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8.1向量及其线性运算(1)


第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程(组) 坐标, 方程( 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标法;

第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系

第八章 八

四、利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、 五、向量的模、方向角、投影
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一、向量的概念
向量: 既有大小 又有方向 大小, 方向的量称为向量 又称矢量). 向量 既有大小 又有方向的量称为向量 (又称矢量 又称矢量 表示法: 表示法 有向线段 AB,

或 a ,或 a .

向量的大小, 记作AB 向量的模 : 向量的大小 记作 , 自由向量:与起点无关的向量 自由向量 与起点无关的向量. 与起点无关的向量 大小相等, 若向量 a 与 b大小相等 方向相同 大小相等 方向相同, 相等, 则称 a 与 b 相等 记作 a=b . =
A B

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单位向量: 单位向量 模为 1 的向量 记作 e 或e . 的向量, 的向量,记作 , 零向量: 零向量 模为 0 的向量 记作 0,或0 的模相同, 负向量, 与 a 的模相同 但方向相反的向量称为 a 的负向量 记作- 记作-a ; 方向相同或相反, 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行 记作 平行, a∥b ; ( a , b ) =0 方向相互垂直, 若向量 a 与 b 方向相互垂直 则称 a 与 b 垂直 记作 垂直, a

2 规定: 零向量与任何向量都平行(垂直) 规定 零向量与任何向量都平行(垂直)
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b ; (a, b) =

π

因平行向量可平移到同一直线上, 因平行向量可平移到同一直线上 故两向量平行又称 两向量共线 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量经平移可移到同一平面上 个向量共面 个向量共面 .

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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:

(a+b) +c

c
b+c b

b a+b

a+(b+c)
a +b+c

a 三角形法则: a+b a
运算规律 : 交换律

a+b

b

a

a+b =b+a 结合律 (a +b) +c = a +(b+c) = a+b+c

三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s = a +a2 +a3 +a4 +a5 1 a4 a3
a5

s
a2
a 1

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2. 向量的减法

a
三角不等式
r r a +b
r a

r b

r r a ?b

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3. 向量与数的乘法

λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a.
规定 :

λa = λ a 运算律 : 结合律 λ(?a) = ?(λ a) = λ ? a
总之: 分配律

可见 1a= a ?1a = ?a ;

λ(a+b) = λa +λb
向量的加法及数乘运算统称为向量的线性运算 向量的加法及数乘运算统称为向量的线性运算

则 单 向 ea = 有 位 量

1 a

a. 因此 a= a ea
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例1. 设 M 为 解:

ABCD 对角线的交点,

试 a与 表 M , M , M , M . 用 b 示 A B C D

C a+b =A
b?a =BD
M = 1 (a +b) C 2

= ?2M A = ?2M B
M = 1 (b?a) D 2

D
b

C

A B ∴ M = ?1 (a+b) M = ?1 (b?a) A 2 2

M a B

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定理1. 设 a 为非零向量 , 则 定理 a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 λ=± (λ 为唯一实数) , a , b 同向时取正号

反向时取负号, 则 b 与 λ a 同向, 且

=

=b

故b = λa.
再证数 λ 的唯一性 . 设又有 b=? a , 则 (λ ??)a = 0

故λ ?? = 0, 即 = ?. λ
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” 已知 b=λ a , 则 b=0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 定理1是建立数轴的理论依据 定理 是建立数轴的理论依据

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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.

z z 轴(竖轴)
yO 面 z

? 坐标原点 ? 坐标轴 ? 坐标面




Ⅱ Ⅰ

? 卦限(八个) Ⅶ

y OxO 面

y
y轴(纵轴) Ⅵ

x
x轴(横轴) Ⅷ Ⅴ
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在直角坐标系下

?→ ?→ 点 M ←? 有序数组 (x, y, z) ←? 向量 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 :
1??1

1??1

原点 O(0,0,0) ;

坐标轴上的点 P, Q , R ;

坐标面上的点 A , B , C

z
R(0,0, z)
C(x,0, z)

B(0, y, z)

r

M

O x P(x,0,0)

y
Q(0, y,0)

A x, y,0) (
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z
坐标轴 :

O

y

x
坐标面 :

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2. 向量的坐标表示

r r r 以i , j , k 分 表 x, y, z轴 的 位 量, 设点 M 别 示 上 单 向 z 的坐标为 M(x, y, z), 则 R(0,0, z) B(0, y, z)
C(x,0 z) ,

在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向量 OM 表示.

k

r
j

M
Q(0, y,0)

y

i

r = xi + y j + zk =(x, y, z)
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式 沿三个坐标轴方向的分向量 分向量, 分向量
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x

P(x,0,0)

A(x, y,0)

四、利用坐标作向量的线性运算
设 a= ( ax ,ay ,az), b=(bx ,by ,bz), λ 为 数 则 实 ,

a ±b =(ax ±bx , ay ±by , az ±bz )

λa = (λax ,λay ,λaz )
平行向量对应坐标成比例:

当a ≠ 0时 ,

bx =λax by = λay
bx by bz = = ax ay az

bz = λaz

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例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x ?3y = a

3x ?2y =b
其 a = 2, ) = ?11 ?2 . 中 ( 1 2,b ( , ) , ,
解: 2×① -3×② , 得



x = 2a ?3b = (7,?1,10)
代入②得 1 y = (3x ?b) = (11,?2,16) 2

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例3. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示

及实数 λ ≠ ?1,

AM= λ M B AM =O M?O A M =O O B B? M
O M?OA=λ(O O ) B? M
得 即

A
M B

o
A
B M
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A B O = 1 (O +λ O ) M 1+λ 1 (x +λx , y +λy , z +λz ) 2 1 2 1 2 1 λ 1 +
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1 (x +λx , y +λy , z +λz ) 2 1 2 1 2 1 λ 1 + A 得定比分点公式 定比分点公式: 定比分点公式 M x +λ x2 y +λ y2 1 1 , , B 1λ + 1λ + z1+λ z2 o 1λ + A 当 =1时 点 M 为 AB 的中点 ,于是得 λ ,
中点公式: 中点公式

说明: 说明 由

x +x2 1 , 2

y + y2 1 , 2

z1+z2 2
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B M

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向量的模、方向角、 五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式

r 则有 设r = (x, y, z), 作 M = r, O

R

z
M Q y N

P Q R r =O = O +O +O M N+ N M
由勾股定理得

r =O M
对两点 与 因

O P x = x2 + y2 + z2

得两点间的距离公式:

= (x2 ? x )2 +(y2 ? y1)2 +(z2 ? z1)2 1
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例4. 求证以 的三角形是等腰三角形 . 证:

为顶点

Q M M2 = (7?4)2 +(1?3)2+(2?1 2 = 14 ) 1 M2M3 = (5?7)2+(2?1 2 +(3?2)2 = 6 )
) M M3 = (5?4)2 +(2?3)2 +(3?1 2 = 6 1
∴ M2M3 = M M3 1
即 ?M M2M3 为等腰三角形 . 1

M 1 M2
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M3

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例5. 在 z 轴上求与两点 离的点 .



等距

解: 设该点为 M(0,0, z), 因 MA = MB, 为

(?4) +1 +(7? z) = 32 +52 +(?2? z)2
2

2

2

解得 思考: 思考

故所求点为 M(0,0,14) .
9

(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?

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提示: 提示 (1) 设动点为 M(x, y,0),利用 MA = MB, 得 且 (2) 设动点为 M(x, y, z), 利用 MA = MB, 得 例6. 已知两点 求AB的单位向量 e .

AB = 1 (3,1, ?2) 解: e = 14 AB 3 1 ?, (1) 如何求在 xOy ,面上与A 2B) 等距离之点的轨迹方程? =( , 14 14 14
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ π ) 为向量 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角α , β , γ 为其方向角 方向角. 方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦. 方向余弦 x x cosα = = 2 2 2 r x + y +z

a,b的夹角.

z
γ r O β α x
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y
结束

x x cosα = = 2 r x + y2 + z2 y y cos β = = 2 r x + y2 + z2
z z cosγ = = 2 r x + y2 + z2
方向余弦的性质:

z
r γ r O β α x

y

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例7. 已知两点



计算向量

的模 、方向余弦和方向角 . 解:

M M2 = ( 1?2, 3?2, 0? 2) 1

= (?1, 1, ? 2)
(?1 2 +12 +(? 2)2 = 2 )

2π , 3

1 cos β = , 2 π , 3

2 cosγ = ? 2 3π 4
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例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 π , π , 且 OA = 6,求点 A 的坐标 . 3 4 π π 解: 已知 α = , β = , 则 3 4 1 2 2 2 cos γ =1?cos α ?cos β = 4 1 因点 A 在第一卦限 , 故 cosγ = , 于是 2 O = OA eOA = 6( cosα, cos β , cosγ ) A

1 2 1 = 6( , , ) = (3,3 2,3) 2 2 2 故点 A 的坐标为 (3,3 2,3 . )
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3. 向量在轴上的投影 设 a 与 u 轴正向的夹角为? , 则 a 在轴 u 上的投影为 a cos?

M

? a
O
M
M′

M′

u

记 Prju a 或(a)u , 即 作

?
O

(a)u = a cos?

u

例如, a= (ax,ay,az)在坐标轴上的投影分别为 ax,ay,az 投影的性质 1) 2) (λ为实数)
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例9. 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且

O = a, 求OA 在 OM 方向上的投影. A
解: 如图所示, 记 ∠MOA = ? ,

M

O A 1 cos? = = 3 O M

?
O a A

a ∴ Prj OM O = O cos? = A A 3

作业

P12

5, 12, 13, 15
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备用题
1. 设 m=3i +5 j +8k , n = 2i ?4 j ?7k , p =5 i + j ?4k 求向量 a = 4m+3n? p 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分 向量. 解: 因

a = 4m+3n? p

故在 x 轴上的投影为 ax=13 在 y 轴上的分向量为 ay j =7 j
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2. 设 m=i + j, n = ?2j +k, 求以向量 m, n 为边的平 行四边形的对角线的长度 . 解: 对角线的长为

| m?n|

Q m+n = (1, ?1,1) m?n =(1,3, ?1)
∴ | m+n = 3

n
m

| m?n = 11
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11

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