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教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳

引言
1.课程内容:
必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、
对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、
三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。

的扩充与复数 选修 2—3:计数原理、随机变量及其分布列,
统计案例。 系列 3:由 6 个专题组成。 选修 3—1:数学史选讲。 选修 3—2:信息安全与密码。 选修 3—3:球面上的几何。 选修 3—4:对称与群。 选修 3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6:三等分角与数域扩充。 系列 4:由 10 个专题组成。 选修 4—1:几何证明选讲。 选修 4—2:矩阵与变换。 选修 4—3:数列与差分。 选修 4—4:坐标系与参数方程。 选修 4—5:不等式选讲。 选修 4—6:初等数论初步。 选修 4—7:优选法与试验设计初步。 选修 4—8:统筹法与图论初步。 选修 4—9:风险与决策。 选修 4—10:开关电路与布尔代数。

选修课程有 4 个系列: 系列 1:由 2 个模块组成。 选修 1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。 选修 1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数、框图 系列 2:由 3 个模块组成。 选修 2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。 选修 2—2:导数及其应用,推理与证明、数系

2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量, 圆锥曲线,立体几何,导数
难点:函数、圆锥曲线 高考考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函

-1-

数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算
必修 1 数学知识点
第一章:集合与函数概念 §1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总

序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个
集合相等。
3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合:
Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .
4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任
意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是
集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A,
则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:? .并规定:
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子
集, 2n ?1个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成
的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B .
2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素
组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B .
3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U ,且x ?U} §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应
关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集
合 B 中都有惟一确定的数 f ?x? 和它对应,那么就
称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记
作: y ? f ?x?, x ? A .
2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值

体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无

域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完

全一致,则称这两个函数相等.
-2-

§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法:
(1)定义法:设 x1、x2 ?[a,b], x1 ? x2 那么 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? f (x)在[a,b] 上是增函数; f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? f (x)在[a,b] 上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
格 式 : 解 : 设 x1, x2 ? ?a,b? 且 x1 ? x2 , 则 : f ?x1 ? ? f ?x2 ?=…
(2)导数法:设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导, 若 f ?(x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; 若 f ?(x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地,如果对于函数 f ?x? 的定义域内任意一个
x ,都有 f ?? x? ? f ?x?,那么就称函数 f ?x? 为

(2) (uv)' ? u'v ? uv' .

(3)

(u v

)'

?

u'v ? uv' v2

(v

?

0)

.

4、复合函数求导

复合函数 y ? f (g(x)) 的导数和函数 y ? f (u),u ? g(x) 的导数间的关系为 yx? ? yu? ?ux? , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.

5、函数的极值

(1)极值定义:

极值是在 x0 附近所有的点,都有 f (x) < f (x0 ) , 则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极大值;
极值是在 x0 附近所有的点,都有 f (x) > f (x0 ) , 则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极小值.
(2)判别方法:

①如果在 x0 附近的左侧 f ' (x) >0,右侧 f ' (x) <0,

a ?1

0? a ?1

偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
2、 一般地,如果对于函数 f ?x? 的定义域内任意一个
x ,都有 f ?? x? ? ? f ?x?,那么就称函数 f ?x? 为
奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数
1、函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P(x0, f (x0 )) 处的切线的斜率 f ?(x0 ) ,相应的切线方 程是 y ? y0 ? f ?(x0 )( x ? x0 ) .
2、几种常见函数的导数
① C ' ? 0 ;② (x n )' ? nxn?1 ;

图 象

6 5 4 3 2
11

-4

-2

0

-1

2

4

6

6 5 4 3 2
11

-4

-2

0

-1

2

4

6

(1)定义域:R

性 (2)值域:(0,+∞)

质 (3)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1

(4)在 R 上是增函数
(5) x ? 0, ax ? 1 ; x ? 0, 0 ? ax ? 1
那么 f (x0 ) 是极大值;

(4)在 R 上是减函数
(5) x ? 0, 0 ? ax ? 1 ;
x ? 0, ax ? 1

②如果在 x0 附近的左侧 f ' (x) <0,右侧 f ' (x) >0,
那么 f (x0 ) 是极小值. 6、求函数的最值

(1)求 y ? f (x) 在 (a, b) 内的极值(极大或者极小值)

③ (sin x)' ? cos x ; ④ (cos x)' ? ? sin x ;

⑤ (a x )' ? a x ln a ; ⑥ (e x )' ? e x ;

⑦ (loga

x)'

?

1 x ln

a

;⑧ (ln

x)'

?

1 x

3、导数的运算法则

(1) (u ? v)' ? u' ? v' .

(2)将 y ? f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较,其中
最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。 注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质);
最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
第二章:基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地,如果 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
-3-

其中 n ? 1, n ? N? .

2、 当 n 为奇数时, n an ? a ;

当 n 为偶数时, n an ? a .

3、 我们规定:
n
⑴am ? m an

? ? a ? 0, m, n ? N *, m ? 1 ;

⑵ a?n

?

1 an

?n

?

0? ;

4、 运算性质:

⑴ a r a s ? ? a r?s a ? 0, r, s ? Q? ;

? ? ⑵ ar s ? ars ?a ? 0, r, s ?Q?;

a ?1

图 象

3 2.5
2 1.5
11
0.5

-1

0

- 0.5

-1

- 1.5

-2

- 2.5

11

2

3

4

5

6

7

8

3 2.5
2 1.5
11
0.5

-1

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

0? a ?1

11

2

3

4

5

6

7

8

(1)定义域:(0,+∞)

性 (2)值域:R 质 (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数
(5) x ? 1, log a x ? 0 ; (5) x ? 1, log a x ? 0 ; 0 ? x ? 1, log a x ? 0 0 ? x ? 1, log a x ? 0

⑶ ?ab?r ? a rbr ?a ? 0,b ? 0, r ? Q? .
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象: y ? a x ?a ? 0, a ? 1?
y
y=ax

0<a<1

a>1 1

o

x

3、基本性质: log a 1 ? 0 , log a a ? 1 .

4、运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时:

⑴ log a ?MN ? ? log a M ? log a N ;



log

a

?? ?

M N

?? ?

?

log a

M

?

log a

N



⑶ log a M n ? n log a M .

5、换底公式: log a

b

?

log c log c

b a

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .

6、重要公式: logan

bm

?

m n

loga

b

7、倒数关系:log a

b

?

1 log b

a

?a

? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? .

§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象: y ? log a x?a ? 0, a ? 1?
y
y=logax
0<a<1

o1

x

a>1

2、性质: §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

2、性质: §2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式: ax ? N ? x ? loga N ;
2、对数恒等式: aloga N ? N .

第三章:函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程 f ?x? ? 0 有实根
-4-

? 函数 y ? f ?x?的图象与 x 轴有交点

⑵圆锥侧面积: S侧面 ? ? ? r ? l

? 函数 y ? f ?x?有零点.
2、 零点存在性定理:
如果函数 y ? f ?x?在区间 ?a,b? 上的图象是连续不断
的一条曲线,并且有 f ?a?? f ?b? ? 0 ,那么函数
y ? f ?x?在区间 ?a,b?内有零点,即存在 c ? ?a,b?,
使得 f ?c? ? 0,这个 c 也就是方程 f ?x? ? 0 的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函
数拟合,最后检验.
必修 2 数学知识点
第一章:空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l

⑶圆台侧面积: S侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l

⑷体积公式:

V柱体

?

S

? h ;V锥体

?

1S 3

?h;

? ? V台体

?

1 3

S上

?

S上 ? S下 ? S下 h

⑸球的表面积和体积:

S球

?

4?R 2,V球

?

4 ?R3 . 3

第二章:点、直线、平面之间的位置关系

1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条

直线在此平面内。

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它

们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这

两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则

该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行)。

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行,则

线线平行)。

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,

则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行)。

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么

它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行)。

11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,

那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,

则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直)。

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。

-5-

12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直)。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。(简称面面垂直,则线面垂直)。

⑵ l1 和 l2 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ;

⑶ l1 和 l2

重合 ?

???BA11CB22

? ?

A2 B1 B2C1



⑷ l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 .

第三章:直线与方程
1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? y2 ? y1 x2 ? x1
2、直线方程:
⑴点斜式: y ? y0 ? k?x ? x0 ?
⑵斜截式: y ? kx ? b
⑶两点式: y ? y1 ? y2 ? y1 x ? x1 x2 ? x1
⑷截距式: x ? y ? 1 ab
⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0

3、对于直线:
l1 : y ? k1x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2 有:

⑴ l1 // l2

?

???bk11

? k2 ? b2



⑵ l1 和 l2 相交 ? k1 ? k2 ;

⑶ l1

和 l2

重合 ?

???bk11

? ?

k2 b2



⑷ l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1.

4、对于直线:
l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, 有: l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

⑴ l1

// l2

?

???BA11CB22

? ?

A2 B1 B2C1



5、两点间距离公式:
P1P2 ? ?x2 ? ?x1 2 ? ?y2 ? ?y1 2
6、点到直线距离公式:
d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2
7、两平行线间的距离公式:
l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,
则 d ? C1 ? C2 A2 ? B2
第四章:圆与方程 1、圆的方程:
⑴标准方程: ?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? r 2

其中圆心为 (a, b) ,半径为 r .

⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

其中圆心为 (? D , ? E ) ,半径为 r ? 1 D2 ? E2 ? 4F .

22

2

2、直线与圆的位置关系

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

的位置关系有三种:
d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2 ? 1? k 2 (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2
3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ;
-6-

⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r .
3、空间中两点间距离公式:
P1P2 ? ?x2 ? ?x1 2 ? ?y2 ? ?y1 2 ? ?z2 ? ?z1 2

必修 3 数学知识点

第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框:
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等 规范表示方法; 3、算法的三种基本结构:

顺序结构、条件结构、循环结构

?当型循环结构 ??直到型循环结构

⑴顺序结构示意图:

(图 3) ⑶循环结构示意图: ①当型(WHILE 型)循环结构示意图:

满足条件? 否

循环体 是

(图 4) ②直到型(UNTIL 型)循环结构示意图:

语句 n 语句 n+1

(图 1)
⑵条件结构示意图: ①IF-THEN-ELSE 格式:

满足条件? 是
语句 1

否 语句 2

(图 2) ②IF-THEN 格式:
是 满足条件?

循环体 否
满足条件? 是

(图 5)

4、基本算法语句: ①输入语句的一般格式:INPUT“提示内容”;变量 ②输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”;表达式 ③赋值语句的一般格式:变量=表达式
(“=”有时也用“←”). ④条件语句的一般格式有两种: IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为:

IF 条件 THEN

语句 1

ELSE

语句 2

-7-

END IF

(图 2)

IF—THEN 语句的一般格式为:

IF 条件 THEN 语句

END IF

(图 3)

⑤循环语句的一般格式是两种: 当型循环(WHILE)语句的一般格式:

WHILE 循环体 WEND

条件
(图 4)

直到型循环(UNTIL)语句的一般格式:

DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
(图 5)
⑹算法案例: ①辗转相除法—结果是以相除余数为 0 而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
ⅰ):用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和 一个余数 R0 ;
ⅱ):若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余 数 R1 ;
ⅲ):若 R1 =0,则 R1 为 m,n 的最大公约数;若 R1 ≠ 0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;……
依次计算直至 Rn =0,此时所得到的 Rn?1 即为所求 的最大公约数。 ②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:
ⅰ):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。 若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。
ⅱ):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与 所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直 到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的 最大公约数。 ③进位制 十进制数化为 k 进制数—除 k 取余法

k 进制数化为十进制数 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意:在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本,

每个个体被抽到的机会(概率)均为 n 。 N
2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: ⑴平均数: x ? x1 ? x2 ? x3 ??? xn ;
n 取值为 x1, x2 ,?, xn 的频率分别为 p1, p2 ,?, pn ,则其 平均数为 x1 p1 ? x2 p2 ??? xn pn ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1, x2 ,?, xn

? 方差: s 2

?

1 n

n i ?1

(xi

2
? x) ;

? 标准差: s ?

1 n

n i ?1

(xi

2
? x)

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的

稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;

②制作散点图,判断线性相关关系

?
③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)

-8-

? ?
?

n
xi yi ? nx y

? ??b ?
? ? ?

i ?1 n
i ?1

xi2

?

2
nx

?? a ? y ? bx

注意:线性回归直线经过定点 (x, y) 。

第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母 表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;

⑶随机事件 A 的概率: P(A) ? m ,0 ? P(A) ? 1 . n
2、古典概型: ⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则

事件 A 发生的概率 P(A) ? m . n
3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。

⑵几何概型概率计算公式:

P( A)

?

d的测度 D的测度



其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、

体积等。

4、互斥事件:

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;

⑵如果事件 A1, A2 ,?, An 任意两个都是互斥事件,则称 事件 A1, A2 ,?, An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率,

等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P(A ? B) ? P(A) ? P(B)

⑷如果事件 A1, A2 ,?, An 彼此互斥,则有: P(A1 ? A2 ??? An ) ? P(A1) ? P(A2 ) ??? P(An ) ⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称

这两个事件为对立事件。

①事件 A 的对立事件记作 A

P(A) ? P(A) ? 1, P(A) ? 1? P(A)

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。
必修 4 数学知识点
第一章:三角函数 §1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角? 终边相同的角的集合:
?? ? ? ? ? 2k?,k ? Z?.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度

的角.
2、 ? ? l . r
3、弧长公式: l ? n?R ? ? R . 180
4、扇形面积公式: S ? n?R 2 ? 1 lR . 360 2
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P?x, y?,那么: sin? ? y, cos? ? x, tan? ? y
x
2、 设点 A? x , y ? 为角? 终边上任意一点,那么:(设

r ? x2 ? y2 )

sin? ? y ,cos? ? x ,tan? ? y ,cot? ? x

r

r

x

y

3、 sin ? ,cos? ,tan? 在四个象限的符号和三角

函数线的画法. 正弦线:MP;

y T
P

余弦线:OM; 正切线:AT

O M Ax

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270 等的三角函数值.

-9-

?

0?

?

?

?

2?

3?

? 3?

2?

6

4

3

2

3

4

2

sin ? cos ? tan ?
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

1、 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1.

2、 商数关系: tan? ? sin ? . cos?

3、 倒数关系: tan? cot? ?1

§1.3、三角函数的诱导公式
(概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z )

1、 诱导公式一:

sin?? ? 2k? ? ? sin?, cos?? ? 2k? ? ? cos?, (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan?.

2、 诱导公式二:
sin?? ? ? ? ? ?sin?, cos?? ? ? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? tan?.

3、诱导公式三:
sin?? ? ? ? ?sin?, cos?? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? tan?.

4、诱导公式四:
sin?? ? ? ? ? sin?, cos?? ? ? ? ? ? cos?, tan?? ? ? ? ? ? tan?.

5、诱导公式五:

sin?? ? ? ? ?? ? cos? , ?2 ?
cos?? ? ? ? ?? ? sin ?. ?2 ?

6、诱导公式六:

sin?? ? ? ? ?? ? cos? , ?2 ?
cos?? ? ? ? ?? ? ? sin ?. ?2 ?

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象:

y=sinx

y

-4?

-7? -3? 2

-5? 2
-2?

-3? -? 2

?
-2 1 o
-1

? 2

?

3? 2

7?
2 2? 5? 3?
2

4?

x

y=cosx

y

-4?

-3? -7? 2

-5?
2 -2?

-? -3? 2

? -2

1

o

-1

? 2

?

3? 2
2?

3? 5? 2

7?
2 4?

x

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定

义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、

奇偶性、单调性、周期性.

3、会用五点法作图.

y ? sin x 在 x ?[0, 2? ] 上的五个关键点为:

(0,0)(,? ,1)(,?,0)(,3? ,-1)(,2?,0).

2

2

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:

y
y=tanx

3? -2

-?

? -2

o?
2

? 3? x
2

- 10 -

2、记住余切函数的图象:

y
y=cotx

-?

? -2

o?
2

? 3? 2? x
2

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x?,那么函数 f ?x? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
y ? sin x

y ? cosx

y ? tan x

图象

定义域 值域

R
[-1,1]

R
[-1,1]

{x | x ? ? ? k? , k ? Z} 2
R

最值

x ? 2k? ? ? , k ? Z时,y ? 1

2

max

x ? 2k? ? ? , k ? Z时,y ? ?1

2

min

周期性 奇偶性

T ? 2?


x ? 2k? , k ? Z时,y ? 1 max
x ? 2k? ? ? , k ? Z时,y ? ?1 min
T ? 2?



T ??


单调性
k?Z

在[2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增

2

2

在[2k? ? ? , 2k? ? 3? ]上单调递减

2

2

在[2k? ?? , 2k? ] 上单调递增 在[2k? , 2k? ?? ]上单调递减

在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递增

2

2

对称性 对称轴方程: x ? k? ? ?

k ? Z 对称中心 (k? , 0)

2

对称轴方程: x ? k?
对称中心 (k? ? ? , 0) 2

无对称轴
对称中心 ( k? , 0) 2

§1.5、函数 y ? Asin??x ? ? ?的图象

1、对于函数:
-2-

y ? Asin??x ??? ? B? A ? 0,? ? 0? 有:振幅 A,周

期T

?

2? ?

,初相? ,相位?x ? ? ,频率

f

?

1 T

?

? 2?

.

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

y ? Asin ??x ??? ? B 的图象之间的平移伸缩变

换关系. ① 先平移后伸缩:
y ? sin x 平移 |?| 个单位

y ? sin?x ???

(左加右减) 横坐标不变

y ? As i n? x???

纵坐标变为原来的 A 倍

纵坐标不变

y ? Asin??x ???

横坐标变为原来的 | 1 | 倍
?
平移 | B| 个单位 y ? Asin ??x ??? ? B

(上加下减)

说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数 y ? Asin(?x ??) 图像的对称轴与对称中心,

只需令 ?x ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) 与?x ?? ? k? (k ? Z) 2
解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式

利用图像特征: A ? ymax ? ymin , B ? ymax ? ymin .

2

2

? 要根据周期来求,? 要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用

1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换

§3.1.1、两角差的余弦公式

记住 15°的三角函数值:

?

sin? cos?

tan ?

? 12

6? 2 4

6? 2 4

2? 3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、 sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?

2、 sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ?

② 先伸缩后平移:

3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?

y ? sin x 横坐标不变

y ? Asin x

纵坐标变为原来的 A 倍

纵坐标不变

y ? Asin?x

4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?

5、

tan ??

?

?

?

?

tan? ?tan ? 1?tan? tan ?

.

横坐标变为原来的 | 1 | 倍
?

? 平移 个单位

y ? As i n?? x???

?

(左加右减)

平移 | B| 个单位 y ? Asin ??x ??? ? B

(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
函数 y ? sin(? x ??) ,x∈R 及函数 y ? cos(?x ??) , x∈R(A,? ,? 为常数,且 A≠0)的周期T ? 2? ;函
|? |
数 y ? tan(?x ??) , x ? k? ? ? , k ? Z (A,ω ,? 为
2 常数,且 A≠0)的周期T ? ? .
|? |

6、

tan ??

?

?

?

?

tan? ?tan ? 1?tan? tan ?

.

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、 sin 2? ? 2sin? cos? ,

变形:

sin?

cos?

?

1 2

sin

2?

.

2、 cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

? 2cos2 ? ?1

? 1? 2sin2 ? .

变形如下:

升幂公式:

??1 ? ? ??1 ?

cos 2? cos 2?

? ?

2 cos2 ? 2sin2 ?

对 于 y ? As i n?( x?? 和) y ? Acos(?x ??) 来
-2-

降幂公式:

??cos2 ? ? ??sin2 ?

? ?

1 2
1 2

(1? cos 2? ) (1? cos 2? )

3、 tan 2? ? 2 tan? . 1? tan2 ?
4、 tan? ? sin 2? ? 1? cos 2? 1? cos 2? sin 2?
§3.2、简单的三角恒等变换

1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式
y ? asin x ? bcosx ? a2 ? b2 sin(x ? ?)

( 其 中 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a,b) 的 象 限 决

定, tan? ? b ). a
第二章:平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.

2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三
个要素:起点、方向、长度.
2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称 模),记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长

度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.

3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共

2、 a ? b ≤ a ? b .
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向
规定如下:
⑴ ?a ? ? a , ⑵当 ? ? 0 时, ?a 的方向与 a 的方向相同;当
? ? 0时, ?a 的方向与 a 的方向相反.
? ? 2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当
且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果 e1, e2 是同一平面内的两

线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a ,
有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 .
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、 a ? xi ? y j ? ?x, y? .
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设 a ? ?x1, y1 ?,b ? ?x2 , y2 ?,则:

-3-

⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?,

⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?,

⑶ ?a ? ??x1,?y1 ?,

⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1.
2、 设 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ?,则:

AB ? ?x2 ? x1, y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ?,C?x3 , y3 ? ,则

? ? ⑴线段 AB 中点坐标为

, x1?x2 y1? y2

2

2



? ? ⑵△ABC 的重心坐标为

, x1?x2 ?x3 y1? y2 ? y3

3

3

.

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

1、 a ? b ? a b cos? .

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? .

2

2

3、 a ? a .

2
4、 a ? a .

5、 a ? b ? a ? b ? 0 .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设 a ? ?x1, y1 ?,b ? ?x2 , y2 ?,则:
⑴ a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ⑵ a ? x12 ? y12
⑶ a ? b ? a ?b ? 0 ? x1x2 ? y1y2 ? 0 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1y2 ? x2 y1 ? 0
2、 设 A?x1, y1 ?, B?x2 , y2 ?,则: AB ? ?x2 ? ?x1 2 ? ?y2 ? ?y1 2 .
3、 两向量的夹角公式

c o ?s ? a ?b ? ab
4、点的平移公式

x1 x2? y1 y2

x12

?

y

2 1

?

x 22? y

2 2

平移前的点为 P(x, y)(原坐标),平移后的对应点

为 P?(x?, y?) (新坐标),平移向量为 PP? ? (h, k ) ,



?x?

? ?

y?

? ?

x?h y ? k.

函数 y ? f (x) 的图像按向量 a ? (h, k) 平移后的

图像的解析式为 y ? k ? f (x ? h).
§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例

知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.
下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行 总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量:
若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 AB 为直线 l 的

一个方向向量;与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l
的方向向量. ⑵.平面的法向量:
若向量 n 所在直线垂直于平面? ,则称这个向量

垂直于平面? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n
叫做平面? 的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法):
①建立适当的坐标系.

②设平面? 的法向量为 n ? (x, y, z) .
③求出平面内两个不共线向量的坐标

a ? (a1, a2, a3), b ? (b1,b2,b3) .

④根据法向量定义建立方程组

??n ?

?

a

?

0

.

??n ?b ? 0

⑤解方程组,取其中一组解,即得平面? 的法向量.

-4-

(如图)

个相交向量分别为

m

、n

,若

??a ?

?

m

?

0

,

则l

?

?

.

??a ? n ? 0

即:直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的

法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。

⑶面面垂直

若平面? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要

2、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行
设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ,则要证明 l1 ∥
l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) .
即:两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行
①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面? 的法向
量是 u ,则要证明 l ∥? ,只需证明 a ? u ,即 a ?u ? 0 .

证? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 .
即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角
已知 a, b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a, b

上的任意两点, a, b 所成的角为? ,

AC ? BD

则 cos? ?

.

AC BD

即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外
②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. ⑶面面平行
若平面? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要
证? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ?v .
即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直
设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ,则要证明
l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ?b ? 0 .
即:两直线垂直 两直线的方向向量垂直。 ⑵线面垂直
①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面? 的法向
量是 u ,则要证明 l ? ? ,只需证明 a ∥ u ,即 a ? ?u .

⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 新疆 王新敞 奎屯
②求法:设直线 l 的方向向量为 a ,平面? 的法向量
为 u ,直线与平面所成的角为? , a 与 u 的夹角为? ,
则? 为? 的余角或? 的补角
的余角.即有:
a?u sin? ? cos? ? .
au
⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,
其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面 角的棱,每个半平面叫做二面角的面
新疆 王新敞
奎屯
二面角的平面角是指在二面角? ? l ? ? 的棱上
任取一点 O,分别在两个半平面内作射线
AO ? l, BO ? l ,则 ?AOB 为二面角? ? l ? ? 的平
面角.

②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面? 内的两
-5-

如图:

AB l

O

B

OA

②求法:设二面角? ? l ? ? 的两个半平面的法向量

分 别 为 m 、n , 再 设 m 、n 的 夹 角 为 ? , 二 面 角

? ? l ? ? 的平面角为? ,则二面角? 为 m 、n 的夹角 ? 或其补角? ??. 根据具体图形确定? 是锐角或是钝角:

m?n

◆如果? 是锐角,则 cos? ? cos? ?



mn

m?n

即? ? arccos



mn

m?n

◆ 如果? 是钝角,则 cos? ? ? cos? ? ?



mn

⑶直线 a 与平面? 之间的距离
当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平 面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

n ? MP

即d ?

.

n

⑷两平行平面?, ? 之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平 面间的距离转化为求点面距离。

n ? MP

即d ?

.

n

⑸异面直线间的距离

设向量 n 与两异面直线 a, b 都垂直, M ?a, P ?b,

? m?n ?

即? ? arccos ? ? ? .

? ?

m

n

? ?

5、利用法向量求空间距离
⑴点 Q 到直线 l 距离 若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上,a 为直线 l 的
方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为 h ? 1 (| a || b |)2 ? (a ?b)2
|a|

⑵点 A 到平面? 的距离

若点 P 为平面? 外一点,点 M 为平面? 内任一点,

平面? 的法向量为 n ,则 P 到平面? 的距离就等于

MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值.
即 d ? MP cos n, MP
n? MP ? MP ?
n MP
n ? MP ?
n

则两异面直线 a, b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向

上投影的绝对值。

n ? MP

即d ?

.

n

6、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个

平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂

直 新疆 王新敞 奎屯

推理模式:

P

PO ? ? ,O ?? ?

PA ? ? A

? ?

?

a

?

PA

O

a ? ? , a ? OA ??

A

a

?

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的 射影垂直
新疆 王新敞
奎屯

PO ? ?,O ?? ?

推理模式: PA ? ? A

? ?

?

a

?

AO

a ? ?, a ? AP ??

概括为:垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理
-6-

设 AC 是平面? 内的任一条直线,AD 是? 的一条 斜线 AB 在? 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D.设 AB 与 ? (AD)所成的角为?1 , AD 与 AC 所成的角为? 2 , AB 与 AC 所成的角为? .则 cos? ? cos?1 cos?2 .
B

A

?1 ? ?2

D

?

C

8、 面积射影定理
? ? 已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 ,它在 ? ? 平面? 内的射影图形的面积为 S? S射 ,平面? 与平
面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角? ,则

cos? ? S ' = S射 . S S原
9、一个结论
长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射 影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为?1、?2、?3 ,则有
l2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1
? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

必修 5 数学知识点

第一章:解三角形 1、正弦定理:
a ? b ? c ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径)

? a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B,c ? 2R sin C;

? sin A ? a ,sin B ? b ,sin C ? c ;

2R

2R

2R

? a : b : c ? sin A: sin B : sinC.

用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素;

⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它

元素。

? ?cos ?

A

?

b2

? c2 ? 2bc

a2

,

??cos ?

B

?

a2

? c2 ? 2ac

b2

,

? ?cos C ?

?

a2

? b2 ? 2ab

c2

.

用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素;

⑵已知三角形三边,求其它元素。

做题中两个定理经常结合使用.

3、三角形面积公式:

S ?ABC

?

1 absin C 2

?

1 bcsin 2

A?

1 acsin B 2

4、三角形内角和定理:

在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? (A ? B)

? C ? ? ? A ? B ? 2C ? 2? ? 2(A ? B) . 22 2
5、一个常用结论:
在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B;

若 sin 2A ? sin 2B,则A ? B或A ? B ? ? . 特别注意, 2
在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成立。

第二章:数列
1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

an

?

???SS1n

?

, (n ? 1)
注意通项能否合并。
Sn?1, (n ? 2).

2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前

一项的差等于同一个常数,即 an - an?1 =d ,(n≥

2,n∈N ? ),
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列 ? A? a?b
2
⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d

2、余弦定理:
?a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, ??b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, ??c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C.

或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:

-7-

Sn

?

na1

?

n?n ?1?
2

d

?

n ?a1 ?
2

an

?

⑸常用性质:

①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N? ? ,则
am ? an ? ap ? aq ;
? ? ②下标为等差数列的项 ak , ak?m , ak?2m ,? ,仍组成
等差数列;

③数列??an ? b?( ?, b 为常数)仍为等差数列;
④若{an}、{bn}是等差数列,则{kan} 、{kan ? pbn} ( k 、 p 是非零常数)、{ap?nq}( p, q ? N*) 、,…也成等
差数列。

⑤单调性:?an ?的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ?为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ?为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ?为常数列;
⑥数列{ an }为等差数列 ? an ? pn ? q(p,q 是常数)
⑦若等差数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

S3k ? S2k … 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前
一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等 比数列。

⑵等比中项:若三数 a、G、b 成等比数列 ? G2 ? ab,

( ab 同号)。反之不一定成立。 ⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m

? ? ⑷前

n

项和公式:

Sn

?

a1

1? qn 1? q

? a1 ? anq 1? q

⑸常用性质

①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N? ? ,则

am ? an ? ap ? aq ;

② ak , ak?m , ak?2m ,?为等比数列,公比为 q k (下标成

等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列??an?( ? 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的 等比数列;正项等比数列?an? ;则?lg an? 是公差为
lg q 的等差数列;

? ? ④若?an ?是等比数列,则?can?,an2

, ?? ?

1 an

??, ?

? ? anr

(r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q2,1 ,qr . q

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0, 0 ? q ? 1 ? ?an?为递增数列;

a1 ? 0,0 ? q ?1或a1 ? 0, q ?1??an?为递减数列;

q ?1??an?为常数列;

q ? 0 ??an? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

S3k ? S2k … 是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法

类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列

的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从

而根据规律写出此数列的一个通项。

类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an
的关系,求数列?an ?的通项 an 可用公式

an

?

?S1 ??Sn

?

, (n ? 1) Sn?1, (n ? 2)

构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一

分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即 a1 和 an
合为一个表达,(要先分 n ?1 和 n ? 2 两种情况分别进
行运算,然后验证能否统一)。 类型Ⅲ 累加法:

形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f (n) 是关

-8-

?an ? an?1 ? f (n ?1) 于 n 的函数)可构造: ????.a..n?1 ? an?2 ? f (n ? 2)
??a2 ? a1 ? f (1) 将上述 n ?1个式子两边分别相加,可得: an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1, (n ? 2)
①若 f (n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差
数列求和;
② 若 f (n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等
比数列求和;
③若 f (n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;

④若 f (n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.

类型Ⅳ 累乘法:

形如 an?1

?

an

?

f

(n)

? ? ?

an?1 an

?

f

(n)

? ?

型的递推数列(其

?

? an

? ?

an

?1

?

f (n ?1)



f

(n)

是关于

n

? 的函数)可构造:??

an?1 an?2

?

f (n ? 2)

??...

? a2 ?? a1

?

f (1)

将上述 n ?1个式子两边分别相乘,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ?...? f (2) f (1)a1, (n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这 种方法求解。

如下两种:
法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ?) ,展开移项整理得

an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系
数(待定系数法)得

?

?

q p?

1

,

(

p

?

0)

?

an?1

?

q? p ?1

p(an

?

q) p ?1

?

an

?

q? p ?1

p(an?1

?

q p?

) 1

,即

? ?a ?

n

?

q p?

? 1??

构成

以 a1

?

q 为首项,以 p ?1

p 为公比的等比数列.再利用

等比数列的通项公式求出 ??a n ? ?

q? p ?1??

的通项整理可

得 an.

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式

? ? 相减并整理得 an?1 ? an ? p, 即
an ? an?1

an?1 ? an

构成以

a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出

? ? an?1 ? an 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求

出 an.

㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式:

⑴当 f (n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

法一:设 an ? An ? B ? ?p an?1 ? A(n ?1) ? B? ,
通过待定系数法确定 A 、B 的值,转化成以 a1 ? A ? B

类型Ⅴ 构造数列法:
㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 )
型的递推式:
(1)若 p ? 1时,数列{ a n }为等差数列;

为首项,以 p 为公比的等比数列?an ? An ? B?,再利 用等比数列的通项公式求出?an ? An ? B?的通项整
理可得 an.

(2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列;

法二:当 f (n) 的公差为 d 时,由递推式得:

(3)若 p ? 1且 q ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列, an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减

其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

得:an?1 ? an ? p(an ? an?1) ? d ,令 bn ?an ?1 ?an 得:

-9-

bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ (累加法)便可求出 an.

类型Ⅵ 对数变换法:
形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式:

⑵当 f (n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

在原递推式 an?1 ? paq 两边取对数得

法一:设 an ? ? f (n) ? ?p an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过 lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得:

待定系数法确定 ? 的值,转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项, bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn

以 p 为公比的等比数列?an ? ? f (n)? ,再利用等比数 列的通项公式求出?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an.
法二:当 f (n) 的公比为 q 时,由递推式得:

之后得 an ? 10bn.(注意:底数不一定要取 10,可根据
题意选择)。 类型Ⅶ 倒数变换法:
形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推

an?1 ? pan ? f (n) ——①,an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两

边同时乘以 q 得 anq ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由

①②两式相减得 an?1 ? anq ? p(an ? qan?1) ,即

an?1 ? qan an ? qan?1

?

p

,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an.

法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n(其中 p,q 均

为常数)或 an?1 ? pan ? rqn(其中 p,q, r 均为常数)

时,要先在原递推公式两边同时除以 q n?1 ,得:

? ? an?1
q n?1

?

p q

?

an qn

? 1 ,引入辅助数列 q

bn

(其中

式:两边同除于

an?1an

,转化为

1 an

?

1 an?1

?

p 形式,

化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式,再求 an ;
an

还有形如 an?1

?

man pan ? q

的递推式,也可采用取倒数方

法转化成 1 ? m 1 ? m 形式,化归为 an?1 ? pan ? q
an?1 q an p

型求出 1 的表达式,再求 an .
an

类型Ⅷ 形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式: 用待定系数法,化为特殊数列{an ? an?1} 的形式 求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较

bn

?

an qn

),得:bn?1

?

p q

bn

?

1 再应用类型Ⅴ㈠的方 q

法解决。

⑶当 f (n) 为任意数列时,可用通法:

在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 pn?1 可得到

an?1 p n ?1

?

an pn

?

f (n) ,令 p n ?1

an pn

? bn ,则 bn?1 ? bn ?

f (n) , p n ?1

系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、k ,于是
{an?1 ? kan} 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为
an?1 ? pan ? q 型。 总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上
不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列, 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an.

在转化为类型Ⅲ(累加法),求出 bn 之后得 an ? pnbn . 5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法
- 10 -

⑴错位相减法
①若数列?an? 为等差数列,数列?bn? 为等比数列, 则数列?an ?bn? 的求和就要采用此法.

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常 见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两 步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

②将数列?an ?bn? 的每一项分别乘以?bn? 的公比,

然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ?bn? 的前 n 项
和.
此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方 法.
⑵裂项相消法

一般地,当数列的通项 an

?

(an

c ? b1)(an

? b2)

⑷倒序相加法
如果一个数列?an? ,与首末两项等距的两项之和等于
首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为
倒序相加法。特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... ⑸记住常见数列的前 n 项和: ①1? 2 ? 3 ? ... ? n ? n(n ?1) ;
2 ②1? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n2;

(a, b1, b2 , c为常数)时,往往可将 an 变成两项的差,

采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项:

设 an

?

? an ?

b1

?

? an ?

b2

,通分整理后与原式相

③12 ? 22 ? 32 ? ... ? n2 ? 1 n(n ?1)(2n ?1). 6
第三章:不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质
①(对称性) a ? b ? b ? a

比较,根据对应项系数相等得 ? ? c ,从而可得 b2 ? b1

c

= c ( 1 ? 1 ).

(an ? b1)(an ? b 2 ) (b2 ? b1) an ? b1 an ? b 2

常见的拆项公式有:
① 1 ?1? 1 ; n(n ?1) n n ?1



1

? 1 ( 1 ? 1 );

(2n ?1)(2n ?1) 2 2n ?1 2n ?1

③ 1 ? 1 ( a ? b); a ? b a?b

②(传递性) a ? b,b ? c ? a ? c

③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c
(同向可加性)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性)a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b cd

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N,且n ? 1)

⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b(n ? N ,且n ? 1)

⑧(倒数法则)a ? b ? 0 ? 1 ? 1 ; a ? b ? 0 ? 1 ? 1

ab

ab

2、几个重要不等式

① a2 ? b2 ? 2ab ?a,b? R? ,(当且仅当 a ? b 时取



C m?1 n

?

Cm n?1

?

Cnm ;

" ? " 号). 变形公式: ab ? a2 ? b2 . 2

⑤ n ? n! ? (n ?1)!? n!.
⑶分组法求和

? ? ②(基本不等式) a ? b ? ab a,b ? R? ,(当 2
且仅当 a ? b 时取到等号).
- 11 -

变形公式: a ? b ? 2 ab

ab

?

? ??

a

? 2

b

2
? ??

.

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最 大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

②幂平均不等式:

a12

?

a22

?

...

?

an2

?

1 n

(a1

?

a2

?

...

?

an )2.

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

③(三个正数的算术—几何平均不等式)
a ? b ? c ? 3 abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3
a ? b ? c 时取到等号).
④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ?a,b? R?
(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0,b ? 0, c ? 0)
(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑥ 若ab ? 0,则 b ? a ? 2 (当仅当 a=b 时取等号)
ab 若ab? 0,则 b ? a? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号)
ab ⑦b ? b?m ?1? a?n ? a
a a?m b?n b 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0)

(x1, y1, x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:
(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a,b, c, d ? R). 当且 仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 )
? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式:
设? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当
? 是零向量,或存在实数 k ,使? ? k ? 时,等号成

规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧当a ? 0时,x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;
x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a. ⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

立. ⑧排序不等式(排序原理):
设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实
数. c1, c2 ,..., cn 是 b1, b2 ,..., bn 的任一排列,则
a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn

3、几个著名不等式

①平均不等式: 2 ? a?1 ? b?1

ab ? a ? b ? 2

a2 ? b2 2

? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn. (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和) 当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序

? ? a,b ? R? ,(当且仅当 a ? b 时取" ? "号).
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:

和等于顺序和. ⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)
若定义在某区间上的函数 f (x) ,对于定义域中任

ab

?

? ??

a

? 2

b

?2 ??

?

a2

? 2

b2

;

a2 ? b2 ? (a ? b)2 . 2

意两点 x1, x2 (x1 ? x2 ), 有

f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) 或 f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) .

2

2

2

2

则称 f(x)为凸(或凹)函数.

- 12 -

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、

分析法;

其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,

函数单调性法,数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法:

①舍去或加上一些项,如 (a ? 1)2 ? 3 ? (a ? 1)2;

24

2

②将分子或分母放大(缩小),如

1

1

1

1

k2

?

k(k

, ? 1)

?

,

k 2 k(k ?1)

( 2 ? 2 ?) 1 ?

2

,

2 k k ? k k k ? k ?1

1?

2

(k ? N*, k ? 1) 等.

k k ? k ?1

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:

一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿 (奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f (x) ? 0 ? f (x)? g(x) ? 0 g(x)

f (x) g(x)

?

0

?

? f (x) ?? g ( x)

? g(x) ?0

?

0

(“? 或 ?”时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解

? f (x) ? 0



f

(x)

?

a(a

?

0)

?

? ?

f

(x)

?

a2

? f (x) ? 0



f

(x)

?

a(a

?

0)

?

? ?

f

(x)

?

a2

? f (x) ? 0



f

(x)

?

g(x)

?

? ? ??

g(x) f (x)

? ?

0 [ g ( x)]2



? ? ?

f (x) g(x)

? ?

0 0

? f (x) ? 0



f

(x)

?

g(x)

?

? ?

g

(x)

?

0

?? f (x) ? [g(x)]2

? f (x) ? 0 ⑸ f (x) ? g(x) ? ??g(x) ? 0
?? f (x) ? g(x)
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在 于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法:

⑴当 a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x)

⑵当 0 ? a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法
⑴当 a ?1时,

? f (x) ? 0

loga

f (x) ? loga

g(x)

?

? ?

g

(

x)

?

0

?? f (x) ? g(x)

⑵当 0 ? a ?1时,

? f (x) ? 0 loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0 .
?? f (x) ? g(x)

规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:

⑴定义法:

a

?a ? ???a

(a ? 0) .
(a ? 0)

⑵平方法: f (x) ? g(x) ? f 2(x) ? g2(x).

⑶同解变形法,其同解定理有:

① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0);

② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0);

- 13 -

③ f (x) ? g(x) ? ?g(x) ? f (x) ? g(x) (g(x) ? 0)

④ f (x) ? g(x) ? f (x) ? g(x) 或f (x) ? ?g (x) (g (x) ? 0)
规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中 取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法
解形如 ax2 ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要
对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小;
⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题
⑴不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成
立)的条件是:
①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

②当

a

?

0



?

?a ?? ?

? ?

0 0.

⑵不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成
立)的条件是:
①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

②当

a

?

0



?

?a ?? ?

? ?

0 0.

⑶ f (x) ? a 恒成立 ? f (x)max ? a;

f (x) ? a 恒成立 ? f (x)max ? a;

⑷ f (x) ? a 恒成立 ? f (x)min ? a;

f (x) ? a 恒成立 ? f (x)min ? a.
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:
法一:取点定域法:
由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的

以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特
殊点 (x0 , y0 )(如原点),由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可
判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的
平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选
原点.
法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的
符号与不等式开口的符号,若同号,Ax ? By ? C ? 0 (
或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上
方的区域.即:同号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域:
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常
数)的最值: 法一:角点法:
如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、y 即为公共区域
中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标
代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为 目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的
最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,
作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域,将
直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解
(x, y) ;第四步,将最优解 (x, y) 代入目标函数
z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法:
利用 z 的几何意义: y ? ? A x ? z , z 为直线的 B BB
纵截距.

坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所
- 14 -

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最小值;
②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型:

①“截距”型: z ? Ax ? By;

②“斜率”型: z ? y 或 z ? y ? b ;

x

x?a

③“距离”型: z ? x2 ? y2 或 z ? x2 ? y2 ;

四种命题的真假性之间的关系: ⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系. 3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的 充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.
⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件 p 与结论 q 之间的关系:
Ⅰ、从逻辑推理关系上看:
①若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件,q 是 p 的必要条件; ②若 p ? q ,但 q p ,则 p 是 q 充分而不必要条件; ③若 p q ,但 q ? p ,则 p 是 q 必要而不充分条件;
④若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件;
⑤若 p q 且 q p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要
条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看:
已知 A ? ?x x 满足条件 p?, B ? ?x x 满足条件 q? :

z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线 性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.
选修数学知识点
专题一:常用逻辑用语
1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题; 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
常用小写的拉丁字母 p , q , r , s ,……表示命
题. 2、四种命题及其相互关系

①若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件;
②若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件;
③若 A B,则 p 是 q 充分而不必要条件; ④若 B A,则 p 是 q 必要而不充分条件;
⑤若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件;
⑥若 A ? B 且 B ? A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要
条件. 4、复合命题
⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ); p 且 q ( p ? q );非 p ( ?p ).
⑵复合命题的真假判断
“ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真; “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对.
5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称
量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫
做全称命题. ⑵存在量词与特称命题

- 15 -

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词,并用符号“ ? ”表示.含有存在量词的命题,
叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
① 全 称 命 题 p : ?x ? ?, p(x) , 它 的 否 定 ?p :

?x0 ? ?, ?p(x0 ). 全称命题的否定是特称命题. ②特称命题 p : ?x0 ? ?, p(x0 ), ,它的否定 ?p : ?x ??, ?p(x). 特称命题的否定是全称命题.

专题二:圆锥曲线与方程
1.椭圆 焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 第一定义 第二定义
范围

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? b ? 0?

y2 a2

?

x2 b2

? 1? a

?b

?

0?

到两定点 F1 、F2 的距离之和等于常数 2 a ,即| MF1 | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | )

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即 MF ? e (0 ? e ? 1) d

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

顶点
轴长 对称性
焦点 焦距

?1 ??a,0? 、 ?2 ?a,0?

?1 ?0, ?a? 、 ?2 ?0, a?

?1 ?0, ?b? 、 ?2 ?0,b?

?1 ??b,0? 、 ?2 ?b,0?

长轴的长 ? 2a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ??c,0? 、 F2 ?c,0?

F1 ?0, ?c? 、 F2 ?0,c?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ?b2)

离心率

e? c ? a

c2 ? a2

a2 ? b2 ? a2

1?

b2 a2

(0 ? e ? 1)

准线方程

a2 x??
c

a2 y??
c

焦半径
M (x0, y0 )
焦点三角形面积

左焦半径: MF1 ? a ? ex0

下焦半径: MF1 ? a ? ey0

右焦半径: MF2 ? a ? ex0

上焦半径: MF2 ? a ? ey0

S?MF1F2

? b2

tan ? 2

- 16 -

(? ? ?F1MF2 )

通径 (焦点)弦长公式
焦点的位置 图形

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ? b2 a
A(x1, y1), B(x2, y2 ) , AB ? 1? k 2 x1 ? x2 ? 1? k 2 (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程
第一定义 第二定义
范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距
离心率
准线方程
渐近线方程
焦半径
M (x0, y0 )

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

?

0?

y2 a2

?

x2 b2

? 1?a

? 0,b ? 0?

到两定点

F 1

、F2

的距离之差的绝对值等于常数

2a

,即

| MF 1

|

?|

MF2

|

?

2a ( 0

?

2a

?|

F 1

F2

|)

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即 MF ? e (e ? 1) d

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ??a,0? 、 ?2 ?a,0?

?1 ?0, ?a? 、 ?2 ?0, a?

实轴的长 ? 2a

虚轴的长 ? 2b

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ??c,0? 、 F2 ?c,0?

F1 ?0, ?c? 、 F2 ?0,c?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2)

e?c ? a

c2 a2

?

a2 ? b2 a2

?

1?

b2 a2

(e ? 1)

x ? ? a2 c

y??bx a

M

在右支

??左焦:MF1 ???右焦:MF2

? ex0 ? a ? ex0 ? a

M

在左支

??左焦:MF1 ???右焦:MF2

? ?ex0 ? a ? ?ex0 ? a

y ? ? a2 c

y??ax b

M

在上支

??左焦:MF1 ???右焦:MF2

? ey0 ? a ? ey0 ? a

M

在下支

??左焦:MF1 ???右焦:MF2

? ?ey0 ? a ? ?ey0 ? a

-2-

焦点三角形面积 图形通径

S?MF1F2

? b2 cot ? 2

(? ? ?F1MF2 )

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ? b2 a

标准方程 定义

y2 ? 2 px

y2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

2.双曲线 3.抛物线
-3-

顶点 离心率 对称轴 范围

? 0, 0?

e ?1

x轴

y轴

x?0

x?0

y?0

y?0

焦点
准线方程 焦半径
M (x0, y0 )

F

? ??

p 2

,

0

? ??

x?? p 2

MF

? x0 ?

p 2

F

? ??

?

p 2

,

0

? ??

x? p 2

MF

? ?x0 ?

p 2

F

? ??

0,

p 2

? ??

y?? p 2

MF

?

y0 ?

p 2

F

? ??

0,

?

p 2

? ??

y? p 2

MF

? ? y0 ?

p 2

通径

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH? ? 2 p

焦点弦长 公式
参数 p 的几
何意义

AB ? x1 ? x2 ? p 参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

关于抛物线焦点弦的几个结论:

设 AB 为过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A(x1, y1) 、B(x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为? ,则



x1x2

?

p2 4 , y1 y2

? ? p2;



AB

?

2p sin2 ?

;

⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切; ⑷ 焦点 F 对 A 、B 在准线上射影的张角为 ? ;
2

⑸ 1 ? 1 ? 2. | FA | | FB | P

专题三:定积分
1、定积分的概念
如果函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续,用分点

? ? Ln

?

n i ?1

f (?i )?x ?

n i ?1

b?a n

f (?i ), ,当 n ? ? 时,上

述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f (x) 在

a ? x0 ? x1 ? … ? xi?1 ? xi ? … ? xn ? b 将区间[a,b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi?1, xi ] 上任取一点 ?i (i ? 1, 2,…, n) ,作和式

? 区间[a,b] 上的定积分.记作 bf(x )dx ,即 a

? ? b a

f

( x)dx

?

lim
n??

n i ?1

b

? n

a

f

(?i )

,这里,a

与b

分别叫

-4-

? ? ? 做积分下限与积分上限,区间[a,b] 叫做积分区间,函



b
f (x)dx ?

c
f (x)dx ?

b f (x)dx(其中 a ? c ? b) ;

a

a

c

数 f (x) 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f (x)dx 叫 ⑷利用函数的奇偶性求定积分:若 f (x) 是 [?a, a] 上

做被积式. 说明:
(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;② 近似代替;③求和;④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果 F?(x) ? f (x) ,且 f (x) 在[a, b]上可积,则

? 的奇函数,则 a f (x)dx ? 0 ;若 f (x) 是 [?a, a] 上的偶 ?a

? ? 函数,则

a
f (x)dx ? 2

a
f

(

x

)dx

.

?a

0

5、定积分的几何意义

b
? 定积分 f (x)dx 表示在区间[a,b] 上的曲线 a

?b f (x)dx ? F (x) b ? F (b) ? F (a) ,

a

a

【 其 中 F(x) 叫 做 f (x) 的 一 个 原 函 数 , 因 为

? F(x) ? C ?? ? F?(x) ? f (x) 】
3、常用定积分公式
⑴ ? 0dx ? c ( c 为常数)

⑵ ?1dx ? x ? c

⑶ ? x? dx ? x? ?1 ? c (? ? ?1) ? ?1
⑷ ? 1 dx ? ln x ? c x
⑸ ? exdx ? ex ? c

y ? f (x) 与直线 x ? a 、x ? b 以及 x 轴所围成的平面

图形(曲边梯形)的面积的代数和,即

?b a

f

( x)dx

?

Sx轴上方-Sx轴下方 .(在

x

轴上方的面积取

正号,在 x 轴下方的面积取负号)

6、求曲边梯形面积的方法与步骤

⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致

图像;

⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积

分的上、下限;

⑶写出定积分表达式;

⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.

7、定积分的简单应用

⑴定积分在几何中的应用:

几种常见的曲边梯形面积的计算方法:

(1) x 型区域:

① 由 一 条 曲 线 y ? f (x)(其中f (x) ? 0) 与 直 线

⑹ ? axdx ? ax ? c (a ? 0, a ? 1) ln a
⑺ ? sin xdx ? ? cos x ? c

x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面
积: S=?ab f (x)dx (如图(1));

⑻ ? cos xdx ? sin x ? c

⑼ ? sin axdx ? ? 1 cos ax ? c (a ? 0) a
⑽ ? cos axdx ? 1 sin ax ? c (a ? 0) a
4、定积分的性质

? ? ⑴

b
kf (x)dx ? k

b f (x)dx (k 为常数);

a

a

b

b

b

?⑵ a

f (x) ? g(x)dx ? ?a

f (x)dx ? ?a

g(x)dx ;

图(1) ② 由 一 条 曲 线 y ? f (x)(其中f (x) ? 0) 与 直 线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面

? ? 积: S=

b
f

(

x)dx

=-

b
f

(

x)dx

(如图(2));

a

a

-2-

图(2)
③由一条曲线 y ? f (x)

c
? 【当 a ? x ? c 时, f (x) ? 0 ? f (x)dx ? 0; a
b
? 当 c ? x ? b 时, f (x) ? 0 ? f (x)dx ? 0. 】 c
与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形

? ? 的面积: S= c f (x)dx ?

b
f (x)dx

a

c

? ? = c f (x)dx ?

b
f (x)dx. (如图(3));

a

c

图(3)

④由两条曲线 y ? f (x),y ? g(x) ( f (x) ? g(x)) 与

直线 x ? a, x ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面积:

? ? ? S ?

b

b

f ( x) dx? g( x) dx?

b?

f( x)?

g( ?x)

d(.x如

a

a

a

图(4))

图(5) ②由一条曲线 y ? f (x)(其中x ? 0)与直线 y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面 积,可由 y ? f (x) 先求出 x ? h( y) ,然后利用

? ? S=

b
h(

y)dy

=-

b
h(

y)dy

求出(如图(6));

a

a

图(6)

③由两条曲线 y ? f (x),y ? g(x) 与直线

y ? a, y ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面积,可由

y ? f (x),y ? g(x) 先分别求出 x ? h1 ( y) ,

? x

?

h2

(

y)

,然后利用

S=

b
|
a

h1 (

y)-h2

(

y)

|

dy

求出(如

图(7));

图(4)

(2) y 型区域:

①由一条曲线 y ? f (x)(其中x ? 0)与直线

y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积,

? 可由

y?

f (x) 得 x ? h( y) ,然后利用 S=

b
h( y)dy 求

a

出(如图(5));

图(7) ⑵定积分在物理中的应用: ①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程 S ,等于其速
度函数 v ? v(t)(v(t) ? 0) 在时间区间?a,b? 上的定积
b
? 分,即 S ? v(t)dt. . a
②变力作功
物体在变力 F(x) 的作用下做直线运动,并且物体沿
着与 F(x) 相同的方向从 x ? a 移动到 x ? b(a ? b) ,

-3-

b
? 那么变力 F(x) 所作的功W ? F (x)dx . a
专题四:推理与证明

演绎推理的一般模式———“三段论”,包括
⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况;

知识结构
推理 推

合情推理 演绎推理

归纳推理 类比推理

⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
用集合的观点来理解:若集合 M 中的所有元素都
具有性质 P , S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素
也都具有性质 P.



M



比较法

·a S



直接证明



证明

间接证明

综合法 分析法 反证法

从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正 确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都 正确的前提下,得到的结论一定正确.

数学归纳法
1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归

5、直接证明与间接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立.

纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般
的推理。 归纳推理的一般步骤:
? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题

框图表示: 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止.

(猜想);
? 证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理

框图表示: 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明

某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.

理称为类比推理(简称类比).

反证法法证明一个命题的一般步骤:

简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤:

(1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;

? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,
从而得出一个猜想;
? 检验猜想。
3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观
察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说, 合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结 论,这种推理称为演绎推理.

(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * )
时命题成立;
(2)(归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N *) 时命 题成立,推证当 n ? k ?1 时命题也成立.
只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开 始的所有正整数 n 都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学
命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几
何中的计算问题等.

简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.

专题五:数系的扩充与复数

-4-

1、复数的概念
⑴虚数单位 i ; ⑵复数的代数形式 z ? a ? bi (a,b ? R) ;
⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 2、复数的分类
复数 z ? a ? bi ?a,b?R?

?实数(b ? 0)

? ??虚数(b ?

?

0)

?纯虚数(a ? ??非纯虚数(a

0, ?

b? 0, b

0) ?

0)

3、相关公式

⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b,且c ? d

⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

⑶ z ? a ? bi ? a2 ? b2

⑷ z ? a ?bi z,z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共
轭复数).
4、复数运算

⑴复数加减法:?a ? bi?? ?c ? di? ? ?a ? c?? ?b ? d ?i ;

⑵复数的乘法:

?a ?bi??c ? di? ? ?ac ?bd ? ? ?bc ? ad ?i ;

⑶复数的除法:

a c

? bi ? di

?

?a ? bi??c ?c ? di??c

? ?

di ? di ?

(9) 设? ? ?1? 3i 是 1 的立方虚根,则 2
1? ? ? ?2 ? 0 , ?3n?1 ? ?,?3n?2 ? ? ,?3n?3 ? 1
6、复数的几何意义
复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫 做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
复数z ? a ? bi ??一一?对应??复平面内的点Z(a,b)
复数z ? a ? bi ??一一?对应?? 平面向量OZ
专题六:排列组合与二项式定理
1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理:(分类相加)
做一件事情,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方 法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成 这件事情共有 N ? m1 ? m2 ?? ? mn 种不同的方法.
⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘)
做一件事情,完成它需要 n 个步骤,做第一个步骤有 m1 种不同的方法,做第二个步骤有 m2 种不同的方 法……做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法.那么完成这 件事情共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取
m?m ? n? 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从

?

? ac

?

bd ?
c2

? ?bc
?d2

?

ad

?i

?

ac c2

? ?

bd d2

?

bc c2

? ?

ad d2

i

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分 母实数化) 5、常见的运算规律

(1) z ? z ; (2)z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;

(3)z ? z ? z 2 ? z 2 ? a2 ? b2;(4)z ? z;(5)z ? z ? z ? R

(6)i4n?1 ? i, i4n?2 ? ?1, i4n?3 ? ?i, i4n?4 ? 1;

n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列. ⑵组合定义:一般地,从 n 个不同的元素中任取
m?m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同的元素中
任取 m 个元素的一个组合.
⑶排列数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n? 个元素
的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数,记作 Anm .
⑷组合数:从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n? 个元素

(7) ?1 ?

i?2

?

?i;(8) 1? 1?

i i

?

i,1? i 1? i

?

?i,

?1? i ?? 2

2
? ??

?

?i

的所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cnm .

⑸排列数公式:

-5-

① Anm ? n?n ?1??n ? 2???n ? m ?1?

? ? a ? b n ? Cn0an ? Cn1an?1b ? Cn2a b n?2 2 ? ? Cnran?rbr

Anm

?

?n

n!
? m?!



? ? Cnnbn ?n? N? ? .
⑵二项展开式的通项公式:

② Ann ? n!,规定 0!?1.

Tr?1 ? Cnr an?rbr ?0 ? r ? n, r ? N , n ? N? ?.主要用途

⑹组合数公式:



Cnm

?

n?n

?1??n

?

2???n
m!

?

m

?1?



Cnm

?

n!
m!?n ? m?!



② Cnm

?

C n?m n

,规定 Cn0

?1.

⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序.

⑻排列与组合的联系: Anm ? Cnm ? Amm ,即排列就是先

是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当
二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系 数.如

在 (ax ? b)n 的展开式中,第 r ?1项的二项式系数



Cnr

,第

r

?1 项的系数为

Cnr a n?rbr

;而

(x

?

1 x

)n



展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定为

正,而项的系数不一定为正.

⑷ ?1? x?n 的展开式:

组合再全排列.

Cnm

?

Anm Amm

?

n ? (n ?1) ? ? (n ? m ?1) m ? (m ?1) ? ? 2 ?1

?

m!?

n! n?

m

?!

(m

?

n)

⑼排列与组合的两个性质性质

? ? 1? x n ? Cn0xn ? Cn1xn?1 ? Cn2xn?2 ??? Cnn x0 ,
若令 x ?1 ,则有
? ? 1?1 n ? 2n ? Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ??? Cnn .

排列

Am n?1

?

Anm

?

mAnm?1 ;组合

Cm n?1

?

Cnm

?

C m?1 n

.

⑽解排列组合问题的方法 ①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑 有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优 先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他 位置). ②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再 把不符合条件的所有情况去掉). ③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑” 为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列, 最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列). ④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某 些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好 没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素 按要求插入排好的元素之间). ⑤有序问题组合法. ⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法. ⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,
平均分成 n 组问题别忘除以 n!. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式:

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数

的和.即

C

0 n

?

C n2

????

?

C

1 n

?

C

3 n

?

???

?

2 n?1

⑸二项式系数的性质:

(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项

式系数相等,即

C

m n

?

C n?m n



(2)增减性与最大值:当 r ? n ?1 时,二项式系 2



C

r n

的值逐渐增大,当

r

?

n ?1时,C 2

r n

的值逐渐减小,

且在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项(第 n 2

n
+1 项)的二项式系数 Cn2 取得最大值.当 n 为奇数时,

中间两项(第 n ?1 和 n ?1 +1 项)的二项式系数

2

2

n?1

n?1

Cn 2 ? Cn 2 相等并同时取最大值.

⑹系数最大项的求法

设第 r

项的系数

Ar

最大,由不等式组

? ? ?

Ar Ar

? ?

Ar ?1 Ar ?1

可确定 r .

⑺赋值法

-6-

若 (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ... ? an xn , 则设 f (x) ? (ax ? b)n. 有:

① a0 ? f (0);

② a0 ? a1 ? a2 ? ... ? an ? f (1);

③ a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? (?1)n an ? f (?1);

④ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ?

f (1) ? f (?1) ; 2

⑤ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ... ?

f (1) ? f (?1) . 2

专题七:随机变量及其分布
知识结构

是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但 不充分的条件.
⑶相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,(即其中一个事件是
否发生对另一个事件发生的概率没有影响).这样的两 个事件叫做相互独立事件.
当 A、B 是相互独立事件时,那么事件 A? B 发生 (即 A、B 同时发生)的概率,等于事件 A、B 分别发
生的概率的积.即
P(A? B) ? P(A) ? P(B) . 若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式
如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率
Pn (k )? Cnk p k ?( 1p ? n ) ?kk ? 0 ,, 1 2n,?.
⑸条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率.记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

1、基本概念 ⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件.
如果事件 A、B、C ,其中任何两个都是互斥事 件,则说事件 A、B、C 彼此互斥.
当 A、B 是互斥事件时,那么事件 A? B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发
生的概率的和,即
P( A? B) ? P( A)? P.( B)
⑵对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事件.事件
A 的对立事件通常记着 A .
对立事件的概率和等于 1. P( A) ? 1? P( A) .
特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就 两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个 事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件, 因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定

公式: P(B A) ? P( AB) , P( A) ? 0. P( A)
2、离散型随机变量 ⑴随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量
来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用 新疆 王新敞 奎屯
字母 X ,Y,? ,? 等表示.
⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可 以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型 随机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值, 可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续 型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联 系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以 按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可 以一一列出.
若 X 是随机变量,Y ? aX ? b(a,b 是常数)则Y

-7-

也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型). 新疆 王新敞 奎屯
3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布(分布列)
设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1, x2 ,…, xi ,…, xn , X 的每一个值 xi ( i ? 1, 2,?, n )的概率 P( X ? xi ) ? pi ,则称表
X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列.

性质:① pi ? 0,i ? 1, 2,...n;

n
? ② pi ? 1. i ?1

⑵两点分布
如果随机变量 X 的分布列为

X

0

1

P 1? p

p

则称 X 服从两点分布,并称 p ? P(X ? 1) 为成功概
率. ⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是

P( X ? k ) ? Cnk pk (1? p)n?k .

其中 k ? 0,1, 2,..., n, q ? 1? p ,于是得到随机

变量 X 的概率分布如下:

X

0

1



k



n

P

C

0 n

p

0

q

n

C p q 1 1 n?1 n



C k p qk n?k n

Cn pnq0



n

一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取
n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件?X ? k? 发生的

概率为

P(X

?

k)

?

C C k n?k M N?M C Nn

(k

?

0,1, 2,

是得到随机变量 X 的概率分布如下:

, m) ,于

X

0

P

C C 0 n?0 M N?M CNn

1
C C 1 n?1 M N?M CNn



m



C C m n?m M N?M

CNn

其中 m ? min?M, n? , n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * .
我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 且称随机变量 X 服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样;
⑵超几何分布中的参数是 M , N, n. 其意义分别是
总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称
E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 为离散型
随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望).它反映了
离散型随机变量取值的平均水平.
性质:① E(aX ? b) ? aE(X ) ? b.

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作
X ~ B?n, p?,并称 p 为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点: ①对立性:即一次试验中事件发生与否二者必居其一;
②重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次;
③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等. 注:⑴二项分布的模型是有放回抽样;
⑵二项分布中的参数是 p, k, n.
⑷超几何分布

②若 X 服从两点分布,则 E( X ) ? p.
③若 X ~ B?n, p?,则 E(X ) ? np.
⑵离散型随机变量的方差
一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称

-8-

n
? D( X ) ? (xi ? E( X ))2 pi 为离散型随机变量 X 的 i ?1

方差,并称其算术平方根 D(X ) 为随机变量 X 的标
准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集 中与离散的程度.
D(X ) 越小, X 的稳定性越高,波动越小,取值

越集中; D(X ) 越大, X 的稳定性越差,波动越大,
取值越分散. 性质:① D(aX ? b) ? a2D( X ).

②若 X 服从两点分布,则 D(X ) ?p(1 ?P).

③若 X ~ B?n, p?,则 D(X ) ? np(1? P).

5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式:

? ? f x ?

1

e?

?

x?? ?2
2? 2

,

x

?

R

,其中

?,?

是参数,

2? ??

且? ? 0,?? ? ? ? ?? .记作 N (?,? 2). 如下图:

n

? xi yi ? nxy

?

i ?1

? ? ?
?

n

xi2

?

nx

2

? ?

? ?

n

yi2

?

ny

2

? ?

? i?1

? ? i?1

?

2、独立性检验

假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1,

x2}和{y1, y2},其样本频数 2? 2 列联表为:

y1

y2

总计

x1

a

b

a+b

x2

c

d

c+d

总计 a+c b+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利 用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度.

具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K 2 的

值K2 ?

n(ad ? bc)2

,其中

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

n ? a ? b ? c ? d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X
与 Y 有关系”成立的可能性越大.
随机变量 K 2 越大,说明两个分类变量,关系越强;
反之,越弱。

K 2 ? 3.841时,X 与 Y 无关; K 2 ? 3.841时,X

与 Y 有 95%可能性有关; K 2 ? 6.635 时 X 与 Y 有 99%
可能性有关.

专题八:统计案例
1、回归分析
回归直线方程 y? ? a ? bx ,

? ? ?
?

n

n

? xi ? x ?? yi ? y ?

xi yi ? nx y

? ?b ? i?1
其中 ? ?

n
? xi ? x ?2

?

i ?1

?a ? y ? bx

? i?1 n ? xi2 ? nx 2 i ?1

相关系数: r ?

n
? ? xi ? x ? ? yi ? y ?
i ?1

n

n

? ? xi ? x ?2 ? ? yi ? y ?2

i ?1

i ?1

专题九:坐标系与参数方程

1、平面直角坐标系中的伸缩变换

设点 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在

变换

?

:

?x? ??y?

? ?

? ?

? ?

x, (? y, (?

? ?

0), 0).

的作用下,点

P(

x,

y)



应到点 P?(x?, y?) ,称? 为平面直角坐标系中的坐标伸

缩变换,简称伸缩变换。

2、极坐标系的概念

在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引 一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角
度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方

向),这样就建立了一个极坐标系。

M (?,?)

?

-9-

?

O

x

图1

点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与 点 M 的距离| OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为? 。有序数对 (?,? ) 叫做点 M 的极坐标, 记为 M (?,? ) .
注:
极坐标 (?,? ) 与 (?,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个 点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R) .
若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (??,? ) 与点 (?,? ) 关于极点对称,即 (??,? ) 与 (?,? ? ? ) 表示同一点。
如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平 面内的点可用唯一的极坐标 (?,? ) 表示(即一一对应 的关系);同时,极坐标 (?,? ) 表示的点也是唯一确定
的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面
上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、? 对应 惟一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不
惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律
可循的,P( ? ,? )(极点除外)的全部坐标为( ? ,? + 2k? )或( ? ? ,? + (2k ?1)? ),( k ?Z).极点的 极径为 0,而极角任意取.若对 ? 、? 的取值范围加
以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,
如限定 ? >0,0≤? < 2? 或 ? <0, ? ? <? ≤? 等.
极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点
与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一
多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 (x, y) , 极坐标是 (?,? ) ,从图中可以得出:
x ? ?cos? , y ? ?sin?
? 2 ? x2 ? y2 , tan? ? y (x ? 0). x
y

4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是
? ? a ;(如图 1)
②以 (a, 0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方
程是 ? ? 2acos? ;(如图 2)
③以 (a, ? ) (a ? 0) 为圆心,a 为半径的圆的极坐标方 2
程是 ? ? 2asin? ;(如图 4)

M
a?

?M

M?
?

?

?

a

O

x

O

xO

a

x

图1
? ?a

图2
? ? 2 a cos ?

图3 ? ? ?2acos?

?

M

O

x

a?

?
Ma

?

O

x

图4

? ? 2asin?

图5 ? ? ?2asin?

⑵直线的极坐标方程

M

? (a,? ) a

?

O

x

图6

? ? 2a cos(? ??)

①过极点的直线的极坐标方程是? ? ?(? ? 0) 和

? ? ? ?? (? ? 0) . (如图 1)

②过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐

标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标方程为 x ? a .

N

? x ? ? cos? O

??

?

? ??

y

?

?

sin?

x

M

? y
?

? x2 ?y2 ??2 H

??

?

? ??

tan ?

?

y (x ? 0) x

(如图 2)
③过点 A(a, ? ) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程 2
是 ? sin? ? a . 化为直角坐标方程为 y ? a .(如图
4)
- 10 -

? M( ,? )

?0

O

x

图1

? ? ?0

M
?

?

O

a

图2
?? a cos ?

M
a?
?
O
图4
?? a sin?

?
O
?a

M

图5

??? a sin?

5、柱坐标系与球坐标系

M
?
?
aO
图3
??? a cos ?
? M( ,? )

a N(a,?)

O

p

图6

?? a cos(? ??)

⑴柱坐标:空间点 P 的直角坐标 (x, y, z) 与柱坐标

?x ? ? cos?

(?,?

,

z)

的变换关系为:

? ?

y

?

? sin?

.

??z ? z

⑵球坐标系

(2)椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的参数方程为

?x ? a cos?

? ?

y

?

b

sin ?

(? 为参数);

椭圆 y2 ? x2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a2 b2

?x ? b cos?

? ?

y

?

a

sin

?

(? 为参数);

(3)双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的参数方程

?x ? a s e c?

? ?

y

?

b

t

a

n?

(? 为参数);

双曲线

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的参数方程

?x ? b c o ?t

? ?

y

?

a

c

s

c?

(? 为参数);

空间点 P 直角坐标 (x, y, z) 与球坐标 (r,? ,?) 的变

?x2 ? y2 ? z2 ? r2

换关系:

??x

? ?

y

? ?

r r

sin? sin?

cos? sin ?

.

??z ? r cos?

6、参数方程的概念

在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标

x,

y

都是某个变数 t

的函数

?x ?? y

? ?

f (t), g (t ),

并且对于 t 的

每一个允许值,由这个方程所确定的点 M (x, y) 都在

这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方
程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方

程叫做普通方程。

7、常见曲线的参数方程

(1)圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的参数方程为

(4)抛物线

y2

?

2 px

参数方程

? ?

x

?

2 pt 2

(t 为参

? y ? 2 pt

数, t ? 1 ); tan ?

参数 t 的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点

与原点连线的斜率的倒数.

(6)过定点

P(x0 ,

y0

)

、倾斜角为? (?

?

? 2

)

的直线

的参数方程

?x

? ?

y

? ?

x0 y0

? t cos? ? t sin ?



t

为参数).

8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取
值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y
的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保
证等价性。若不可避免地破坏了同解变形,则一定要

?x ? a ? r cos?

? ?

y

?

b

?

r

sin?

(? 为参数);

通过 x ? f (t), y ? g(t) 。根据 t 的取值范围导出 x, y
的取值范围.
- 11 -

-1-


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