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石家庄市2011~2012学年度第一学期期末考试高一数学试卷及答案1


石家庄市 2011~2012 学年度第一学期期末试卷
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 1.已知全集 U= x ? Z 1 ? x ? 6 ,集合 A= ? ,3,4?,则 CU A ? 1 B.
?

?

?

A. ?6?

?2,4?

C.

?2,5,6?

D. ? ,2,3,4,6? 1

2. sin 660 的值为

A.

1 2

B. -

1 2

C.

3 2

D. -

3 2

3.若向量 a = (2, 3) 与 b =(x,-6)共线,则 x 的值为

1 C. 3 2 4.下列函数中与函数 y ? x 相等的是
A.-4 B. A. y ?

D .4

x2

B. y ? log 2 2

x

x2 C. y ? x

D. y ? ( x )

2

5.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高,下面心率 关于时间的一个可能图象为

6.函数 f ( x) ? x ? cos x 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 7.已知 a ? ln 0.2, b ? 2 A. b > c > a
0.3

, c ? 0.30.2 ,则 a、b、c、 三个数的大小关系为
C. a > b > c D. c > b > a

B. b > a > c

8.函数 y ? 3x ? 8 ? log 2 x 的零点位于区间 A.(0,1) 9.函数 y ? 2 sin( A. ? 2 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

?

? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值是 3 6
B.-2 C.-1 D. - 5

?

10.已知平面向量 a、b、c ,下列选项正确的是 A.若 a≠0,a﹒b=0,则 b=0 ; B. ( a﹒b ) ﹒c = a﹒( b﹒c) ; C. 若 a≠0,a﹒b= a﹒c,则 b=c ; D. ( a+b ) ﹒c = a﹒c+ b﹒c ; 11.对实数 a 和 b,定义运算“ ? ” :a ? b =(a+b)÷(a-b),则( log 2 12 ) ? (log 2 3) = A. log 2 15 B. log 2 36 C. log 2 6 D. log 4 36

12.二次函数 f(x)满足 f(x+2)= f(-x+2),f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值 3,最小值 1,则的 m 取值范围是 A(0, ? ? ) B[2, ? ? ) C(0,2] D[2,4]
-1-

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知 sin ? =

3 ,且是第二象限角,则 cos ? = 5

. (用 a,b 表示)

14.在 ?ABC 中, AB =a, AC =b,若 BD = DC , AE =2 EC 则 ED = 15.若函数 f(x)= ?

? x ? 1, ( x ? 0) 则 f(f(-2))= ? x ? 2, ( x ? 0)

.

16.已知函数 f(x)=Asin( ? x+ ? )(A>0, ? >0, ? <

? )的部分图像如右图所示,则函数 f(x)解析式为 2

三、解答题:本大题共 6 小题。共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 l0 分) 已知 sin ? =

12 ? 3 ? , ? ? ( , ? ),cos ? ? , ? ? ( ? ,0 ),求 cos( ? ? ? )的值 2 2 13 5
x 在{0, ? ? )上是增函数

18. (本小题满分 12 分) 利用定义证明函数 f(x) ? 19.(本小题满分 12 分) 已知向量 a =1, b =2 且满足(a+2b) ? (3a-b) (1) 求向量 a 与 b 夹角的大小; (2) 求 a ? 2b 的值 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sinxcosx+cos x(1)求函数 f(x)的周期 (2)求函数 f(x)的单调递增区间 21.(本小题满分 12 分) 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染物数量 pmg/L 与时间 t h 之间的关系为 P=1000(
2

1 2

1 t ) , 2

如果要使排出的废气中污染物的数量不超过 12mg/L,那么至少需要过滤多长时间?(精确到 0.1h,参考数据: lg2=0.3010,lg3=0.4771) 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=log a (x+1),g(x)=log a (1-x)(a>0,且 a ? 1) (1) 求函数 f(x)+g(x)的定义域 (2) 判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由

-2-

石家庄市 2011~2012 学年度第一学期期末考试

高一数学(A 卷答案)
一、1-5 CDABB 6-10 AACCD 11-12 DD

二、.13. ?

4 1 1 ? ? 14. a - b 15.___1_______ 16. f ( x) ? 2 sin( x ? ) 5 2 6 8 4

12 ? 5 , ? ? ( , ?) ,则 cos ? ? ? , 3 分 13 2 13 3 ? 4 因为 cos ? ? , ? ? (? , 0) ,则 sin ? ? ? , 6 分 5 2 5
三 17.(本小题满分 10 分)解:因为 sin ? ? 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? -sin ? sin ? ,

?

5 3 12 4 33 ? ? ? = .???????10 分 13 5 13 5 65

18.证明:任取 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,且 x1 ? x2 , ????????2 分 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? x2
,??????6 分

?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 )

?

x1 ? x2 x1 ? x2

,??????9 分

因为 x1 ? x2 ? 0,

x1 ? x2 ? 0 ,

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x ) ?

x 在 ? 0, ?? ? 上是增函数.?????12 分
2 2

19.解: (Ⅰ)由已知可知 a +2b) 3a-b) a +5ab-2b =3+10cos ? ? 8 ? 0 .??????3 分 ( ( ? =3 所以 cos ? ?

1 0 ,所以向量 a 与 b 夹角为 60 .???????6 分 2
2

(Ⅱ)|a-2b|= (a -2b) ???????9 分

= a 2 -4ab+4b 2 = 1-4+16= 13 .???????12 分
20.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x cos x ? cos 2 x ? =

1 , 2

1 cos 2 x ? 1 1 1 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x , 2 2 2 2 2
2 ? sin(2 x ? ) ,?????4 分 2 4

?

所以 f ( x) 的周期为 ? .?????6 分
-3-

? ? ? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ???k ? Z ???????9 分 2 4 2 ?? ? ? ? k ? ? x ? ? k ???k ? Z 8 8 ?? ? 所以函数 g (x) 的单调递增区间 [? ? k ?? ? k ???? k ? Z .??????12 分 8 8
(Ⅱ)因为 ? 21.(本小题满分 12 分) 某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 P mg / L与时间 t h 之间的关系为

?1? P ? 1000 ? ? ,如果要使排出的废气中污染物的数量不超过 12 mg / L ,那么至少需要过滤多长时间?(精确 ?2?
到 0.1 h ,参考数据: lg 2 ? 0.3010,lg 3 ? 0.4771 )

t

?1? 解:依题意 1000 ? ? ? 12 ,???????4 分 ?2?
所以 t ? 即t ?

t

lg 3 ? 2 lg 2 ? 3 ,???????8 分 - lg 2

0.4771 ? 2 ? 0.3010 ? 3 ,得 t ? 6.04. ?0.3010
h .????12 分

所以要使排出的废气中污染物的数量不超过 12 mg / L ,那么至少需要 6.04 22.(本小题满分 12 分)

) 解: (Ⅰ)依题意 f ( x) ? g ( x) = log a ( x +1 + log a (1 ? x) ,
因为 ?

? x +1 ? 0; ??????3 分 ?1 ? x ? 0.

得 ?1 ? x ? 1 , 所以函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域为 ?1 ? x ? 1 .??????6 分 (Ⅱ)对任意的 x ? (?1,1), ???8 分

) 有 f (? x) ? g (? x) = log a (? x+1 + log a (1+x)
= f ( x) ? g ( x) ,所以 f ( x) ? g ( x) 是 (?1,1) 上的偶函数.??????12 分

-4-


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