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第七章线性规划模型的建立与应用(农业技术经济学-安徽_图文

第七章 线性规划模型的建立与应用
学习目的与要求 线性规划是经济领域广泛应用的一 种经济分析方法。讲授本章目的是使同 学掌握线性规划分析法的基本原理,掌 握图解法和单纯形解法的程序及运算, 并借助电化教学,能够初步应用线性规 划法解决最低成本的农业生产资源最优 配合方式和最大收益的生产结构问题。

第七章 线性规划模型的建立与应用



一 节

一、线性规划的概念

线

二、线性规划三要素



三、技术经济研究中运用线性规划方法的特点

规 划

及局限性



四、线性规划模型的基本结构



五、线性规划模型的一般形式

的 基

六、线性规划模型的基本假设







一、线性规划的概念



一 节 线

线性规划是指如何最有效或最佳地谋划 经济活动。它所研究的问题有两类:



一类是指一定资源的条件下,达到最高



产量、最高产值、最大利润;



一类是,任务量一定,如何统筹安排,



以最小的消耗取完成这项任务。如最低成本



问题、最小投资、最短时间、最短距离等问



题。前者是求极大值问题,后者是求极小值



问题。总之,线性规划是一定限制条件下,



求目标函数极值的问题。





一、线性规划的概念







线

《经济大词典》定义线性规划:一种



具有确定目标,而实现目标的手段又有



一定限制,且目标和手段之间的函数关

划 模 型

系是线性的条件下,从所有可供选择的 方案中求解出最优方案的数学方法。











二、线性规划三要素



一 节

1.目标函数最优化——单一目标 多重

线

目标问题如何处理?

性 规

2.实现目标的多种方法 若实现目标只有



一种方法不存在规划问题。

模 型

3.生产条件的约束——资源是有限的



资源无限不存在规划问题。









三、技术经济研究中运用线性规划方法的



特点及局限性





特点:

线 性

1.可以使研究对象具体化、数量化。可以对



所研究的技术经济问题做出明确的结论;

划 模

2.线性

型 的

3.允许出现生产要素的剩余量



4.有一套完整的运算程序







三、技术经济研究中运用线性规划方法的

特点及局限性

第 一

局限性:



1. 线性规划它是以价格不变和技术不变为前提条件的,

线

不能处理涉及到时间因素的问题。因此,线性规划只



能以短期计划为基础。

规 划

2.在生产活动中,投入产出的关系不完全是线性关系,



由于在一定的技术条件下,报酬递减规律起作用,所



以要满足线性假定是不可能的。在线性规划解题中,

的 基

常常把投入产出的非线性关系转化为线性关系来处理, 以满足线性的假定性,客观上产生误差。



3.线性规划本身只是一组方程式,并不提供经济概念,



它不能代替人们对现实经济问题的判断。





四、线性规划模型的基本结构

一 节

1.决策变量 ——未知数。它是通过模型计算来

线

确定的决策因素。又分为实际变量——求解



的变量和计算变量,计算变量又分松弛变量



(上限)和人工变量(下限)。



2.目标函数——经济目标的数学表达式。目标函



数是求变量的线性函数的极大值和极小值这



样一个极值问题。

的 基 本 原 理

3.约束条件——实现经济目标的制约因素。它 包括:生产资源的限制(客观约束条件)、
生产数量、质量要求的限制(主观约束条 件)、特定技术要求和非负限制。



四、线性规划模型的基本结构



节 线

Min Z=10x1+20x2

目标函数

性 规

s.t. x1+x2≥10



模 型

3x1+x2≥15

约束条件

的 基

x1+6x2≥15





x1≥0 , x2≥0



五、线性规划模型的一般形式





节 线

Max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn

性 规

a11x1+a12x2+…+a1nxn≤ b1

(1)

划 模

a21x1+a22x2+…+a2nxn≤ b2

(2)

型 的





基 本

am1x1+am2x2+…+amnxn ≤ bm

(m)

原 理

x1 ,x2 ,…xn≥0
极大值模型





其简缩形式为



线



max Z ? c1x1 ? c2 x2 ? ? ? cn xn



n

划 模

? aij x j ? bi

j ?1





x j ? 0 , j ? 1,2,3,??, n









极大值模型

五、线性规划模型的一般形式





节 线

Min Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn



a11x1+a12x2+…+a1nxn ≥ b1

(1)





a21x1+a22x2+…+a2nxn ≥ b2

(2)









的 基

am1x1+am2x2+…+amnxn ≥ bm

(m)



x1 ,x2 ,…xn≥0





极小值模型





其简缩形式为



线



min Z ? c1x1 ? c2 x2 ? ? ? cn xn



n



? aij x j ? bi



j ?1



x j ? 0 , j ? 1,2,3,??, n











极小值模型

其简缩形式为



可用向量表示:





Max z ? CX

线 性 规

? ?
? ?

n j ?1

Pj

x

j

?b

划 模

?? x j ? 0



C=(c1,c2,……cn)

的 基 本 原 理

?? x1 ??

? x2 ?

X

?

? ?

?

? ?

???

? ?

x

n

? ?

?? a1 j ??

?a2 j ?

Pj

?

? ?

?

? ?

???

??? amj ???

?? b1 ??

? b2 ?

b

?

? ?

?

? ?

???

? ?

bm??

极大值模型

六、线性规划模型的基本假设
1.线性 目标函数和约束条件 2.可分性 活动对资源的可分性 3.可加性 活动所耗资源的可加性,资源总需要
量为多种活动所需资源数量的总和。 4.明确性 目标的明确性 5.单一性 期望值的单一性 6.独立性 变量是独立的表示各种作业对资源都
是互竟关系,没有互助关系 7.非负性

第二节 线性规划模型的建立 与图解法求解
一、建模 二、线性规划的求解——图解法

一、建模

[例1]某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料,甲乙两种 原料的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量 由表1给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元 和20元,求满足营养需要的饲料最小成本配方。

表1 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量

营养成分

甲原料x 1

乙原料x 2

(营养成分单位/原料 (营养成分单位/原料

配合饲料的最 低含量

单位)

单位)



1

1

10

蛋白质

3

1

15

热量

1

6

15

一、建模
设配合饲料中,用甲x1单位,用乙x2单位, 则配合饲料的原料成本函数,即决策的目标 函数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制 条件后,可得这一问题的线性规划模型如下:
Min Z=10x1+20x2 x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15 x1≥0 , x2≥0

一、建模
[例2]某农户计划用12公顷耕地生产玉米, 大豆和地瓜,可投入48个劳动日,资金 360元。生产玉米1公顷,需6个劳动日, 资金36元,可获净收入200元;生产1公 顷大豆,需6个劳动日,资金24元,可获 净收入150元;生产1公顷地瓜需2个劳动 日,资金18元,可获净收入1200元,问 怎样安排才能使总的净收入最高。
设种玉米,大豆和地瓜的数量分别为 x1、x2和x3公顷,根据问题建立线性规 划问题模型如下:

一、建模

Max Z=200 x1+150 x2+100 x3

x1+x2+x3≤12

(1)

6x1+6x2+2x3≤48

(2)

36x1+24x2+18x3≤360 (3)

x1≥0,x2≥0,x3≥0

一、建模
[例3]某农户有耕地20公顷,可采用甲乙 两种种植方式。甲种植方式每公顷需投 资 280 元 , 每 公 顷 投 工 6 个 , 可 获 收 入 1000 元 , 乙 方 式 每 公 顷 需 投 资 150 元 , 劳动15个工日,可获收入1200元,该户 共有可用资金4200元、240个劳动工日。 问如何安排甲乙两种方式的生产,可使 总收入最大?
解:设甲方式种x1公顷,乙方式种x2公顷, 总收入为Z,则有:

一、建模
Max Z=1000x1+1200x2 280x1+150x2≤4200 6x1+15x2≤240 x1+x2≤20 x1≥0,x2≥0

二、线性规划的求解——图解法
(一)可行解 (二)可行域 (三)最优解 (四)最优性定理 (五)最大化问题的图解法 (六)最小化问题的图解法

二、线性规划的求解——图解法
(一)可行解 线性规划问题的可行解是指,满足规划 中所有约束条件及非负约束的决策变量的一组取值, 其仅与约束条件有关而与目标函数值的大小无关。
(二)可行域 可行域是由所有可行解构成的集合。 根据线性规划的基本理论,任一个线性规划问题的可 行域,都是一个有限或无限的凸多边形,凸多边形的 每个角,称为可行域的极点。
(三)最优解 线性规划的最优解是指,使目标函数值 达到最优(最大或最小)的可行解。一个线性规划问题 可以是有解的,也可能是无解的,最优解的个数可能 是惟一的,也可能是有无穷多个,即决策变量有许多 组不同的取值,都使目标函数达到同一个最优值。

二、线性规划的求解——图解法
(四)最优性定理 若一个线性规划问 题有最优解,则最优解一定可以在可行 域的某个极点上找到一个最优解。同时 仍有可能有其他最优解存在,但它们也 只可能存在于可行域的其他极点或是边 界上。如果我们的目的是找出一个最优 解而不是全部最优解,这一定理实际上 是把寻找的范围,从可行域中的无穷多 个可行点,缩小到可行域的有限几个极 点上。

二、线性规划的求解——图解法
(五)最大化问题的图解法 第一步,找出问题的可行域 第二步,在可行域中寻求最优解,方法有
两种 : A.查点法 B.图解法

二、线性规划的求解——图解法

x1+x2=20

x2 280x1+150x2=4200

A(0,16) B(6.7,13.3)

20
AB C

C(9.2,10.8) D(15,0)
6x1+15x2=240

ZA=19200 ZB=22660 ZC=22160 ZD=15000

O

D 20

Z=1000x1+1200x2

40 x1

二、线性规划的求解——图解法
(五)最小化问题的图解法 ? 例:Min Z=10x1+20x2 ? s.t. x1+x2≥10 ? 3x1+x2≥15 ? x1+6x2≥15 ? x1≥0, x2≥0

ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150

x2 15 A

3x1+x2=15

可行域

10

B

x1+x2=10

5

C

O

5

10

A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1) D (15,0)

x1+6x2=15

D

15

x1

10x1+20x2=0

第三节 单纯形法
单纯形方法是一种较为完善的、步骤 化的线性规划问题求解方法。它的原理涉 及到较多的数学理论上的推导和证明,我 们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及 每一步的经济上的含义。为更好地说明问 题,我们仍结合实例介绍这种方法

第三节 单纯形法
一、线性规划的标准型 二、线性规划问题的解 三、单纯形法 四、单纯型表

第三节 单纯形法

LP目标函数有的要求实现最大化,有的要求实现最小

化,约束条件可以是“<=”、“>=”、“=”,这种多



样性给讨论问题带来不便。为了便于讨论,我们规定

线

线性规划问题的标准形式为:



Max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn





a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

(1)



a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

(2)





……



am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

(m)

x1 ,x2 ,…xn≥0

第三节 单纯形法

其简缩形式为



max Z ? c1x1 ? c2 x2 ? ? ? cn xn

线 性

n
? aij x j ? bi
j ?1

规 划 的

x j ? 0 , j ? 1,2,3,??, n
用向量表示 其中 C=(c1,c2,……cn)



准 型

?n

? ?

? Pj
j ?1

x

j

?b

? ?

xj ?0

向量Pj是其对应变量 xj 的系数向量。

?? x1 ??

? x2 ?

X

?

? ?

?

? ?

???

? ?

x

n

? ?

?? a1 j ??

?a2 j ?

Pj

?

? ?

?

? ?

???

??? amj ???

?? b1 ??

? b2 ?

b

?

? ?

?

? ?

???

? ?

bm??

第三节 单纯形法

用矩阵描述



Max z ? CX

线

?AX ? b

性 规

? ?

X

?0



的 标 准 型

?? a11 A?? ?

a12 ?

??

a1n ?

?? ?

?

?P1

P2 ? ? Pn ?;

? ?

am1

am2

??

amn

? ?

?? b1 ??

? b2 ?

b

?

? ?

b3

? ?

???

? ?

bm

? ?

第三节 单纯形法

可行解



最优解

线

基 设A为约束方程组的m×n阶系数矩阵,其秩为



m。B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵( B ? 0 ),



则称B是线性规划问题的一个基。不失一般性可设



问 题

?? a11 B?? ?

a12 ?

??

a1m ?

?? ?

?

?P1

P2

??

Pm ?

的 解

? ?

am1

am2

??

amm

? ?

称Pj为基向量,与基变量Pj相对应的变量为基变量。

否则为非基变量。

? 为了进一步讨论线性规划问题的解,我

二 们来研究约束方程组求解的问题。假设

线 性 规

方程组系数矩阵Z的秩为m,因m小于n 故它有无穷多个解。假设前m个变量的

划 系数列向量是线性独立的,这时线性规



划模型可写成 :







?? a11 ?? ?? a12 ??

?? a1m ??

?? b1 ?? ?? a1m?1 ??

?? a1n ??

? a21 ? ? a22 ?

? a2m ?

? b2 ? ? a2m?1 ?

? a2n ?

? ?

?

??x1

?

? ?

?

??x1

?

?

?

? ?

?

? ?

xm

?

? ?

?

? ?

?

? ?

?

??x

m?1

?

?

?

? ?

?

? ?

xn

??? ? ??

? ? ? ??? ? ? ?

???



? ?

a

m1

? ?

? ?

am2

? ?

? ?

a

mm

? ?

? ?

bm

? ?

? ?

amm?1

? ?

? ?

amn

? ?

线 性 规

m

n

或 ? Pj x j ? b ? ? Pj x j



j ?1

j ?m?1

问 题 的 解

设非基变量

xm?1 ? xm?2 ? ? ? xn ? 0

用高斯消去法,可求出一个解

X

?

(x 1

,

x2 ,??,

xm ,0,?,0)T

称X为基本解

基本可行解 满足非负条件的基本解

? [例3]某工厂在计划期内安排生产x1 x2两 种产品,这些产品分别需要在A、B、C、

D四种不同的设备上加工。按工艺规定,

三 单

产品x1和产品x2在各设备上加工的台时 数见下表。已知各设备在计划期内有效



台时数分别是12、8、16和12。(一台



设备工作一小时称为一台时)该工厂每



生产一件产品x1可得利润2元,每生产一

件产品x2可得利润3元,问如何安排生产

计划,才能得到利润最多?

三 单 纯

设备 产品

A

B

C

D

形 法

x1

2

1

4

0

x2

2

2

0

4

三 ? (一)求解过程

单 纯

? (二)求解过程小结





Max Z=2x1+3 x2



2x1+2x2≤12

单 纯

x1+2x2≤8

形 法

4x1 ≤16

求 解

4x2 ≤12 x1≥0,x2≥0

过 程

引入松弛变量

(8.1)

x3 —A设备闲置台时数 x4 —B设备闲置台时数 x5 —C设备闲置台时数 x6—D设备闲置台时数

将线性规划化为标准型.





纯 形

Max Z=2x1+3 x2+ x3+ x4+ x5+ x6



2x1+2x2+ x3

=12

求 解

x1+2x2 + x4

=8

(8.2)



4x1

+ x5 =16



4x2

+ x6 =12

x1≥0,x2≥0, x3≥0,x4≥0 ,x5≥0,x6≥0

系数矩阵



?? 2 2 1 0 0 0??

单 纯 形 法

A ? ?P1

P2

P3

P4

P5

P6

?

?

? ? ???

1 4 0

2 0 4

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0? 10????



x3, x4, x5, x6的系数列向量p3, p4, p5, p6是线性

解 独立的,这些列向量构成一个基





?1 0 0 0?

?

?

B ? ?P3

P4

P5

P6

?

?

? ? ???

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0? 10????

对应于B的变量x3, x4, x5, x6为基变量,从标准型我们可



以得到:

单 纯

x3

= 12-2x1-2x2



x4

= 8-x1-2x2



x5 = 16-4x1

(8.3)

求 解 过

x6 = 12-4x2 把上式带入目标函数得到



Z=0+2x1+3 x2

(8.4)

当个非基基本变可量行x1=解xX2=(00),便得z=0,这时得到一

三 单 纯 形 法


X

(0)

?? x1(0)

?

? ? ? ? ?

x 2 (0) x3(0) x 4 (0)

? ???

x5 x6

(0) (0)

?? ? ? ? ? ? ? ???

?

?? 0 ?? ?0? ??12?? ?8? ??16?? ??12??

?

?0

0

12

8

16

12?T

解 过 程

这个基本可行解表示:工厂没有安排生产产品;设备的 有效台时数没有被利用,所以构成的利润为0。

从分析目标函数的表达式可以看到,非基变量x1 ,x2系 数都是正数,若将非基变量换成基变量,目标函数就会

增加。所以,只要在目标函数的表达式中还存在正系数

的非基变量,这表示目标函数还有增加的可能,就需要

将非基变量换成基变量。一般选择正系数最大的那个非

基变量。可按以下方法来确定换出变量。

Z=0+2x1+3 x2

(8.4)

三 单 纯 形

x即3,x现x34,分,xx4析5, ,xx(5,6中x86.4换≥)0出,一将个x2,定并为保换证入其变余量的后都,是必非须负从,



当x1=0,由(8.3)式得到



x3

= 12-2x2 ≥0



x4

= 8-2x2 ≥0

(8.5)

过 程

x5 = 16 ≥0 x6 = 12-4x2 ≥0

从(8.5)式中可以看出,只有选择

x2

?

min?? 12 , ?2

8 2

,?, 12 ?? 4?

?

3

时,才能使(8.5)式成立。

因当x2=3时,基变量x6=0这就决定用x2去替换x6。

三 单 纯

为了解 置求和 与得x进6的以一位x步3,置分x4兑析, x换问5, 。x题2为得,基到需变将量(的8.5一)个中基的本x2可位行



x3 +2x2 = 12-2x1



x4 +2x2 = 8-x1

(8.6)



x5

= 16-4x1



4x2

= 12- x6

过 程

用高量斯变消为去单法位,列将向(量8。.6)式中的x2的系数列向

x3 x4 x5
x2

= 6-2x1+1/2x6 = 2-x1+1/2x6 = 16-4x1 = 3-1/4x6

(8.7)





? 再将(8.7)代入(8.1)目标函数得到:





? Z=9+2x1-3/4 x6

(8.8)



? 当非基变量x1=x6=0,得到Z=9,并得到



另一个基本可行解



过 程

X (1) ? (x1(1) , x2(1) , x3(1) , x4(1) , x5(1) , x6(1) )T ? (0,3,6,2,16,0)T

三 单

从目标函数的表达式(8.8)中可看到,非基 变 增量 大x,1的X(1系)不数一是定正是的最,优说解明。目于标是函用数上值述还方可法以,



确定换入换出变量,继续迭代,再得到另一个



基本可行解X(2)



X (2) ? (2,3,2,0,8,0)T

求 解

再经过一次迭代,又得到一个基本可行解

过 程

X (3) ? (4,2,0,0,0,4)T

这时得到的目标函数的表达式是:

Z = 14-1.5x4-0.125 x5 目标函数值达到最大,X(3)是线性规划的最优 解。











? 1.人造基、初始基本可行解



? 2.最优性检验











? 1.人造基、初始基本可行解



? 1.1若从线性规划问题的



n



Max z ? ? c j x j



j ?1



?n
? ? Pj x j ? b

? j ?1



? ?

xj ?0

解 过 程

Pj中能直接观察到存在m个线性独立的单位向 量,经过重新安排次序便得到一个可行基

小 结

??1 0 ?? 0??

?0 1 ?? 0?

B ? ?P1 P2 ?? PM ? ? ? ? ?

??

? ? ?

? 0

? 0

??

1? ???

? 1.人造基、初始基本可行解

三 ? 1.2“≤”标准化的方法,引入非负的松弛变量重新



对xj及aij编号,经整理则可得到下列方程

纯 形 法

Max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn

x1

+a1m+1xm+1+a1m+2xm+2+…+a1nxn =b1

x2 +a2m+1x m+1+a2m+2x m+2+…+a2nxn=b2

(8.9)



…… …

解 过 程

xm +amm+1x m+1+amm+2x m+2+…+amnxn=bm x1 ,x2 ,…xn≥0





显然得到一个单位阵

?1 0 ?? 0?

?

?

B ? ?P1

P2

??

PM

?

?

?0 ??

1 ?

?? 0? ??

? ? ?

? 0

? 0

??

1? ???





纯 形 法

我们就将B作为可行基。将(8.9)每个等式进 行移项得

求 解 过

x1 =b1 -a1m+1xm+1-a1m+2xm+2-…-a1nxn x2 =b2 -a2m+1x m+1-a2m+2x m+2-…-a2nxn
……

(8.10)



xm =bm -amm+1x m+1-amm+2x m+2-…-amnxn



x1 ,x2 ,…xn≥0



令x m+1 = x m+2 =……=x n=0,由(8.10)可得

xi=bi(I=1,2,……m) 得到一个初始基本可行解

X ? (x1, x2 ,?? xm , 0?,? ??,0)T ? (b1, b2 ,?,bm , 0?,? ??,0)T

n?m个

n?m个

三 单

2.最优性检验



? 得到初始可行解后,要检验一下是否是最优



解,如果是,则停止迭代,如果不是,则继



续迭代……。但每次迭代后都要检验一下是



否是最优解,为此需要建立一个判别准则。



? 一般情况下,经过迭代后式变成



程 小

?

xi ? b'i ?

n
?

a

' ij

x

j

(i=1,2,3,……,m)



j ? m?1

? 将上式代入目标函数,整理后得



m

n

m

单 纯 形

? ? ? zi ?

ci

b

' i

?

(c j ?

ci

a

' ij

)

x

j

i ?1

j ? m ?1

i ?1

法 求

z0

?

m
?

ci

b

'

i

,

z

j

?

m
?

ci

a

' ij

j=m+1,……,n



i?1

i?1



n



z ? z0 ? ? (c j ? z j )x j



j ? m ?1



? j ? c j ? z j ( j ? m ?1,??, n)

n
z ? z0 ? ?? j x j
j ? m?1



? 2.1最优解判别定理:

单 纯 形 法

? 若X (0) ? (b'1,b'2, ??b'm, 0,??0)T 为对应于B的基
本可行解,且对于一切j=m+1,……,n 有 ? j ? 0 ,则X(0)为最优解。

求 解

? 无有限最优解判别定理: ? 若 X (0) ? (b'1,b'2, ??b'm, 0,??0)T 为对应于B的基



本可行解,有一个? m?k ? 0 并且对于一切



i=1,2,3,……,m有,a

' i,m?k

?

0

那么该线性规划



没有有限最优解。



? 2.2换入变量的确定

max(? j ? 0) ? ? k 则对应的xk 为换入变量

? ?

2.3换出变量的确定 xc 为换入变量。

R

?

min??

b i

?? aik

aik

? 0???? ?

bc ack



例1
三 单 纯 形 表

例1

CB

XB

第 二

0

x3

单0

x4

纯0

x5

形 表

3

x2

Zj

实际活动
b x1 x2 x3
62 0 1 21 0 0 16 4 0 0 30 1 0 90 3 0

检验数行σ j

200

松弛活动

x4

x5

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

比值
x6 R
-0.5 3 -0.5 2
04 0.25 0.75 -0.75

例1

例1

实际活动

松弛活动

CB

XB

b x1 x2 x3

x4

x5

x6

第 四

0

x3 0 0 0 1 -1 -0.25 0

单2

x1

41 0 0

0 0.25 0

纯0

x6

4 0 0 0 -2 0.50 1

形 表

3

x2

Zj

20 14 2

1 3

0 0.50 -0.13 1 0 1.5 0.13 0

检验数行σ j

0 0 0 -1.5 -0.13 0

例2

例2

例2

第四节 灵敏度分析
? 目标函数系数灵敏度分析 ? 右边值灵敏度分析

目标函数系数灵敏度分析

? 最优解不变的条件下,允许C的变化范围,最优解

不变的前提是σj ≤0

C?B 假设XB玉米b价值x系1 数实际Cx活1发2动生x了3 变化x,4 其松变弛化活x动量5 为△x16

第 100 三 单 200+△1

x3 x1

6 6

0 1

01

3/2

1 0 -0.5

-0.25

0

1/4

0

纯0

x 6 36 0

-12 0

-9

-4.5

1

形 表

目标系数行c j

200+△1 150 100

0

0

0

机会成本行Z j 1800 200+△1 200+△1 100 50-0.5△1 25+0.25△1 0

检验数行σ j 1800 0 -50-△1 0 -50+0.5△1 -25-0.25△1 0

-50-△1 ≤0 -50+0.5△1 ≤0 -25-0.25△1 ≤0

△1 ≥ -50 △1 ≤100 △1 ≥-100

-50 ≤ △1 ≤100

目标函数系数灵敏度分析

? 假设大豆价值系数C2发生了变化,其变化量为△2

实际活动

松弛活动

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

第 100 三 单 200

x3 x1

6 6

0 1

0

1

3/2

1

0

-0.5

-0.25

0

1/4

0

纯0

x 6 36

0

-12 0

-9

-4.5

1

形 目标系数行c j

200 150+△2 100

0

表 机会成本行Z j 1800 200

200 100

50

0

0

25

0

检验数行σ j 1800 0 -50-△2 0

-50

-25

0

-50-△2 ≤0

△2 ≥ -50

目标函数系数灵敏度分析

? 假设地瓜价值系数C3发生了变化,其变化量为△3

实际活动

CB

XB

b

x1

x2

x3

松弛活动

x4

x5

x6

第 100+△3 三 单 200

x3 x1

6 6

0 1

0 1

1 0

3/2 -0.5

-0.25

0

1/4

0

纯0

x 6 36 0 -12

0

-9

-4.5

1

形 表

目标系数行c j 机会成本行Z j

1800

200 200

150 100+△3

0

0

200 100+△3 50+1.5△3 25-0.25△3

0 0

检验数行σ j 1800 0 -50

0

-50-1.5△3 -25+0.25△3 0

-50-1.5△3 ≤0 -25+0.25△3 ≤0

△3 ≥ -100/3 △3 ≤100

-100/3 ≤ △3 ≤100

表8-3 目标系数的允许变动范围

活动

目标系数 当前值

可减上限

可增上限

可变范围

玉米种植
x1

200

大豆种植
x2

150

地瓜种植
x3

100

50 无穷大 100/3

100 150~300

50 -∞~200

100

200/3~ 200

当仅有一种目标系数在允许范围内变动时,最优 方案不会变动,但最优目标值会随之变化。

右边值敏感性分析

? 由线性规划的原理可知,影子价格不变 的条件是最优解的松弛变量矩阵与右边 值矩阵的乘积大于和等于0,即:

? 3/2

X

?

B ?1P0

? ? ??1/ 2

? ?

?9

?1/ 4 1/ 4 ?9/2

0???? 12 ?? 0?? 48 ? ? 0 1 ???? 360??

当右边值发生变化时,如耕地变化△,此 时,影子价格不变的条件是

右边值敏感性分析—耕地

X

?

B ?1P0

?? 3 / 2 ? ??1/ 2

? ?

?9

?1/ 4 1/ 4 ?9/2

0????12 ? ?1 ??

0?? 48 ? ? 0

1

?? ??

360

? ?

得到 6+3/2△1≥0

6-1/2△1≥0

-4≤△1≤4

36-9△1≥0

因此耕地影子价格不变的耕地数量范围为:

[8,16]

右边值敏感性分析—劳动力

X

?

B ?1P0

?? 3 / 2 ? ??1/ 2

? ?

?9

?1/ 4 1/ 4 ?9/2

0???? 12 ??

0?? 48 ? ?2 ? ? 0

1 ????

360

? ?

得到 6-1/4△2≥0

6+1/4△2≥0

-24≤△2≤8

36-9/2△2≥0

因此劳动力影子价格不变的劳动力数量范

围为:[24,56]

右边值敏感性分析—资金

? 3/2

X

?

B ?1P0

?

? ??1/ 2

? ?

?9

?1/ 4 1/ 4 ?9/2

0???? 12 ??

0?? 48 ? ? 0

1

?? ??

360

?

?

3

? ?

得到

6≥0

6≥0

△3 ≥ -36

36+△3≥0

因此资金影子价格不变的资金数量范围为:

[324, ?] ?

表8-4 常数项的允许变动范围

资源
耕地 劳动 资金

现有数量
12 48 360

可减 上限
4 24 36

可增 上限
4 8 +∞

可变范围
8~16 24~56 324~+∞

影子价格
50 25 0

常数项的允许变动范围这一结果也还有另外一种意义,
即它给出了资源影子价格(边际产出率)的有效范围。 对耕地而言,当投入使用的数量在8--16公顷之间变化时, 其边际产出率都是50元,即每增加或减少1公顷耕地, 农户将增加或减少50元净收入。


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