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2010年高考数学题分类专题(22)选修4-4:坐标系与参数方程


2010 年全国各地高考数学真题分章节分类汇编
部分:选修系列 选修系列---( 第 22 部分 选修系列 (选修 4-4:坐标系与参数方程) :坐标系与参数方程)
一、选择题: 选择题 1.(2010 年高考重庆卷文科 8)若直线 y = x ? b 与曲线 ? ( 两个不同的公共点,则实数 b 的取值范围为 (A) (2 ? 2,1) (C) ( ?∞, 2 ? 2) U (2 + 2, +∞ ) 【答案】D 【解析】 ? (B) [2 ? 2, 2 + 2] (D) (2 ? 2, 2 + 2)

? x = 2 + cos θ , ( θ ∈ [0, 2π ) )有 ? y = sin θ

? x = 2 + cos θ , 化为普通方程 ( x ? 2) 2 + y 2 = 1 ,表示圆, y = sin θ ?

2?b
因为直线与圆有两个不同的交点,所以

2
法 2:利用数形结合进行分析得 AC = 2 ? b = 同理分析,可知 2 ? 2 < b < 2 + 2

< 1, 解得 2 ? 2 < b < 2 + 2
2,∴ b = 2 ? 2

? x = ?1 ? t (t 为参数)所表 2.(2010 年高考湖南卷文科 4)极坐标 p = cos θ 和参数方程 ? . 年高考湖南卷文科 ? y =2+t
示的图形分别是 A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线

D 填空题: 二、填空题: 1. 2010 年高考广东卷文科 15) 坐标系与参数方程选做题) ( 15) ( 在极坐标系 ( ρ , θ ) (0 ≤ θ ≤ 2π ) 中,曲线 ρ (cos θ + sin θ ) = 1 与 ρ (cos θ ? sin θ ) = 1 的交点的极坐标为 .

2. 2010 年高考陕西卷文科 15) ( 15) (坐标系与参数方程选做题)参数方程 ?

? x = cos α , (α ? y = 1 + sin α

为参数)化成普通方程为 . 【答案】x +(y-1)2=1 解答题: 三、解答题: 1.(2010 年高考辽宁卷文科 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 23) (
2

已知 P 为半圆 C:?

? x = cos θ ( θ 为参数,0≤ θ ≤ π )上的点,点 A 的坐标为(1,0), ? y = sin θ
π . 3

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为

(Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (Ⅱ)求直线 AM 的参数方程. 解:(Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

π π ,且 M 点的极径等于 , 3 3

π π , ) 3 3

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

π 3π , ),A(l,0),故直线 AM 的参数方程为 6 6

π ? ? x = 1 + ( 6 ? 1)t. ? (t 为参数). ? ? y = 3π t. ? 6 ?
2. (2010 年高考宁夏卷文科 23) 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 :{ {t 为参数}。图 C2 :{ X=1+tcosa { θ 为参数} X= cos θ y= sin θ

π
(Ⅰ)当 a=

3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标: y=tsina

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A、P 为 OA 的中点,当 a 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。 (23)解: (I)当 α

=

π
3

时,C1 的普通方程为 y =

3( x ? 1) ,

C2 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 .

联立方程组

{

y = 3 ( x ?1), 1 3 ) x = x 2 + y 2 =1, 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0), ( , ?

2

2

(II)C1 的普通方程为 x sin α
2

? y cos α ? sin α = 0 .

A 点坐标为 (sin a, ? cos a sin a ) ,故当 a 变化时,P 点轨迹的参数方程为

? x = 1 sin 2 a 2 ? y =? 1 sin a cos a ? 2
1 4

( a 为参数)

P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) + y =
2 2

1 4

1 16

故 P 点是圆心为 ( , 0) ,半径为

1 的圆 4


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