9+…+3n)+(20+21+22+…+2n-1) (3+3) 1-2 = + 2 1-2 = 3(+1) n +2 -1. 2 探究一 探究二 探究三 探究二错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导 的. 用错位相减法求和时,应注意: 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确 写出“Sn-qSn”的表达式.若公比是参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下 分为等于1和不等于1两种情况分别求和. 探究一 探究二 探究三 典型例题2 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列. (1)求{an}的通项公式及Sn; (2)记 b

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