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四川省遂宁市2013-2014学年高二数学下学期教学水平监测(期末考试)试题 文


遂宁市高中 2015 级第四学期教学水平监测 数学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,满分 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔 填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内, 超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给 出 的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的) 1.若复数 z ? 3 ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限
x

C.第三象限 D.第四象限

2.命题“存在 x0 ? R , 2 0 ≤0”的否定是 A.不存在 x0 ? R , 2 0 >0
x

B.存在 x0 ? R , 2 0 ≥0
x

C.对任意的 x ? R , 2 >0
x

D.对任意的 x ? R , 2 ≤0
x

3.函数 f ( x) ? ?2?x? 的导数是
2

A. f ?( x) ? 4?x C. f ?( x) ? 8? x
2

B. f ?( x) ? 4? 2 x D. f ?( x) ? 16?x

4.按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是

输入 x

计算 x ?

x( x ? 1) 的值 2

x ? 8?



输出结果 x
1



A. 6

B. 21

C. 156

D. 231

5. “因为指数函数 y ? a x 是增函数(大前提), 而 y ? ( ) 是指数函数(小
x

1 3

前提),所以函数 y ? ( ) 是增函数(结论)” ,上面推理的错误在于
x

1 3

A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 6. “ sin A ?

1 ? ”是“ A ? 30 ”的 2
B.既不充分也不必要条件 D.必要而不充分条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

7.设曲线 y ? ax2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平 行,则 a 的值为 A. 1 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 1

8.用反证法证明命题: “一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳 为以下三个步骤: ① A ? B ? C ? 90? ? 90? ? C ? 180? ,这与三角形内角和为 180? 相矛 盾,从而 A ? B ? 90? 不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设三角形的三个内角 A 、 B 、 C 中有两个直角,不妨设
A ? B ? 90? ,正确顺序的序号为

A.①②③

B.③①②

C.①③②

D.②③①

9.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有 A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

2

10.已知定义在 (0, 意的 x ? (0,

?
2

? ) 上的函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,且对于任 2
) ,都有 f ?( x)sin x ? f ( x) cos x ,则 2f( ) 3

A. 3 f ( ) ?

?

?

C. 2 f ( ) ? f ( )

?

4

B. f ( ) ? f (1)

?

?

3

6

4

D. 3 f ( ) ? f ( )

?

?

6

3

第Ⅱ卷(非选择题,满分 100 分) 注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。
3

2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 复数 3 ? 4i 的共轭复数是 ▲ 12.已知 f ( x) ? x3 ? x2 f ?(1) ,则 f ?(1) 的值为 ▲ 13.在等比数列 ?an ? 中,若 a9 ? 1 ,则有

a1 ? a2 ? an ? a1 ? a2 ? a17 ? n (n ? 17 ,且 n ? N? ) 成立,类比上述性
质,在等差数列 ?bn ? 中,若 b7 ? 0 ,则有 ▲ . 14.设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜率为 ▲ 15.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” , 记为[ k ],即[ k ]= ?5n ? k | n ? Z? , k ? 0 ,1,2,3,4.给出如下四个 结论: ①2011 ? [1] ; ②-3 ? [3]; ③ Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a , b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? [0]”. 其中 是真命题的是 ▲ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。) 16. (本小题满分 12 分) 设复数 z ?

(1 ? i)2 ? 3(1 ? i) 2 ,若 z ? a ? z ? b ? 1 ? i , 2?i

求实数 a , b 的值. ▲ 17. (本小题满分 12 分)
2 设命题 p :函数 f ( x) ? x ? 2ax ?1 在区间 (??? 3] 上单调递减;命
2 题 q : x ? ax ? 1 ? 0 对 x ?R 恒成立.如果命题 p 或 q 为真命题, p 且

q 为假命题,求 a 的取值范围
4

▲ 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

▲ 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 , 1 ? x2
1 3 1 4

(1)分别求 f ( )+f (2) , f ( )+f (3) , f ( )+f (4) 的值; (2)归纳猜想一般性结论,并给出证明; (3)求值: f (

1 2

1 1 1 1 )+f ( )+f ( )+ ??? ? f ( )+f (1)+ 2014 2013 2012 2

f (2)+ ??? ? f (2013)+f (2014)



20. (本小题满分 13 分) 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关 于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:

y?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120 ) .已知甲、 乙两地相距 100 千米. 128000 80
(1) 当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地要耗

油多少升?
5

(2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少?最 少为多少升?

▲ 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x? ? ln x , g ?x? ? e x . (1)若函数 ? ? x ? ? f ? x ? ?

x ?1 ,求函数 ? ?x ? 的单调区间; x ?1

(2) 设直线 l 为函数 f ( x ) 的图象上一点 A?x0 , f ?x0 ?? 处的切线. 证 明:在区间 ?1,??? 上存在唯一的 x0 ,使得直线 l 与曲线 y ? g ?x ? 相切.

▲ 遂宁市高中 2015 级第四学期教学水平监测

数学(文科)试题参考答案及评分意见

一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 12.-3 7 A 8 B 9 C 10 A 13.

二、填空题(5 ? 5=25 分) 11 . 3 ? 4i

b1 ? b2 ? ? ?bn ? b1 ? b2 ? ? ?b13?n (n ? 13 ,且 n ? N? )
14. 0 15. ①③④

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.) 16.(12 分) 解 :

z?


( ?i 2 ? ? 2?i

?

? ? ?i

?

? ? ?i

?

?

1 ? 1 ? i ,?? 6

i 2

6

∵ z 2 ? az ? b ? 1 ? i, ∴ ??9 分 ∴ (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ∴? ∴ ??12 分 17.(12 分) 解 : 由

(1 ? i)2 ? a(1 ? i) ? b ? 1 ? i,

?a ? b ? 1 解得: a ? ?3, b ? 4 . ??(a ? 2) ? 1
a ? ?3, b ? 4.

p













a ?? ?2 2 ? 3?



a ? 3.

??3 分

由 q 为真命题可知 ? x2 ? ax ? 1 ? 0 对 x ?R 恒成立. ∴ -2< a <2.

? ? a2 ? 4 ? 0



成 ??6 分



.



由题意可知 p 和 q 有且只有一个是真命题. 当

p



q

假 时 , 有 ??8 分

a ? 3? ? ? ?a ? ?2或a ? 2?
真 时 ,



a ? 3.


p



q



? a ? 3? ? ??2 ? a ? 2? ∴-2< a <2.
综 上 所 述 ,

??10 分

a













(?2? 2) ? [3? ??) .
18. (12 分)
3 2 '

??12 分
2

解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b 由 f (? ) ?
'

2 3

4 4 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 3 3

1 a ? ? , b ? ?2 ??2 分 2

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间
如下表:

7

x
f ' ( x)
f ( x)

2 (??, ? ) 3

?
0

2 3

2 ( ? ,1) 3

1

(1, ??)
0

?
?

?
?

?
?

极大值

极小值

所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是

2 3

2 ( ? ,1) ; ??6 分 3
(2)由(1)知 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] , 2 2 2 22 ?c 当 x ? ? 时, f ( x ) 取得极大值 f ( ? ) ? 3 3 27
而 f (2) ? 2 ? c ,所以在[-1,2]上 f ( x)max ? f (2) ? 2 ? c 要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得
2

c ? ?1, 或c ? 2
19. (12 分) 解:(1)∵ f ( x) ?

??12 分

x2 1 ? x2

?1?2 ?2? 2 2 1 2 1 2 ? ? ∴ f ( )+f (2) = + + 2= 2 2=1, ?1?2 1+2 2 +1 1+2 2 1+? ? ?2?
同 1. 理 可 得

1 f ( )+f (3) 3



1



1 f ( )+f (4) 4



??4 分 (2)由(1)猜想 f ( )+f ( x) =1,

1 x

?1?2 ?x? 1 x2 x2 1 ? ? f ( ) + f x ( ) 证 明 : = + = 2 = 2 + 2 1 1 + x 1 + x x + 1 ? ?2 x 1+? ? ?x?
1. (3)由(2)可得,
8

??8 分







[f

1 2
= 1 2 +

(?

0

f
2

1 1
013 ??12 分

)


?

f

4

+

4027 2
20. (13 分) 解: (1)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 耗油 (

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 40 3 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 128000 80

答: 当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油

17.5 升. ??5 分
(2)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 设耗油量为 h( x) 升,依题意得

100 小时, x

1 3 100 1 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8) ? ? x2 ? ? (0 ? x ? 120) 128000 80 x 1280 x 4
??7 分 则

h?( x) ?

x 800 x 3 ? 803 ? 2 ? (0 ? x ? 120) 640 x 640x 2
令 h ?( x) ? 0 得

??9 分

x ? 80
当 x ? (0,80) 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 是增函数. 故当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25

??10 分

因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小 值. 少,最少为 11 .25 升. ??13 分 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最

9

21. (14 分) (1) ? ( x) ? f ? x ? ?

x ?1 x ?1 ? ln x ? , x ?1 x ?1


? ??x ? ? ?

1 x

2 x2 ? 1 ? ?x ? 1?2 x ? ?x ? 1?2

??2 分 ∵ x ? 0 且 x ? 1, ∴ ?? ? x ? ? 0 ∴ 函 数
? ( x)

















?0,1?和?1, ? ?? .
(2)∵ f ?( x) ?
1 1 ,∴ f ?( x0 ) ? , x0 x

??4 分

∴ 切线 l 的方程为 y ? ln x0 ? 即 ①

1 ( x ? x0 ) , x0
,

y?

1 x ? ln x0 ? 1 x0
??6 分
x

设直线 l 与曲线 y ? g ( x) 相切于点 ( x1, e 1 ) , ∵
g ?( x) ? e x





e x1 ?

1 x0





x1 ? ? ln x0 .
∴直线 l 也为 y ? 即 ② 由①②得 ln x0 ? 1 ? ∴

??8 分

1 1 ? ? x ? ln x0 ? , x0 x0 y? ln x0 1 1 x? ? x0 x0 x0
??10 分 ,

ln x0 1 ? , x0 x0

ln x0 ?

x0 ? 1 x0 ? 1



??12 分

10

下证:在区间(1,+ ? )上 x0 存在且唯一. 由(1)可知, ? ( x) ? ln x ? 又
2 2

x ?1 ( 1, +?) 在区间 上递增. x ?1
e ? 1 ?2 ? ?0 e ?1 e ?1


? (e) ? ln e ?

e2 ? 1 e2 ? 3 ? (e ) ? ln e ? 2 ? ?0, e ? 1 e2 ? 1
结合零点存在性定理,说明方程 ? ( x) ? 0 必在区间 (e, e 2 ) 上有唯 一 的 根 , 这 个 根 就 是 所 求 的 唯 一 x0 . 故 结 论 成 立. ??14 分

11


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