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2012年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学(word)-人教新课标

2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 6 页.满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 注意事项:

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回. 参考公式:

样本数据 x1, x2 ,…, xn 的标准差

锥体体积公式

s?

1 n

[(

x1

?

?
x)2

?

( x2

?

?
x)

?



?

( xn

?

?
x)2

]

V ? 1 Sh 3

?
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高
球的表面积、体积公式

V ? Sh 其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R2,V ? 4 ?R3 3
其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {x ?1? x ?1}, N ? {0 ,1, 2},则 M N 为

A.{1}

B.{0,1}

C.{0,1,2}

D.{x | 0 ? x ? 1}

2.“ x2 ? 1”是“ x ? 1”的

A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.已知平面向量 a ? (3 ,1) , b ? (x , ? 3) ,若 a ? b ,则实数 x 等于

A. ? 3

B. ?1

C.1

D. 3

4.已知 i 是虚数单位,且复数 m(m ?1) ? (m ?1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为

A. ?1 B.1

C.0 或 1

D.0

5.阅读如图所示的程序框图,运算相应程序,若输入的 m ? 1,则输出 m 应为

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

6.已知 0 ? x ? 1,若 a ? x2, b ? 1 , c ? x .则 x

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

7.若? 是第四象限角,且 tan? ? ? 5 ,则 sin? ? 12

A. ? 5 13

B. ? 1 5

C. 1 5

D. 5 13

8.已知 m, n 是两条不同的直线,?, ? ,? 是三个不同的

平面,下列命题正确的是

A.若 m //?, n //? ,则 m // n .

开始 输入 m

m?lg m ?1 否
m ? m?1

是 输出 m 结束

B.若? ? ? ,? ? ? ,则 ? // ? . C.若 m //?, m // ? ,则? // ? .

(第 5 题图)

D.若 m ? ?, m ? ? ,则? // ? .

9.如图是甲、乙两个学生的 8 次数学单元考试成绩的茎叶图.现有如下结论:

① X 甲=X 乙 ;

②乙的成绩较稳定;

③甲的中位数为 83; ④乙的众数为 80。

则正确的结论的序号是

A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②④

10.已知函数 g(x) ? 2x

?1 2x

,若

? g(x) f (x) ? ??g(?x)

(x ? 0) ,则函数 f (x) 在定义域内 (x ? 0)

A.有最小值,但无最大值.

B.有最大值,但无最小值.

C.既有最大值,又有最小值.

D.既无最大值,又无最小值.

11.若曲线 C 上存在点 M ,使 M 到平面内两点 A??5,0? , B?5,0? 距离之差为 8,则称

曲线 C 为“好曲线”.以下曲线不.是.“好曲线”的是

A. x ? y ? 5

B. x2 ? y2 ? 9

C. x2 ? y2 ? 1 D. x2 ? 16 y 25 9

12 . 已 知 线 段 P1P2 , | P1P2 |? 1 , 对 于 自 然 数 n ( n ? 3) 有 Pn?2Pn ? 2PnPn?1 , 则

| P1P3 |? |P 2P 4 ?| P| P3 5?| ? Pn|? Pn2 ? | ?

A. 1 2

B. 2 3

C. 1

D. 3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应位置.

13.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 17 ? 0 ,过原点的直线 l 被圆 C 所截得的弦长最长,

则直线 l 的方程是



14.在 ?ABC 中, A ? 600 , a ? 6 , b ? 2,则 B 的大小为



15.若 a ?[0 , 3],则函数 f (x) ? x 2 ? 2ax ? a 有零点的概率为



16.袋内有 50 个球,其中红球 15 个,绿球 12 个,蓝球 10 个,黄球 7 个,白球 6 个.任

意从袋内摸球,要使一次摸出的球中,一定有 8 个同色的球,那么从袋内摸出的球的

只数至少应是

个.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)

已知数列{an } 满足 an?1

?

1 2

an

?1

(n ? N*) .

(Ⅰ)若 a1 ? 2 ,求证数列{an ? 2} 是等比数列;

(Ⅱ)若数列{an } 是等差数列, bn

?

an

? ( 1 )n 2

,求数列{bn}的前 n

项和 Sn



18.(本小题满分 12 分)
某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级,等级系数 X 依次为 A ,
B ,C , D , E .现从该种食品中随机抽取 20 件样品进行检验,对其等级系数进行
统计分析,得到频率分布表如下:

X

A

B

C

D

E

频率

a

0.2

0.45

b

c

(Ⅰ)在所抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,等级系数为 E 的恰有 2
件,求 a,b, c 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 D 的 3 件样品记为 x1 , x2 , x3 ,等级系数为 E 的 2 件样品记为 y1, y2 ,现从 x1, x2 , x3 , y1, y2 这 5 件样品中一次性任取两件(假
定每件样品被取出的可能性相同),试写出所有可能的结果,并求取出的两件样品 是同一等级的概率.

19.(本小题满分 12 分)
如图 1,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a , E 是 AD的中点.现截去部分几何 体后得到如图 2 所示的四棱锥 A ? A1B1CD . (Ⅰ)求四棱锥 A ? A1B1CD 的体积; (Ⅱ)求证: AB1 // 面 A1EC .

D1

C1

A1

B1

A1

B1

D

D

C

C

E

A

图1

B

A

图2

20.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? sin(x ? ?) ? 3 cos2 x .

3

2

(Ⅰ)将函数 f (x) 的图象向上平移 ? 个单位后得到函数 g(x) 的图象,求 g(x) 的最 2

大值;

?

?x ? 3 ?

(Ⅱ)设

D

?

??( x,

y)

|

? ?

y

?

3

? ?

,若

P

?

D

,问:是否存在直线

OP(O

为坐标原

? ?

??x ? y ? 5??

点),使得该直线与曲线 y ? f (x) 相切?若存在,求出直线 OP 的方程;若不

存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

已知 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, M

、N

分别

是直线 l : x ? y ? m ( m 是大于零的常数)与 x 轴、 y 轴的交点,线段 MN 的中点 ab
P 在椭圆 C 上. (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)试探究直线 l 与椭圆 C 是否还存在异于点 P 的其它公共点?请说明理由;

(Ⅲ)当 a ? 2 时,试求 ?PF1F2 面积的最大值,并求 ?PF1F2 面积取得最大值时椭圆

C 的方程.

22.(本小题满分 14 分)
已知函数 f ? x? ? x ? x ? a?2 , a 是大于零的常数.
(Ⅰ)当 a ?1时,求 f (x) 的极值;
(Ⅱ)若函数 f (x) 在区间?1, 2? 上为单调递增,求实数 a 的取值范围;
(Ⅲ)证明:曲线 y ? f (x) 上存在一点 P ,使得曲线 y ? f (x) 上总有两点 M , N ,且

MP ? PN 成立 .

2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学参考答案及评分标准

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 B

B

C

D

C

B

A

D

C

A

B

C

13. x ? y ? 0 14. 45?

15. 2 3

16.35

17.解:(Ⅰ)由 an?1

?

1 2

an

? 1 得 an?1

?

2

?

1 2

(an

?

2) ,? a1

?

2

,? a1

?

2

?

0,

? an?1 ? 2 ? 1 (n ? 1, n ? N) an ? 2 2

所以{an

?

2}

是以

a1

?

2

为首项,

1 2

为公比的等比数列.------------------------------5



(Ⅱ)解法一:由 an?1

?

1 2

an

? 1 ,及 an

?

1 2

an?1

? 1(n

?

2) ,

两式相减,得 an?1

? an

?

1 2 (an

? an?1 ) .

又{an } 是等差数列,于是 an?1 ? an ? an ? an?1 ? d ,

所以 d ? 1 d ,解得 d ? 0 , 2

于是 an

?

a1 ,代入 an?1

?

1 2

a

n

? 1 得 a1

?

2 ,于是 an

?

2

(n ? N*)

.---------------9



? bn

?

an

(

1 2

)

n

? ( 1 )n?1 , 2

于是 Sn

1? (1 ? (1)n )

?

2

1? 1

?

2 ? (1 ? (1)n ) 2

?

2 ? ( 1 )n?1 .--------------------------------12 2



2

解法二:∵{an}是等差数列,∴设 an?1 ? an ? d ( d 为常数),

即 an?1 ? an

1 ? ( 2 an

?1) ? an

?d

? an

? 2(1? d )

从而{an}是常数列,公差 d ? 0 ,故 an ? 2 .-----------------------------------9 分

下同解法一.
18.解:(Ⅰ)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1,即 a ? b ? c ? 0.35 . 因为抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,所以 b ? 3 ? 0.15 . 20 等级系数为 E 的恰有 2 件,所以 c ? 2 ? 0.1. 20 从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1。 所以 a ? 0.1,b ? 0.15,c ? 0.1. -----------------------------------------6 分
(Ⅱ)从样品 x1 , x2 , x3 , y1, y2 中任取两件,所有可能的结果为: (x1, x2 ) , (x1, x3 ) , (x1, y1 ) , (x1, y2 ) , (x2 , x3 ) , (x2 , y1 ) , (x2 , y2 ) , (x3 , y1 ) , (x3 , y2 ) , ( y1, y2 ) ,共计 10 个 设事件 A 表示“从样品 x1 , x2 , x3 , y1, y2 中任取两件,其等级系数相等”,

则 A 包含的基本事件为: (x1, x2 ) , (x1, x3 ) , (x2 , x3 ) , ( y1, y2 ) ,共 4 个.

故所求的概率 P( A) ? 4 ? 0.4 . ---------------------------------------12 分 10

19.解:(Ⅰ)如图,将几何体补形成正方体,-----------------------------------------3 分

V 则 A? A1B1CD

? V正方体AC1

? VA1DD1 ?B1CC1

? VB1? ABC

? a3

? 1 a3 2

? 1 a3 6

?

1 a3 --------7 分 3

(Ⅱ)在正方体 AC1 中,截面 A1B1CD 是矩形,

连接 A1C, B1D ,交于 O ,则 O 为 B1D 中点。

又 E 是 AD的中点,连接 OE ,则 OE 是 ?AB1D 的中位线,于是 AB1 // OE , 又 OE ? 面 A1EC , A1B ? 面A1EC ,于是 AB1 // 面 A1EC 。-------------12 分

D1

A1

B1

O

D E

A

B

C1

A1

B1

O

C

D

C

E

A

20.解:(Ⅰ)函数 f (x) ? sin(x ? ?) ? 3 cos2 x ? 1 sin x ? 3 ,-------------3 分

3

22

2

所以 g(x) ? f (x) ? 3 ? 1 sin x , 22

从而 (g(x))max

?

1 2

,此时

x

?

2k?

?? 2

(k

? z)

.-----------------------------------6



?x ? 3

(Ⅱ)由

? ?

y

?

3

知,区域 D 如右图所示.

??x ? y ? 5

y 5 3
P

5 O3

x

于是直线

OP

的斜率的取值范围是

kOP

?

[

2 3

,

3 2

]

,---------------------------------------9



又由 f (x) ? 1 sin x ? 3 知, f ?(x) ? 1 cos x ,于是 f ?(x) ??[? 1 , 1] ,

2

2

2

22

因为 1 ? 2 ,所以直线 OP 不可能与函数 y ? f (x) 的图象相切.-------------12 分 23

21.解:(Ⅰ)由已知可得 M (ma, 0) 、 N(0, mb) ,故 MN 的中点为 P( ma , mb) , 22

又点 P 在椭圆 C 上,∴ m2 ? m2 ? 1 ,所以 m ? 2 .---------------------4 分 44

(Ⅱ)(解法一)由(Ⅰ)得 l : x ? y ? 2 , ab
与方程 C 联立得:2b2x2 ? 2 2ab2x ? a2b2 ? 0 , 即 2x2 ? 2 2ax ? a2 ? 0 , 由于 ? ? (2 2a)2 ? 4 ? 2 ? a2 ? 0 ,

y N
P

F1 O F2

Mx

∴此方程有两个相等实根 x ? 2a , 2

故直线 l 与椭圆 C 相切,切点为 P( 2a , 2b) , 22

除此之外,不存在其他公共点.

----------------------------------------------8 分

(解法二)由(Ⅰ)得 l : x ? y ? 2 ,与方程 C 联立得: ab

?x ?? a

?

y b

?

? ?

x2

?

y2

?? a2 b2

2, ? 1,

所以

? x2

?? a2

? ?

x2

?? a2

? ?

y2 b2 y2 b2

?2 x a
? 1,

?

y b

?

2,

?x



?? ? ?

a x

?? a

?y? b
?y?1 b2

2, ,

∴ x 和 y 是方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的两根,

ab

2

又 ? ? ( 2)2 ? 4? 1 ? 0 ,∴此方程有两个相等实根,即 x ? y ? 2 ,

2

ab 2

∴直线 l 与椭圆 C 的公共点是唯一的点 P( 2 a, 2 b) , 22
即除点 P 以外,不存在其他公共点.-----------------------------------------------------8 分

(Ⅲ)当 a ? 2 时, S?PF1F2

1 ? 2 | F1F2 | ?

2b ? 2

2 cb , 2

S 所以 ?PF1F2

?

2 ? b2 ? c2 ? 22

2 a2 ? 4

2,

当且仅当 b ? c ? 2 时,等式成立,故 (S?PF1F2 )max ? 2 此时,椭圆 C 的方程为: x2 ? y2 ? 1.-------------------------------------------------12 分
42
22.解:(Ⅰ) f ? x? ? x ? x ? a?2 ? x3 ? 2ax2 ? a2x

f ?? x? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ,当 a ?1, f ?? x? ? 3x2 ? 4x ?1? ?3x ?1??x ?1?



f

??x?

?

0 ,得

x1

?

1 3 , x2

?1,

f (x) 在区间 (0 , 1) , (1 , 1) , (1, ? ?) 上分别单调递增,单调递减,单调递增, 33

于是当 x ? 1 时,有极大值 f (1) ? 4 ;当 x ?1时有极小值 f (1) ? 0 .------------4 分

3

3 27

(Ⅱ) f ?? x? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ,若函数 f (x) 在区间?1, 2?上为单调递增,

则 f ?? x? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? 0 在 x??1, 2? 上恒成立,

当 0 ? 2a ? 1,即 a ? 3 时,由 f ??1? ? 3? 4a ? a2 ? 0 得 0 ? a ? 1;

3

2

当1 ?

2a 3

?

2 ,即

3 2

?

a

? 3 时,

f

?

? ??

2a ? 3 ??

?

?

a2 3

? 0 ,无解;

当 2a ? 2 ,即 a ? 3时,由 f ??2? ?12 ?8a ? a2 ? 0 得 a ? 6 .
3

综上,当函数 f (x) 在区间?1, 2?上为单调递增时, 0 ? a ? 1或 a ? 6 .--------10 分

(Ⅲ) f ? x? ? x ? x ? a?2 ? x3 ? 2ax2 ? a2x , f ?? x? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ,



f

??x?

?

0 ,得

x1

?

a 3

,

x2

?

a



f ? x? 在区间 (??, a ) , ( a , a) , (a, ??) 上分别单调递增,单调递减,单调递增,
33

于是当 x ? a 时,有极大值 f ( a ) ? 4a3 ;

3

3 27

当 x ? a 时,有极小值 f ?a? ? 0 .

记 A( a , 4 a3) , B(a, 0) , AB 的中点 P ( 2a , 2 a3) ,

3 27

3 27

设 M (x , y) 是图象任意一点,由 MP ? PN ,得 N ( 4 a ? x , 4 a3 ? y) ,

3

27

因为 f (4 a ? x) ? (4 a ? x)3 ? 2a( 4 a ? x)2 ? a2 ( 4 a ? x)

3

3

3

3

? 4 a3 ? x3 ? 2ax2 ? a2x ? 4 a3 ? y ,

27

27

由此可知点 N 在曲线 y ? f (x) 上,即满足 MP ? PN 的点 N 在曲线 C 上.

所以曲线 y ? f (x) 上存在一点 P ( 2a , 2 a3 ) ,使得曲线 y ? f (x) 上总有两点 M , N , 3 27

且 MP ? PN 成立 .

---------------------------------------------14 分

草稿纸


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