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函数的极值与导数导学案(7)


2013-2014 学年度第一学期永城高中高二(一)部数学导学案(理) (7)

§1.3.2 函数的极值与导数
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤.

学习过程
一、课前准备 (预习教材找出疑惑之处) 复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在这个 区间内为 函数; 如果在这个区间内 y? ? 0 , 那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 得 x 的范围就是递增区间.③令 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 . 解不等式,

二、新课导学 学习探究 探究任务一: 问题 1:如下图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g, h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近, y ? f ( x) 的导数的符号有什么规 律?

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , 且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0, 右侧 f ?( x) 0. 类似地, 函数 y ? f ( x) f ?(a) ? ; ?(b) ? ; 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 ,f 而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;点 b 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 , 刻画的是函数的 . 试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 (是或不是)极值点.

(能,不能)成为极值点.

,但它

1

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即:导数为 0 是点为极值点的

条件.

典型例题
1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4 x ? 4 的极值. 3

变式 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y ? f ?( x) 的图象经 过点 (1, 0) , (2,0) ,如图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值. y

o

1

2

x

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)求方程 f′(x)=0 的根 (4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那 么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 变式 2:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 11 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图象.

练 1. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? x3 ? 27 x ; (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ; (4) f ( x) ? 3x ? x3 .
2

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练 2. 下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

三、总结提升 学习小结 知识拓展 函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点. 由些可见: “有极值但不一定可导” 当堂检测(限时:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函数是( A. y ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x B. y ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x
C. y ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x D. y ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ) 3. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?1, b ? 5 D.以上都不正确 4. 函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值 10,则 a 的值为 双基达标 ? 1.下列函数存在极值的是( 1 A.y= ).
x



限时20分钟?

x
3

B.y=x- e ).

C.y= x +x +2x-3

3

2

D.y= x

3

2.函数 y=1+3x- x 有(

A.极小值-1,极大值 1 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-2,极大值 2 D.极小值-1,极大值 3 3.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( ).

3

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A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 4.设方程 x -3x=k 有 3 个不等的实根,则常数 k 的取值范围是________. 5. 已知函数 y=
3

x2

x-1

, x=_____时取得极大值________; x=______时取得极小值________. 当 当
?x

6.求函数 f(x)= x e

2

的极值.

课后作业
1. 如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,在标记的点中,在哪一点处 (1)导函数 y ? f ?( x) 有极大值?(2)导函数 y ? f ?( x) 有极小值? (3)函数 y ? f ( x) 有极大值? (4)导函数 y ? f ( x) 有极小值?

2. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? 48 x ? x3 .

高 考 a 3 2 3.(创新拓展)设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. 资 3 源 (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; w 网 (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. w ( w w . w k w s . 5 k u s . 5 c u o .4 m c o 来 m 源


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