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人教版高中数学选修4-4课件 第1讲-2《极坐标系》_图文

二 极坐标系 1.理解极坐标系的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻 画点的位置,体会在极坐标系和 课标 平面直角坐标系中刻画点的位置 解读 的区别. 3.掌握极坐标和直角坐标的互 化关系式,能进行极坐标和直角 坐标的互化. 1 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点 O,叫做极点 ; 自极点 O 引一条射线 Ox,叫做 极轴;再选定一个 长度单位 、 一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方 向),这样就建立了一个极坐标系. 2 (2)极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的 极径 ,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ,记为 θ.有序数 对(ρ,θ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ) .一般地, 不作特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取 任意实数 . 3 2.点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ,θ)与 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) 表示同一 个点,特别地,极点 O 的坐标为(0,θ)(θ∈R). 如果规定 ρ>0, 0≤θ<2π ,那么除 极点 外,平面 内的点可用 惟一 的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ) 表示的点也是 惟一 确定的. 4 3.极坐标与直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为 极点 ,x 轴的 正半轴作为 极轴 ,并在两种坐标系中取相同的 长度单位 , 如图 1-2-1 所示. 图 1-2-1 5 (2)互化公式:设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 (x,y),极坐标是(ρ,θ),于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表: 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 ??x=ρcos θ ???y=ρsin θ ρ2= x2+y2 tan θ=yx(x≠0) 6 1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系? 【提示】 极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而 直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐 标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不 可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系,用来研 究平面内点与距离等有关问题. 7 2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标惟一吗? 【提示】 平面上点的极坐标不是惟一的.如果限定 ρ>0, θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)可建立一一 对应关系. 3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么?【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带. 事实上,若 ρ>0,则 sin θ=ρy,cos θ=ρx, 所以 x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=yx(x≠0). 8 确定极坐标系中点的坐标 设点 A(2,π3),直线 l 为过极点且垂直于极轴的 直线,分别求点 A 关于极轴,直线 l,极点的对称点的极坐标 (限定 ρ>0,-π<θ≤π). 【思路探究】 欲写出点的极坐标,首先应确定 ρ 和 θ 的值. 9 【自主解答】如图所示,关于极轴的对称点为 B(2,-π3). 关于直线 l 的对称点为 C(2,23π). 关于极点 O 的对称点为 D(2,-23π). 四个点 A,B,C,D 都在以极点为圆心,2 为半径的圆 上. 10 1.点的极坐标不是惟一的,但若限制 ρ>0,0≤θ<2π,则 除极点外,点的极坐标是惟一确定的. 2.写点的极坐标要注意顺序:极径 ρ 在前,极角 θ 在后, 不能颠倒顺序. 11 (2013·漯河质检)在极坐标系中与点 A(3,-π3)关于极轴所 在的直线对称的点的极坐标是( ) A.(3,23π) B.(3,π3) C.(3,43π) D.(3,56π) 【解析】 与点 A(3,-π3)关于极轴所在的直线对称的点 的极坐标可以表示为(3,2kπ+π3)(k∈Z). 【答案】 B 12 将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标,并判断所表示的点 在第几象限. (1)(2,43π);(2)(2,23π);(3)(2,-π3);(4)(2,-2). 【思路探究】 点的极坐标(ρ,θ)―→?????xy= =ρρcsionsθθ ―→点 的直角坐标(x,y)―→判定点所在象限. 13 【自主解答】 (1)由题意知 x=2cos43π=2×(-12)=-1, y=2sin43π=2×(- 23)=- 3. ∴点(2,43π)的直角坐标为(-1,- 3),是第三象限内的 点. (2)x=2cos 23π=-1,y=2sin 23π= 3, ∴点(2,23π)的直角坐标为(-1, 3),是第二象限内的点. 14 (3)x=2cos(-π3)=1,y=2sin(-π3)=- 3, ∴点(2,-π3)的直角坐标为(1,- 3),是第四象限内的 点. (4)x=2cos (-2)=2cos 2,y=2sin(-2)=-2sin 2. ∴点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象 限内的点. 15 1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件: ①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合;③两种坐标系的长度单位相同. 2.将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用 到求角 θ 的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值, 灵活运用三角恒等变换公式是关键. 16 分别把下列点的极坐标化为直角坐标: (1)(2,π6);(2)(3,π2);(3)(π,π). 【解】 (1)∵x=ρcos θ=2cosπ6= 3, y=ρsin θ=2sinπ6=1. ∴点的极坐标(2,π6)化为直角坐标为( 3,1). 17 (2)∵x=ρcos θ=3cosπ2=0

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