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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.4.1等比数列导学案(含解析)新人教版必修5


第二章 第四节 等比数列 第一课时

等比数列

目标定位:1.理解等比数列的定义,能够用定义判断一个数列是否为等比数列。 2.掌握等比数列的通项公式并能应用, 体会等比数列的通项公式与指数函数的关 系。 (重点) 3.掌握等比中项的概念,并能应用宝其定义解决问题。 (难点)

等比数列的定义 [提出问题] 考察下面几个数列: (1)4,-4,4,-4,?; (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒都是前一 个格子里的麦粒数的 2 倍,且共有 64 个格子,各个格子里的麦粒数依次是 1,2,2 2 ,?,2 ; (3)某人年初投资 10 000 元,如果年收益率是 5%,那么按照复利,5 年内各年末的本利 和依次为 10 000×1.05,10 000×1.05 ,?,10 000×1.05 . 问题 1:上述三个例子中的数列,它们是等差数列吗? 提示:不是. 问题 2:这三个数列,从第二项起与前一项的比有什么特点? 提示:都等于同一个常数. [导入新知] 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一常数, 那么这个数列叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0). [化解疑难] 1.“从第 2 项起”,也就是说等比数列中至少含有三项; 2.“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”; 3.“同一常数 q”,q 是等比数列的公比,即 q=
2 5 2, 3 63

an an+1 或 q= .特别注意,q 不可以为 an-1 an

零,当 q=1 时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列. 等比中项 [提出问题] 问题:观察上面的三个数列,每个数列中任意连续三项间有何关系?

提示:中间一项的平方等于它前一项与后一项之积. [导入新知] 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a,b 的等比中 项,这三个数满足关系式 G=± ab. [化解疑难] 1.G 是 a 与 b 的等比中项,则 a 与 b 的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中 项.

G=± ab,即等比中项有两个,且互为相反数.
2.当 G =ab 时,G 不一定是 a 与 b 的等比中项.例如 0 =5×0,但 0,0,5 不是等比数 列. 等比数列的通项公式 [提出问题] 问题:若数列{an}为等比数列,公比为 q,则:
2 2

a2=a1q, a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3, a5=a4q=a1q4, ?, 由此你可以得出什么结论呢?
提示:an=a1q [导入新知] 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则通项公式为:an=a1q [化解疑难] 1.在已知首项 a1 和公比 q 的前提下,利用通项公式 an=a1q 一项; 2.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 指数型函数.
n-1 n-1 n-1 n-1

.

.

可求出等比数列中的任

,可改写为 an= ·q .当 q>0 且 q≠1 时,这是

a1 q

n

等比数列的判断与证明

?1? [例 1] 已知数列{an}是首项为 2,公差为-1 的等差数列,令 bn=? ?an,求证数 ?2?
列{bn}是等比数列,并求其通项公式. [解] 依题意 an=2+(n-1)×(-1)=3-n,

?1?3-n 于是 bn=? ? . ?2?

?1?3-n ? ? bn ?2? ?1?-1 而 = =? ? =2. bn-1 ?1?4-n ?2? ?2? ? ?
∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列,通项公式为 bn=2 [类题通法] 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法: 数列. (2)等比中项法:an+1=an·an+2(an≠0,n∈N )?{an}为等比数列. (3)通项公式法:an=a1q [活学活用] 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列. 证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1. 1 ∴an+1= an. 2 又∵S1=2-a1, ∴a1=1≠0. 1 又由 an+1= an 知 an≠0, 2 ∴
n-1
2 *

n-3

.

an+1 an =q(q 为常数且 q≠0)或 =q(q 为常数且 q≠0,n≥2)?{an}为等比 an an-1

(其中 a1,q 为非零常数,n∈N )?{an}为等比数列.

*

an+1 1 = . an 2

∴{an}是等比数列. 等比数列的通项公式 [例 2] 在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求 an; (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求 n. [解] (1)因为?
?a4=a1q , ? ? ?a7=a1q ,
6 3

所以?

?a1q =2, ? ? ?a1q =8,
6

3

① ②



② 3 3 3 得 q =4,从而 q= 4,而 a1q =2, ①

2 1 2n-5 n-1 于是 a1= 3= ,所以 an=a1q =2 . q 2 3

?a2+a5=a1q+a1q =18, ③ ? (2)法一:因为? 2 5 ?a3+a6=a1q +a1q =9, ④ ?

4



④ 1 得 q= ,从而 a1=32. ③ 2

?1?n-1 又 an=1,所以 32×? ? =1, ?2?
即2
6-n

=2 ,所以 n=6.

0

1 法二:因为 a3+a6=q(a2+a5),所以 q= . 2 由 a1q+a1q =18,得 a1=32. 由 an=a1q
n-1
4

=1,得 n=6.

[类题通法] 与求等差数列的通项公式的基本量一样, 求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程 的思想和方法. 从方程的观点看等比数列的通项公式, an=a1·q
n-1

(a1q≠0)中包含了四个量,

已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用 q≠0 验证求得的结果. [活学活用] 2.(1)若等比数列的前三项分别为 5,-15,45,则第 5 项是( A.405 C.135 B.-405 D.-135
2

)

(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则 数列{an}的通项公式 an=________. 解析:(1)选 A ∵a5=a1q ,而 a1=5,q= =-3, ∴a5=405. (2)根据条件求出首项 a1 和公比 q,再求通项公式.由 2(an+an+2)=5an+1? 2q -5q+2 1 2 9 =0? q=2 或 ,由 a5=a10=a1q >0? a1>0,又数列{an}递增,所以 q=2. 2
4 2 9 n a2 5=a10>0? (a1q ) =a1q ? a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为 an=2 . 2 4

a2 a1

答案:(1)A (2)2

n

等比中项 [例 3] 设等差数列{an}的公差 d 不为 0,a1=9d,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k 等 于( ) A.2 C.6
2

B.4 D.8

[解析] ∵an=(n+8)d,又∵ak=a1·a2k,

∴[(k+8)d] =9d·(2k+8)d,解得 k=-2(舍去),

2

k=4.
[答案] B [类题通法] 等比中项的应用主要有两点:①计算,与其它性质综合应用.可以简化计算、提高速度 和准确度.②用来判断或证明等比数列. [活学活用] 1 1 a+b 2 2 3.已知 1 既是 a 与 b 的等比中项,又是 与 的等差中项,则 2 的值是( a b a +b2 1 A.1 或 2 1 C.1 或 3 1 B.1 或- 2 1 D.1 或- 3 )

1 1 2 2 2 解析:选 D 由题意得,a b =(ab) =1, + =2,

a b

∴?

? ?ab=1, ?a+b=2 ?

或?

? ?ab=-1, ?a+b=-2. ?

因此

a+b 1 的值为 1 或- . a2+b2 3

∴a4 与 a8 的等比中项为±4.

[随堂即时演练] 5 1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则公比 q 等于( 4 A. 1 4 B. 1 2 )

C.2

D.8
3

解析:选 B ∵{an}为等比数列,∴a4+a6=(a1+a3)q , 1 1 3 ∴q = ,∴q= . 8 2 2.已知等差数列{an}的公差为 3,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( A.9 C.-3 B.3 D.-9 )

解析:选 D a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6, 由于 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a3=a1a4, 所以(a2+3) =(a2-3)(a2+6),解得 a2=-9. 3.在数列{an}中,a1=2,且对任意正整数 n,3an+1-an=0,则 an=________. 解析:∵3an+1-an=0, ∴
2 2

an+1 1 = , an 3

1 因此{an}是以 为公比的等比数列, 3

?1?n-1 又 a1=2,所以 an=2×? ? . ?3? ?1?n-1 答案:2×? ? ?3?
4.(2011·广东高考)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q =________. 解析:由题意得 2q -2q=4,解得 q=2 或 q=-1.又{an}单调递增,得 q>1,∴q=2. 答案:2 5.(1)已知{an}为等比数列,且 a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求 an. 9 1 2 (2)若等比数列{an}的首项 a1= ,末项 an= ,公比 q= ,求项数 n. 8 3 3 (3)若等比数列{an}中 an+4=a4,求公比 q.
?a1q =8, ? 解:(1)由已知得? 6 ?a1q =2, ?
4 2

1 ? ?q2= 4 得? ? ?a1=128



1 ? ?q= , ∵an>0,∴? 2 ? ?a1=128.

?1?n-1 8-n ∴an=128×? ? =2 . ?2?
(2)由 an=a1·q 1 9?2?n-1 得 = ? ? , 3 8?3?
n-1



?2?n-1 ?2?3 即? ? =? ? ,得 n=4. ?3? ?3?
(3)∵an+4=a4q
(n+4)-4

=a4q ,

n

又 an+4=a4,∴q =1, ∴当 n 为偶数时,q=±1;当 n 为奇数时,q=1.

n


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