当前位置:首页 >> 数学 >> 2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准 (1)

2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准 (1)


2013 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 A 2 A 3 A 4 D 5 A 6 C 7 D 8 B 9 C 10 C

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 14 . 12. 1.25 . 13.

91 3 3 . 14. . 15. ? (cos? ? sin ? ) ? 1 . 2 2

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a ? 3 , b ? 5 , c ? 7 . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin( B ? 解: (1)由余弦定理可得

π ) 的值. 3

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 32 ? 52 ? 72 1 ? ? ? ,………………………………………………3 分 2ab 2 ? 3? 5 2

∵ 0 ? C ? π ,…………………………………………………………………………………4 分 ∴C ?

2π . 3

…………………………………………………………………………5 分

b c , ? sin B sin C 2π 5sin b sin C 3 ?5 3, ∴ sin B ? ………………………………………………………8 分 ? c 7 14 2π ∵C ? ,∴ B 为锐角, 3
(2)由正弦定理可得 ∴ cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? (
2

5 3 2 11 ) ? , 14 14

………………………………………10 分

∴ sin( B ?

π π π 5 3 1 11 3 4 3 …………………12 分 ) ? sin B cos ? cos B sin ? ? ? ? ? 14 2 14 2 7 3 3 3
第 1 页(共 9 页)

【说明】本题主要考查解三角形的基础知识,正、余弦定理,同角三角函数的基本关系,两 角和与差的正弦公式等知识,考查了考生运算求解的能力. 17. (本小题满分 12 分) 海 砂 的 2013 年 3 月 14 日,CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化 .... . . 现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关, 某大学实验室随机抽取了 60 个 样本,得到了相关数据如下表: 混凝土耐久性达标 使用淡化海砂 使用未经淡化海砂 总计 25 15 40 混凝土耐久性不达标 5 15 20 总计 30 30 60

(1)根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1% 的前 提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (2) 若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个, 现从这 6 个样本中任取 2 个,则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据:

P( K 2≥k )
k

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010[来 6.635

0.001 10.828

解: (1)提出假设 H 0 :使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关. ……………………1 分 根据表中数据,求得 K 的观测值 k ?
2

60 ? ?25 ? 15 ? 15 ? 5? ? 7.5 ? 6.635 …………3 分 302 ? 40 ? 20
2

查表得 P K ? 6.635 ? 0.010 ………………………………………………………………4 分
2

?

?

认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关 ? 能在犯错误的概率不超过 1% 的前提下, ……………………………………5 分 (2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取 6 个,其中应抽取“混凝土耐久性达 标”的为

25 “混凝土耐久性不达标” 的为 6 ? 5 ? 1 ,…………………………6 分 ?6 ? 5, 30

“混凝土耐久性达标”记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , “混凝土耐久性不达标”的记为 B ,……7 分

? A1, A3 ? , ? A1, A5 ? , ? A1, A2 ? , ? A1, A4 ? , ? A1, B? , 在这 6 个样本中任取 2 个, 有以下几种可能:

? A2 , A3 ? ,? A2 , A4 ? ,? A2 , A5 ? ,? A2 , B? ,? A3 , A4 ? ,? A3 , A5 ? ,? A3 , B ? ,? A4 , A5 ? ,? A4 , B? ,

? A5 , B? ,共15 种………………………………………………………………………………9 分
第 2 页(共 9 页)

设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件 A ,它的对立事件 A 为“取出的 2 个样本 至少有 1 个混凝土耐性不达标” ,包含 ? A1 , B ? , ? A2 , B ? , ? A3 , B ? , ? A4 , B ? , ? A5 , B ? , 共 5 种可能, …………………………………………………………………………………10 分

? P? A? ? 1 ? P A ? 1 ?

5 2 ? ……………………………………………………………11 分 15 3 2 即取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是 .………………………………………12 分 3
【说明】本题主要考查了列联表,独立性检验的方法,分层抽样的方法,对立事件,古典 概型等知识,考查了考生处理数据和运算能力. 18.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AA1 ? 平 面 ABC , AB ? BC ? AA1 , 且
A1

??

AC ? 2BC ,点 D 是 AB 的中点.
B1

C1

(1)证明: AC1 // 平面 B1CD ; (2)证明:平面 ABC1 ? 平面 B1CD .
A D

C
B

证明: (1)设 BC1 与 B1C 相交于点连结 E ,连结 DE ,

(第 18 题图)

依题意得 D 、 E 分别是 AB 、 BC1 的中点,……………………………………………… 1 分

? DE 是 ?ABC1 的中位线,………………………………………………………………… 2 分

? DE // AC1 , ………………………………………………………………………………3 分
而 FG ? 平面 B1CD , A1C ? 平面 B1CD ,…………………………………………………5 分

? AC1 // 平面 B1CD ………………………6 分
(2)

A1 B1

C1

ABC ? A1B1C1 是棱柱,且 AB ? BC ? AA1 ? BB1

? 四边形 BCC1B1 是菱形,………………………7 分 ? B1C ? BC1 ,…………………………………8 分
由 AA1 ? 平面 ABC , AA1 // BB1 得 BB1 ? 平面 ABC ,
第 3 页(共 9 页)

E A D B

C

AB ? 平面 ABC ,

? BB1 ? AB ,…………………………………………………………………………………9 分


AB ? BC ,且 AC ? 2BC ,

…………………………………………………………………………………10 分 ? AB ? BC , 而 BB1

BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BCC1B1 ,

………………………………………………………………………11 分 ? AB ? 平面 BCC1B1 , 而 B1C ? 平面 BCC1 B1 ,

? AB ? B1C ,………………………………………………………………………………12 分
而 AB

BC1 ? B , AB, BC1 ? 平面 ABC1 ,

? B1C ? 平面 ABC1 ,………………………………………………………………………13 分
而 B1C ? 平面 B1CD ,

? 平面 ABC1 ? 平面 B1CD .………………………………………………………………14 分
【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑 推理能力. 19.(本小题满分 14 分) 各项为正数的数列 ?an ? 满足 an ? 4Sn ? 2an ? 1 ( n ? N ) ,其中 S n 为 ?an ? 前 n 项和.
2

*

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 m 、 n ,使得向量 a ?(2an? 2 , m)与向量 b ?(?an?5 , 3 ? an )垂直? 说明理由. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 4S1 ? 2a1 ? 1 ,
2

即 ? a1 ? 1? ? 0 ,解得 a1 ? 1 ,………………………………………………………………1 分
2

当 n ? 2 时, a2 ? 4S2 ? 2a2 ? 1 ? 4a1 ? 2a2 ? 1 ? 3 ? 2a2 ,
2

解得 a2 ? 3 或 a2 ? ?1(舍去). ………………………………………………………………3 分

第 4 页(共 9 页)

(2)由 an 2 ? 4Sn ? 2an ? 1 ①

an?12 ? 4Sn?1 ? 2an?1 ? 1 ②…………………………………………………………4 分
②-①得: an?1 ? an ? 4an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 2(an?1 ? an ) ,
2 2

即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ,……………………………………………………6 分 数列 ?an ? 各项均为正数,

? an?1 ? an ? 0 , an?1 ? an ? 2 ,……………………………………………………………7 分 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列,
所以 an ? 2n ? 1 .. ………………………………………………………………………………8 分 (3)

an ? 2n ? 1,

? a ? (2an?2 , m) ? (2(2n ? 3), m) ? 0 , b ? (?an?5 ,3 ? an ) ? (?(2n ? 9), 2(n ? 1)) ? 0.
…………10 分

?a ? b ? a b ? 0

? m(n ? 1) ? (2n ? 3)(2n ? 9) ? ? 2(n ? 1) ? 1??2(n ? 1) ? 7?
? m( n ? 1 ) ? 4 n ( ? 21 ) ? 1n 6 (? 1 ?) 7

? m ? 4(n ? 1) ? 16 ?

7 . n ?1

…………………………………………12 分

m, n ? N? , ? n ? 1 ? 7, m ? 4 ? 7 ? 16 ? 1 ,即 n ? 6, m ? 45. ……………………………………13 分
当且仅当 n ? 6, m ? 45 时, a ? b. ………………………………………………… 14 分 【说明】本题主要考查等差数的定义、通项与求和,会根据数列的递推关系求数列的前几 项以及通项公式,平面向量垂直运算,考查考生运算求解、推理论证、变形处理能力.

20. (本小题满分 14 分)

3 x2 y2 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,经过椭圆 E 的下顶点 A 和右焦 a b 2
点 F 直线 l 与圆 C : x ? ( y ? 2b) ?
2 2

27 相切. 4

第 5 页(共 9 页)

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若动点 P 、Q 分别在圆 C 与椭圆 E 上运动, 求 PQ 取得最大值时 Q 点的坐标.

y

?C

l
O

F A
解: (1)依题意得 e ?

x

c 3 2 ? , c ? a 2 ? b2 , a 2

(第 20 题图)

解得 a ? 2b, c ? 3b ,

? A(0,?b) , F ( 3b, 0) ,……………………………………………………………………2 分
? 直线 l 的方程为:

x y ? ? 1,即x ? 3 y ? 3b ? 0 ,………………………………3 分 3b ?b
2

直线 l 与圆 C : x ? ( y ? 2b) ?
2

0 ? 2 3b ? 3b 3 3 27 相切, ? , ? 4 2 2

解得 b ? 1, a ? 2 ,…………………………………………………………………………5 分

?椭圆 E 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………………6 分 4
3 3 ? CQ ,………………………7 分 2
y

(2)连结 PQ, CP, CQ ,则有 PQ ? CP ? CQ ?

(当且仅当 P, C, Q 三点共线且 P, Q 在 C 异端时等号成立)

? 当 CQ 取得最大值时, PQ 取得最大值,………8 分
设 Q( x0 , y0 ) ,得 则 CQ ?
2 0
2 x0 2 ? y0 ? 1 ,又 C (0, 2) ,……9 分 4

P

?C

x ? ( y0 ? 2) ? 4 ? 4 y ? ( y0 ? 2) ,
2 2 0 2

l
O

2 28 ? ?3( y0 ? )2 ? ,…………………………10 分 3 3

F A

x

Q

第 6 页(共 9 页)

2 y0 ? ? ?1,1? , ?1 ? ? ? 1 , 3 2 ? 当 y0 ? ? 时 CQ 取得最大值,…………………………………………………………12 分 3
把 y0 ? ?

x2 2 2 5 代入 ,………………………………………13 分 ? y 2 ? 1 中,解得 x0 ? ? 4 3 3
2 5 2 , ? ) .………………………………………14 分 3 3

? PQ 取得最大值时, Q 点坐标为 (?

【说明】本题主要考查圆与椭圆的方程,直线与圆的位置关系,两点距离公式,二次函数 的最值等基础知识, 考查学生数形结合、 运算求解、 转化与化归以及分析与解决问题的能力. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? (1 ? 2a) x (a ? 0) .
2

(1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)求函数 f ( x) 在区间 (

1 , 2) 上的零点的个数( e 为自然对数的底数) ; ea

(3)设函数 y ? f ( x) 图象上任意不同的两点为 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点 为 C ( x0 , y0 ) ,记直线 AB 的斜率为 k ,试证明: k ? f ?( x0 ) . 解: (1)∵函数 f ?x ? ? ln x ? ax ? ?1 ? 2a ? x ,其定义域是 ?0, ? ?? ,
2

∴ f ?? x? ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 ( x ? 1)(2ax ? 1) ,???2 分 ? 2ax ? ?1 ? 2a ? ? ? ?? x x x

x ? 0 , a ? 0 ,∴ 2ax ? 1 ? 0 ,
∴当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?x ? ? 0 .
' '

∴函数 f ?x ? 在区间 ? 0, 1? 上单调递增,在区间 ?1, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? 1 时, f ?x ? 取得最大值 f ?1? ? ln1 ? a ? b ? ?a ? 1 ? 2a ? a ? 1 .?????4 分 (2) 由 (1) 知, 当 x ? 1 时, 函数 f ?x ? 取得最大值 f ?1? ? ln1 ? a ? b ? ?a ? 1 ? 2a ? a ? 1 . ① 当 a ? 1 时, f ?1? ? 0 ,若 x ? 1 , 则 f ?x ? ? f ?1? , 即 f ?x ? ? 0 . 此时,函数 f ?x ? 与 x 轴只有一个交点,故函数 f ?x ? 只有一个零点;???????5 分 ② 当 a ? 1 时, f ?1? ? 0 ,又
第 7 页(共 9 页)

1 1 1 ? 1? ? 1? ? 1 ? f ? a ? ? ln a ? a ? ? a ? ? ?1 ? 2a ? ? a ? ?a? a ? 1? ? a ? 0 , e e e ?e ? ?e ? ?e ?

2

2

f ? 2? ? ln 2 ? 4a ? 2 ?1 ? 2a ? ? ln 2 ? 2 ? 0 ,
函数 f ?x ? 与 x 轴有两个交点,故函数 f ?x ? 有两个零点;????????????7 分 ③ 当 0 ? a ? 1 时, f ?1? ? 0 ,函数 f ?x ? 与 x 轴没有交点,故函数 f ?x ? 没有零点. 综上所述, 当 0 ? a ? 1 时, f ?x ? 没有零点; 当 a ? 1 时, f ?x ? 有一个零点; 当 a ? 1 时, f ?x ? 有两个零点????????????????????????????????8 分 (3)∵ f ? ? x ? ? ∴ f ? ? x0 ? ?

1 ? 2ax ? ?1 ? 2a ? , x

1 2 ? 2ax0 ? ?1 ? 2a ? ? ? a( x1 ? x2 ) ? ?1 ? 2a ? .???????9 分 x0 x1 ? x2

2 ln x2 ? ax2 ? ?1 ? 2a ? x2 ? ?? ln x1 ? ax12 ? ?1 ? 2a ? x1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? ? ? 又k ? ? x2 ? x1 x2 ? x1

?

2 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 ? x12 ) ? ?1 ? 2a ?? x2 ? x1 ? x2 ? x1

x2 x1 ? ? a( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2a) . x2 ? x1 ln
不妨设 x2 ? x1 ? 0 ,要证明 k ? f ?( x0 ) ,

?????????????????11 分

x2 x1 2 即证明 ? a( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2a) ? ? a( x1 ? x2 ) ? ?1 ? 2a ? x2 ? x1 x1 ? x2 ln

x2 2 x1 ? 即 需证明 , x2 ? x1 x1 ? x2 ln
由 x2 ? x1 ? 0 可得 x2 ? x1 ? 0 ,

∴ 需证明 ln

x2 2( x2 ? x1 ) ? ? x1 x1 ? x2

2(

x2 ? 1) x1 . ??????????????????12 分 x2 ?1 x1

第 8 页(共 9 页)

令 h( x) ? ln x ?

2( x ? 1) 1 4 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ,则 h?( x) ? ? ? ?0, x ?1 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

∴ h( x) 在 ?1,?? ? 上是增函数.∴当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 , 又

x2 x ? 1 ,∴ h( 2 ) ? h(1) ? 0 , x1 x1
x2 ? x1 2( x2 ? 1) x1 , x2 ?1 x1

∴ ln

x2 x1 2 ∴ ? a( x2 ? x1 ) ? (1 ? 2a) ? ? a( x1 ? x2 ) ? ?1 ? 2a ? , x2 ? x1 x1 ? x2 ln
即 k ? f ?( x0 ) . ????????????????14 分

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化 归与转化思想. 命题人:李志敏、殷木森、李勇 审题人:魏显峰

第 9 页(共 9 页)


更多相关文档:

...年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准 (1).pdf

暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准 (1)_数学_高中教育_教育专区。2013 年深圳市高三年级第二...

...市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分(精)....doc

2014年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分(精) - 故所求椭

...高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准.doc

.6 分 2013 年深圳市高三年级第次调研考试数学(文科)试卷答案及评分标准 第 1 页,共 10 页 (2)由(1)可知 M ( ,1) , N (1, ? ) 1 6 5 3 ...

(终极版)2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学文科答案.pdf

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 文科数学参考答案及评分标准说明: 一、

2018年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学答案(水印....pdf

深圳市 2018 年高三年级第二次调研考试数学(文科) 选择题答案一.选择题 (1)A (7)D 二.填空题 (13) 30 (14) 16π 3 研究(15) 1009 非选择题答案 院...

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学文科答案.doc

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学文科答案_数学_高中教育_教育专区。2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学文科答案评分标准,WORD版 ...

2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文)含答案.doc

x C、 y ? 2016 年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案 倪杰整理 第 1 页共 10 页 1 1 D、 6 3 ?2x ? y ? 4 ? 0 ? 9、在平面直角...

2008年深圳市高三年级第二次调研考试(文科数学)答案及评分标准.doc

5 分 2008 年深圳市高三年级第二月次调研考试数学(文科)答案及评分标准

2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学文科答案.doc

2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学文科答案 - 2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 文科数学参考答案及评分标准 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供...

2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科).doc

形第 1 页共 12 页 2010 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷 6...(文科)参考答案及评分标准说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果...

2008年深圳市高三年级第二次调研考试(文科数学)答案及....doc

2008年深圳市高三年级第二次调研考试(文科数学)答案及评分标准 - 2008 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准 说明: 一、本解答给出了一种或...

2013年深圳市高三年级第一次调研考试参考答案与评分标....doc

? 6 6 1 5 所以 M ( ,1) , N (1, ? ) 6 3 ???.6 分 2013 年深圳市高三年级第次调研考试数学(文科)试卷答案及评分标准 第 1 页,共 10 页...

...广东省深圳市2014年高三第二次调研考试数学(文科)试....pdf

2014 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明: 一、本...d 2 2 ? 2 [a1 ? (2 n ?1 n ?1 2n ?1 (2n ?1 ? 1) ? 1)...

广东省深圳市2013届高三4月第二次调研考试数学(文)试题....pdf

广东省深圳市2013届高三4月第二次调研考试数学(文)试题(PDF,含详细答案) - 绝密★启用前 试卷类型:A 2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学 (文科) 本...

深圳市2013年高三年级第一次调研考试题及答案(文科数学) 2.doc

深圳市2013年高三年级第一次调研考试题及答案(文科...2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线交 a ...年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明: ...

深圳市2013年高三年级第一次调研考试文科数学含答案2013.2.pdf

深圳市2013年高三年级第次调研考试文科数学答案2013.2 - 绝密★启用前 试卷类型:A 2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学 (文科) 本试卷共 6 页,21...

2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科).doc

年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试题 第 1 页共 16 页 个小题,...年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科) 数学(文科)参考答案及评分标准 ...

2011年深圳市高三年级第二次调研考试(文科)答案(4月20日).doc

BC = ? 2 ? 2 = 1, 2 2 第 3 页共 8页 2011 年深圳市高三年级第二次调研考试(数学文科)答案及评分标准 S ?BCE = 1 1 6 BE ? BC = ? 2 ?...

2012年深圳市高三年级第二次调研考试_文科数学参考答案....doc

2012年深圳市高三年级第二次调研考试_文科数学参考答案评分标准 - 1. 本解答给出了种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查...

2009年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科).doc

第 21 题图 2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准...1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C B C B D D C C 二、填空题:本...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com