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必修3-2-7 标准差、方差


标准差、方差
编号:必修 3-2-7 内容: P74~78

学习目标:理解样本数字特征(2)----标准差和方差的意义,能够计算数据的标准差和方差, 会用标准差或方差解决简单的统计实际问题. 学习重点:标准差和方差的计算,标准差和方差的作用.

导学过程:
一.复习回忆: 众数、中位数、平均数的定义? 1.众数:一组数据中重复出现次数最多的数为众数. 2.中位数:把一组数据按大小顺序排列,处在中间位置的一个数或中间两个数的平均数为中 位数. n 1 ( x ? x ? x ? ? ? x ) x ? xi 3.x1,x2,x3,…,xn,这 n 个数的平均数为: x ? 1 , 简记为 : 1 2 3 n n n

?
i ?1

二.复习巩固: 众数、中位数、平均数的估计值 P72-73 1.如何从频率分布直方图中估计众数? 频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标作为众数的估计值(近似值). 2.如何从频率分布直方图中估计中位数? P72 把频率分布直方图的面积(频率)平分的线所对应的数(横坐标)作为中位数的估计值. 3.如何从频率分布直方图中估计平均数? P72 频率分布图中每个小矩形的面积(频率)乘以该小矩形底边中点的横坐标的和作为平均数的 估计值. 三.自主学习: P74-78 标准差、方差 四.实例学习: P74 实例 : 在一次射击 选拔赛中 , 甲、乙两名运 动员各射 击 10 次 , 每次命中的环数如 下 : 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 (1)甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环? (2)甲、乙两人的水平谁高? 解:(1) x ? 7, x ? 7 (条形图见 ppt 或教材) 乙 甲 (2)根据条形图知:甲的成绩比较分散,极差较大,乙的成绩相对集中,比较稳定. 乙的水平更高. 五.理解学习: P75-77 标准差、方差 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计 算,不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多 的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量 比较差时,使用众数、 中位数或平均数描述数据的中心位置,可能与实际情况产生较大的误差, 难以反映样本数据的实际状况,因此,我们可以用标准差或方差来刻画样本数据的离散程度. 反映样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差,标准差是样本数据到平均 数的一种“平均距离”,一般标准差用 s 表示.方差用 s2 来表示,平均数用 x 来表示. 六.掌握学习: 标准差 P75 、方差 P77 试一试:你能把三个公式简记为求和符号∑的形式吗? n (1) x1,x2,x3,?,xn,这 n 个数的平均数为: x ? 1 ( x ? x ? x ? ?? x ) ,x ? 1 xi 1 2 3 n n n (2) x1,x2,x3,?,xn,这 n 个数的标准差为: i ?1

?

s?

( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ??? ( xn ? x ) 2 , n

s?

1 n

? (x ? x)
i ?1 i

n

2

.

(3) x1,x2,x3,?,xn,这 n 个数的方差为:

s ? [(x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? ?? ( xn ? x ) ] ?
2 1 n 2 2 2

1 n

? (x ? x)
i ?1 i

n

2

七.理解学习: 标准差(方差)的作用: P75 标准差(方差)是考察数据稳定性的重要指标. (1)标准差(方差)越大,说明数据与平均数的离散程度越大,即数据的波动性越大,稳定性较 差;(2)标准差(方差)越小,说明数据与平均数的离散程度越小,即数据的波动性越小,稳定性 较好;(3)标准差(方差)为 0 的样本数据都相等. 八.自主学习: P76-78 例 1、例 2 九.合作学习: P76 例 1, P77-78 例 2 例 1 画出下列四组样本数据的条形图,说明他们的异同点. (数据、条形图见 ppt 或教材), 平均数相同,标准差不同. 例 2.甲、乙两人同时生产内径为 25.40mm 的一种零件,为了对两人的生产质量进行评比,从 他们生产的零件中各随机抽取 20 件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):(数据见 ppt 或教材) 从生产零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量较高? s乙 ? 0.068 , s甲 ? 0.037, x乙 ? 25.406 , 解:由计算器计算可得: x甲 ? 25.401, 从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的零件内径更接近内径标准(25.40mm),但 差异很小;由于 s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙生产的零件内径稳定程度高得多.于 是,可以作出判断,甲生产的零件质量比乙高一些. 说明: 1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量,但甲、乙两个总体的平 均数与标准差都是不知道的,我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中 25.40mm 是内径的标准值,而不是总体的平均数. 十.展示练习: 例 3 例 3.甲乙两机床同时加工直径为 100mm 的零件,从它们生产的零件中各抽取 6 个零件进行检 测,数据如下: 机床甲 99 100 98 100 100 103 机床乙 99 100 102 99 100 100 (1)分别求出两组样本数据的众数、中位数、平均数; (2)分别计算机床甲乙的样本数据 的方差; (3)哪台机床加工零件的质量更稳定?为什么? 解:(1)按从小到大排序: 机床甲 98 99 100 100 100 103 机床乙 99 99 100 100 100 102 ∴机床甲的众数为 100,中位数为 100,平均数为 x甲 ? 100 , ∴机床乙的众数为 100,中位数为 100,平均数为 x乙 ? 100 , 解:(2)机床甲乙的样本数据的方差分别为:
2 s甲 ?1 [(99 ?100) 2 ? (100? 100) 2 ? (98 ?100) 2 6 ? (100?100) 2 ? (100?100) 2 ? (103?100) 2 ] ? 1 [1 ? 0 ? 4 ? 0 ? 0 ? 9] ? 7 (mm2 ) 6 3 2 s乙 ?1 [(99 ?100) 2 ? (100?100) 2 ? (102?100) 2 6 2 1 ? (99 ?100) 2 ? (100?100) 2 ? (100?100) 2 ] ? 6 [1 ? 0 ? 4 ? 1 ? 0 ? 0] ? 1(mm )

(3) ∵ x甲 ? x乙 ? 100 , 且 s2 甲>s2 乙, ∴甲机床加工的零件直径波动性更大,乙机床加工的零件质量更稳定. 答:(略)


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