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四川省古蔺县中学高中数学 2.5.2分数指数幂课件 新人教A版必修1


复习
(1)a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z),
n (2) (a m) ? a mn (m, n ? Z),

(3)(ab) ? a ? b (m ? Z).
m m m

(n a )n ? a,
n

? a , n为奇数 a ?? ?| a |, n为偶数
n

分数指数幂
a ?0 1. 正分数指数幂的意义
m 5 10 an
3 12
8
2 5 2 5n m ? ? (a ) ? a ? a a ? a (a ? 0,m,n ? N 10 , 且n ? 1) 3 4 3

10 5

? (a ) ? a ? a a 规定 2.
4

12 3

2 2 1 3? a ?? a a a? 的 3次方根 a>0,m,n 为分数 a ? (a (1)a ? )m? (a 0,m,n ? N看成 ,且 n 1); 时也成立 2 n 2 3 a 3 3 2 3 ? (a ) ? a3 a

4

m ?4 n

2 4

8 4

(a2 ) ? a

a5 a10的5次方根 m可看成 n mn

(2)0的正分数指数幂等于 0; 1 1

(3)0的负分数指数幂无意义.

a ? (a ) ? a 2
2 2

整数

有理数

实数

3.有理指数幂的运算性质

(1)a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q); r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q); r r r (3)(ab) ? a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q).
注 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式; 二是根式与分数指数幂可以进行互化.

根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进行

练习1 x取何值时下列各式有意义?

1 ? x; (x ? 1) ; (x ? 1) ; (4x ? 1) . 例 1求值 1? x ? 0, x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, 4x ? 1 ? 0, 1 ?3 ( ?2)?( ?3) 6 ?2 ?3 x ? 1; x ? 1; ( ) ? 2 ? 64 x ? 1 . x ? 1; ? (2 ) ? 2
4

1 ? 3

3 2

?

1 2

4 1 1 1 4 3 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 ? 2 ? 3 2 ? ( ) 3 ? 12 6 . 1 1 1 2 1 ? ? 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 2 3 ? (3 ? 4) 6

? (2 ? 2 ? 2 ) ? (3 ? 3 ? 3 )
?2
1 1 ( 1? + ) 3 3

?

1 3

1 3

1 2

1 3

1 6

?3

1 1 1 ( ? ? ) 2 3 6

? 2 ? 3 ? 6.

1 2 ?1

?

1 2 ?1

? 2 ? 1+ 2 ? 1 =2 2.

例2化简 a ? 0,

a a ? a ? a ? a ? (a ) ? a .

1 2

3 2

3 1 2 2

3 4

a

2 3 2

a? a

?

a
1 2

2 2 3

?a

1 2 (2 ? ? ) 2 3

?a .

5 6

a ?a

例3化简求值
已知x ? x
1 2 ? 1 2

x ?x ?2 ? 3, 求 的值. ?1 x?x ?3
x ?x
3 2 ? 3 2

3 2

?

3 2

解:

x ? x ?1

? (x ? x ) ? 2
? 9 ? 2 ? 7.
3 2 3 ? 2

1 2

1 ? 2 2

? (x ) ? (x )
1 2 ? 1 2

1 2 3

?

1 2 3

? (x ? x )(x ? 1 ? x?1 )

? 3 ? (7 ? 1) ? 18. x ? x ? 2 18 ? 2 20 ? ? ? 2. ?1 7 ? 3 10 x?x ?3

练习 2
化简

(

3 6

a ) ?(
9 4

6 3

a ); a
?2 ?2 2 ? 3

9

4

4

x ?y x
2 ? 3

?2

?2 2 ? 3

?

x ?y x
2 ? 3

; ?2x y

?

2 3

?

2 3

?y

?y
3n

已知a ? 0,a3n

a ?a ? 3, 求 n 的值. ?n a ?a

?3n

7 3

小结: a ? n am (a ? 0,m,n ? N? , 且n ? 1).
运 算 性 质

m n

(1)a ? a ? a (a ? 0, r , s ? Q), s (2) (a r) ? a rs (a ? 0, r , s ? Q),
r s

r?s

(3)(ab)r ? a r ? br (a ? 0, b ? 0, r ? Q).
二是根式与分数指数幂可以进行互化

注 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式 意

化简: (1)将根式化为分数指数幂;

(2)立方和、立方差、平方差、平方和公 式的灵活应用.

作业:
1. 习题2.5 : 2. 预习指数函数 5、 6、 7


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