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学案 2.4.2抛物线的简单几何性质


2.4.2 抛物线的简单几何性质
【知识目标】 以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例。 (1) 范围__________________________________;p 的几何意义_____________. (2) 对称性_______________________________________ (3) 顶点___________、焦点_____________、准线方程_________________ (4) 离心率 (方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) 、 焦半径 PF 、 P( x0 , y0 ) 横坐标关系) 点 _________. 【能力目标】 (1)直线 y ? kx ? m 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的位置关系判断(类比前面的情况) a. k ? 0, _________________________________________________________; b. k ? 0, 分判别式三种情况______________________________________________; c. k 不存在,x ? m 与 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 m 分负、 正三种) ( 零、 _______________. (2)点与抛物线的位置关系如何判断?___________________________________________; (3)焦点弦的有用结论: 直线 AB 过抛物线的焦点 F (

p ,0) ,A( x1 , y1 )B( x2 , y2 ) ,中点 M( x0 , y0 ) 。 2

a: x1 x2 ? ________; 1 y2 ? ________; y AB ? __________ ____; A?B ? 为 AB 在准线 上的投影,则 ?A?FB ? =_____________. AB 为直径的圆一定与准线_________. b.

1 1 ? ? ____;定义最短的弦叫做通径,此时弦 AB 长为_________. AF FB

c.当弦的倾斜角为 ? ,则 AB ? __________ . (4)直线与抛物线的综合问题——最值(范围) 、定点定值重点盯定义转几何及其函数思想 一般弦长公式为_____________________________________________. 处理时明线暗线共行:明线注意转化成代数信息,暗线注意二次方程的根与系数(判别 式、韦达定理) 考点一:抛物线定义与性质的应用 例 1:已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 的焦点到顶点的距离为 5,求抛物线的方程。
2 练习(1)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线方程是 y ? -

x2 y2 ? ? 1 短轴所在直线,抛物线 9 16
1 ,则 a =________. 2

(2)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 P ,F 为焦点,则以为 PF 直径的圆与
2

1

y 轴的位置关系是(



A. 相交

B .相离

C .相切

D .不确定

练习(3) :1.一动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则 此动圆必过定点 ( )

A.? 4,0?

B.? 2,0?

C.?0,2?

D.?0, ?2?

练习(4)设抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1,证明:以 A1B1 为直径的圆必过一定点。 练习(5) (07.全国 1 卷.11 题)抛物线 y 2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为

3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的
面积( A. 4 ) B. 3 3 C. 4 3 D. 8

本题如果用解析法, 需先列方程组求点 A 的坐标, 再计算正三角形的边长和面积.虽不 是很难,但决没有如上的几何法简单. 考点二:直线与抛物线及其抛物线中的弦问题 例 1.(课本)直线 l 过点(0,1)且与抛物线 y 2 ? 2 x 只有一个公共点,求直线 l 的方程

【练习】1. 直线 l :y=kx+1,抛物线 C: y ? 4 x ?, 当 k 为何值时, l 与 C 分别相切、 相
2

交、 相离? 2.已知直线斜率为 k ,在 x 轴上是否存在一点,使直线过该点且交于抛物线 y ? 4 x 于
2

AB ,使 OA ? OB .

1) 例 2.过点 Q(4, 作抛物线 y ? 8x 的弦 AB , 恰被 Q 所平分, 求直线 AB 所在直线方程。
2

例 3.(课本)斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B
2

两点,求线段 AB 的长。

考点三:最值问题(几何、代数) 例 1 设 P 是抛物线 y ? 4 x 上的一个动点。
2

(1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 (2)若 B(3,2),求 PB ? PF 的最小值。

的距离之和的最小值;

2

点评:本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离, 从而构造出“两点间线段距离最短”,使问题获解。 例 2.已知抛物线 y 2 ? 2 x 。 (1)设点 A 的坐标为( 的 PA 值; (2)设点 A 的坐标为( a ,0 ) a ? R ,求曲线上的点到 A 的距离的最小值 d 。

2 ,0 ) ,求曲线上的点 P,使他与点 A 的距离最近,并求出相应 3

练习: 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, A 的坐标为(5, 点 0), 过 焦点的直线 l 与交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最小面积

y N

o M

B

A

x

考点四:定点定值问题 例 1 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点 ,通过点 A 和抛物线顶点的交抛物线的 准线于点 D ,求证直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

【审题要津】本题可借助于坐标法证明,即通过建立抛物线和直线的方程,证明 D 的纵坐标和

B 的纵坐标相等即可.
【方法总结】 在直角坐标系中证明过两点的直线与坐标轴平行, 可转化为证明这两点的横坐 标(或纵坐标)相等. 变式 1: 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,
2

点 C 在抛物线的准线上,且 BC // x 轴,证明:直线 AC 经过原点 O .

3

例 2.过抛物线的顶点任意作两条垂直的弦 OA,OB,求证:直线 AB 过抛物线对称轴上的一定 点。

例 2:设 A(a,0)(a ? 0), B, C 分别是 x, y 轴上的点,非零向量 BP 满足

BP ? 2BC, BP ? AC 。
(1)当点 B 在 x 轴上运动时,求点 P 的轨迹 E 的方程; (2) l 是曲线在点 P 处的切线与 x 轴交于点 M, 是曲线 E 的焦点, 设 F 求证: 三角形 FMP 是等腰三角形; (3)设 Q 是曲线 E 上异于 P 点的点,且 OP ? OQ ? 0 。求证:直线 PQ 过定点。

真题 2012 文理 20.(本小题满分 12 分) 设抛物线 C: x 2 ? 2 py (p>0)的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为 圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 之有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值。

2 练习:已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,且 AB ?

5 p, 2

求 A、B 所在直线方程。

练习 (07.四川文科卷.10 题) 已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 B,则|AB|等于( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

4


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