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2013高考数学(文)二轮复习课件(解析版):专题2 三角函数、平面向量与解三角形(湖南省专用)_图文

专题二

三角函数、平面向量 与解三角形

第6讲 第7讲 第8讲

三角恒等变换与三角函数 解三角形? 平面向量及其应用

专题二

三角函数、平面向量与解三 角形

第6讲

三角恒等变换与三角函数

第6讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 考点 1 三角函数的化简 与求值 考点 2 三角函数的周期 性与对称性 考点 3 三角函数的值域 与单调性 考点 4 函数 y=Asin(ωx +φ)的图象与性质

题型(频率) 选择(1) 解答(1) 解答(1) 解答(2) 解答(1)

考例(难度) 2010 湖南 16(A); 2011 湖南 7(B) 2010 湖南 16(A) 2011 湖南 17(A); 2012 湖南 18(A) 2012 湖南 18(A)

说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第6讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度: 三角恒等变换与三角函数是高考考查的重点内容 之一, 从近几年的新课标高考命题分析, 该部分的命题主要围绕 以下三个点展开: 第一点是围绕三角恒等变换展开, 考查使用三 角函数的和、差公式,倍角公式,诱导公式,同角三角函数关系 等公式进行变换求值等问题, 试题难度不大; 第二点是围绕三角 函数的图像展开, 考查根据三角函数图像求函数解析式、 根据函 数解析式判断函数图像、 三角函数图像与性质的综合等问题; 第 三点是围绕三角函数性质展开, 考查根据三角函数解析式研究函 数性质,根据三角函数性质推断函数解析式中的参数等问题. 预计 2013 年的考查会延续近几年的命题方向,主要考查简 单的三角恒等变换、三角函数的图像与性质的应用.

第6讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
复习建议:1.三角恒等变换:三角恒等变换是解决三角函数 问题的基础, 其中对公式的理解与灵活运用是复习的重点, 包括 正用、逆用和变形用,求值、化简、恒等变换等是高考中的基本 题型. 2.三角函数:三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图像和性质是高 考命题的主要知识点, 试题的考查形式大致有两种: 一种是由函 数的图像求解析式; 一种是根据函数的解析式确定函数的相关性 质,考查数形结合思想方法.

第6讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第6讲 │ 主干知识整合
1.三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y), y 则 sinα=y, cosα=x, tanα=x.各象限角的三角函数值的符号: 一全正, 二正弦,三正切,四余弦. sinα 2 2 (2)同角关系:sin α+cos α=1, =tanα. cosα (3)诱导公式:在 360° α,180° α,-α,90° α,270° α 的诱导公 ± ± ± ± 式中,“奇变偶不变,符号看象限”. 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (1)图象的记忆:根据正弦函数图象过(0,0)、余弦函数图象过(0,1)、 正切函数图象过(0,0)及在各象限的符号记忆; (2)性质的记忆:由正弦函数、余弦函数、正切函数的图象理解各 函数的性质,包括:定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性.

第6讲 │ 主干知识整合

3.y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是 Atan(ωx+φ)的最小正周期是 2π ,y= |ω| π .它们的定义域、值域、单调性等性质 |ω| 结合 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的性质理解.

第6讲 │ 主干知识整合

4.三角函数图象变换 平移变换 y=f(x)图象平移|k|个单位得 y=f(x)+k 上下平移 图象,k>0 向上平移,k<0 向下平移 y=f(x)图象平移|φ|个单位得 y=f(x+φ) 左右平移 图象,φ>0 向左平移,φ<0 向右平移 伸缩变换 y=f(x)图象各点把横坐标变为原来 ω ?1 ? x 轴方向 倍得 y=f?ωx?的图象 ? ?

第6讲 │ 主干知识整合

y 轴方向 对称变换

y=f(x)图象各点纵坐标变为原来的 A 倍得 y=Af(x)的图象

y=f(x)图象关于点(a,b)对称图象的解 中心对称 析式是 y=2b-f(2a-x) y=f(x)图象关于直线 x=a 对称图象的 轴对称 解析式是 y=f(2a-x)

第6讲 │ 主干知识整合

5.恒等变换公式 sin(α± β)=sinαcosβ± cosαsinβ, cos(α± β)=cosαcosβ?sinαsinβ, tanα± tanβ tan(α± β)= ,sin2α=2sinαcosα, 1?tanαtanβ cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

第6讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 三角函数的化简与求值 1 cos2α 例 1 若 tan(π-α)=- ,则 的值为( 3 sin2α+cos2α 8 8 8 8 A. B. C.- D. 3 5 7 15 探究点一

)

第6讲│ 要点热点探究

[思考流程] 方法 1: (分析)已知 tanα 值和关于 sin2α, cos2α 的分式结构式 ? (推理)用二倍角公式将目标式转化成关于 sinα,cosα 的二次齐次式,并分子,分母同除以 cosα,将目标 式转化成 tanα 的形式 ? (结论)把 tanα 值代入计算即可; 方法 2:(分析)已知 tanα 值和关于 sin2α,cos2α 的分式结 构式 ? (推理)用二倍角公式将目标式转化成关于 sinα, cosα 的 sinα 二次齐次式 ? (结论)根据 tanα= 和 tanα 的值,将 sinα 用 cosα cosα 代换后再代入计算求解.

第6讲│ 要点热点探究
[答案] D
三角函数的化简与求值 1 cos2α [ 解 析 ] 根 据 已 知 得 tanα = , = 3 sin2α+cos2α cos2α-sin2α . 2sinαcosα+cos2α 方法 1:将上式分子分母同时除以 cos2α,得原式= 1 1- 2 1-tan α 9 8 = = . 15 2tanα+1 2 +1 3 1 方法 2:变换 tanα= 为 cosα=3sinα,代入上式,得原 3 9sin2α-sin2α 8 式= = . 6sin2α+9sin2α 15

第6讲│ 要点热点探究

[规范评析] 三角函数的化简与求值问题基本的解题思路 是:一角二名三结构,即首先观察角与角之间的关系,注意角 的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心,其次看函 数名称之间的关系,通常“切化弦”,最后观察代数式的结构 特点.

第6讲│ 要点热点探究

变式题 (1)已知 的值为( ) 1 7 A.- B. 5 5

?π ? ? π? 1 α∈?2,π?, ?α+4 ?= , tan 那么 ? ? ? ? 7

sinα+cosα

7 C.- 5

3 D. 4

5 3 (2)设 α、β 都是锐角,且 cosα= ,sin(α+β)= ,则 cosβ 5 5 =( ) 2 5 2 5 A. B. 25 5 5 2 5 2 5 C. D. 或 5 5 25

第6讲│ 要点热点探究
π tanα+tan 4 1 π 1 3 [解析] (1)因为 tanα+ = , 所以 = , 解得 tanα=- . 4 7 π 7 4 1-tanαtan 4 3 π 2 2 2 2 由 sin α+cos α=1,得- cosα +cos α=1,因为 α∈ ,π,所以 cosα 4 2 4 3 1 =- ,sinα= .于是 sinα+cosα=- .故选 A. 5 5 5 2 5 4 (2)根据已知,得 sinα= ,cos(α+β)=± . 5 5 4 若 cos(α+β)= ,则 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α 5 4 5 3 2 5 2 5 4 +β)sinα= × + × = ;若 cos(α+β)=- ,则 cosβ=cos[(α 5 5 5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 5 +β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- × + × = . 5 5 5 5 25

[答案] (1)A

(2)D

第6讲│ 要点热点探究

探究点二

三角函数的周期性与对称性

π 例 2 [2012· 课程标准卷] 已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x 4 5π = 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ 4 =( ) π π π 3π A. B. C. D. 4 3 2 4

第6讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)理解两条对称轴之间的关系 ? (推理)由 已知的两条对称轴得到函数的周期 ? (结论)根据函数的周期 性求出初相 φ 的值.

第6讲│ 要点热点探究
[答案] A
三角函数的周期性与对称性 [解析] 由题意,函数 f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为 T= ?5π π? 2π ? ? 2 ? 4 -4 ? = 2π , 又 ω>0 , 所 以 ω = T = 1. 故 f(x) = sin ??x+φ?? . 故 ? ? ?π ? ?π ? ? ?π? ? ?π? ?f?4 ?=sin?4+φ?=1, ?f?4 ?=sin?4+φ?=-1, ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ①或? ? ? ② ?5π ? ?5π ? 5π 5π ?f? ?=sin? +φ?=-1 ?f? ?=sin? +φ?=1 ??4? ??4? ?4 ? ?4 ? π?? 3π k∈Z???;由②得 φ=2kπ- ???k∈Z???. 由①得 φ=2kπ+ ? 4 4 π 又已知 0<φ<π,所以由①得 φ= ;②无解. 4 π 综上,φ= .故选 A. 4

第6讲│ 要点热点探究

[规范评析] 在三角函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的问题中, 求初 相 φ 的值是一个易错点,求解时要注意两点:①对应 φ 的关系 式由三角函数的特殊点确定(与“五点作图法”有关联);②根 据三角函数的周期性,对应 φ 的值有无数个,求解时注意利用 题设条件中给出的 φ 的取值范围确定.

第6讲│ 要点热点探究
? 探究点三 三角函数的值域与单调性 例 3 [2012· 湖南卷] 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,ω π >0,0<φ< 的部分图象如图 2-6-1 所示. 2

图 2-6-1 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ?

第6讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图 象 ? (目标)得出函数 f(x)的解析式 ? (方法)由特殊点和 φ 的取 值范围确定解析式; (2)(条件)已知函数 g(x)由 f(x)复合而成 ? (目标)得出函数 g(x)的单调增区间 ? (方法)化简函数 g(x)的表达式.

第6讲│ 要点热点探究

三角函数的值域与单调性 ?11π 5π? 解:(1)由题设图象知,周期 T=2? 12 -12 ?=π, ? ? 2π 所以 ω= T =2.(2 分) ?5π ? 因为点?12,0?在函数图象上, ? ? ? ? ?5π ? 5π ?2× +φ?=0,即 sin? +φ?=0. 所以 Asin 12 ? ? ?6 ? π 5π 5π 4π 5π π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< .从而 +φ=π,即 φ= .(4 分) 2 6 6 3 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,得 A=2.(5 分) 6 ? π? ?2x+ ?.(6 分) 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin 6? ?

第6讲│ 要点热点探究
? ? ? ? π ? π? π ? π? ? ? ?+ ?-2sin?2?x+ ?+ ? (2)g(x)=2sin?2 x-12 6? ? ? 12? 6? ? ? ? ? ? ? ? π? =2sin2x-2sin?2x+3 ? ? ? ?1 ? 3 ? ? =2sin2x-2? sin2x+ cos2x? 2 ?2 ?

=sin2x- 3cos2x ? π? =2sin?2x-3?.(10 分) ? ? π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 12 12 ? π 5π? 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z.(12 分) ? ?

第6讲│ 要点热点探究

[规范评析] 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的单调递增区 π π 间由不等式 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)来确定,单调递减 2 2 π 3π 区间由不等式 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)来确定; 函数 y 2 2 =Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调递增区间由不等式 2kπ- π≤ωx + φ≤2kπ(k ∈ Z) 来 确 定 , 单 调 递 减 区 间 由 不 等 式 2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z)来确定.

第6讲│ 要点热点探究

变 式 题 已 知 函 数 f(x) = 2cosωx(sinωx - cosωx) + 1(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间; ?π ? ?π 3π? ? -x?,求函数 g(x)在区间? , ? (2)若函数 g(x)=f(x)-f 4 4? ? ? ?8 上的值域.

第6讲│ 要点热点探究

解:(1)f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1 ? π? ?2ωx- ?. =sin2ωx-cos2ωx= 2sin 4? ? ? π? 2π ∵T= =π(ω>0),∴ω=1,即 f(x)= 2sin?2x- 4 ?. 2|ω| ? ? π π kπ 3π 令 2x- =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8 此即函数 f(x)图像的对称轴方程. π π 3π 3π 7π 令 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z),得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z), 2 4 2 8 8 ?3π ? 7π 即函数 f(x)的单调递减区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z). ? ? ?π 3π? 于是,函数 g(x)在区间?8, 4 ?上的值域为[-2,2 2]. ? ?

第6讲│ 要点热点探究

?π ? ? -x? (2)g(x)=f(x)-f 4 ? ? ? π? π π ?2x- ?- 2sin2 -x- = 2sin 4? 4 4 ? ? π? =2 2sin?2x- 4 ?. ? ? ?π 3π? π 5π ? , ?,∴0≤2x- ≤ ,故当 ∵x∈ 8 4 4 4 ? ?

π π 3π 2x- = ,即 x= 时, 4 2 8 π 5π 3π 函数 g(x)取得最大值 2 2;当 2x- = ,即 x= 时, 4 4 4 函数 g(x)取得最小值-2. ?π 3π? 于是,函数 g(x)在区间?8, 4 ?上的值域为[-2,2 2]. ? ?

第6讲│ 要点热点探究

? 探究点四 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 例 4 [2012· 天津卷] 将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象 ?3π ? π 向右平移 个单位长度,所得图象经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小 4 ? ? 值是( ) 1 A. B.1 3 5 C. D.2 3

第6讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)注意条件的关系是平移后的图象经过特 殊点 ? (推理)由平移后的图象经过的特殊点得出 ω 的关系式 ? (结论)根据 ω 的关系式求出 ω 的值.

第6讲│ 要点热点探究
[答案] D
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 π [解析] 法一:将函数 f(x)=sinωx 的图象向右平移 个单位,得到 4 ? ?3π ? ?3π? π ? ?ωx- ω? 的 图 象 , 又 ∵ 其 图 象 过 点 ? ,0? , ∴ g ? ? = g(x) = sin 4 ? ? ?4 ? ?4? ?3π π ? π ? ω- ω?=sin ω=0, sin 4 4 ? 2 ? ∴ω 最小值取 2. ?3π ? π 法二:函数 f(x)=sinωx 的图象向右平移 个单位后过点? 4 ,0?, 4 ? ? ?π ? ?π? π ? ,0?,即 f? ?=sin ω=0,∴ω 最小值 ∴函数 f(x)=sinωx 的图象过点 2 2 ? ? ?2 ? 取 2.

第6讲│ 要点热点探究

[规范评析] 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)作平移变换 时,要注意平移量和平移方向,即由 y=f(ωx)平移到 y=f(ωx ? φ? φ ?x+ ?后,由 x+ 来确定平 +φ)时,一般应将 ωx+φ 化为 ω ω? ω ? ?φ? φ φ ? ?个单位;若 >0,则左移 移量和平移方向.若ω<0,则右移 ω ω ? ? ?φ? ? ?个单位. ?ω?

第6讲│ 要点热点探究

变式题 将函数 y=sinωxcosφ-cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左 π 平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图象.若函数 y=f(x)的图象 6 ?π ? π ? ,0?,且相邻两对称轴间的距离为 . 过点 6 2 ? ? (1)求 ω,φ 的值; (2)若锐角△ABC 中,A,B,C 成等差数列,求 f(A)的取 值范围.

第6讲│ 要点热点探究
1 解: (1)y=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin(ωx-φ). 由已知得 f(x)=sin 2 ? ?1 ? π? ωπ ω?x+ 6 ?-φ=sin?2ωx+ 12 -φ?. ? ? ? ? π 2π 因为 f(x)的图象相邻两对称轴间的距离为 ,所以 =π,解得 ω 2 1 ω 2 =4, ? ? π 所以 f(x)=sin?2x+ 3-φ?. ? ? ?π ? ? ? π π 又函数 f(x)的图象过点?6,0?, 所以 sin?2× 6+3-φ?=0, 0<φ<π, 且 ? ? ? ? 2π 所以 φ= . 3

第6讲│ 要点热点探究

(2)由(1)知

? π? f(A)=sin?2A- 3 ?, ? ?

依题意△ABC 是锐角三角形,且 A,B,C 成等差数列, π π π 2π 得 <A< ,所以 0<2A- < ,故 0<f(A)≤1, 6 2 3 3 即 f(A)的取值范围为(0,1].

第6讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 解答关于三角函数的图象与性质的试题, 变换是其中的核 心,把三角函数的解析式通过变换,化为正弦型、余弦型、正切 型函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和切线函数的性质进行 研究. ?技巧 1.角的变换技巧,如 2α=(α+β)+(α-β)=(2α+θ)-θ= 1 · 等,基本原则是化未知为已知. 4α 2 2. 当已知 sinα± cosα 时, 这个一定与同角三角函数关系联合使用, 同时注意(sinα± cosα)2=1± sin2α,利用这个关系可进行换元,如求 y=sinx+cosx+sin2x 的值域,只要令 t=sinx+cosx,则 sin2x= ? ? t2-1,即化为求 y=t2+t-1,t∈??- 2, 2??的值域.

第6讲│ 规律技巧提炼
?易错 1.求三角函数值域时,在自变量的范围内存在函数最值时 ? π? ? π ? π ?2x+ ?在?0, ?上的值域,此时 2x+ ∈ 容易出错,如求 y=sin 3? ? 4? 3 ? ?π 5π? ?1 ? 3 1 ? , ?,此时函数值是从 增大 1,再减小到 ,其值域是?2,1?. 3 6? 2 2 ? ? ? 2.进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行怎样的变换,变 换的都是变量本身,特别在平移变换中,如果这个变量的系数不 是 1,在进行变换时变量的系数也参与其中,如把函数 y= ? π? π sin ?2x+ 4? 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 时 , 得 到 的 是 函 数 y = 12 ? ? ? ? ? π ? π? 5π? ? ? ? sin?2 x+12?+4 ?=sin?2x+ 12 ?的图象. ? ? ? ? ? ?

第6讲│ 命题立意追溯

运算求解能力——三角变换的方法技巧 3 示例 已知 α 为第二象限角, sinα+cosα= , cos2α 则 3 =( ) 5 5 A.- B.- 3 9 5 5 C. D. 9 3

第6讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题的立意是考查使用三角恒等变换公式 进行运算的能力.通过灵活选用公式、不同方位变换已知 和求解目标,考查运算的合理性和灵活性.

第6讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)欲求 cos2α 只要求出 cosα, sinα, sin2α 三者之一即可 ? (推理)根据已知和同角三角函数关系可得 ? (结论)计算求解.

第6讲│ 命题立意追溯
[答案] A
[解析] 因为 sinα+cosα= 3 1 ,两边平方得 1+2sinαcosα= ,所 3 3

2 以 sin2α=- . 3 由于 sinα+cosα=
? π? 2sin?α+4 ?= ? ?

3 >0,且 α 为第二象限角, 3

π 3π 所以 2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z, 2 4 3π 所以 4kπ+π<2α<4kπ+ ,k∈Z, 2 所以 cos2α=- 1-sin 2α=-
2

4 5 1- =- . 9 3

第6讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] π? 4? 1.已知 sinθ+cosθ= ?0<θ<4 ?,则 sinθ-cosθ 的值 3? ? 为( ) 2 2 1 1 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 15 2 . 如 果 α 为 第 二 象 限 角 , 且 sinα = ,则 4 ? π? sin?α+4 ? ? ? =( ) sin2α+cos2α+1 2 2 A. 2 B.- 2 C. D.- 2 2

第6讲│ 命题立意追溯

1.[答案] B
4 7 [解析] sinθ+cosθ= 平方得 2sinθcosθ= ,所以(sinθ-cosθ)2=1 3 9 7 2 π -2sinθcosθ=1- = .当 0<θ< 时,sinθ-cosθ<0,所以 sinθ-cosθ= 9 9 4 2 - . 3

第6讲│ 命题立意追溯

2.[答案] B
[解析] 当 α 为第二象限角, sinα= 且 1 =- , 4 2?? sinα+cosα??? ? ? 2? 2??sinα+cosα?? 故 = = ? ? = sin2α+cos2α+1 2sinαcosα+2cos2α 4cosα??sinα+cosα?? 2 =- 2. 4cosα
? π? sin?α+4 ? ? ?

15 时, sinα+cosα≠0 且 cosα 4

第6讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例 1 通过定义一种新的运算来得出三角函数解析 式,使一道三角函数平移变换题有了新意;例 2 通过图像的对称 变换构造出新函数 y=g(x),比直接设计一个三角函数求其函数的 最值显得更为新颖别致.

第6讲│ 教师备用例题

例 1
? ? ? ?

3 -sinx? ? ?的图象向左平移 m 个单位(m>0),若所得图象对应的 1 cosx ? 函数为偶函数,则 m 的最小值为( ) π π 5π 2π A. B. C. D. 6 3 6 3

?a1 定义运算: ? ?a ? 3

a2? ? =a1a4 -a2a3 ,将函数 f(x)= a4? ?

第6讲│ 教师备用例题
[答案] A
? π? [解析] 由题意可得 f(x)= 3cosx+sinx=2sin?x+ 3 ?, 平移 ? ? ? ? π 后的函数解析式为 g(x)=2sin?x+ 3+m?.若函数 g(x)为偶函数, ? ?

π π π 则必有 +m=kπ+ (k∈Z),即 m=kπ+ (k∈Z).又 m>0,取 3 2 6 π k=0,可得 m 的最小值为 .故选 A. 6

第6讲│ 教师备用例题

例2

设函数

?πx π? πx f(x)=sin? 3 -6 ?-2cos2 . 6 ? ?

(1)求 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求当 x∈[0,1]时,函数 y=g(x)的最大值.

第6讲│ 教师备用例题

3 πx 3 πx 解:(1)由题设知 f(x)= sin - cos -1 2 3 2 3 ?πx π? = 3sin? 3 -3 ?-1, ? ? 2π 所以函数 y=f(x)的最小正周期为 T= =6. π 3 π πx π π 由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 3 2 1 5 得 6k- ≤x≤6k+ (k∈Z), 2 2 ? 1 5? 所以函数 y=f(x)的单调递增区间为?6k-2,6k+2?(k∈Z). ? ?

第6讲│ 教师备用例题

(2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以当 x∈[0,1]时, y=g(x)的最大值即为 x∈[3,4]时 y=f(x) 的最大值. ? ?πx π? ? πx π ?2 3? ? ? 当 x∈[3,4]时, - ∈?3π,π?,sin? 3 -3?∈?0, ?,即 3 3 ? 2? ? ? ? ? ? 1? f(x)∈?-1,2?, ? ? 1 于是当 x∈[0,1]时,函数 y=g(x)的最大值为 . 2

第7讲

解三角形

第7讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 考点 1 考点 2 正弦定理与余弦 定理

题型(频率) 选择(2) 解答(1) 0 0

考例(难度) 2011 湖南 7(A); 2011 湖南 17(A); 2012 湖南 8(B)

三角形的面积问 题 考点 3 解三角形的实际 应用 1:测量问题

考点 4 解三角形的实际 0 应用 2:航海问题 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第7讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度: 该部分的命题围绕以下三点展开: 第一个点是围 绕正弦定理、 余弦定理解三角形展开, 目的是考查使用这两个定 理解一般的斜三角形, 通常是选择题或者填空题; 第二个点是围 绕解三角形在实际问题中的应用展开, 考查使用正弦定理、 余弦 定理以及三角函数的知识解决实际应用问题的能力, 一般以解答 题的方式进行考查; 第三个点是三角函数、 三角恒等变换和解三 角形的交汇, 目的是考查综合运用知识解决问题的能力, 一般以 解答题的方式进行考查.解三角形是高考中的一个重要命题点. 预计 2013 年对该部分的考查会延续前几年的命题方向,并 有适度的创新, 如把平面向量、 三角恒等变换等结合起来进行考 查.

第7讲 │ 二轮复习建议

复习建议:该部分的知识点不多,但可以与三角函数、 平面向量、实际应用题等问题相互交汇,具有较为广阔的命 题背景.从五年来新课标的考查情况看,该部分出现过一个 实际应用题、一个解三角形与三角变换交汇的解答题,出现 过两个难度为 C 级的解三角形的试题,因此复习该部分时要 重在引导学生提高使用正弦定理、余弦定理解一般的斜三角 形的能力(实际应用题也是解一般的斜三角形).

第7讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第7讲 │ 主干知识整合

1.正弦定理 a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径), sinA sinB sinC 变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2+c2-a2 ?b+c?2-a2 变形:cosA= = -1. 2bc 2bc 3.面积公式 1 abc 1 S= absinC:导出公式 S= (R 外接圆半径);S= (a+b+c)r(r 2 4R 2 内切圆半径).

第7讲 │ 主干知识整合

4.常用技巧 (1)利用正弦定理实现边角互化. π (2)若三角形 ABC 为锐角三角形,则 A+B> ,sinA>cosB,cosA<sinB, 2 a2+b2>c2.类比三角形 ABC 为钝角三角形可得相应结论.

第7讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 正弦定理与余弦定理 例 1 (1)[2012· 福建卷] 在△ABC 中,已知∠BAC=60° , ∠ABC=45° ,BC= 3,则 AC=________. (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, 1 sinC 15 c.若 cosB= , =2,且△ABC 的面积为 ,则 b= 4 sinA 4 ) A.4 B.3 C.2 D.1

(

第7讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)将已知的边角条件在△ABC 中标出 ? (推理)根据正弦定理列出等式 ? (结论)求出对应的边长 AC. (2)(分析)运用正弦定理和余弦定理将已知等式进行边角互 化 ? (推理)通过变形化简可以推出 b=c=2a ? (结论)利用面 积公式求出边长 b.

第7讲│ 要点热点探究

[答案] (1) 2

(2)C
正弦定理与余弦定理的几种问题

AC [解析] (1)在△ABC 中,利用正弦定理得: = sin45° BC AC 3 sin45° ? = ?AC= 3 = 2. sin60° sin45° sin60° sin60° (2)由正、余弦定理得 c=2a,b2=a2+c2-2accosB= 1 a2+(2a)2-2· 2a·=4a2, a· 所以 b=c=2a, sinB= 1-cos2B 4 15 1 1b 15 15 = .又 S△ABC= acsinB= ·· b· = ,所以 b=2, 4 2 22 4 4 选 C.

第7讲│ 要点热点探究

[规范评析] 利用正弦、余弦定理解三角形的常见题型:① 已知两角及一边,利用正弦定理求解;②已知两边及一边的对 角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一;③ 已知两边及其夹角,利用余弦定理求解;④已知三边,利用余 弦定理求解.

第7讲│ 要点热点探究

5 变式题 (1)在△ABC 中,a=4,b= ,5cos(B+C)+3=0, 2 则角 B 的大小为( ) π π A. B. 6 4 π 5π C. D. 3 6 (2)在△ABC 中,已知 sinB+sinC=sinA(cosB+cosC),则 △ABC 的形状为________.

第7讲│ 要点热点探究
[答案] (1)A (2)直角三角形

3 4 [解析] (1)由 5cos(B+C)+3=0 得 cosA= ,则 sinA= .由正弦 5 5 5 2 4 1 π 定理得 = ,求得 sinB= .又 a>b,所以 B 必为锐角,即 B= . 4 sinB 2 6 5 故选 A. (2)设 A,B,C 对边分别为 a,b,c.由已知等式利用正弦、余弦 ?a2+c2-b2 a2+b2-c2? ? 2 2 2 定理得 b+c=a? + ? ?,整理得(b+c)(b +c -a ) 2ac 2ab ? ? =0.∴b2+c2=a2,∴△ABC 为直角三角形,且∠A=90° .

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? 探究点二 三角形的面积问题 例 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知向量 m=(cosA,cosB),n=(2c+b,a),且 m⊥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求△ABC 面积的最大值.

第7讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)m⊥n,即已知关于三角形的边角的一个 方程 ? (目标)求角 A ? (方法)根据正弦定理把边的关系转化为角 的三角函数方程即可得出; (2)(条件)a=4 和第一问求出的角 A ? (目标)求三角形面积的 最大值 ? (方法)根据余弦定理和不等式的知识得出 bc 的最大值即 可.

第7讲│ 要点热点探究
三角形的面积问题 解:(1)∵m⊥n, ∴m· n=(cosA,cosB)· (2c+b,a)=(2c+b)cosA+acosB=0.(2 分) 由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0, 即 2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0, 整理可得 sinC+2sinCcosA=0. 1 2π ∵0<C<π,∴sinC>0,∴cosA=- ,∴A= .(5 分) 2 3 (2)由余弦定理可得,a2 =b2 +c2 -2bccosA,即 16=b2 +c2 + 16 bc≥3bc(当且仅当 b=c 时取等号),故 bc≤ .(8 分) 3 1 3 4 3 故△ABC 的面积为 S= bcsinA= bc≤ ,当且仅当 b=c= 2 4 3 4 3 4 3 时,△ABC 的面积取得最大值 .(12 分) 3 3

第7讲│ 要点热点探究

[规范评析] 在含有边角混合等式的问题中,如何进行转 化是问题的关键.当等式中含有角的余弦、正弦时首先要考虑 使用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系,以便于问 题的解决.在解三角形问题中要注意方程思想的应用,正弦定 理、余弦定理本身就是一个方程,当已知三角形面积时得边角 的一个方程,就把求解的元素纳入到方程中,通过方程解三角 形.

第7讲│ 要点热点探究

变式题 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, π 11 已知 B= ,cos(B+C)=- . 3 14 (1)求 cosC 的值; (2)若 a=5,求△ABC 的面积.

第7讲│ 要点热点探究

π 2π π 解:(1)因为 B= ,所以 0<C< ,即 <B+C<π. 3 3 3 11 又因为 cos(B+C)=- , 14 5 3 所以 sin(B+C)= 1-cos2?B+C?= . 14 于是 cosC=cos[(B+C)-B] =cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB 11 1 5 3 3 1 =- × + × = . 14 2 14 2 7

第7讲│ 要点热点探究
4 3 (2)由(1)可得 sinC= 1-cos C= , 7 5 3 a sinA=sin(B+C)= ,在△ABC 中,由正弦定理 = 14 sinA 4 3 5× 7 c asinC ,得 c= = =8, sinC sinA 5 3 14 1 1 3 所以△ABC 的面积 S= acsinB= ×5×8× =10 3. 2 2 2
2

第7讲│ 要点热点探究

? 探究点三 解三角形的实际应用 1—测量问题 例 3 如图 2-7-1,某人在斜坡上仰视对面山顶上的一 2 座铁塔 AB,发现在 P 点处的视角∠APB 的正切值为 .若塔所 11 在山高 OA=220 m,OC=200 m,观测者所在斜坡 CP 的直线 1 距离为 60 5 m,斜坡与水平面夹角为 α,且 tanα= ,据此推 2 测,塔高 AB 约为________ m.(点 P 与 OAC 在同一竖直面内)

图 2-7-1

第7讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)根据实际问题中的图形找出 边角关系 ? (推理)利用正切的和角公式 ? (结论) 得出塔高 AB 的值.

第7讲│ 要点热点探究
[答案] 80
解三角形的实际应用 1——测量问题 [解析] 过点 P 分别作 OC,OB 的垂线 PM,PN,垂足分别为 M, 1 N,因为 PC=60 5,tanα= ,所以 CM=120,PM=ON=60,所以 2 AN 1 AN=OA-ON=160,PN=OM=OC+CM=320,tan∠APN= PN = . 2 于 是 在 Rt △ PNB 中 , tan ∠ BPN = tan( ∠ APN + ∠ BPA) = 1 2 + tan∠APN+tan∠BPA 2 11 3 BN = = .又 tan∠BPN= PN,所以 BN= 1 2 4 1-tan∠APN· tan∠BPA 1- × 2 11 240,则 AB=BN-AN=80.故填 80.

第7讲│ 要点热点探究

[规范评析] 解决测量问题的基本方法是把测量目标函数 纳入到一个三角形中, 这个三角形的一些元素是可以测量出来 的,一些元素是可以借助于其他可以测量的三角形求解出来 的,通过测量的、求解的元素使这个三角形可解.

第7讲│ 要点热点探究
变式题 如图 2-7-2,某人在塔的正东方向上的 C 处在 与塔垂直的水平面内沿南偏西 60° 的方向以每小时 6 km 的速 度步行了 1 min 以后, 在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上, 已知沿途看塔顶端的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60° . (1)求该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了几 分钟; (2)求塔的高 AB.

图 2-7-2

第7讲│ 要点热点探究

解:(1)依题意知:在△DBC 中,∠BCD=30° ,∠DBC=180° - 45° =135° , 1 CD=6 000× =100(m),∠D=180° -135° -30° =15° , 60 CD BC 由正弦定理得 = , sin∠DBC sinD 6- 2 100× 50? 6- 2? 4 CD· sinD 100×sin15° ∴BC= = = = sin135° sin∠DBC 2 2 2 AB =50( 3-1)m. 在 Rt△ABE 中,tanα=BE, ∵AB 为定长,∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60° ,这时 BE ⊥CD.

第7讲│ 要点热点探究

当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中,EC=BC· cos∠BCE=50( 3- 3 1)× =25(3- 3)(m). 2 设该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了 t min, 25?3- 3? 3- 3 EC 则 t= ×60= ×60= (min). 6 000 6 000 4 (2)由(1)知当 α 取得最大值 60° 时,BE⊥CD, 在 Rt△BEC 中,BE=BC· sin∠BCD, 1 ∴AB=BE· tan60° =BC· sin∠BCD· tan60° =50( 3-1)× × 3= 2 25(3- 3)(m). 即所求塔高为 25(3- 3) m.

第7讲│ 要点热点探究

? 探究点四 解三角形的实际应用 2—航海问题 例 4 在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山,山顶设有一个观测 站 P, 上午 11 时, 测得一轮船在岛北偏东 30° 俯角为 30° B 处, , 的 到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60° ,俯角为 60° C 处(如图 的 2-7-3). (1)求该船的航行速度; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此 时船距岛 A 多远?

图 2-7-3

第7讲│ 要点热点探究

[思考流程] (条件)将航海问题中的三角形边角关系表示出 来 ? (目标)得到船的速度和船距岛 A 的距离 ? (方法)在关联 三角形中利用正弦定理计算.

第7讲│ 要点热点探究

解三角形的实际应用 2——航海问题 解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° ,PA=1,∴AB= 3.(2 分) 3 在 Rt△PAC 中,∠APC=30° ,PA=1,∴AC= .(3 分) 3 在△ACB 中,∠CAB=30° +60° =90° , 30 ∴BC= AC2+AB2= .(5 分) 3 30 1 则船的航行速度为 ÷ =2 30(km/h).(6 分) 3 6

第7讲│ 要点热点探究

AB 3 10 (2)在 Rt△ABC 中,sin∠ACB=BC= , 10 AC 10 sin∠CBA=BC= .(8 分) 10 3 10 在△ACD 中,sin∠DCA=sin∠ACB= , 10 ?π ? ?3 3-1? 10 sin∠CDA=sin?3-∠CBA?= .(10 分) 20 ? ? AD AC 由正弦定理,得 = , sin∠DCA sin∠CDA AC· sin∠DCA 9+ 3 ∴AD= = (km).(12 分) 13 sin∠CDA

第7讲│ 要点热点探究

[规范评析] 解决航海问题的计算,要注意各种角的概念, 解题时根据这些概念画出图形,然后分析求解目标所在的三角 形,在整体中寻找这个三角形可解的条件,然后制订出计划具 体求解各个三角形.

第7讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时, 可以使用正弦定理,也可以使用余弦定理,使用余弦定理就是根 据余弦定理本身是一个方程,这个方程联系着三角形的三条边和 其中的一个内角,在这类试题中要注意方程思想的运用. 1 ?技巧 在与三角形面积 S= absinC 有关的问题中,注意使用不 2 ?a+b? ?2 等式 ab≤? ? 2 ? . ? ? ?易错 当已知两边及一边的对角,而使用正弦定理解三角形时, 可能有一解、两解,注意讨论;在求与三角形内角有关的三角函 数取值范围,最值时易忽视角的范围限制出错.

第7讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
应用意识——通过解三角形进行数学建模 示例 某城市有一块不规则的绿地如图 2-7-4 所示, 城建部 门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设 计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC =10,AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因 素,小李、小王谁的设计使建造费用最低?请说明理由.

图 2-7-4

第7讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题立意是考查利用三角形知识进行数学建模, 解决实际问题的能力.首先需要把实际问题涉及的三角形的元素 确定下来, 确定“谁的设计建造费用最低”这个问题的数学模型, 即“谁设计的三角形面积较小,谁的设计使建造费用最低”,体 现了使用解三角形知识建立数学模型的过程,考查了应用意识.

第7讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (1)(条件)三角形的部分边、角 ? (目标)求 AB 的 长度 ? (方法)利用余弦定理求出 cosC 的值,然后判断△ABD 的 形状; (2)(条件)建造环境标志的费用与用地面积成正比 ? (目标)比 较两个三角形面积的大小 ? (方法)使用三角形面积公式可得较 小面积.

第7讲│ 要点热点探究

解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC=162+102-2×16×10cosC.① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcosD=142+142-2×142cosC.② 由①②得:142+142-2×142cosC=162+102-2×16×10cosC 1 整理可得 cosC= , 2 又 C 为三角形的内角,所以 C=60° . 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A,B 两点的距离为 14.

第7讲│ 要点热点探究

(2)小李的设计符合要求. 1 理由如下:S△ABD= AD· BDsinD, 2 1 S△ABC= AC· BCsinC. 2 因为 AD· BD>AC· BC,所以 S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标志 费用较低. 即小李的设计符合要求.

第7讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 如图 2-7-5,某城市有一条公路,自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB.现要修建一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段.为了方便市中心的交通运输,又不干扰 市中心的安静环境,现要求市中心 O 与 AB 的距离为 10 km,问把 A、B 分别设在公路上离市中心 O 多远处才能 使|AB|最短?并求其最短距离.

图 2-7-5

第7讲│ 要点热点探究
解:方法 1:在△AOB 中,设 OA=a,OB=b,∠AOB=135° , 则|AB|2=a2+b2-2abcos135° 2+b2+ 2ab≥2ab+ 2ab =a =(2+ 2)ab, 当且仅当 a=b 时,“=”成立. 又 O 到 AB 的距离为 10,设∠OAB=α,则∠OBA=45° -α, 10 10 所以 a= ,b= , sinα sin?45° -α? 10 10 100 400 所以 ab= · = = sinα sin?45° -α? sinα· sin?45° -α? 2sin?2α+45° ?- 2 400 ≥ ,当且仅当 sin(2α+45° )=1, α=22° 即 30′时,“=”成立. 2- 2 400?2+ 2? 2 所以|AB| ≥ =400( 2+1)2 ,当且仅当 a=b,α= 2- 2 22° 30′时,“=”成立.

第7讲│ 要点热点探究
于是,当 a=b= 10 =10 2?2+ 2?时,|AB|最短,其最短 sin22° 30′

距离为 20( 2+1). 即当 A、B 分别在 OA、OB 上离 O 点 10 2?2+ 2?km 处,能使 |AB|最短,最短距离为 20( 2+1) km. 1 1 方法 2:由 S△AOB= · |AB|= |OA|· 10· |OB|· sin135° ,得 2 2 10 10 2 10|AB|=|OA|· |OB|sin135° = · · , sinα sin?45° -α? 2 5 2 10 10 即|AB|= = = 1 1 sinα· sin?45° -α? sinα· cosα-sin2α 1 sin2α+ cos2α- 2 2 2 10 = . 2 1 sin?2α+45° ?- 2 2

第7讲│ 要点热点探究

所以当 α=22° 30′时,|AB|最短,最短距离为 20( 2+1).此时 10 OA=OB= =10 2?2+ 2?. sin22° 30′ 即当 A,B 分别在 OA,OB 上离 O 点 10 2?2+ 2? km 处,能使 |AB|最短,最短距离为 20( 2+1) km.

第7讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由: 解三角形的问题主要思想是寻找边角之间的一种 转换,三角函数变换、正弦、余弦定理等都可能是解题的工具, 例 1 就是利用正切函数和角公式求角,利用正弦定理求最短边, 例 2 将等差数列与三角函数变换结合,求解角的大小,三角函数 式的取值范围.

第7讲│ 教师备用例题

在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 1 3 10 且 tanA= ,cosB= . 2 10 (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的最长边的长为 1,求最短边的长.

例1

第7讲│ 教师备用例题

3 10 1 知,角 B 为锐角,则 tanB= , 10 3 tanA+tanB 于是 tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=- = 1-tanAtanB 3π -1,即角 C= . 4 (2)由(1)知,c 边最长,即 c=1,由 tanA>tanB,所以 b 边最 短. 10 2 csinB 5 因为 sinB= ,sinC= ,由正弦定理得 b= = , 10 2 sinC 5 5 所以最短边的长为 . 5 解:(1)由 cosB=

第7讲│ 教师备用例题

例 2 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c.且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列. (1)求角 B 的大小; (2)求 2sin2A+cos(A-C)的取值范围.

第7讲│ 教师备用例题

解:(1)因为 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列, 所以 acosC+ccosA=2bcosB. 由正弦定理得 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB, 1 即 sinB=2sinBcosB.又因为 sinB≠0,所以 cosB= . 2 π π 因为 0<B< ,所以 B= . 2 3

第7讲│ 教师备用例题

π 2π (2)由(1)知 B= ,所以 A+C= . 3 3
? 2π? 于是 2sin A+cos(A-C)=1-cos2A+cos?2A- 3 ? ? ? ? π? ?2A- ?. =1+ 3sin 3? ?
2

π π π 因为△ABC 为锐角三角形,B= ,所以 <A< , 3 6 2 ? π? π 2π 所以 0<2A- < ,所以 0<sin?2A-3 ?≤1. 3 3 ? ? 于是 2sin2A+cos(A-C)的取值范围是(1,1+ 3].

第8讲 平面向量及其应用

第8讲 │ 云览高考

[云览高考] 考点统计 考点 1 平面向量的基本 概念及线性运算 考点 2 平面向量的基本 定理及坐标运算 考点 3 平面向量的数量 积及平面向量的综合应用 题型(频率) 0 填空(1) 选择(1) 填空(1) 2011 湖南 13(A) 2010 湖南 6(A); 2012 湖南 15(B) 考例(难度)

说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第8讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题主要围绕以下两个点展开:第 一个点是围绕平面向量本身的重点内容展开,考查平面向量 的线性运算、 数量积运算、 向量的平行与垂直关系的应用等, 目的是考查平面向量的核心内容,试题一般是选择题或者填 空题,难度也不大;第二点是与三角函数、解三角形、平面 解析几何等交汇考查,平面向量的知识起到表达三角函数关 系、三角形中的边角关系、解析几何中的几何关系的作用, 这里的考查向量的知识是基础性的,目的是考查平面向量的 工具性功能. 预计 2013 年对该部分的考查仍然会以基础考查为主, 考 查平面向量的核心内容,在解析几何、三角函数、解三角形 中考查平面向量的平行、垂直、数量积等问题.

第8讲 │ 二轮复习建议

复习建议:平面向量既是高中数学的基础知识也是工具 性知识,从近几年课程标准卷的考查情况看,单纯平面向量 的考查均为选择题或者填空题,其中两次使用平面向量表达 解析几何试题,因此在本讲中以平面向量本身的核心内容为 主,适度涉及平面向量与三角函数、解三角形、平面解析几 何的综合.

第8讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第8讲 │ 主干知识整合
1.向量的概念 (1)概念:既有大小又有方向的量.表示向量的有向线段的长度 叫做该向量的模.0 长度为 0,方向是任意的,0 与任一非零向量共线. (2)向量夹角:非零向量 a,b 的夹角记为〈a,b〉 ,范围是[0,π]. ? ? (3)投影: 〈a,b〉=θ,?b?cosθ 叫做 b 在 a 方向上的投影.投影 ? ? 是数量. 2.向量的运算与重要法则 (1)加法、减法运算:a+b 为平行四边形法则,a-b 为三角形法 则. (2)数乘运算:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb. (3)数量积运算:a· b=b· a,(a+b)· c=a· c+b· c,(λa)· b=a· (λb)= λ(a· b).

第8讲 │ 主干知识整合

3.两非零向量平行、垂直的充要条件 (1)共线条件:a,b(b≠0)共线?存在 λ,a=λb,坐标表 示为(x1,y1)=λ(x2,y2)?x1y2=x2y1. (2)垂直条件:a⊥b?a· b=0,坐标表示为 x1x2+y1y2=0.

第8讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 平面向量的基本运算及线性运算

例 1 △ABC 中, D 在 AB 上, 平分∠ACB, → = 点 CD 若CD → → a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=( ) 1 2 2 1 A. a+ b B. a+ b 3 3 3 3 3 4 4 3 C. a+ b D. a+ b 5 5 5 5

第8讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)将已知的边角条件在△ABC 中标出 ? (推理)利用向量的三角形法则和角平分线的性质计算 ? (结论) → 得出CD的值.

第8讲│ 要点热点探究

[答案] B
|AD| [解析] 因为 CD 平分∠ACB, 由角平分线定理得 = |DB| |CA| 2 → = ,所以 D 为 AB 的三等分点,且AD= |CB| 1 2→ 2 → → → =CA+AD=2CB+1CA=2a → → AB= (CB-CA),所以CD → → 3 3 3 3 3 1 + b,故选 B. 3

第8讲│ 要点热点探究

[点评] 平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,将 几何关系转化为运算关系是解题的关键.

第8讲│ 要点热点探究

→ CD 变式题 在△ABC 中, 为 AB 边上一点, → =2DB,→ = D 若AD → → xCA+yCB,则 x,y 分别为( ) 1 2 2 1 A. , B. , 3 3 3 3 1 2 2 1 C.- ,- D.- ,- 3 3 3 3

第8讲│ 要点热点探究

[答案] A
→ → → → → → [解析] 如图,∵AD=CD-CA,DB=CB-CD, → =2DB, → -CA=2(CB-CD), → =1CA+ → ∴CD → → → ∴CD → 又AD 3 2→ CB,故选 A. 3

第8讲│ 要点热点探究

? 探究点二 平面向量的基本定理及坐标运算 例 2 (1)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数, (a+λb)∥c,则 λ=( ) 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.2 (2)设向量 a=(1,cosθ)与 b=(-1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 等于 ) 2 1 A. B. 2 2 C.0 D.-1

(

第8讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)寻找向量的平行与向量的坐标运 算 ? (推理)利用向量共线的坐标运算 ? (结论)得出参数 λ 的值; (2)(分析)由向量 a 与 b 垂直即得 a· b=0 ? (推理)利用向 量的数量积公式得到三角函数关系 ? (结论)变形三角恒等 式即得 cos2θ 的值.

第8讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B

(2)C

[解析] (1)依题意得 a+λb=(1+λ,2),由 a+λb∥c 得 4(1+λ)-3×2=0, 1 解得 λ= ,故选 B. 2 (2)依题意由 a⊥b 得 a· b=0, 即-1+2cos2θ=cos2θ=0, 所以 cos2θ=0.故选 C.

第8讲│ 要点热点探究

[点评] 向量平行与垂直的命题方向有两个:一是利用已知

条件去判断向量的平行或垂直;二是利用向量平行或垂直的条 件去确定参数的值.

第8讲│ 要点热点探究
?3 ? a=?2,cosθ?, 向量 ? ? ? 1? b=?sinθ,3?, 且 ? ?

变式题

(1)设向量

a∥b,

则锐角 θ 为( ) A.60° B.30° C.75° D.45° (2)已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满足(c+b)⊥a,(c -a)∥b,则 c=( ) A.(2,1) B.(1,0) ?3 1? C.?2,2? D.(0,-1) ? ?

第8讲│ 要点热点探究

[答案](1) D (2)A
3 1 [解析] (1)由 a∥b 得 × -cosθsinθ=0,即 sin2θ=1. 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 2θ∈(0° ,180° ),所以 2θ=90° ,即 θ=45° .故选 D. (2) 设 c = (x , y) , 由 (c + b) ⊥ a , (c - a) ∥ b 可 得 ?x+1-y-2=0, ?x=2, ? ? ? 解得? 因此 c=(2,1).故选 A. ?y+1=2?x-1?, ?y=1, ? ? .

第8讲│ 要点热点探究

?

平面向量的数量积及平面向量的综合应用 → AC → → BC → 例 3 [2012· 江苏卷] 在△ABC 中,已知AB· =3BA· . (1)求证:tanB=3tanA; 5 (2)若 cosC= ,求 A 的值. 5

探究点三

第8讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)已知三角形中边的数量积关系 ? (目 标)证明条件等式 ? (方法)利用正弦定理和三角函数变换; (2)(条件)已知三角函数的值 ? (目标)得出角 A 的值 ? (方 法)利用正切的和角公式.

第8讲│ 要点热点探究

→ AC → → BC → 解:(1)证明:因为AB· =3BA· , 所以 AB· cosA=3BA· cosB, AC· BC· 即 AC· cosA=3BC· cosB, AC BC 由正弦定理知 = , sinB sinA 从而 sinBcosA=3sinAcosB, 又因为 0<A<π,0<B<π,所以 cosA>0,cosB>0, 所以 tanB=3tanA.

第8讲│ 要点热点探究

5 (2)因为 cosC= ,0<C<π, 5 2 5 2 所以 sinC= 1-cos C= ,从而 tanC=2, 5 于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, tanA+tanB 亦即 =-2, 1-tanAtanB 4tanA 1 由(1)得 =-2,解得 tanA=1 或- , 3 1-3tan2A π 因为 cosA>0,故 tanA=1,所以 A= . 4

第8讲│ 要点热点探究

[点评]平面向量的应用主要有:①平面向量与三角函数交 汇的问题是高考经常出现的问题,命题以三角函数作为背景, 是向量的坐标运算与解三角形、 三角函数图象和性质的综合问 题;②平面向量与函数、不等式交汇的问题,主要是向量与二 次函数、 基本不等式结合的问题为主, 要注意自变量的取值范 围; ③向量与解析几何交汇的问题, 其基本思想是利用向量的 坐标表示, 将向量问题转化为坐标问题, 进而利用直线与圆锥 曲线的相关知识来解答.

第8讲│ 要点热点探究

变式题 已知椭圆的一个顶点为 A(-1,0),焦点在 y 轴上, F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点,且 F 到直线 x+y+2=0 的 3 2 距离为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P, M, 是椭圆 C 上的四点,→ 与PQ共线, → Q, N PF → MF → → MF → 与FN共线,且PF· =0,求四边形 PMQN 面积的最大值和 最小值.

第8讲│ 要点热点探究

x2 y2 解:(1)依题意,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 b=1. b a |0+c+2| 3 2 又设焦点 F 的坐标为(0,c),则 = ,解得 c= 2 2 1, 所以 a2=b2+c2=2. y2 即所求椭圆 C 的方程为 x2+ =1. 2 → → → → → MF → (2)由PF 与PQ 共线,MF与FN 共线,且PF · =0,可得 PF⊥MF,即 MN⊥PQ.

第8讲│ 要点热点探究
①当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时,另一条直线必垂直 于 y 轴. 不妨设 MN⊥y 轴, PQ⊥x 轴, 则 F(0,1), 此时|MN|= 2, |PQ| 1 =2 2,由此可得 S 四边形 PMQN= |PQ|· |MN|=2. 2 ②当 MN,PQ 都不与坐标轴垂直时,则它们所在直线的斜率存 1 在且不为 0,不妨设直线 MN:y=kx+1,则直线 PQ:y=-kx+ 1(k≠0).将直线 MN 的方程与椭圆方程联立,得(k2+2)x2+2kx-1= -2k -1 0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 ,∴|MN| k +2 k +2 ?? -2k ? 4 ? ? ? 2 ?2 ?? ? + 2 = ?1+k2????x1+x2? -4x1x2?? = ?1+k2??? 2 = k +2? k +2? ? ?? ? 2 2?1+k2? . k2+2

第8讲│ 要点热点探究
2 2?1+k2? 1 将-k代入上式,得|PQ|= . 2 2k +1 4?1+k2?2 1 于 是 , S 四 边 形 PMQN = |PQ|· |MN| = 2 2 ?k +2??2k2+1? 4?1+k2?2 16 ≥? 2 = , k +2+2k2+1?2 9 ? ? ? ? 2 ? ? 当且仅当 k2+2=2k2+1,即 k=± 时取等号. 1 4?1+k2?2 2k2 又 S 四边形 PMQN= 2 =2- 4 <2. ?k +2??2k2+1? 2k +5k2+2 16 综合①、②可知, ≤S 四边形 PMQN≤2,即四边形 PMQN 面 9 16 积的最大值为 2,最小值为 . 9

第8讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 1.对于非零向量 a, 当|a+b|=|a-b|时平行四边形的 b, 两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a -b|等价于向量 a,b 互相垂直,反之也成立. → 2.点 O 不在直线 BC 上,A,B,C 三点共线的充要条件是OA → → =λOB+μOC(λ+μ=1). ?技巧 注意用坐标表示向量,向量的各种问题就可以根据向 量的坐标运算公式进行纯粹的代数运算,这样就实现了向量问 题的彻底代数化.在试题中不含有向量的坐标时,要善于根据 问题的实际情况,在不改变问题本质的情况下建立适当的坐标 系,把向量问题代数化.

第8讲│ 规律技巧提炼

→ → → ?易错 减法法则很容易计算错误, 向量MN=ON-OM(其中 O 为我们所需要的任何一个点), 这个法则就是终点向量减去起点 向量.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问 题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况,如已知两 个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求 不能反向共线.

第8讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯

运算求解能力——建立平面直角坐标系解决向量的数量积的 问题 示例已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD → → =2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA +3PB |的最小值为 ________.

第8讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为建立平面直角坐标系解决向量 问题,在处理有平面几何背景的向量问题时,利用平面直角坐 标系中的点的坐标运算与向量的坐标运算的对应关系, 可以简 化对平面几何问题中几何性质的发掘与利用, 这是体现数形结 合的一种有效的解题思想方法.

第8讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)建立直角坐标系转化成坐标运算 ? (推理) → → 通过点的坐标得到|PA+3PB|2 的目标函数 ? (结论)根据对应的二 次函数求出最小值.

第8讲│ 命题立意追溯
[答案] 5

[解析] 建立平面直角坐标系如图 2-8-2 所示,设 P(0,y), → → C(0,b),则 B(1,b),A(2,0),于是PA+3PB=(2,-y)+3(1,b -y)=(5,3b-4y),

图 2-8-2 → → 所以|PA+3PB|2=25+(3b-4y)2(0≤y≤b), 3 → → → → 当 y= b 时,|PA+3PB|最小,|PA+3PB|min=5. 4

第8讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 如图 2-8-3,将 45° 的直角三角板 ADC 和 30° 的直角三 角板 ABC 拼在一起组成平面四边形 ABCD, 其中 45° 的直角 三角板的斜边 AC 与 30° 的直角三角板的 30° 所对的直角边重 → → → 合,若DB=xDA+yDC,则 x,y 分别等于( )

A. 3,1 B. 3+1, 3 C.2, 3 D. 3, 3+1

图 2-8-3

第8讲│ 教师备用例题

[答案] D

[解析] 建立如图所示的直角坐标系,设|AD|=1,则|AB| =2|AC|=2 2,xB=1+2 2cos(180° -45° -60° ) =1+2 2cos(30° +45° )= 3, yB=2 2sin(180° -45° -60° )=2 2sin(30° +45° )= 3+1,

→ → → → → 所以DB=xBDA+yBDC= 3 DA+( 3+1)DC.故选 D.

第8讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由 例 1 是向量的数量积运算在平面几何上的应用, 解题时需要合理利用几何性质,同时体现向量的特色;例 2 是以 向量关系作条件,研究平面解析几何问题,这类命题是近几年高 考命题的亮点,体现了在知识的交汇处命题的方向.

第8讲│ 教师备用例题

已知长度为 2 的线段 AB,它的两个端点在动圆 O → AO → 的圆周上运动,O 为圆心,则AB· =( )

例 1

A.1 B.2 C.4 D.和动圆 O 的半径有关

第8讲│ 教师备用例题

[答案] B

[解析] =2.故选 B.

→ |AB| → AO → |AO → → 依题意,AB· =|AB|·→ |cos∠OAB=|AB|· 2

第8讲│ 教师备用例题

设 F(m,0)(m>0)为定点,点 P 在 y 轴上运动,点 M → PF → → → 在 x 轴上运动,N 为动点,且PM· =0,PN+PM=0. (1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l(l 不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A, 两点, B π → → 设 F 关于 y 轴的对称点为 E,EA与EB的夹角为 θ,求证:0<θ< . 2

例2

第8讲│ 教师备用例题

→ 解:(1)设 N(x,y),M(x0,0),P(0,y0),则PM=(x0,-y0), → → PF=(m,-y0),PN=(x,y-y0). → PF → 由PM· =0, 得 mx0+y2=0. ① 0 → → 由PN+PM=0,得(x+x0,y-2y0)=0. ?x0=-x, ? ∴? 将其代入①,得 y2=4mx,即为所求轨迹 C y ?y0=2, ? 的方程.

第8讲│ 教师备用例题
(2)设 l 的方程为 y=k(x-m), ?y2=4mx, ? 4m 2 ? 由 得 y - k y-4m2=0. ?y=k?x-m? ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2=-4m2, 2 y1 y2 2 ∴x1x2= · =m2.而 E 的坐标为(-m,0), 4m 4m → → → EB → ∴EA=(x1+m,y1),EB=(x2+m,y2),∴EA· =(x1+m)(x2+m)+y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m2+y1y2 =m(x1+x2)-2m2>m· x1x2-2m2=2m2-2m2=0. 2 → EB → EA· π 从而 cosθ= >0,∴0≤θ< . 2 → |EB |EA|·→ | π 又 l 与 C 有两个交点,所以 θ≠0,故 0<θ< . 2


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