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2012年人教A版高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质练习题(一)

2012 年人教 A 版高中数学必修二 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 练习题(一) 一、选择题 1.“直线 垂直于平面 a 内的无数条直线”是“ ⊥a”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若 则 与平面 内所有和直线 平行的直线都垂直,但 不垂直平面 ; 若 则 垂直平面 内的所有直线;故选 B 2.如果一条直线 与平面 a 的一条垂线垂直,那么直线 与平面 a 的位置关系是( ) A. B. ⊥a C. ∥a D. 或 ∥a 【答案】D 【解析】因为平面垂线垂直于平面内的任意一条直线,所以可能有 平面 内的射影为 。依题意可得, ,从而有 。故选 D 3.若两直线 a⊥b,且 a⊥平面 a,则 b 与 a 的位置关系是( ) A.相交 B.b∥a C. D.b∥a,或 【答案】D 【解析】此题考查线线、线面的位置关系判定;由已知可得到直线 b 在平面 a 内,或与 a 平 行,所以选 D 4.a∥ ,则 a 平行于 内的( ) A.一条确定的直线 B.任意一条直线 。当 时,设 在 C.所有直线 D.无数多条平行线 【答案】D 【解析】设 根据线面平行性质知: 所有和 平行的直线。故选 D 5.如果直线 a∥平面 ,那么直线 a 与平面 内的 ( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 【答案】D 【解析】 ,则直线 与平面 内的直线可能平行或异面,即与平面 内任意一条直线都 不相交,故选 D 6.若直线 l 上有两点 P、Q 到平面 的距离相等,则直线 l 与平面 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.平行、相交或在平面 内 【答案】D 【解析】当 两点到平面 的距离都为零时有 ,两点确定一条直线,所以直线 。当 两点在平面 的同一侧且到平面 距离不为零时有 ,即 。当 两点 在平面 的两侧且到平面 距离不为零时有 所在直线与平面 相交,即直线 与平面 相交。 故选 D 二、填空题 1.过直线外一点作直线的垂线有 条;垂面有 个;平行线有 条;平行平面有 个. 【答案】无数,一,一,无数 【解析】过直线外一点作直线的垂线与该直线相交的只有一条,而与该直线异面的有无数条, 所以过直线外一点作直线的垂线有无数条。 垂直于同一直线的若干个平面互相平行,则过直线外一点作直线的垂面只有 1 个。 平行直线共面,在平面内过直线外一点与该直线平行的直线只有 1 条。 一直线与一平面平行,则与该平面平行且不包含该直线的其他平行平面也与直线平行,所以 平行平面有无数个。 又根据平行线的传递性: 平行于 内 2.过平面外一点作该平面的垂线有 条;垂面有 个;平行线有 【答案】一,无数,无数,一 条;平行平面有 个. 【解析】平面外一点在该平面上的射影是唯一的。而两点确定一条直线,所以过平面外一点 作该平面的垂直有一条。 由面面垂直判定可知,过平面外一点的平面的垂线所在平面的都与该平面垂直,所以垂面有 无数个。 过平面一点与该平面平行的平面只有一个,而由面面平行性质可知,该平行平面内过该点的 直线都与平面平行,所以平行线有无数条。 3.过一点可作________个平面与已知平面垂直. 【答案】无数 【解析】首先过一点可作一条直线与已知平面垂直,则过这条直线的平面都与已知平面垂直, 而过这条直线的平面有无数个,所以过一点可作无数个平面与已知平面垂直. 4.过平面 α 的一条斜线可作_________个平面与平面 α 垂直. 【答案】一个 【解析】可过斜线与平面 α 的交点作一条垂直于平面 α 的直线,则斜线与垂线所确定的平面 即与平面 α 垂直,这样的平面有且只有一个。 5.过平面 α 的一条平行线可作_________个平面与平面 α 垂直. 【答案】一个 【解析】过平面 α 的一条平行线的平面有无数个,过平面 α 的一条平行线上的一点与平面 α 垂直的直线只有一条,这条垂线和平行线确定的平面垂直平面 α,且唯一。故,填“一个”。 三、解答题 1.求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 【答案】见解析 【解析】已知:a∥b,a⊥ 求证:b⊥α 证明:设 是 内的任意一条直线 2.过一点和已知平面垂直的直线只有一条 【答案】见解析 【解析】已知:平面 和一点 P 求证:过点 P 与 垂直的直线只有一条 证明:不论 在平面 内或外,设直线 若另一直线 ∴ 又∵ ,设 ,垂足为 (或 ) 确定的平面为 ,且 在平面 内,与平面几何中的定理矛盾 所以过点 与 垂直的直线只有一条 3.有一根旗杆 高 ,它的顶端 挂一条长 的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上 的两点(和旗杆脚不在同一直线上) ,如果这两点都和旗杆脚 的距离是 ,那么旗杆 就和地面垂直,为什么? 【答案】见解析 【解析】解:在 和 中, ∵ ∴ ∴ 即 又∵ ∴ 不共线 平面 ,即旗杆和地面垂直; 4.已知直线 ⊥平面 α,垂足为 A,直线 AP⊥ 求证:AP 在 α 内 【答案】见解析 【解析】证明:设 AP 与 确定的平面为 β 如果 AP 不在 α 内, 则可设 α 与 β 相交于直线 AM ∵ ⊥α,∴ AM 又 AP⊥ ,于是在平面 β 内过点 A 有两条直线垂直于 ,这是不可能的 所以 AP 一定在 α 内

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