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基本不等解题技巧公开课教案


基本不等式解题技巧
学科:数学 年级:高二 班级:16 班 教学目标: 1.熟悉基本不等式及成立条件; 2.掌握用基本不等式求最值的方法。 重点:求最值的常用技巧 难点:函数变形,基本不等式成立的条件 教学过程 一、知识回顾 授课时间: 授课人:

2 2 重要不等式:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”)

基本不等式:如果 a, b ? R ,那么 称

?

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2

a?b 为 a , b 的算术平均数, ab 为 a , b 的几何平均数。 2

语言表述:两正数的算术平均数不小于几何平均数。 二、技巧讲解 技巧一:配凑法,有凑项、凑系数、配方、换元及分离常数等 典型例题 例 1:已知 0 ? x ? 4 ,求函数 y ? x?8 ? 2 x ?的最大值。 解: y ? x?8 ? 2 x ? ?

1 ? 2 x ? ?8 ? 2 x ? 2
2

? 2x ? 8 ? 2x ? 由 0 ? x ? 4 ,所以 2 x ? 0,8 ? 2 x ? 0 , 2 x ? ?8 ? 2 x ? ? ? ? ? 16 2 ? ?
等号成立,当且仅当 2 x ? 8 ? 2 x ,解得 x ? 2 所以函数 y ? x?8 ? 2 x ? 的最大值为 8 例 2:已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

解: y ? 4 x ? 2 ?

1 1 1 ? ? ? 4x ? 5 ? ? 3 ? ?? 5 ? 4 x ? ??3 4x ? 5 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

由x?

5 1 1 ? 1 ? ? 0 ,所以 5 ? 4 x ? , 5 ? 4 x ? 0, ? 2 ?5 ? 4 x ? ? ? ? ?2 4 5 ? 4x 5 ? 4x ? 5 ? 4x ?

等号成立,当且仅当 5 ? 4 x ? 所以, ? ? 5 ? 4 x ?

3 1 ,解得 x ? 1 , x ? (舍去) 2 5 ? 4x

? ?

1 1 ? 的最大值为 1。 ? ? ?2 ,函数 y ? 4 x ? 2 ? 4x ? 5 5 ? 4x ?

第 1 页 共 1 页

例 3:求函数 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ?x ? ?1? 的最小值。 x ?1

解法一:(分离常数法)

y?

x 2 ? 7 x ? 10 ?x ? 1? ? 2 x ? 1 ? 7 x ? 10 ?x ? 1? ? 5?x ? 1? ? 4 4 ? ? ? x ?1? ?5 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
2 2

由 x ? ?1 , x ? 1 ? 0,

4 4 ? 0 ,所以, x ? 1 ? ?2 x ?1 x ?1

?x ? 1? ? ? ?

4 ? ? ?2 ? x ?1?

等号成立,当且仅当 x ? 1 ? 所以,函数 y ? 解法二:(换元法)

4 ,解得 x ? 1 , x ? ?3 (舍去) x ?1

x 2 ? 7 x ? 10 ?x ? ?1? 的最小值为 7。 x ?1

令 t ? x ? 1?t ? 0? ,则 x ? t ? 1
2 ? t ? 1? ? 7?t ? 1? ? 10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? ? ? t ? ? 5 (下用基本不等式,与解法一相似)

t

t

t

练习一:

4 ? a?a ? 3? 的最小值; a ?3 16 2 2.求函数 y ? 3 x ? 的最小值; 2 ? x2 3 3.设 0 ? x ? ,求函数 y ? 4 x?3 ? 2 x ? 的最大值; 2
1.求函数

x2 ? x ?1 ?x ? ?1? 的最小值; 4.求函数 y ? x ?1
2 5.已知 x, y 为正实数,且 x ?

y2 y2 ? 1 ,求 x 1 ? 的最大值。 2 2

技巧二:常值代换或乘常值 典型例题 例 4:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1,求 x ? y 的最大值。 x y

解: x ? y ? 1 ? ?x ? y ? ? ? ?

?1 9? y 9x ? ? ? ?x ? y ? ? ? ? 10 ? x y ?x y?
y 9x ? 0, ?0 x y
第 2 页 共 2 页

由 x ? 0, y ? 0 ,所以,

? y 9x ?x ? y ?x ? 4 ? x ? ?2 y 9x ? ? ? 2 9 ? 6 ,等号成立当且仅当 ? ,解得 ? ,? (舍去) x y ? y ? 12 ? y ? 6 ?1 ? 9 ? 1 ? ?x y
x ? y 的最大值为 16。
练习二: 1.若 x, y ? R ? 且 2 x ? y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值; x y

2.(2014,六校联考)已知 x, y ? R ? 且

1 4 ? ? 3 ,求 x ? y 的最小值; x y
1 4 ? 的最小值; a b

3.(2011,重庆,理 7)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,求函数 y ?
x y

4.(2011,天津,文 9)已知 x, y ? R, a ? 1, b ? 1 ,若 a ? b ? 3 , a ? b ? 2 3 ,求 最小值。 技巧三:整体法 典型例题 例 5:已知 a , b 为正实数, 2b ? ab ? a ? 30 ,求函数 y ?

1 1 ? 的 x y

1 的最小值。 ab

解: 2b ? ab ? a ? ab ? 2 2ab ,所以, ab ? 2 2ab ? 30 令 u ? ab?u ? 0? ,则 u ? 2 2u ? 30 ? 0
2

解得: 0 ? u ? 3 2 ,所以, ab ? 18 等号成立当且仅当 ? 所以,函数 y ? 练习三: 1.(2010,浙江,文 15)若正实数 x, y 满足 2 x ? y ? 6 ? xy ,求 xy 的最小值; 2.(2010,重庆,理 7)已知 x ? 0, y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,求 x ? 2 y 的最小值; 3.设 x, y 均为正实数,且 技巧四:取平方 典型例题

?a ? 6 ?a ? ?10 ?a ? 2b ,解得: ? 或? (舍去) ?b ? 3 ?b ? ?5 ?2b ? ab ? a ? 30

1 1 的最小值为 。 ab 18

3 3 ? ? 1 ,求 xy 的最小值。 x?2 y?2

第 3 页 共 3 页

例 6:已知 x, y 为正实数, 3x ? 2 y ? 10 ,求函数 w ? 3x ? 2 y 的最大值。 解: w2 ? 3x ? 2 y ? 2 3x ? 2 y ? 10 ? 2 3x ? 2 y ? 10 ? ?3x ? 2 y ? ? 20

5 ? x? ? 3 x ? 2 y ? ? 3 等号成立当且仅当 ? ,解得: ? ?3x ? 2 y ? 10 ?y ? 5 ? 2 ?
所以,函数 w ? 3x ? 2 y 的最大值为 2 5 。 练习四: 1.求函数 y ? 三、小结 利用基本不等式 a ? b ? 2 ab 求最值时,要注意下面三条: (1) 一正:各项均为正数; (2) 二定:两数积为定值,和有最小值; 两数和为定值,积有最大值; (3) 三相等:求最值时一定要记住不等式是否能取“=” ,否则后果严重。

5? ?1 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ? ? x ? ? 的最大值。 2? ?2

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