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棱柱、棱锥棱台精讲


山东省潍坊中学高中数学学案

业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征精讲学案
【学习目标】 1. 要结合模型、动态的或静态的直观图,了解、认识和研究多面体、棱柱、 棱锥和棱台的结构特征,并结合这些结构特征认识日常生活中见到的几何 体; 2. 了解棱柱、棱锥和棱台的分类,学会表示它们的方法,初步了解它们的一 些性质; 3. 认识直棱柱、 正棱柱、 正棱锥、 正棱台这些特殊多面体的结构特征和性质, 认识和研究正棱锥或正棱台中可以称之为核心图形的那些直角三角形或 直角梯形。 重点:棱柱、棱锥和棱台的定义、性质及它们之间的关系; 难点:几种概念相近的几何体( 如:平行六面体、直平行六面体、长方体、 正四棱柱、正方体等)的特征性质的区别。

【学习过程】
观察思考:下面几何体的主要特征有哪些?

思考:有两个面互相平行,其余各面都是平行 四边形的几何体一定是棱柱吗?(如图)

【合作探究 1】 四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、 四棱柱、正方体之间有怎样的关系?

观察思考:下面几何体的主要特征有哪些?
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如何理解棱锥? 棱锥是多面体中的重要一种,它有两个本质的特征: ① ; ② 。 【合作探究 2】 正棱锥具有怎样的特征性质?

【合作探究 3】 正棱台具有怎样的特征性质?

【典例解析】 例 1、若一个长方体共点的三条边的长分别是 3,4, 5,求长方体体对角线的 长。

变式训练:若一个长方体共点的三个表面的对角线长分别是 a , b , c ,则长方体 的对角线长是 。

例 2.已知正四棱锥 P-ABCD,底面面积为 16,一条侧棱长为 2
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11

,计算它的

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高和斜高。

变式训练: 正四棱锥的高为

3

,侧棱的长为

7

,则侧面上的斜高为多少?

例 3.正三棱台的高为 3cm,上、下底面边长分别为 2cm 和 4cm,求这个棱台 的侧棱长和斜高。

k

【课堂小结】 本节课的主要内容: 【当堂检测】 1、下列关于四棱柱的四个命题中,正确的命题序号是(
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①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱。 2、若长方体的对角线长为 是 3、如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,PO 是这个四棱锥的高,PM 是斜高, 且 PO=8,PM=11; (1)求侧棱长; (2)求一个侧面的面积; (3)求底面的面积。
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,所有棱长之和为 24,则此长方体的全面积

【优化训练】
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1、给出下列命题,其中正确的有( ) ①底面是正多边形,而且侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多面体; ②正多面体的面不是三角形,就是正方形; ③若长方形的各个侧面是正方形,则这个长方体就是正多面体; ④正三棱锥是正四面体。 A.①② B. ③ C. ② ③ D. ③④ 2、长方体的 6 个面的面积之和为 11,12 条棱长的长度之和为 24,则这个长方 体的对角线的长为( ) A. 2
3

B

14

C.5

D.6 )

3、用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱,截面形状是( A.正方形 B 矩形 C.菱形 D.平行四边形

4、用平行于底面的平面截棱锥,截面面积与底面面积之比为 1:2,截面把侧 棱分成的两段线段长度之比为( ) A.1:2 B1:
2

C.1: (

2

-1)

D.1:4

5、在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点, 这些几何体是 (写出所有正确结论的序号) ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体。

6、直平行六面体的侧棱长是 100cm,底面相邻边长分别为 23cm 和 11cm,底面 的两条对角线的比是 2:3,求它的两个对角面的面积。
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7、一个棱台的上、下底面积之比为 4:9,若棱台的高是 4cm,求截得这个棱台的棱锥的 高。

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