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2013-2014学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷解析

江苏省徐州市 2013-2014 学年度第二学期期末模拟试题

高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. sin13°cos17°+cos13°sin17°= . 2.过点(2,1)且斜率为 2 的直线方程为 . 3 某校高一(1)班共有 44 人,学号依次为 01,02,03,…,44.现用系统抽样的办法抽一 个容量为 4 的样本,已知学号为 06,28,39 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应 为 . 4.如图,给出一个算法的伪代码,则 f(﹣2)+f(3)= .

5.如图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是



6.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 的长度 小于 1 的概率为 . 7.已知等差数列{an}的公差为 d,若 a1,a2,a3,a4,a5 的方差为 8,则 d 的值为 . 8.从集合{1,2,3,4,5}中随机抽取一个数 a,从集合{1,3}中随机抽取一个数 b,则时 间“a≥b”发生的概率是 . 9.已知 sinθ+cosθ=m+1,则实数 m 的取值范围是 . 10.设实数 x,y 满足 ,则 x﹣2y 的最大值等于 . . >0 的解集

11.在△ ABC 中,若 a,b,c 成等比数列,则 cos2B+cosB+cos(A﹣C)= 12.已知关于 x 的不等式 ax﹣b<0 的解集是(3,+∞) ,则关于 x 的不等式 是 . 13.若对满足条件 x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意 x,y,xy﹣a a 的取值范围是 .
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+1≥0 恒成立,则实数

14.已知数列{an}满足 a1<2,an+1﹣1=an(an﹣1) (n∈N )且 则 a2015﹣4a1 的最小值为 .

*

+

+…+

=1,

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (14 分)在锐角△ ABC 中,已知 a=2csinA. (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且 S△ABC= ,求 a+b 的值.

16. (14 分)已知 sinα= (1)求 tan2α 值;

,cos(β﹣α)= (2)求 cosβ 值.

,且 0<α<β<



17. (14 分) 已知等差数列{an}中, a3=8, a9=2a4, Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和, 其中 S3= S6= . ,求{cn}的前 n 项和 Tn.



(1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (2)设 cn=

18. (16 分) 某学校计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 ADEF 健身场地,如图,A= ,∠ ABC= ,点 D 在 AC 上,点 E 在斜边 BC 上,且点 F 在 AB 上,

AC=40 米,设 AD=x 米. (1)试用 x 表示 S,并求 S 的取值范围; (2)若矩形健身场地面积不小于 144 平方米,求 x 的取值范围; (3)设矩形健身场地每平方米的造价为 每平方米的造价为 ,再把矩形 ADEF 以外(阴影部分)铺上草坪,

,求总造价 T 关于 S 的函数 T=f(S) ;并求出 AD 的长使总造价 T 最

低(不要求求出最低造价) .

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19. (16 分)已知函数 f(x)=x +2ax+1,g(x)=2x+2a(a∈R) (1)若对任意 x∈R,不等式 f(x)≥ g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)设函数 m(x)= ,求 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值.

2

20. (16 分)已知函数 f(x)=x+ + (an) , (n∈N ) ,Sn=a1 +a2 +…+an ,Tn= (1)求证:f(x)+ =2(x+ ) ;
* 2 2 2

(x>0) ,数列数列{an}满足:a1=1,an+1=f + +…+ .

(2)求 Sn+Tn; (3) 在数列{Sn+Tn}中是否存在不同的三项, 使得此三项能成为某一三角形的三条边长?若 能,请求出这三项;若不能请说明理由.

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江苏省徐州市 2013-2014 学年度第二学期期末模拟试题

高一数学试题解析及答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. (5 分) (2011?苏州校级模拟)sin13°cos17°+cos13°sin17°= .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和的正弦函数公式的逆应用,即可得到特殊角的三角函数值即可. 解答: 解:sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°= ;
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故答案为: . 点评: 本题是基础题,考查两角和的正弦函数的应用,送分题. 2. (5 分) (2014 春?徐州期末)过点(2,1)且斜率为 2 的直线方程为 2x﹣y﹣3=0 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点斜式方程求解. 解答: 解:过点(2,1)且斜率为 2 的直线方程为: y﹣1=2(x﹣2) , 整理,得 2x﹣y﹣3=0. 故答案为:2x﹣y﹣3=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要注意点斜式方程的合理运用.
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3. (5 分) (2014 春?徐州期末)某校高一(1)班共有 44 人,学号依次为 01,02,03,…, 44.现用系统抽样的办法抽一个容量为 4 的样本,已知学号为 06,28,39 的同学在样本中, 那么还有一个同学的学号应为 17 . 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 首先根据总体容量和样本容量求出间隔号,用第一段抽取的号码加间隔号即为所求. 解答: 解:给出的总体容量为 4,样本容量为 4,所以采用系统抽样的间隔号为 =11,
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那么还有一个同学的学号应为 6+11=17. 故答案为:17. 点评: 本题考查了系统抽样,采用系统抽样的关键是求间隔号,当总体容量与样本容量的比 值不是整数时,可先采用随机抽样剔除部分个体,是基础题.

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4. (5 分) (2014 春?徐州期末)如图,给出一个算法的伪代码,则 f(﹣2)+f(3)= ﹣1 .

考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 f(x)=
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的值,分别求得 f(﹣2)和 f(3)的值,

可得答案. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 f(x)= ∴ f(﹣2)=﹣2×4﹣1=﹣9;

的值,

f(3)=2 =8; ∴ f(﹣2)+f(3)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了选择结构的程序语句,根据语句判断算法的功能是关键. 5. (5 分) (2014 春?徐州期末)如图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是 26 .

3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件 a<10,跳出循环,计算输出 a 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 a=1+1=2;
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第二次循环 a=2 +1=5; 2 第三次循环 a=5 +1=26, 不满足条件 a<10,跳出循环,输出 a=26. 故答案为:26. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图, 根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题 的常用方法. 6. (5 分) (2009?福建)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 的长度小于 1 的概率为 .

2

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出事件:“劣弧
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的长度小于 1”对

应的弧长大小,然后将其代入几何概型的计算公式进行求解. 解答: 解:如图所示, ∵ 劣弧 ∴ 劣弧 则劣弧 =1, =1, 的长度小于 1 的概率为 P=

故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成 该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简 称为几何概型. 7. (5 分) (2014?常州模拟)已知等差数列{an}的公差为 d,若 a1,a2,a3,a4,a5 的方差为 8,则 d 的值为 ±2 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列{an}的公差为 d,知这组数据的平均数是 a3,写出这组数据的方差,得 到关于数列的公差的代数式,根据方差是 8,得到关于 d 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ 等差数列{an}的公差为 d,a1,a2,a3,a4,a5 的方差为 8,
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∴ 这组数据的平均数是 a3, ∴ (4d +d +0+d +4d )=2d =8 ∴ d =4, ∴ d=±2, 故答案为:±2. 点评: 本题考查数据的方差,考查等差数列,是一个非常好的问题,解题时注意应用等差数 列的两项之差的值的表示形式,这是解题的突破口. 8. (5 分) (2014 春?徐州期末)从集合{1,2,3,4,5}中随机抽取一个数 a,从集合{1, 3}中随机抽取一个数 b,则时间“a≥b”发生的概率是 .
2 2 2 2 2 2

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字,共有 5×3 种结果,满足条件的 事件是满足 a≥b,可以列举出所有的事件,根据概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知,试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字, 共有 5×2=10 种结果, 满足条件的事件是满足 a≥b,可以列举出所有的事件, 当 b=1 时,a=1,2,3,4,5, 当 b=3 时,a=3,4,5, 共有 5+3=8 个,
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∴ 根据古典概型的概率公式得到概率是 . 故答案为: . 点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式,考查分步计数原理和分类计数原理,利用这两 个原理做出基本事件数.属于中档题. 9. (5 分) (2014 春?徐州期末)已知 1]. . sinθ+cosθ=m+1,则实数 m 的取值范围是 [﹣3,

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先整理出已知等式表示出 m,进而根据两角和公式对表达式化简,根据三角函数的性 质求得 m 的范围. 解答: 解:依题意知 m= sinθ+cosθ﹣1=2sin(θ+ )﹣1,
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∵ ﹣1≤sin(θ+ ∴ ﹣3≤2sin(θ+

)≤1, )﹣1≤1,

即 m 的范围为[﹣3,1].
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故答案为:[﹣3,1]. 点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用. 注意与三角函数的图象与性质相结合 来解决问题.

10. (5 分) (2014?奉贤区二模) 设实数 x, y 满足

, 则 x﹣2y 的最大值等于 2 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:设 z=x﹣2y 得 y= ,
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作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分) : 平移直线 y= , ,过点 B(2,0)时,直线 y= 的截距最小,此时

由图象可知当直线 y=

z 最大, 代入目标函数 z=x﹣2y,得 z=2 ∴ 目标函数 z=x﹣2y 的最大值是 2. 故答案为:2.

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利 用数形结合是解决问题的基本方法. 11. (5 分) (2014 春?徐州期末)在△ ABC 中,若 a,b,c 成等比数列,则 cos2B+cosB+cos (A﹣C)= 1 . 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 2 分析: 由题意可知,sin B=sinAsinC,利用三角形的内角和,两角和与差的三角函数化简 cos (A﹣C)+cosB+cos2B,然后利用二倍角公式化简即可.
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2 解答: 解:∵ 在△ ABC 中,若 a,b,c 成等比数列,∴ b =ac, 2 利用正弦定理可得 sin B=sinAsinC. ∴ cos(A﹣C)+cosB+cos2B=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)+cos2B 2 2 =2sinAsinC+cos2B=2sin B+(1﹣2sin B)=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查三角函数和正弦定理及等比数列的知识,解题时要注意公式的合理选用,考 查计算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2014 春?徐州期末)已知关于 x 的不等式 ax﹣b<0 的解集是(3,+∞) ,则关 于 x 的不等式 >0 的解集是 (﹣3,2) .

考点: 其他不等式的解法;一次函数的性质与图象. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 a<0,且 =3.可得关于 x 的不等式
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>0,即

<0,即(x+3)

(x﹣2)<0,由此求得它的解集. 解答: 解:∵ 关于 x 的不等式 ax﹣b<0,即 ax<b 的解集是(3,+∞) , ∴ a<0,且 =3.

∴ 关于 x 的不等式

>0,即

<0,即

<0,即 (x+3) (x﹣2)<0,

求得﹣3<x<2, 故答案为: (﹣3,2) . 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题. 13. (5 分) (2014 春?徐州期末)若对满足条件 x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意 x,y,xy ﹣a +1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

考点: 基本不等式. 专题: 导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 由 x>0,y>0,利用基本不等式可得 xy=3+x+y≥3+2
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,化为 时,xy﹣a +1≥0 ,g(t)=t+ .再利用

,可得 恒成立? ,

.可知: .令

导数研究函数的单调性即可. 解答: 解:∵ x>0,y>0,∴ xy=3+x+y≥3+2 ,当且仅当 x=y=3 时取等号. 由 令 时,xy﹣a

,化为 ,

,解得 .

+1≥0 恒成立?

,g(t)=t+ .
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=

>0,

∴ 函数 g(t)在[3,+∞)上单调递增. ∴ g(t)min=g(3)= ∴ . . . .

∴ 实数 a 的取值范围是 故答案为:

点评: 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、利用导数研究函数的单调性 极值与最值等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 14. (5 分) (2014 春?徐州期末)已知数列{an}满足 a1<2,an+1﹣1=an(an﹣1) (n∈N )且 + +…+ =1,则 a2015﹣4a1 的最小值为 ﹣4 .
*

考 数列递推式. 点 : 专 点列、递归数列与数学归纳法. 题 : 分 a1<2, an≠1, an≠0. 由 an+1﹣1=an (an﹣1) 可得 析 由题意可知: :
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. 利

用“裂项求和”可得 式即可得出.

,a2015﹣4a1=

+4(2﹣a1)﹣8,再利用基本不等

解 解:由题意可知:a1<2,an≠1,an≠0. 答 : 由 an+1﹣1=an(an﹣1)可得



∴ 1=

+

+…+

=

+

+…+

=



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化为



∴ a2015﹣4a1=

+4 (2﹣a1) ﹣8

﹣8=﹣4, 当且仅当 a1=

时取等号. 故 a2015﹣4a1 的最小值为﹣4. 故答案为:﹣4. 点 本题考查了“裂项求和”、数列变形、基本不等式的性质,考查了推理能力和计算能力, 评 属于难题. : 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2014 春?徐州期末)在锐角△ ABC 中,已知 a=2csinA. (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且 S△ABC= ,求 a+b 的值.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理把已知等式中的边转换成角的正弦,化简可求得 sinC 的值,进而 求得 C. 2 2 (2)先根据三角形面积公式求得 ab 的值,进而利用余弦定理和 C 求得 a +b 的值, 最后通过配方法求得 a+b. 解答: 解: (1)∵ a=2csinA, ∴ sinA=2sinCsinA, ∵ sinA≠0,
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∴ sinC= ∵ 0<A< ∴ C= .

, ,

(2)S△ABC= absinC= ∴ ab=6, cosC= ∴ a +b =13, ∴ a+b= =
2 2



=

= ,

=5.

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 在解三角形过程中往往需要用正弦定理
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和余弦定理对三角形问题进行边角问题的转化.

16. (14 分) (2014 春?徐州期末)已知 sinα= (1)求 tan2α 值; (2)求 cosβ 值.

,cos(β﹣α)=

,且 0<α<β<



考点: 两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用同角三角函数间的关系可求得 tanα,由二倍角的正切公式即可求得 tan2α 值; (2)利用同角三角函数间的关系及两角和与差的余弦函数即可求得 cosβ 的值. 解答: 解: (1)∵ sinα= ,0<α< ,
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∴ cosα= ∴ tanα=4 ∴ tan2α= ,

= ,

=

=﹣



(2)∵ cos(β﹣α)= sin(β﹣α)=

,且 0<α<β< =

, , × ﹣ × =﹣ .

∴ cosβ=cos[ (β﹣α) +α]=cos (β﹣α) cosα﹣sin (β﹣α) sinα=

点评: 本题考查同角三角函数间的关系与二倍角的正切、两角和与差的余弦函数的应用,考 查转化思想与运算能力,属于中档题. 17. (14 分) (2014 春?徐州期末)已知等差数列{an}中,a3=8,a9=2a4,Sn 是等比数列{bn} 的前 n 项和,其中 S3= ,S6= .

(1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (2)设 cn= ,求{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差,由此能出 an=2n+2.利用
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等比数列的前 n 项和公式求出等比数列的首项和公比,由此能求出 bn=2?( ) .

n

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(2)cn=

=

=(n+1)?3 .由此利用错位相减法能示出{cn}的前 n 项和

n

Tn. 解答: 解: (1)∵ 等差数列{an}中,a3=8,a9=2a4, ∴ ,解得 a1=4,d=2,

∴ an=4+(n﹣1)×2=2n+2. ∵ Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和,其中 S3= ,S6= ,



,解得 q= ,



∴ bn= (2)cn= =
2 3

=2?( ) . =(n+1)?3 .
n n

n

Tn=2×3+3×3 +4×3 +…+(n+1)×3 ,① ,② ① ﹣② ,得:﹣2Tn=6+3 +3 +…+3 ﹣(n+1)×3 =6+ = ﹣(n﹣2)×3 ∴ Tn= ﹣(n+1)×3
n+1 n+1 2 3 n n+1



﹣ .

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意错 位相减法的合理运用. 18. (16 分) (2014 春?徐州期末)某学校计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占 地面积为 S 的矩形 ADEF 健身场地,如图,A= ,∠ ABC= ,点 D 在 AC 上,点 E 在斜

边 BC 上,且点 F 在 AB 上,AC=40 米,设 AD=x 米. (1)试用 x 表示 S,并求 S 的取值范围; (2)若矩形健身场地面积不小于 144 平方米,求 x 的取值范围;

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(3)设矩形健身场地每平方米的造价为 每平方米的造价为

,再把矩形 ADEF 以外(阴影部分)铺上草坪,

,求总造价 T 关于 S 的函数 T=f(S) ;并求出 AD 的长使总造价 T 最

低(不要求求出最低造价) .

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据题意,分析可得,欲求健身场地占地面积,只须求出图中矩形的面积即可, 再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得, 最后再根据二次函数的性质得出其 范围; (2)利用矩形健身场地面积不小于 144 平方米,建立不等式,即可求 x 的取值范 围; (3)求出总造价,考虑到其中两项之积为定值,可利用基本不等式求它的最大值, 从而解决问题. 解答: 解: (1)在 Rt△ EDC 中,显然|DC|=40﹣x,∠ ECD=60° ∴ |ED|=|DC|tan60°= (40﹣x) , 矩形 ADEF 的面积 S=|AD||AF|= x(40﹣x) ,x∈(0,40) 于是 0<S≤400 为所求; (2)∵ 矩形健身场地面积不小于 144 平方米, ∴ x(40﹣x)≥144 , ∴ 4≤x≤36; (3)矩形 ADEF 健身场地造价 T1=37
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又△ ABC 的面积为 800

,即草坪造价 T2= +

(800

﹣S)

由总造价 T=T1+T2,∴ T=25( 当且仅当 = 即 S=384

)≥200

时等号成立,

此时 x(40﹣x)=384 ,解得 x=16 或 x=24, ∴ 选取|AD|的长为 16 米或 24 米时总造价 T 最低. 点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用、 基本不等式的应用、 矩形的面积等基础知识, 属于中档题. 19. (16 分) (2014 春?徐州期末)已知函数 f(x)=x +2ax+1,g(x)=2x+2a(a∈R)
2

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(1)若对任意 x∈R,不等式 f(x)≥ g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围;

(2)设函数 m(x)=

,求 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值.

考点: 二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据一元二次不等式的性质可知,不等式 f(x)≥ g(x)恒成立,对任意实数
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x 恒成立等价于△ =(2a﹣1) ﹣4(1﹣a)≤0,求解即可得实数 m 的取值范围; 2 2 (2)若 2a﹣1=﹣1,即 a=0 时,f(x)﹣g(x)=x +1﹣2x=(x﹣1) ≥0 恒成立,此 时 f(x)≥g(x)恒成立,故此时 m(x)=g(x)=2x;若 2a﹣1≠﹣1,即 a≠0 时,f (x)﹣g(x)有两个零点 1﹣2a,1,即 f(x) ,g(x)的图象有两个交点,分类讨论 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解: (1)若不等式 f(x)≥ g(x)恒成立, 即 x +(2a﹣1)x+(1﹣a)≥0 恒成立, 2 即△ =(2a﹣1) ﹣4(1﹣a)≤0, 2 即 4a ﹣3≤0, 解得 a∈ , ;
2

2

故实数 a 的取值范围为:
2

(2)f(x)﹣g(x)=x +(2a﹣2)x+(1﹣2a)=[x+(2a﹣1)](x﹣1) , 若 2a﹣1=﹣1,即 a=0 时, f(x)﹣g(x)=x +1﹣2x=(x﹣1) ≥0 恒成立,此时 f(x)≥g(x)恒成立, 故此时 m(x)=g(x)=2x, 由 m(x)在 x∈[2,4]上为增函数,故此时 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值为 m(2) =4; 若 2a﹣1≠﹣1,即 a≠0 时, f(x)﹣g(x)有两个零点 1﹣2a,1, 即 f(x) ,g(x)的图象有两个交点,如下图所示:
2 2

若 1﹣2a<1,即 a>0 时,

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m(x)在 x∈[2,4]上为增函数,故此时 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值为 m(2)=g (2)=4+2a; 若 1﹣2a>1,即 a<0 时,

当﹣a>4,即 a<﹣4 时,m(x)在 x∈[2,4]上为减函数, 故此时 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值为 m(4)=f(4)=17+8a; 当 2≤﹣a≤4,即﹣4≤a≤﹣2 时,m(x)在 x∈[2,﹣a]上为减函数,在 x∈[﹣a,4]上为 增函数, 2 故此时 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值为 m(﹣a)=f(﹣a)=1﹣a ; 当﹣a<2<1﹣2a,即﹣2<a<﹣ 时,m(x)在 x∈[2,4]上为增函数, 故此时 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值为 m(2)=f(2)=5+4a; 当 2≥1﹣2a,即﹣ ≤a<0 时,m(x)在 x∈[2,4]上为增函数, 故此时 m(x)在 x∈[2,4]上的最小值为 m(2)=g(2)=4+2a;

综上所述:m(x)在 x∈[2,4]上的最小值为:

点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值问题, (1)的关键 是熟练掌握二次函数的图象和性质, (2)的关键是确定正确的分类标准.

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20. (16 分) (2014?扬州模拟)已知函数 f(x)=x+ +

(x>0) ,数列数列{an}

满足:a1=1,an+1=f(an) , (n∈N ) ,Sn=a1 +a2 +…+an ,Tn=

*

2

2

2

+

+…+



(1)求证:f(x)+

=2(x+ ) ;

(2)求 Sn+Tn; (3) 在数列{Sn+Tn}中是否存在不同的三项, 使得此三项能成为某一三角形的三条边长?若 能,请求出这三项;若不能请说明理由. 考 点 : 专 题 : 分 析 : 数列的求和.

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点列、递归数列与数学归纳法.

(1)利用 f(x)的解析式代入化简即得结论; (2)利用(1)的结论得 是等比数列,数列 是等比数列, ,设 ,易得数列{bn}



,利用等比数列的求和公式即可得出结论;
*

(3)利用反证法证明.假设在数列{Sn+Tn}中存在三项 ck,cs,ct(k<s<t,k,s,t∈N ) , 使得此三项能成为某一三角形的三条边长, 由题意即得只需 ck+cs>ct,由于 ck+cs﹣ct≤ct﹣1+ct﹣2﹣ ct=

= 所以 ck+cs<ct 恒成立,故得出结论. 解 (1)证明: 答 解: : ∴ ,





. (3 分)

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(2) ∵ an+1=f (an) , 由 (1) 知 设 ,

, ∴



∵ f(x)>0,∴ bn>0,∴ 数列{bn}是等比数列,公比为 2,首项 b1=2, 数列 是等比数列,公比为 4,首项 ,又 ,



=

. (8 分)
*

(3)设 cn=Sn+Tn,假设在数列{Sn+Tn}中存在三项 ck,cs,ct(k<s<t,k,s,t∈N ) , 使得此三项能成为某一三角形的三条边长, ∵ ,

∴ 数列

是递增数列,∴ ck<cs<ct,

∴ 要使 ck,cs,ct 能成为某一三角形的三条边长,需且只需 ck+cs>ct, 依题意 s≤t﹣1,k≤t﹣2,且 t≥3 由于 ck+cs﹣ct≤ct﹣1+ct﹣2﹣ ct=

= 所以 ck+cs<ct 恒成立, 所以在数列{Sn+Tn}中不存在不同的三项, 使得此三项能成为某一三角形的三条边长. (16 分) 点 本题主要考查数列与函数的关系,考查等差数列、等比数列的有关性质及数列求和等知 评 识,考查了学生的分析问题、解决问题的能力及运算求解能力,属难题. :

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参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;zlzhan;minqi5;清风慕竹;yhx01248;刘长柏; wsj1012;maths;caoqz;孙佑中;wfy814;翔宇老师;liu 老师(排名不分先后) 菁优网 2015 年 6 月 10 日

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