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高三数学月考试题(理)


数学试题 1. 已知集合 A= {x | y ? log 2 x} , B= { y | y ? ( ) x , x ? 0} , 则 A ? C R B ? (

A. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x | x ? 1}

1 2

)

C. ?

D.

{ y | y ? 1}

2. 命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( ) A. 所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B. 存在一个不能被 2 整除的整数不是偶数 C. 所有能被 2 整除的整数都不是偶数 D. 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 3. 复数

? 4i

1 ? 3i A. ? i B. 1

的虚部是 (

)

C. 3

D. ? 1
)

4. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积为 ( 2π π A. 8- B. 8- C. 8-2π 3 3
x

D.

5. 若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 ?0,1? ,则 f (2 ? 2) 的定义域为(

2π 3



B. [log 2 3,2] C. [1, log 2 3] D. [1,2] ?log a x? x>1? 6. 若 f ? x ? ? ? 是 R 上的单调递增函数,则 a 的取值范围为 ??3 ? a ?x ? a ? x ? 1? A. [0,1]
( )

A. (1,??)

3 B. ( ,3) 2

?3 ? C. ? ,3 ? ?2 ?

D. ?1,3?

7.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其中甲同学不 能分配到 A 班,那么不同的分配方案有( ) A. 18 种 B. 24 种 C. 54 种 D. 60 种 8.

(2 x ? x ) n 展开式的二项式系数之和为 16,则含 x 3 的项的系数是( ) A. 6 B. 12 C. 24 D. ? 24 9. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) , f (3) ? 0 ,且对任意不等的正实数 x1 , x 2 都满足

? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,则不等式 x 3 ? f (? x) ? 0 的解集为(
0) ? (0, 3) A. (?3, ? 3) ? (0, 3) C. (??,
? 3) ? (3, ? ?) B. (??, 0) ? (3, ? ?) D. (?3,



? x ? y ? 1≥ 0, ? x?2 y 10. 若实数 x,y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 Z ? 3 的最小值是( ? x ≤ 0, ?



A. 0

B. 1

C.

11. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 :

3 D. 9 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且 当 0 ? x ? 1 时 ,

5 f ( x) ? ?8 x 2 ? 8 x ,则 f (? ) ? ( ) 2 A. ? 2 B. ? 1 C. 2 D. 1 12.定义在 R 上的函数 f ( x), g ( x) 满足: g ( x) ? 0, f ( x) g ?( x) ? f ?( x) g ( x) ,
f (1) f (?1) 5 f ( n) ? ? , 在有穷数列 { }( n ? 1,2,?,10) g (1) g (?1) 2 g ( n) 15 中,任意取正整数 k( 1 ? k ? 10 ) ,则前 k 项和大于 的概率是 ( ) 16
f ( x) ? a x ? g ( x), ( a ? 0且a ? 1 ),
-1-

3 4 D. 5 5 13.在极坐标系中,圆 ? ? ?2 sin ? ( ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? )的圆心的极坐标是

A.

1 5

B.

2 5

C.

14. 设 P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角不超过
2

? , 4

则点 P 的横坐标的取值范围是 15. 已知向量 a ? (1, sin x) , b ? (cos(2 x ?

?
3

), sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b

(1)求函数 f ( x) 的解析式及其单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 C 为钝角,若 f (

C 1 ) ? ? , a ? 2 , c ? 2 3 .求 ?ABC 的面积。 2 4

16. 乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次, 依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1

3 ,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中,甲先发球. 5 (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望. E
分的概率为 17. 在如图所示的多面体中,已知正方形 ABCD 和直角 梯形 ACEF 所在的平面互相垂直, EC ? AC ,

F
C

EF ∥ AC , AB ? 2 , EF ? EC ? 1 . (1)求证: AF ∥平面 BDE (2)求证: DF ⊥平面 BEF ; (3)求二面角 A ? BF ? E 的余弦值。
D
18. 设各项为正的数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n 且满足: 2S n ? an (an ? 1) (1)求 a n (2)若 Tn ?
x

B

A

? (a
i ?1

n

i

? 1) ? 2 i ,求 Tn

19. 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 , e 为自然对数的底数。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 对任意的 x ?R 恒成立,求正实数 a 的值;

参考答案 一.选择题(本题共有 12 小题, 每题 5 分,共 60 分,每题恰有一个答案) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A B C B C A B 二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13. (1,

11 A

12 C

3? 1 ? 3 14. [?1,? ] 15. f 3 ( x) ? x cos x , f 4 ( x) ? cos(x ? ) 16.③④ ) 2 2 2 三.解答题( 17 ? 21 题每小题各 12 分,22 题 14 分共 74 分,写出必要的解答或证明过程)
17.解: (1) f ( x) ? a ? b ? cos(2 x ?

?

3

) ? sin 2 x

-2-

3 1 ? cos 2 x 1 ? ? sin 2 x 2 2 3 3 2 ? 3? ? 3? 由 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? 得: k? ? ? x ? k? ? 2 2 4 4 ? 3? 单调递增区间为 [k? ? , k? ? ] , k ? Z …………………………6 分 4 4 C 1 3 1 3 (2)? f ( ) ? ? sin C ? ? ,? sin C ? . 2 2 2 4 2 2? 角 C 为钝角,所以 C ? …………………………8 分 . 3 2 2 3 1 ? 由正弦定理可得: , sin A ? ,而 0 ? A ? ? sin A sin C 2 3

? cos 2 x cos

?

? sin 2 x sin

?

?

?A?

?

6

,B ?

?

6

…………………………10 分

1 …………………………12 分 ac sin B ? 3 2 18. 解:记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”, i ? 1,2,3 , 3 2 则 P( A1 ) ? P( A2 ) ? , P ( A3 ) ? 5 5 (1) “开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为事件 A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,其概率为 3 2 3 2 2 2 44 P ? ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125 44 即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 ……………………6 分 125 (2)由题意 ? ? 0,1, 2,3 . 3 3 2 18 2 3 2 3 51 P(? ? 0) ? ? ? ? P(? ? 1) ? 2 ? ? ? ? ( ) 3 ? 5 5 5 125 5 5 5 5 125 44 2 2 3 12 P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? ? ? ? 125 5 5 5 125 18 51 44 12 7 所以 E? ? 0 ? ……………………12 分 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5 1 19.证明: (1) 设 AC 与 BD 交与点 O 。 ? EF// AO ,且 EF=1, AO = AC=1. 2 ? 四边形 AO EF 为平行四边形.,则 AF// EO , ? EO ? 面 BDE,AF ? 面 BDE, ?AF//面 BDE. ………………………3 分 (2)?正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直,且 CE ? AC, ? CE ? 面 ABCD,连接 FO ,∵正方形 ABCD 的边长为 2 ,∴AC=BD=2; 直角梯形 ACEF 中,易得 FO∥EC,且 FO=1;DF=BF= 2 , DE=BE= 3 ,

? S ?ABC ?

则 BF ? EF ,由 BF=DF= 2 ,BD=2 可知 BF ? DF , ∴ BF ⊥平面 DEF (也可用向量法证) ………………………7 分 (3) :取 BF 中点 M,BE 中点 N,连接 AM、MN、AN,∵AB=BF=AF= 2 ,∴AM⊥BF, 又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,∴∠AMN 就是二面角 A-BF-E 的平面角。

-3-

易求得 AM ?

1 1 3 6 , MN ? EF ? ; AB ? 2 2 2 2
2 2 2

E
F
N

11 在 Rt△ APN 中,可得 AN ? AP ? NP ? , 4 6 ∴在△ AMN 中,可得 cos ?AMN ? ? , 3
法二:向量法 则 A( 2 ,
D xyz, 建立如图所示的空间直角坐标系 C-

C
O

P

M

B

A

2 ,0) , B(0, 2 ,0) , D ( 2 ,0,0) , F (

2 2 , ,1) , 2 2

∴ BA ? ( 2 ,0,0) , BF ? (

2 2 ,? ,1) 2 2
2 2 , ,1) 2 2

由(2)可知:平面 BEF 的法向量为 DF ? (? 设平面 ABF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

2 2 x? y ? 1 ? 0 , n ? BA ? 2 x ? 0 , 2 2 令 z ? 1 ,解得 x ? 0 , y ? 2 ∴ n ? (0, 2 ,1)
则 n ? BF ? ∴ cos ? DF , n ??

DF ? n BF n

?

6 3
6 ……………………(12 分) 3

由图知,二面角 A-BF-E 的平面角是钝角,故其余弦值为 ? 20. (1)

………………………………4 分 a ? 1 , b ? 1. (2)可判断 f ( x) 为 R 上的减函数 ………………………………7 分 2 ? t ? ?2,3? , 不等式 f (kt ? 2t ) ? f (1 ? t ) ? 0 恒成立, ? f (kt2 ? 2t ) ? ? f (1 ? t ) ? f (t ? 1) 3t ? 1 ? kt2 ? 2t ? t ? 1 ,得 k ? 2 任意 t ? ?2,3? 恒成立 t 1 2 1 1 3 2 9 1 1 1 5 即 k ? ?( ) ? 3( ) ? ?( ? ) ? 在 ? ( , ) 恒成立,则 k ? …………12 分 t t t 2 4 t 3 2 4 21. 解: (1)令 n ? 1 , 2S1 ? 2a1 ? a1 (a1 ? 1) ,得 a1 ? 1 ………………1 分

2S n ? a n ? a n , n ? 1

2

2S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1 , n ? 2 ,两式相减得:

2

2an ? an 2 ? an ?12 ? an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 1) ? 0

? an ? 0, ∴ an ? an?1 ? 1, 故 {a n } 为等差数列,
∴ an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n
2 3

……………………………4 分
n

(2)得 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2

2Tn ?
∴ Tn ? n ? 2 (3)

2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ? (n ? 1) ? 2 n?1
n ?1

……………………………7 分

2 1 1 2 1 1 ? 2 与 2 的大小为 2 ? 2 ? 2 2 Sp Sm Sn S p Sm Sn

? 2 p ? m ? n ? 2 mn

? mn ? p 2
-4-

∴ (m ? 1)( n ? 1) ? (

m?n?2 2 ) ? ( p ? 1) 2 2 1 1 2 8 8 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 …………………12 分 2 2 S m S n S m S n mn(m ? 1)( n ? 1) p ( p ? 1) Sp
x

22. 解: (1)由 f ?( x) ? e ? a ,得 x ? ln a 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为 (??,??) . 当 a ? 0 时, f ?( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a
x

时, f ?(x x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0; x ? ( l n, a ? ? ) ) ?0; ∴ f ( x ) 的单减区间为 ( ? ? ,l na ) ,单增区间为 ( l na ,? ? ) 所以 a ? 0 时, f ( x) 只有单调递增区间为 (??,??) . l na ,? ? ) ,减区间为 (? ? ,l na )…………………5 分 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 ( (2)由(1)得 f ( x ) 的最小值为 f (ln a) ? a ? a ln a ? 1 )m ≥ 0. f (x) ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即 f (x in 设g ,所以 g (a) ? 0 ,由 g ?(a) ? ? ln a ? 0 得 a ? 1 . ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ∴ g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g (a) ? g (1) ? 0 ,则 a ? 1 ……………………………9 分 k x x ? (3) 由 (2) 知 e ? x ?1 ? 0 , 即 1 ? x ? e .令 x ? ? ( n ? N , k ? 0,1,2,3?, n ? 1 ) , n k k ? ? k k n n ?k 则 0 ? 1? ? e n ∴ (1 ? ) ? (e n ) ? e n n 1 2 n ?1 n n ( )n ? ( )n ? ? ? ( ) ? ( ) n ? e ?( n?1) ? e ?( n?2) ? ? ? e ?2 ? e ?1 ? 1 n n n n ?n 1? e 1 e ? ? ? . ………………………………14 分 ?1 ?1 e ?1 1? e 1? e

-5-


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